vectơ riêng dương của một số ánh xạ tuyến tính dương

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH Trn Huy V VECT RIấNG DNG CA MT S NH X TUYN TNH DNG LUN VN THC S TON HC Thnh Ph H Chớ Minh - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH Trn Huy V VECT RIấNG DNG CA MT S NH X TUYN TNH DNG Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó S : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS TRN èNH THANH Thnh Ph H Chớ Minh - 2012 MC LC MC LC Li cm n Phn m u Phn ni dung chớnh Chng VECT RIấNG DNG CA NH X COMPACT DNG 1.1 Khụng gian Banach cú th t 1.2 Vecto riờng dng ca ỏnh x compact dng Chng VECT RIấNG DNG CA NH X LIấN HP .17 2.1 nh x b chn, liờn tc theo nún 17 2.2 Cỏc nh lớ v s tn ti vect riờng dng ca ỏnh x liờn hp 18 Chng S DUY NHT CA VECT RIấNG DNG 42 Chng VECT RIấNG DNG CA NH X TUYN TNH DNG KHễNG COMPACT 57 Phn kt lun 68 TI LIU THAM KHO 69 Li cm n Li u tiờn bn lun ny, tụi trõn trng gi n Thy TS Trn ỡnh Thanh ó tn tỡnh hng dn v giỳp tụi hon thnh lun vn, lũng bit n sõu sc Xin chõn thnh t by lũng bit n chõn thnh n Thy PGS.TS Nguyn Bớch Huy ó dnh thi gian quý bỏo ca mỡnh giỳp , úng gúp nhiu ý kin cho lun ca tụi Xin chõn thnh cm t quý Thy, Cụ khoa Toỏn Tin hc Trng i Hc S Phm, Trng i Hc Khoa Hc T Nhiờn, Thnh Ph H Chớ Minh ó tn tỡnh ging dy, truyn t kin thc v h tr t liu cho tụi sut thi gian hc Tip n xin chõn thnh cm t quý Thy, Cụ thuc Phũng Qun Lý Khoa Hc Cụng Ngh - Sau i hc, Trng i Hc S Phm Thnh Ph H Chớ Minh ó giỳp , ng viờn, to mi iu kin thun li v th tc hnh chớnh cho tụi sut quỏ trỡnh hc Sau cựng, xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng Trung Hc Ph Thụng Bỡnh Phỳ ó to iu kin thun li cho tụi c tham d lp Cao hc ti Trng i Hc S Phm, Thnh Ph H Chớ Minh Xin gi li tri õn tt c cỏc bn bố ng nghip, cỏc bn cựng lp Cao hc Gii tớch khúa 21, cựng gia ỡnh ó ng viờn quan tõm n tụi quóng thi gian hc v lm lun Thnh ph H Chớ Minh, thỏng 10 nm 2012 Hc viờn, Trn Huy V Phn m u Vect riờng, giỏ tr riờng ca cỏc ỏnh x tuyn tớnh úng vai trũ quan trng Lý thuyt v phng trỡnh vi phõn, Tớch phõn, Gii tớch hm, i s, c bit vect riờng dng v giỏ tr riờng dng ca mt ỏnh x tuyn tớnh dng khụng gian Banach cú th t tỡm c cỏc ng dng quan trng nhiu lnh vc ca khoa hc v k thut hin i nh Lý thuyt iu khin, Lý thuyt ti u, Lý thuyt v cỏc lũ phn ng, S tn ti vect riờng dng vi giỏ tr riờng dng tha mt s tớnh cht c bit ca ma trn dng c Perron chng minh vo nm 1907 Kt qu tng t c Entz m rng cho toỏn t tuyn tớnh vi hch dng vo nm 1912 Cỏc kt qu riờng bit cho ma trn dng v toỏn t tớch phõn dng ó c Krein v Rutman tng quỏt húa cho ỏnh x tuyn tớnh compact dng mnh khụng gian Banach vi th t sinh bi nún nhng nm 1940 T ú n s tn ti vect riờng dng tip tc c nghiờn cu cho nhiu lp toỏn t rng hn lp toỏn t compact dng mnh cú th ng dng vo cỏc bi toỏn thc tin ca khoa hc v k thut Cỏc kt qu v tn ti vect riờng dng ca cỏc ỏnh x c nghiờn cu bi nhiu tỏc gi bng cỏc phng phỏp khỏc trờn nhiu bi bỏo v sỏch chuyờn kho Lun ny c trỡnh by sau thu thp cỏc ti liu cú liờn quan n ti, nghiờn cu chỳng Cỏc kt qu c trỡnh by mt h thng khoa hc thng nht vi cỏc chng minh chi tit Phn ni dung chớnh Ni dung bn lun bao gm bn chng: Chng Nhc li cỏc kin thc v nún khụng gian Banach cú th t v s tn ti vecto riờng dng ca ỏnh x compact dng Chng Trỡnh by s tn ti vecto riờng dng ca ỏnh x liờn hp Chng Gii thiu v im ta trong, nún Minihedral v s nht ca vecto riờng dng Chng Trỡnh by v vecto riờng dng ca ỏnh x tuyn tớnh dng khụng compact Chng VECT RIấNG DNG CA NH X COMPACT DNG 1.1 Khụng gian Banach cú th t Cỏc kin thc chun b c nờu di õy vi cỏc chng minh chi tit, c trớch t [1] ca PGS.TS Nguyn Bớch Huy nh ngha 1.1 Cho X l khụng gian Banach trờn trng s thc, K khụng gian X c gi l nún nu nh: i) K l úng, K ii) K+K K K K , iii) K ( K ) ={ } Nu K l nún thỡ th t X sinh bi nún K c nh bi x y y x K Mi x K \ { } c gi l phn t dng Mnh 1.1 Gi s " " l th t sinh bi nún Khi ú: a) Nu x y thỡ x + z y + z , z X x y, b) Nu xn yn , n * ,lim = xn x,lim = yn y thỡ x y c) Nu {xn } l dóy tng, hi t v x thỡ xn x, n * nh ngha 1.2 Nún K c gi l nún chun nu N > : x y x N y Mnh 1.2 Gi s " " l th t sinh bi nún chun K Khi ú: 1) Nu u v thỡ on u , v := {x X : u x v} b chn theo chun 2) Nu xn yn zn , n * ,lim = xn a,lim = zn a thỡ lim yn = a 3) Nu {xn } l dóy n iu, cú dóy hi t v a thỡ lim xn = a nh ngha 1.3 Nún K c gi l nún chớnh qui ( X , ) nu mi dóy tng v b chn trờn (hay mi dóy gim v b chn di) thỡ hi t Mnh 1.3 Nún chớnh quy l nún chun nh ngha 1.4 Nún K c gi l nún sinh nu X= K K , hay x X , u , v K : x = u v Mnh 1.4 Nu K l nún sinh thỡ tn ti s M > cho: x X , u , v K : x = u v v u M x , v M x nh ngha 1.5 Nu K l nún ta khụng gian Banach X thỡ ta nh ngha nún liờn hp ca K l K *= { f X * : f ( x) 0, x K } Mnh 1.5 x0 K f ( x0 ) 0, f K * 1.2 Vecto riờng dng ca ỏnh x compact dng Nhc li: nh x tuyn tớnh : X X c gi l ỏnh x compact (hon ton liờn tc) nu B l qu cu n v úng X thỡ ( B ) l compact tng i X Nu dim ( X ) < + thỡ l ỏnh x compact tha ( I ) l song ỏnh tuyn tớnh t X vo X thỡ c gi l giỏ tr chớnh quy ca ỏnh x Tp gm cỏc giỏ tr chớnh qui ca c gi l gii ca , ký hiu l ( ) Tp ( ) = \ ( ) c gi l ph ca = S r ( ) sup{ : ( )} c gi l bỏn kớnh ph ca K l giỏ tr riờng ca ca nu cú vecto x X cho: ( x ) = x, v ta cng núi x l vecto riờng ca ng vi giỏ tr riờng Nu l giỏ tr riờng ca thỡ ( ) Khụng gian Banach thc X cú th t sinh bi nún K Mt ỏnh x tuyn tớnh : X X c gi l ỏnh x dng nu x thỡ ( x) , v ta cng núi x l vecto riờng ca ng vi giỏ tr riờng nh lớ 1.1 Cho khụng gian Banach X cú th t sinh bi nún K nh x :X X l ỏnh x tuyn tớnh, compact, dng v: u0 = v w; v, w K , v ; p * , > cho p (u0 ) u0 p Khi ú cú K vect riờng vi giỏ tr riờng Chng minh Xột ỏnh x n : K B (0,1) K B (0,1), v n n ( x) = v ( x) + n ( x) + n xỏc nh vỡ: n ( x) = ( x) + v v v v = ( x) ( x) + n ( x) n n n n Ngoi n compact bi ta ly dóy {uk }k b chn thỡ {uki }i cho { (uki )}i hi t Do ú {n (uki )}i cng hi t Theo nh lớ im bt ng Schauder thỡ ỏnh x n cú im bt ng, tc l: xn K : n ( xn ) = xn , xn = v n =x , x = xn K : t n n n = v ( xn ) + n ( xn ) + v xn ) + xn K , n > : (= n x= n , xn n p Chng minh n ( xn ) + v > , lỳc ú ta cú: n T n xn = ( xn ) + v v u v , nờn xn n n n n n n Gi tn l s ln nht tha xn tnu0 thỡ tn Ta cú n xn = ( xn ) + v ( xn ) n > n n suy xn n ( xn ), t õy suy 1 ( xn ) A( xn ) ( xn ) = ( xn ), nờn ta cú xn ( xn ) = n n n n n tip tc quỏ trỡnh ny ta cú xn np p ( xn ), p * (1.1) Theo tớnh n iu ca ỏnh x dng cho ta: xn tnu0 tn (u0 ) ( xn ) (tnu0 ) = ( xn ) tn (u0 ) p ( xn ) tn p (u0 ) T (1.1) v (1.2) suy xn p dn n n Ta cú n = ( xn ) + (1.2) tn tn tn n n np p (u0 ) p u0 nờn tn p , (1.3) { } v nờn {n } b chn, ú ta cú xnk {n }n cho: k n p lim nk= (do (1.3)) k Mt khỏc compact v { ( x )} hi t v nk i i y X {xnk }k { } { } b chn nờn xnk xnk cho k i i 55 ( x0 ty0 ) = ( x0 ) t ( y0 ) = x0 t0 y0 = ( x0 ty0 ) M l khụng phõn tớch c nờn x0 ty0 l im ca K Do ú: > : x0 ty0 y0 x0 ( t + ) y0 iu ny mõu thun vi tớnh ln nht ca t Chng minh tớnh n ca Gi s n0 > 1, z0 K \ { } cho ( I )n0 ( z0=) , ( I ) n0 (z ) 0= v0 Ta cú (v0 ) = 0v0 Tng t chng minh Trng hp 3, nh lớ 3.7, ta cú iu mõu thun Do ú x0 l vect riờng nht v l giỏ tr riờng n ca nh lớ 3.9 Gi s rng l u0 _khụng phõn tớch c v u0 _b chn trờn X cú vect riờng K l x0 tng ng giỏ tr riờng Khi ú, l giỏ tr riờng n ca Chng minh ( x0 ) x0 , x0 K \ { } nờn x0 K [u0 ] Do l u0 _khụng phõn tớch c v = Do ú > : x0 u0 Chng minh khụng cú vect riờng khỏc x0 Tht vy, gi s rng y0 tx0 cho ( y0 ) = y0 Ta cú th coi y0 K Do l u0 _b chn trờn X nờn: 0n y n , > : ( y0 ) u0 x0 ( y0 ) = * n n 0n > 0, v x0 ty0 (do tx0 y0 ) Ta Gi t l s ln nht tha x0 ty0 thỡ t cú: ( x0 ty0 ) = x0 t0 y0 = ( x0 ty0 ) 56 0m y , dn n V l u0 _khụng phõn tớch c nờn > : x0 ty0 u0 0m x0 t + y0 Mõu thun tớnh ln nht ca t Chng minh tớnh n ca Gi s n0 > 1, z0 K \ { } cho ( I )n0 ( z0 ) = , ( I )n0 ( z0 ) = v0 Ta cú (v0 ) = 0v0 , nờn theo chng minh trờn thỡ v0 = tx0 t w0 = w0 ) w0 + x0 ( I )n0 ( z0 ) , ta cú (= t Nhn xột , w0 K Tht vy, nu w0 K thỡ n ( w0= ) n w0 + n0n 1x0 , n Suy w0 + x0 nờn x0 (cho n +) iu ny vụ lý, nờn w0 K n Do l u0 _b chn trờn X nờn p * , > : p ( w0 ) u0 Do ú: w0 ( w0 ) 0p p ( w0 ) 0p Khi ú x0 u0 ( w0 ) w0 p Gi t l s ln nht tha x0 tw0 thỡ t 0p > 0, v x0 ty0 (do tx0 y0 ) t t Ta cú x0 = ( x0 ) ( w0 ) = (0 w0 + x0 ) , t õy suy : 0 t2 x0 tw0 + x tw0 + w0 = t + w0 0 t t2 iu ny mõu thun vi tớnh ln nht ca t Vy l giỏ tr riờng n ca 57 Chng VECT RIấNG DNG CA NH X TUYN TNH DNG KHễNG COMPACT nh ngha 4.1 Cho nún K 1, q ( 0,1] Ta nh ngha: 1) u K , u = K q (u ) = {x K : x q x u} 2) u K \ { }, Ta nh ngha: Ku , = {x K : > 0, u x u} nh lớ 4.1 Gi s rng: 1) tuyn tớnh dng, liờn tc, ( K ) K q (u0 ) v (u0 ) 2) > cho t ( x) + u0= x, x K \ { } suy ( x) x u0 Khi ú cú vect riờng ng vi giỏ tr riờng Chng minh t m 1(u0 ) hoọi tuù inf > : = m m =1 u0 Do ( u0 ) K q (u0 ) , nờn ( u0 ) q ( u0 ) u0 := ( 0, ] thỡ Do ú d > : m m m (u0 ) m m u0 u0 , m (u0 ) d , m Suy chui Dn n Ta chng minh m=0 m m=0 m m 1(u0 ) phõn k m 1(u0 ) hi t > 58 Tht vy, xột > Do nh ngha , ( 0, ) cho m m = m 1(u0 ) hi t l > : 1m m 1(u0 ) l, m m (u0 ) = Khi ú Nờn m m =1 m t xn ( ) = ( xn ( ) ) = 1m m m m (u0 ) l , m m 1(u0 ) hi t, > m =1 m m m =1 m 1( m ( u0 u0 n n ), ( , + ) , n thỡ ) u xn ( ) suy ( xn ( )) xn ( ) u0 Nờn ( xn ( ) ) + = n Ta cú: lim xn ( ) = (1) + lim xn ( ) = (2) nh x xn ( ) liờn tc trờn ( , + ) (3) Chng minh (1): Xột > , Do ú, m =1 m m m 1(u0 ) hi t nờn L > : (u0 ) = m m m m m m m (u0 ) L (u0 ) L, m 59 L m u0 xn ( ) = ( ) m n n = m 1= m m L = n L = lim xn ( ) = n + Chng minh (2) Gi s trỏi li {k } gim, lim k = cho xn (k ) M , k k 1 m u0 K q (u0 ) nờn { xn (k )} tng m m n m =1 k +1 k Do xn (k +1 ) xn (k= ) V K q (u0 ) l nún hon ton chớnh quy nờn tn ti lim xn (k ) = x0 k u u x0 , nờn: k xn (k ) ta cú ( x0 ) + = Qua gii hn ( xn (k ) ) + = n n 1 ( x0 ) Vy x0 ( x0 ) + ( x0 ), x0 n x ( x0 ) x0 u0 u0 nờn: ( x0 ) + n x x := ' x0 vi ' < Chn ( ', ) Do u0 n0 x0 nờn: m m (u0 ) m n0 m ( x0 ) m n0 ' m n ' = m ( x0 ) (vi " " l th t sinh bi nún K q (u0 ) ) Do ú N > : Chui m =1 m m m n ' (u0 ) N 20 m2 ( x0 ) , m m 1(u0 ) hi t, vi < Mõu thun vi chng minh trờn 60 Vy lim xn ( ) = Chng minh (3): Xột ( , + ) Chn 1, cho < < < Ta cú: m u0 = ( ) n m T õy suy m u0 = ( ) n 2m m m =1 m 1( u0 n Nờn vi > 0, m0 > cho m 1m m m u ( ) H , > n ) hi t > = m m0 +1 m m 1( u0 n ) < , > Chn > 0, < cho < ta cú: m0 m =1 m m ( u0 n ) m0 m =1 m m 1( u0 n ) < Do ú < ta cú xn ( ) xn ( ) < nờn xn liờn tc theo bin Vy hm xn ( ) tha (1),(2),(3) nờn n ( , + ) : xn (n ) = u n xn ,lỳc ú: t xn = xn (n ) ta cú ( xn ) + = n n + u0 , n {n } b chn nờn cú dóy hi t, nờn cú th coi n (do n ) { xn }n l dóy Cauchy theo u0 _chun, x u= inf{ > : u0 x u0 } Tht vy: xn = u0 u0 1 ( xn ) + xn u0 + ( + 1) u0 := u0 n n n n Ngoi cũn cú ( xn ) 1 ( u0 ) > (do xn u ) v: nn nn 61 ( x= n) n xn u0 n n xn u0 n u0 n > , n n0 ( ) Nờn, a > : xn a, n Do ú : xn = u0 1 q.a q ( xn ) u0 u := u0 ( xn ) + n n n + u0 Vy u0 xn u0 , dn n xn , vỡ th cho nờn u0 { x } l dóy s b n u chn nờn cú dóy hi t Cú th coi xn u b Bõy gi gi s trỏi li, {xn } khụng l dóy Cauchy theo u0 _chun Khi ú > cho m, n : xn xm u > , t õy suy mt hai bt ng thc sau khụng ỳng 0u0 xn xm 0u0 Gi s 0u0 xn xm khụng ỳng thỡ xn < xm 0u0 < xm x m (do xm < u0 ) Nờn xn < xm Gi t l s ln nht tha xn txm thỡ: txm xn < xm t u0 xn u0 , n t > Do ú t 0,1 , nờn: xn txm xn t xm + + 0= Mt khỏc: (do xn= xm 1) 62 ( xn txm )= n xn u0 u t m xm n m 1 m xn txm n m xn + u0 n m 1 0 n m + u0 0 n m Vi n,m ln Cho nờn ( xn txm ) q ( xn txm ) u0 q0 u0 Do ú: u0 t u0 ( xn ) + ( xm ) + n n m m txm xn= = t u0 u0 ( xn txm ) + ( xn ) + mm m n m nn ( q0 1 u0 u0 0u0 m0 n m + u0 ) Nờn xn txm t ' u0 (khi m,n ln, t>0) T õy suy ra: xn txm + t ' u0 txm + t ' xm = t + t ' xm Mõu thun tớnh ln nht ca t.Vỡ th nờn lim m, n xn xm u0 = Theo nh ngha chun u , ta cú: xn xm u u0 xn xm xn xm ( xn xm ) + xn xm u0 ( u0 ) xn xm ( xn xm ) (2 N + 1) xn xm Vy lim m, n u u0 u0 ( u0 ) Khi ú: ( xn ) ( xm ) = u0 ( u0 ) 63 u0 u0 ( xn ) + ( xm ) + n n m m xm xn= = Cho nờn n ( ( xn ) ( xm ) ) + lim m, n n u0 u0 ( xm ) + m mm nn xn xm = Do ú {xn } l dóy Cauchy nờn hi t = xn x0 , x0 (do xn = ) T ú x0 lim n u n xn , ta c = Qua gii hn ( xn ) + = ( x0 ) x0 , x0 n Vy x0 l vect riờng dng ca nh lớ 4.2 Vi cỏc gi thit ca nh lớ 4.1 thỡ cú K vect riờng x0 ng vi giỏ tr riờng x0 ng vi giỏ tr riờng: m 1(u0 ) hoọi tuù inf > : = m m =1 Chng minh = Theo nh lớ 4.1, ta cú ( x0 ) x0 , x0 Ta chng minh Tht vy, gi s trỏi li > , nh ngha ta cú: < : m =1 m m 1(u0 ) hi t (*) Do u0 xn u0 , n v lim xn = x0 , dn n x0 u0 , nờn u0 n m m d > : (u0 ) m 1 m m m 1(u0 ) > d ( x0 ) = m x0 x0 x0 Khi ú: 64 Dn n chui m =1 m m 1(u0 ) phõn k Mõu thun vi (*) Do ú Suy = , ( x0 ) = x0 Vy l giỏ tr riờng tng ng vect riờng x0 ca nh lớ 4.3 Gi s rng: 1) tuyn tớnh dng, liờn tc, ( K ) K q (u0 ) v (u0 ) > 2) l u0 _b chn trờn trờn K Khi ú s inf > : m 1(u0 ) hoọi tuù = m m =1 l giỏ tr riờng ca tng ng vect riờng K Chng minh Ta cú iu kin 1) ca nh lớ 4.1 c tha Ta chng minh iu kin 2) ca nh lớ 4.1 cng c tha Do l u0 _b chn trờn trờn K nờn n0 , : n0 ( x) x u0 , x K Núi riờng n0 (u0 ) u0 u0 = 0u0 Mt khỏc, ( u0 ) K q (u0 ), ú: ( u0 ) q ( u0 ) u0 T õy suy ra: ( u0 ) q ( u0 ) ( u0 ) q ( u0 ) u0 n0 ( u0 ) q n0 ( u0 ) n0 ( u0 ) q n0 ( u0 ) n0 u0 n n Dn n q n0 ( u0 ) u0 q n0 ( u0 ) ( u0 ) n0 ( u0 ) 0u0 Do ú u0 ( u0 ) u0 , , l cỏc s dng x , ta cú: Xột x > tha ( x ) + u0 = 65 x = = u0 + u0 + ( x) 1 u0 + ( x) = 1 = u0 + t yn := ( u0 ) + + u0 + m ( u0 ) m ( u0 ) + + + m ( x) m m ( u0 ) m x v y1 y2 Do K q (u0 ) hon ton chớnh quy nờn { yn }n hi t, hay m =1 m m 1(u0 ) hi t Do ú Gi d l s dng tha: z u0 z d Ta cú x u0 x d Do ú: 1 ( x ) = ( u0 ) + ( u0 ) + + n0 ( u0 ) n0 + n0 ( x ) n0 1 n0 + + + n u0 + n x u0 0 0 n0 x x u0 + + + n u0 + n 01 x u0 := 0 d 0 Nh th thỡ iu kin 2) ca nh lớ 4.1 c tha món.Vy l giỏ tr riờng ca tng ng vect riờng dng x0 nh lớ 4.4 Gi s rng: 1) tuyn tớnh dng, liờn tc, ( K ) K q (v) 2) l u0 _b chn trờn trờn K 3) p * , > : p (v) u0 66 Khi ú s inf > : m 1(u0 ) hoọi tuù = m m =1 l giỏ tr riờng ca tng ng vect riờng dng Chng minh Do ( K ) K q (v) ,nờn ( x ) q ( x ) v, x K T õy suy ra: p +1 ( x) q ( x) p (v) q q p +1 ( x ) u0 u ( x ) u0 = p ( x) p +1 ( x ) q0 p +1 ( x )= u , vi q0 q u0 = ,u p ( x) u0 u0 u0 Chn q1 : < q1 < Min {1, q0 } , ta cú p +1 ( K ) K q1 (u ) Do l u0 _b chn trờn, nờn : n0 * , > : n0 ( x) x u0 , x K ( ) ( p +1) n0 ( x) = n0 pn0 ( x) pn0 ( x) u0 pn0 x u0 := x u0 Do ú p+1 l u0 _b chn trờn Ta chng minh p +1 (u ) > Do p (v) u0 , nờn (v) ,vỡ th nờn: (v) q (v) v := v n (v) nv, n Mt khỏc n0 (v) v u0 , dn n u0 v n0 (v) n0 n0 v= v v Do ú: p +1 n0 1 p +1 p +1 (u ) = (u0 ) u0 u0 v > Vy p+1 tha cỏc iu kin ca nh lý 4.3, nờn: y0 > : p +1 ( y0 ) = à0 y0 Vi à0 inf > : p +1 = m m =1 ( ) m (u0 ) hoọi tuù 67 Ta chng minh à0 = 0p +1 Tht vy: Nu m 1(u0 ) hi t, thỡ > ta cú m m =1 m =1 ( ) p +1 m ( p +1 ) m (u) hi t Do ú à0 0p +1 Ngc li, nu hi t, thỡ > à1 ta cú: Cỏc chui m =1 ( p +1 Nờn chui m =1 à m p +1 ) m ( p +1) m sp p +1 ( p +1 ) m s (u0 ) hi t (vi s = 0,1, 2, , p ) (u0 ) cng hi t Cho nờn p +1 à0 , à0 0p +1 Qua ú rỳt c à0 = 0p +1 x0 0p y0 + 0p ( y0 ) + + p ( y0 ) thỡ x0 > v: Ta t= = ( x0 ) 0p ( y0 ) + 0p ( y0 ) + + p +1 ( y0 ) ( = 0p y0 + 0p ( y0 ) + + p ( y0 ) ) = x0 Vy l giỏ tr riờng tng ng vect riờng dng ca dn n 68 Phn kt lun Qua lun ny, bn thõn tụi cm thy mỡnh ó tht s lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc mt cỏch nghiờm tỳc v cú h thng Tụi cng ó hc c phng phỏp nghiờn cu vic c cỏc ti liu v tho lun nhúm.Bn thõn cng ó hc c cỏch dng cỏc k thut chng minh t cỏc lnh vc nh: Gii tớch phi tuyn, Gii tớch hm, Tụpụ i cng, vo khụng gian cú th t Mong rng lun ny s l mt ti liu tham kho phc v chuyờn : Phng trỡnh khụng gian cú th t Tuy nhiờn ang giai on bc u nghiờn cu khoa hc nờn s khú trỏnh thiu sút, rt mong c s h tr ch bo t quý Thy, Cụ v ngoi hi ng cựng s úng gúp chõn thnh ca cỏc bn bố, ng nghip 69 TI LIU THAM KHO 1- Nguyn Bớch Huy, Giỏo trỡnh Gii tớch phi tuyn , HSP.TpHCM, 2010 2- K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer - Verlag, 1985 3- Krasnoselskii, Positive solutions of Operator equations, P.Noorhoff, Groningen, 1964 4- M Krein, A Rutman, Linear Operators leaving invariant a cone in a Banach Space, Amer Math Soe Transl.10 (1962) pp.199-325 5- I A Bakhtin, Nghim dng ca cỏc phng trỡnh tuyn tớnh ( bn ting Nga), Giỏo trỡnh chuyờn , HSP Vononez, 1990 ... Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự 1.2 Vecto riêng dương ánh xạ compact dương Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN HỢP .17 2.1 Ánh. .. Ánh xạ bị chặn, liên tục theo nón 17 2.2 Các định lí tồn vectơ riêng dương ánh xạ liên hợp 18 Chương SỰ DUY NHẤT CỦA VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 42 Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... Vectơ riêng, giá trị riêng ánh xạ tuyến tính đóng vai trò quan trọng Lý thuyết phương trình vi phân, Tích phân, Giải tích hàm, Đại số, … Đặc biệt vectơ riêng dương giá trị riêng dương ánh xạ tuyến