Bậc trùng của một cặp ánh xạ - Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Duy Thúc BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Duy Thúc BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình chu đáo động viên tơi nhiều suốt trình học tập trình hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn tất Thầy Cơ, cán khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt Thầy tổ Giải Tích nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên nghành toán động viên giúp đỡ tơi có nhiều ý kiến đóng góp q trình hồn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo góp ý Thầy Cơ Bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 1.1 Ánh xạ fredholm .3 1.2 Bậc trùng cho ánh xạ L -compact 10 1.3 Định lí tồn nghiệm cho phương trình tốn tử 18 Chương BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ 23 2.1 Bậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị 23 2.2 Bậc trùng cho ánh xạ đa trị .34 2.3 Các tính chất bậc trùng 46 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Phần lớn phương trình vi phân,tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên xã hội đưa đến việc giải phương trình dạng x = A ( x ) hay toán điểm bất động.Bậc tôpô ánh xạ công cụ quan trọng bậc nghiên cứa tồn cấu trúc điểm bất động Bậc tôpô ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều xây dựng năm 1910 ban đầu xây dựng Giải tích phức,trong Lí thuyết đường mặt.Năm 1934 Leray-Schauder xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ hồn tồn liên tục,tác động khơng gian Banach ứng dụng để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Từ bậc tơpơ nhà tốn học quan tâm nghiên cứu có hệ thống mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ xuất khoa học,kĩ thuật Trong năm 1960-1970, bậc tôpô xây dựng cho ánh xạ dương khơng gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ đơn điệu, ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact cho ánh xạ đơn trị compact,… Một hướng mở rộng khác bậc tôpô xây dựng lí thuyết bậc tơpơ để nghiên cứu phương trình dạng L ( x ) = N ( x ) mà toán điểm bất động trường hợp riêng L ( x ) = x L có ánh xạ ngược liên tục.Trong năm 1970, bậc trùng cặp ánh xạ L, N J.Mawhin xây dựng mở rộng tự nhiên bậc tôpô Bậc trùng có nhiều tính chất tương tự bậc tơpơ công cụ hửu hiệu để nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân tích phân Trong phạm vi luận văn tơi sâu tìm hiểu bậc trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Bố cục luận văn chia làm hai chương:  Chương1 Bậc trùng cặp ánh xạ đơn trị Chương giới thiệu lí thuyết bậc Mawhin cho ánh xạ L -compact Chương gồm ba phần Trong phần1.1 giới thiệu ánh xạ Fredholm mối hệ với ánh xạ Aproper Trong phần 1.2 đưa định nghĩa ánh xạ L -compact (ở L ánh xạ Fredholm) giới thiệu bậc trùng Một vài tính chất bậc trùng trình bày phần Trong phần 1.3, trình bày nhiều kết lí thuyết bậc đưa 1.2  Chương2 Bậc trùng cho ánh xạ đa trị Trong chương trình bày vài kết lí thuyết bậc Những kết lí thuyết bậc Petryshyn Fitzpatrick (1974), Mawhin (1972), Gaines Mawhin(1972), Nussbaum (1969 1971), Vainiko Sadovshii (1968) Chương gồm ba phần Phần 2.1 trình bày định nghĩa tính chất cho bậc trường vectơ compact trù mật đa trị Phần 2.2 xây dựng định nghĩa bậc trùng ánh xạ đa trị Phần 2.3 trình bày tính chất bậc đưa phần 2.2 Chương 1.BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 1.1 Ánh xạ fredholm Định nghĩa 1.1.1 Cho X Y không gian định chuẩn L : D ( L ) ⊂ X → Y ánh xạ tuyến tính Khi L gọi ánh xạ Fredholm nếu: (1) dim ( Ker ( L ) ) < ∞ (2) Im ( L ) tập đóng dim= ( Co ker ( L ) ) dim (Y / Im L ) < ∞ Mệnh đề 1.1.2 Cho X không gian Banach T : X → X ánh xạ tuyến tính bị chặn Khi dim ( Ker (T ) ) < ∞ Im(T ) tập đóng nếu, cho xn ∈ B(0,1) cho Txn → y, ( xn )∞n =1 có dãy hội tụ Chứng minh Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại kết không gian định chuẩn định lí Riesz sau: (1′ ) Một tập đóng bị chặn khơng gian hữu hạn chiều tập compact ( 2′) Định lí Riesz: Nếu khơng gian định chuẩn X có cầu B(0,1) tập compact dim ( X ) < ∞ Bây ta trở lại phần chứng minh Điều kiện đủ, ta biết từ giả thuyết { x= : Tx 0, x ≤ 1} tập compact áp có: X Ker (T ) ⊕ M dụng định lí Riesz ta có Ker ( T ) hữu hạn chiều Chúng ta= với M tập đóng X Rõ ràng , có T ( M ) = Im(T ) Từ T : M → Im(T ) đơn ánh thoả: Tx ≤ c x , ∀x ∈ M , c > o Từ suy T ( M ) tập đóng Do Im(T ) tập đóng Điều kiện cần, giả sử xn ∈ B(0,1) cho Txn → y Như trước = X Ker(T) ⊕ M , x= zn + mn với zn ∈ Ker ( T ) mn ∈ M Do Tmn → y n Tuy nhiên thu hẹp T M vào Im (T ) đơn ánh liên tục, mn → m ∈ M Nhắc lại dim ( Ker (T ) ) < ∞ , từ (1′ ) dẫn đến { x= : Tx 0, x ≤ 1} tập compact, ( xn )n =1 có dãy hội tụ Điều phải chứng minh ∞ Mệnh đề 1.1.3 Cho X không gian Banach,và T : X → X ánh xạ Frelhom tuyến tính bị chặn K : X → X ánh xạ tuyến tính compact Khi T + K ánh xạ Fredholm Chứng minh Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại vài kết sau: ( 3′) Cho X Y không gian định chuẩn T : X → Y ánh xạ tuyến tính liên tục Khi Ker (T * ) = Im (T ) Im (T ) = Ker (T * ) ⊥ ( 4′) Cho X Y ⊥ không gian Banach T : X → Y ánh xạ tuyến tính liên tục Khi T ánh xạ Fredholm T * ánh xạ Fredholm Bây ta trở lại phần chứng minh Giả sử xn ∈ B(0,1) cho (T + K ) xn → y tính compact K dẫn đến ( Kxn )n=1 có dãy ( Kxn ∞ k ) ∞ k =1 hội tụ Vì (Txnk ) ∞ k =1 hội tụ, từ mệnh đề 1.1.2 ta suy ( xn )n=1 có dãy hội tụ.Cũng từ mệnh đề 1.1.2 ta có dim ( Ker (T + K ) ) < ∞ ∞ Im (T + K ) tập đóng Vì từ ( 3′ ) dẫn đến Im (T + K = ) Ker (T * + K * ) ⊥ Nhưng từ T * ánh xạ Fredholm K * ánh xạ compact Như trước ( ( dim Ker T * + K * )) < ∞ Vậy dim ( Co ker (T + K ) ) < ∞ Từ ta kết luận T + K ánh xạ Fredholm Điều phải chứng minh Trong phần tiếp theo, nhắc lại L ánh xạ Fredholm số cho bởi: = Ind ( L ) dim ( Ker ( L ) ) − dim ( Co ker ( L ) ) Bây giờ, giả sử L ánh xạ Fredholm Khi tồn hai phép chiếu tuyến tính liên tục P : X → X , Q : Y → Y cho: Im ( P ) = Ker( L), Ker ( Q ) = Im ( L ) = Bây = có: X Ker ( L ) ⊕ Ker ( P ) , Y Im ( L ) ⊕ Im ( Q ) tổng trực tiếp đại số Rõ ràng, thu hẹp LP L từ D ( L ) ∩ Ker ( P ) vào Im ( L ) đơn ánh ánh xạ nghịch đảo K P : Im ( L ) → D ( L ) ∩ Ker ( P ) xác định Chúng ta kí hiệu K PQ : Y → D ( L ) ∩ Ker ( P ) ánh xạ nghịch đảo tổng quát L xác định = K PQ K P ( I − Q ) Để phần chứng minh phía sau thuận lợi, ta có vài nhận xét sau: = L ( I − P ) x, ∀x ∈ X (1) P ánh xạ compact LPx = 0, ∀x ∈ X hay Lx , QQ Q QLx = 0, ∀x ∈ X PP P= (2)= Mệnh đề 1.1.4 Cho X Y không gian Banach khả li , D ( L ) ⊂ X tập trù mật L : D ( L ) → Y ánh xạ Fredholm với Ind ( L= ) m ≥ Khi tồn dãy khơng gian hữu hạn chiều đơn điệu tăng ( X n )∞n =1 ⊂ D ( L ) cho ∪∞n =1 X n trù mật X , cho ( Pn )∞n =1 dãy phép chiếu tuyến tính liên tục X với Im ( Pn ) = X n n ≥ Pn x → x, ∀x ∈ X n → ∞ ( Qn )n =1 dãy phép chiếu tuyến tính liên ∞ m với n ≥ tục Y với Im ( Qn ) = Yn n ≥ cho dim ( X n ) − dim (Yn ) = Chứng minh Từ L ánh xạ Freholm, tồn hai phép chiếu tuyến tính liên tục P : X → X , Q : Y → Y cho: Im ( P ) = Ker ( L ) , Ker ( Q ) = Im ( L ) , = X Ker ( L ) ⊕ Ker ( P= ) , Y Im ( L ) ⊕ Im ( Q ) Bởi giả thuyết D( L) ⊂ X tập trù mật, chọn dãy đơn điệu tăng ( X n )∞n =1 ⊂ D ( L ) cho ∪∞n =1 X n trù mật X Ker ( L ) ⊂ X n , ∞ ( Pn )n=1 dãy phép chiếu tuyến tính liên tục X với Im ( Pn ) = X n n ≥ Pn x → x, ∀x ∈ X n → ∞ Rõ ràng, PPn P, Pn ( Ker ( P ) ) ⊂ Ker ( P ) ( I − Pn )( X ) ⊂ Ker ( P ) = Đặt Qn= Q + LPn K PQ Qn liên tục Chúng ta kiểm tra Qn = Qn với n ≥ Cuối cùng, đặt Yn = Qn (Y ) Khi có: Im ( Q ) ⊂ Qn , Qn Lx = LPn x , ∀x ∈ X dim ( X n ) − dim (Yn ) = m với n ≥ Điều phải chứng minh Trong phần tiếp, theo định nghĩa chương trình xấp xĩ phần 1.1.4 Tm = { X n , Pn , Yn , Qn } Định nghĩa 1.1.5 Cho X không gian Banach khả li, G ⊂ X tập khác rổng, Gn= G ∩ X n với n = 1, Một ánh xạ T : G → Y gọi A-proper Tm = Tn QnT : Gn → Yn liên tục xnk ∈ Gnk cho ( (x ) nk ∞ k =1 tập bị chặn ) Qnk Txnk − g → k → ∞ với g ∈ Y tồn dãy (x ) nk l với xnk → xo ∈ G cho Tx0 = g l Mệnh đề 1.1.6 Cho X Y không gian Banach khả li , D ( L ) ⊂ X tập trù mật L : D ( L ) → Y ánh xạ Fredholm với Ind ( L= ) m > Khi L A-proper Tm Chứng minh Cho xnk ∈ Gnk cho ( xnk ) ∞ k =1 bị chặn Qn ( Lxn − g ) → k → ∞ với k k g ∈ Y Chú ý Qnk= Q + LPnk K PQ , được: ( ) ( g nk = Qnk Lxnk − g = Q + LPnk K PQ )( Lx nk ) − g = Lxnk − Qg − LPnk K PQ g → Vì L ( xn − Pn K PQ g ) = g n + Qg → Qg Tuy nhiên, Im ( L ) tập đóng, k k k Qg QQg = L ( xn − Pn K PQ g ) → dẫn đến Qg ∈ Im ( L ) đó= k k 49 định lí 2.15 Từ định lí 2.15,ta có: ( ) ( ) ( ) =  ( ⋅, ) , Ω  , Ω  d  L, N d  L, N      ( ⋅,1) , Ω  = d  L, N   ( 2.68) ( 2.69 ) Và vậy: d ( L,= N ) , Ω  d ( L, N ′ ) , Ω  Điều phải chứng minh Định nghĩa 2.17 Cho X Z không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn kí hiệu ⋅ Cho x điểm X (hoặc Z ) cho A, B tập X (hoặc Z ) Khi d * ( x, A )= inf { x − a : a ∈ A} khoảng cách giửa x A định nghĩa: d * ( A, B= ) inf { a − b : a ∈ A, b ∈ B} khảng cách giửa A B Trong thực tế, d * ( x, A ) khoảng cách giửa tập A tập phần tử { x} Bổ đề 2.4 d * ( x, A ) + d * ( B , C ) ≥ d * ( x, A + C − B ) Chứng minh Nếu a ∈ A, b ∈ B c ∈ C a + c − b ∈ A + C − B với a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C , x − ( a + c − b ) ≥ d * ( x, A + C − B ) Bây giờ, x − (a + c − b) ≤ x − a + b − c Do đó, với a ∈ A, b ∈ B c ∈ C , có: d * ( x, A + C − B ) ≤ x − a + b − c Và vậy, d * ( x, A + C − B ) ≤ inf { x − a : a ∈ A} + inf { b − c : b ∈ B, c ∈ C ,} = d * ( x, A ) + d * ( B , C ) Điều phải chứng minh ( 2.70 ) ( 2.71) 50 Bổ đề 2.5 Với x ∈ domL ∩ Ω , có: ( I − M ) x =ψπ + K ( I − Q ) ( L − N ) x, ψ P Trong ψπ + K P ( I − Q ) đẳng cấu đại số giửa Z domL Chứng minh ψπ + K P ( I − Q )  ( L − N ) =ψπ + K P ( I − Q )  L − ψπ + K P ( I − Q )  N ( 2.72 ) = K P ( I − Q ) L − ψπ + K P ( I − Q )  N ( 2.28 ) ( 2.73) = K P L − ψπ + K P ( I − Q )  N ( 2.74 ) = I − P − ψπ + K P ( I − Q )  N ( 2.27 ) ( 2.75) = I − Mψ ( 2.76 ) Để chứng tỏ ψπ + K P ( I − Q ) đẳng cấu, ta xét phương trình yπ + K P ( I − Q )  z = y ( 2.77 ) Với y ∈ domL Điều dẫn đến: yπ z = Py ( 2.78) KP ( I − Q) z = ( I − P ) y ( 2.79 ) L Im ( I − Q ) , ψπ Q thu hẹp ψπ Im Q , = π Im = Bây giờ, ker song ánh từ Im Q đến ker L ( 2.78 ) dẫn đến: Qz = (yπ Q ) Py −1 ( 2.80 ) Và từ LK P = I LP = , ( 2.79 ) tương đương với: L ( I − Q ) z = L ( I − P ) y = Ly ( 2.81) Vì vậy, z = Qz + ( I − Q ) z = (yπ ) Q −1 Py + Ly ( 2.82 ) ( 2.83) 51 Do tồn nghiệm z phương trình ( 2.77 ) với y ∈ domL Do ψπ + K P ( I − Q ) đẳng cấu từ Z đến domL Điều phải chứng minh Bổ đề 2.6 Cho giả thuyết (a) đến (f) thực Nếu Mψ ( ∂Ω ) compact tương đối, tồn µ > cho: { } inf d * ( Lx, Nx ) : x ∈ ∂Ω ∩ domL ≥ m ( 2.84 ) Chứng minh Bởi giả thuyết (f), d * ( Lx, Nx ) > 0, ∀x ∈ ∂Ω ∩ domL Bây giờ, với µ > , khơng xãy Khi với số tự nhiên n tồn xn ∈ ∂Ω ∩ domL cho: d * ( Lxn , Nxn ) < n Bây giờ, d * ( xn , Myy xn ) < xn − y , ∀y ∈ M xn Sử dụng bổ đề 2.6 ý ψπ + K P ( I − Q ) ánh xạ tuyến tính liên tục từ Z đến domL , có zn ∈ Nxn , (yπ + K ( I − Q )( Lx P n − zn ) ) =xn − y với y ∈ My xn Do với zn ∈ Nxn , (ψπ + K ( I − Q )( Lx P n − zn ) ) ≥ d * ( xn , Mψ xn ) Nếu ψπ + K P ( I − Q ) =α ≥ ta có: d * ( xn , Mψ xn ) ≤ ψπ + K P ( I − Q ) Lxn − zn ( 2.85) = α Lxn − zn với zn ∈ Nxn ( 2.86 ) d * ( xn , Mψ xn ) ≤ α d * ( Lxn , Nxn ) ( 2.87 ) Do vậy, Điều phải chứng minh Định lí 2.25 Cho giả thuyết (a) đến (f) thực Nếu Mψ ( ∂Ω ) compact tương đối Cho µ > cho: { } inf d * ( Lx, Nx ) : x ∈ ∂Ω ∩ domL ≥ m Khi đó, với L - k - φ -cô đặc N ′ : Ω → CK ( Z ) thoả điều (f) điều kiện sau: { } sup d * ( Nx, N ′x ) : x ∈ ∂Ω < µ Chúng ta có: d ( L,= N ) , Ω  d ( L, N ′ ) , Ω  Chứng minh  : Ω × [ 0,1] → CK ( Z ) xác định bởi: Cho N  ( x, λ ) = N (1 − λ ) Nx + λ N ′x Ta kiểm tra điều kiện từ (i) đến (iv) định lí 2.15 thực Bây giờ, ( )  ( x, λ= d * Lx, N ) d * ( Lx, Nx − λ ( Nx − N ′x ) ) ( 2.91) 53 ≥ d * ( Lx, Nx ) − λ d * ( Nx, N ′x ) ( 2.92 ) N ′x, C λ Nx Bất đẳng thức sau có từ bổ đề 2.4 việc = đặt B λ= A =Nx − λ Nx + λ N ′x Do vậy, ( x, λ ) ∈ ( domL ∩ ∂Ω ) × [ 0,1] ,ta có: ( )  ( x, λ ) > µ − λµ ≥ d * Lx, N  thoả điều kiện cuối định lí 2.15 vậy: Điều chứng tỏ N ( ) ( ) d ( L, N= ) , Ω  d  L, N (⋅, 0= ) , Ω  d  L, N (⋅,1= ) , Ω  d ( L, N ′) , Ω  Do đó: d ( L,= N ) , Ω  d ( L, N ′ ) , Ω  Điều hải chứng minh Một định lí khái quát liên tục Tarafdar Teo định lí tồn Trong Gaines Mawhin (1977), định lí liên tục Leray-Schader mở rộng cho trường hợp bậc trùng Ở đây, Tarafdar Teo mở rộng trường hợp ánh xạ đa trị Tarafdar Teo phân chia vài định lí cho Lx ∈ Nx Định nghĩa 2.13 Xét ánh xạ F : X → CK ( X ) , X là khơng gian có số chiều khơng {0} Vì CK ( X ) chứa tập khác rổng, CK ( X ) = {{0}} F ánh xạ F ( ) = {0} Chúng ta định nghĩa d ( F , {0} , ) = bậc vẩn có tính chất bậc trường compact trù mật Chúng ta xác định d ( F , φ , ) = Định nghĩa 2.14 Cho X Z khơng gian tuyến tính định chuẩn cho L ánh xạ Fredholm với số không Cho P, Q, K p φ cho giả thuyết (e) cho Ω tập mở bị chặn X cho Ω đầy đủ Cho a > * N * : Ω × [ 0, a ] → CK ( Z ) ánh xạ đa trị Cho N thoả mản điều kiện sau: (i) N * nửa liên tục Ω × [ 0, a ] ( ) (ii) N * Ω × [ 0, a ] bị chặn 54 ( )) ( (iii) φ K p ( I − Q ) N * Ω × [ 0, a ] < ∞ (iv) Có số dương k < cho, A ⊂ Ω , ( ( )) φ K p ( I − Q ) N * Ω × [ 0, a ] < kφ ( A ) Khi N * gọi L - k - φ -cô đặc Ω × [ 0, a ] Nhận xét 2.11 Với N * định nghĩa trên, Tarafdar Teo nhận thấy với λ ∈ [ 0, a ] , N * ( ⋅, λ ) L - k - φ -cô đặc định nghĩa giả sử (c), (d) (e) Họ ý a = 1, N * thoả điều kiện đầu bốn điều kiện định lí bất biến đồng luân , định lí 2.15 Bây giờ, cho giả thuyết (a) đến (f) thực cho cặp ánh xạ L : domL → Z N : Ω → CK ( Z ) cho N * : Ω × [ 0,1] → CK ( Z ) L - k - φ -cô đặc N Ω × [ 0,1] cho N * ( ⋅,1) = Cho y ∈ Im L xét họ phương trình: Lx ∈ λ N * ( x, λ ) + y ( 2.93) Một cặp ( x, λ ) ∈ Ω × [ 0,1] thoả điều kiện ( 2.93) gọi nghiệm ( 2.93) Nếu λ định trước, x ∈ Ω thoả mản phương trình với λ gọi nghiệm Vậy nghiệm phương trình thuộc Ω Ω × [ 0,1] Bổ đề 2.7 Cho λ ∈ ( 0,1] , tập nghiệm ( 2.93) nghiệm phương trình: Lx ∈ Q + λ ( I − Q )  N * ( x, λ ) + y Và λ = , nghiệm ( 2.94 ) nghiệm ( 2.93) Chứng minh Nếu λ = , ( 2.94 ) trở thành: Lx ∈ QN * ( x, λ ) + y ( 2.94 ) 55 Nhưng Lx= ( I − Q ) Lx , điều nghĩa là: Lx ∈ ( I − Q ) QN * ( x, ) + y  = { y} Điều nghĩa Lx = y hay x nghiệm phương trình ( 2.93) với λ = Cho λ ∈ ( 0,1] cho x nghiệm phương trình ( 2.93) , tồn u ∈ N * ( x, λ ) cho: Lx = λu + y u λ −1 ( Lx − y ) ∈ Im L Dẫn đến Qu = đó, Do đó= u = ( I − Q ) u ∈ ( I − Q ) N * ( x, ) Từ đó: Q + λ ( I − Q )  u + y ∈ Q + λ ( I − Q )  N * ( x, λ ) + y Lx = + λu + y = Vậy x nghiệm phương trình ( 2.94 ) Ngược lại, cho x nghiệm phương trình ( 2.94 ) Khi tồn v ∈ N * ( x, λ ) cho: Lx =Q + λ ( I − Q )  v + y Ở đây, = QLx = Qv + λ ( I − Q ) v + Qy = Qv Do đó, Lx =Qv + λ ( I − Q ) v + y ( 2.95) = λ v + y Qv = ( 2.96 ) ∈ λ N * ( x, λ ) + y ( 2.97 ) Vậy x nghiệm phương trình ( 2.93) Định lí 2.17 (một định lí khái quát liên tục Tarafdar Teo) Cho L N ánh xạ thoả điều kiện từ (a) đến (f) cho N * là L - k - φ -cơ đặc Ω × [ 0,1] cho N * ( ⋅,1) = N Cho y ∈ Im L giả sử điều kiện sau thực hiện: (1) Lx ∉ λ N * ( x, ) + y với x ∈ ∂Ω ∩ domL, λ ∈ [ 0,1] 56 (2) ∉ π N * ( x, ) với x ∈ L−1 { y} ∩ ∂Ω ( (3) d g ( ⋅) |L −1 { y} ) , Ω ∩ Ω1 ∩ L−1 { y} , ≠ Trong vế trái biểu thức bậc Brouwer cho trường compact đơn trị g thu hẹp không gian hữu hạn chiều L−1 { y} g Ω1 định nghĩa sau: Vì Ker ( L ) khơng gian hữu hạn chiều X , −yπ N * ( ⋅ + K P y, ) xác định ( Ω − K P y )− ∩ KerL trường compact đa trị không (kết luận ∉ −yπ N * ( ⋅ + K P y, ) với x ∈ ∂ ( Ω − K P y ) ∩ KerL từ điều kiện (2)) Trong Ma (1972), phần 5.2, trình tồn trường compact đơn trị g tập mở bị chặn Ω1 ⊂ KerL chứa không cho g ( ⋅ + K P y ) −yπ N * ( ⋅ + K P y, ) đồng ( ) luân g ( x + K P y )= x + K P y, ∀x ∈ ( Ω − K P y ) \ ( Ω1 − K P y ) ∩ KerL − Ma xác định bậc trường compact đa trị −y N * ( ⋅ + K P y, ) bởi: ( d −yπ N * ( ⋅ + K P y, ) |KerL , ( Ω − K P y ) ∩ ( Ω1 − K P y ) ∩ KerL, ) = d ( g ( ⋅ + K P y, ) |ker L , ( Ω − K P y ) ∩ ( Ω1 − K P y ) ∩ ker L, ) ( 2.98) ( 2.99 ) Khi với λ ∈ [ 0,1) , phương trình ( 2.93) cố nghiệm Ω với λ = , phương trình: Lx ∈ Nx + y ( 2.100 ) Có nghiệm Ω Chứng minh Xét λ ∈ [ 0,1] cố định Mỗi x ∈ Ω, µ ∈ [ 0,1] xác định:  ( x, µ ) = Q + λµ ( I − Q )  N * ( x, λµ ) + y N  L - k - φ -cơ đặc Ω × [ 0,1] Rõ ràng N Bây xét trường hợp λ ∈ [ 0,1] Bởi điều kiện (1) bổ đề 2.7 λ ≠ thì:  ( x, µ ) với x ∈ ∂Ω ∩ domL, µ ∈ [ 0,1] Lx ∉ N 57 Và µ = λ = thì:  ( x, µ ) QN * ( x, ) + y = N  ( x, µ ) nghĩa Lx = y ∈ QN * ( x, ) x ∈ L−1 { y} Và Lx ∈ N ∈ π N * ( x, ) Do đó, giả thuyết (2), x ∉ ∂Ω Từ đó, với x ∈ ∂Ω ∩ domL, µ ∈ [ 0,1]  ( x, µ ) Lx ∉ N ( 2.101)  ( ⋅, µ ) ) , Ω  khơng phụ thuộc vào µ ∈ [ 0,1] dẫn Bởi định lí 2.15,ta có: d ( L, N  đến, ( ) ( ) ( 2.102 )  ( ⋅, ) , Ω   ( ⋅,1= d  L, N ) , Ω  d  L, N   ( ) = d  L, QN * ( x, ) + y , Ω  ( 2.103) ( = d I − P ψπ + K P ( I − Q )  QN * ( x, ) + y  , Ω,  ( ⋅,1) ) , Ω=  d ( I − P −ψπ N * ( x, ) − K P y, Ω, ) Tức là: d ( L, N  ) ( 2.104 ) ( 2.105) Chúng ta xét trường hợp (2) Thứ giả sử ker L = Khi π 0, K = P 0,= Q 0,= = L−1 từ ( 2.105 ) , có: P ( ) (  ( ⋅,1) , Ω=  d I − L−1 y, Ω, d  L, N   ) ( 2.106 ) Bây giờ, L−1 { y} = {L−1 y} khơng gian có số chiều khơng, từ điều kiện (3) thực hiện, L−1 y ∩ Ω ∩ Ω1 ≠ 0/ Từ đó, L−1 y ∈ Ω vậy, vế bên phải (2.2, 4.2) thu gọn bậc ánh xạ đơn trị I − L−1 y , có: ( ) (  ( ⋅,1) , Ω=  d I − L−1 y, Ω, d  L, N   ( = d I , Ω, L−1 y ) ) =1  ( x,1) , tức x ∈ Ω , Từ định lí 2.13, tồn x ∈ Ω cho Lx ∈ N ( 2.107 ) ( 2.108) ( 2.109 ) 58 Lx ∈ Q + λ ( I − Q )  N * ( x, λ ) + y Và bổ đề 2.7, phương trình ( 2.93) có nghiệm Ω Bây xét trường hợp ker L ≠ Bằng việc đổi biến có: ( ) ( d I − P −ψπ N * ( ⋅, ) − K P y, Ω, = d I − P −ψπ N * ( ⋅ + K P y, ) , Ω − K P y, ( 2.110 ) Vì ) ker L khơng gian hữu hạn chiều chứa ảnh P +ψπ N * , áp dụng định lí 2.2 thu được: ( d I − P −ψπ N * ( ⋅ + K P y, ) , Ω − K P y, ) ( 2.111) ( = d  I − P −ψπ N * ( ⋅ + K P y, )  |ker L , ( Ω − K P y ) ∩ ker L, ( = d −ψπ N * ( ⋅ + K P y, ) |ker L , ( Ω − K P y ) ∩ ker L, ) ) ( 2.112 ) ( 2.113) = d ( g ( ⋅ + K P y, ) |ker L , ( Ω − K P y ) ∩ ( Ω1 − K P y ) ∩ ker L, ) ( 2.114 ) Biểu thức cuối có từ định nghĩa Bằng việc đổi biến trở lại, d ( g ( ⋅ + K P y,0 ) |KerL , ( Ω − K P y ) ∩ ( Ω1 − K P y ) ∩ KerL, ) ( = d g ( ⋅) |L−1 y , Ω ∩ Ω1 ∩ L−1 y, ) ≡/ điều kiện (3) ( 2.115) ( 2.116 ) ( 2.117 ) Do vậy, từ ( 2.105 ) , ( 2.110 ) , ( 2.111) ,và ( 2.115 ) có: d ( L, N ( ⋅,1) ) , Ω  ≠ Và trở lại, kết luận từ định lí 2.13 2.15 phương trình ( 2.93) có nghiệm Ω Bây giờ, cho λ = , phương trình ( 2.93) trở thành: Lx ∈ Nx= + y N * ( x,1) + y Nếu với x ∈ ∂Ω ∩ domL , ( 2.93) khơng xãy ra,  ( x, µ ) với Lx ∉ N x ∈ ∂Ω ∩ domL µ ∈ [ 0,1] lập lại chứng minh Tuy nhiên có x ∈ ∂Ω ∩ domL cho Lx ∈ Nx + y , tồn nghiệm x ∈ ∂Ω ∩ Ω 59 Vì phương trình ( 2.93) ln có nghiệm Ω Điều phả chứng minh Định lí 2.18 Cho X không gian Banach Z không gian tuyến tính định chuẩn cho L ánh xạ Fredholm với số không từ không gian X Z  : Ω × [ 0,1] → CK ( Z ) L - k - φ -cô Cho Ω tập mở bị chặn X cho N đặc Ω × [ 0,1] Nếu λ ∈ [ 0,1] x ∈ ∂Ω ∩ domL , có:  ( x, µ ) Lx ∉ N  ( ⋅, λ ) ) , Ω  ≠ với λ ∈ [ 0,1] , phuơng trình: Và d ( L, N 0   ( x, µ ) Lx ∈ N ( 2.118) Có nghiệm Ω Chứng minh Bởi định lí 2.15, λ ∈ [ 0,1] ,ta có:  ( ⋅, λ= d  L, N ) , Ω  d  L, N (⋅, λ0 ) , Ω  ≠ Và định lí 2.13, phương trình:  ( x, µ ) Lx ∈ N Có nghiệm Ω Hệ 2.18.1 (Mở rộng định lí Borsuk) Cho X khơng gian Banach Z khơng gian tuyến tính định chuẩn cho L ánh xạ Fredholm với số không từ không gian X Z Cho Ω tập mở bị chặn X , lân cận cân đối điểm gốc chứa  : Ω × [ 0,1] → CK ( Z ) L - k - φ -cơ đặc Ω × [ 0,1] Giả sử rằng, với Cho N  ( x, ) Khi phương trình ( 2.94 ) có nghiệm Ω với  ( − x, ) = −N x ∈ Ω, N λ ∈ [ 0,1] Chứng minh 60 Từ định lí 2.14 d ( L, N ( ⋅, ) ) , Ω  số lẽ khác khơng Và từ định lí trước ta có kết Hệ 2.18.2 (Mở rộng định lí Krasnoselkii) Cho X không gian Banach Z không gian tuyến tính định chuẩn cho L ánh xạ Fredholm với số không từ không gian X Z Cho Ω tập mở bị chặn X , lân cận cân đối điểm gốc chứa Cho N : Ω → CK ( Z ) L - k - φ -cô đặc Ω cho với x ∈ ∂Ω ∩ domL λ ∈ [ 0,1] , có: ( L − N ) x  ∩ λ ( L − N )( − x )  = 0/ ( 2.119 ) Khi đó, phương trình: ( 2.120 ) Lx ∈ Nx Có nghiệm Ω Chứng minh  : Ω × [ 0,1] → CK ( Z ) cho bởi: Xác định N −1  ( x, λ ) =+ N (1 λ )  Nx − λ N ( − x )  L - k - φ -cơ đặc Ω × [ 0,1] Bây Chúng ta kiểm tra N  ( x, ) = Nx Và N  ( x,1) = ( Nx − λ N ( − x ) ) hàm lẽ Chúng ta khẳng định N Lx ∉ N ( x, λ ) với λ ∈ [ 0,1] x ∈ ∂Ω ∩ domL Giả sử trái lại, có λ ∈ [ 0,1] x ∈ ∂Ω ∩ domL cho: (1 + λ ) Lx ∈ Nx − λ N ( − x ) Khi có u ∈ Nx, v ∈ N ( − x ) cho: u − λ v (1 + λ ) Lx = Lx −= u λ ( L (−x) − v) Điều mâu thuẩn ( 2.119 ) Do điều kiện định lí 2.18 thực có x ∈ Ω cho: 61  ( x, ) = Lx ∈ N Nx Và phương trình ( 2.120 ) có nghiệm Ω Điều phải chứng minh Nhận xét 2.20 Nếu N : Ω → Z đơn trị, d ( L, N ) , Ω  bao hàm bậc trùng Mawhin Nếu X = Z N ánh xạ compact trù mật, định lí bậc trùng trở bậc Petryshyn Fitzpatrick (1974) 62 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết hệ thống việc xây dựng bậc trùng cặp ánh xạ, tìm hiểu tính chất nêu ứng dụng ban đầu bậc tìm hiểu phương trình tốn tử,phương trình vi phân Việc thực đề tài giúp học viên tìm hiểu sâu kiến thức học Giải Tích Hàm,Giải Tích Thực, Giải Phi Tuyến ,Phương Trình Vi Phân, thấy rỏ mối liên hệ giửa chúng, biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo tiếng Việt “ Bậc Trùng Của Cặp Ánh Xạ” cho học viên chun nghành Tốn Giải Tích 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO K.Deimling (1985) , Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag D.O’Regan,Y.J.Cho,Y.q.Chen (2006) , Topological Degree Theory And applieations, Chapman & Hall/CRC E.Tarafdar,M.Chowdthyry (2008), opological Methods Set-Valued Nonlinear Analysis, World Scientific W V Petryshyn and P M Fitzpatrick (1974) , A Degree Theory,Fixed Point Theorems,And Mapping Theorems For Multivalued Noncompact Mappings Transactions of Amarican Mathematical Society Volum 194 ... Chương BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 1.1 Ánh xạ fredholm .3 1.2 Bậc trùng cho ánh xạ L -compact 10 1.3 Định lí tồn nghiệm cho phương trình tốn tử 18 Chương BẬC TRÙNG... compact trù mật đa trị Phần 2.2 xây dựng định nghĩa bậc trùng ánh xạ đa trị Phần 2.3 trình bày tính chất bậc đưa phần 2.2 3 Chương 1.BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 1.1 Ánh xạ fredholm Định nghĩa... L ánh xạ Fredholm với số 1.2 .Bậc trùng cho ánh xạ L -compact Trong phần , xác định bậc trùng cho ánh xạ L -compact trình bày vài chất bậc trùng Định nghĩa 1.2.1 Cho L : D ( L ) ⊂ X → Y ánh xạ