Vector riêng dương của một số ánh xạ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Huy Vũ VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯƠNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Huy Vũ VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC T 30T Lời cảm ơn T 30T Phần mở đầu T 30T Phần nội dung T 30T Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG T 1.1 Không gian Banach có thứ tự T T 1.2 Vecto riêng dương ánh xạ compact dương T T Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN HỢP .17 T 2.1 Ánh xạ bị chặn, liên tục theo nón 17 T T 2.2 Các định lí tồn vectơ riêng dương ánh xạ liên hợp 18 T T Chương SỰ DUY NHẤT CỦA VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 42 T Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG T KHƠNG COMPACT 57 Phần kết luận 68 T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 T 30T Lời cảm ơn Lời luận văn này, tơi trân trọng gởi đến Thầy TS Trần Đình Thanh tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn, lịng biết ơn sâu sắc Xin chân thành tỏ bày lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy dành thời gian quý báo để giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến cho luận văn Xin chân thành cảm tạ q Thầy, Cơ khoa Tốn – Tin học Trường Đại Học Sư Phạm, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức hỗ trợ tư liệu cho suốt thời gian học tập Tiếp đến xin chân thành cảm tạ q Thầy, Cơ thuộc Phịng Quản Lý Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành cho tơi suốt trình học tập Sau cùng, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung Học Phổ Thơng Bình Phú tạo điều kiện thuận lợi cho tham dự lớp Cao học Trường Đại Học Sư Phạm, Thành Phố Hồ Chí Minh Xin gửi lời tri ân tất bạn bè đồng nghiệp, bạn lớp Cao học Giải tích khóa 21, gia đình động viên quan tâm đến tơi qng thời gian học tập làm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012 Học viên, Trần Huy Vũ Phần mở đầu Vectơ riêng, giá trị riêng ánh xạ tuyến tính đóng vai trị quan trọng Lý thuyết phương trình vi phân, Tích phân, Giải tích hàm, Đại số,… Đặc biệt vectơ riêng dương giá trị riêng dương ánh xạ tuyến tính dương khơng gian Banach có thứ tự tìm ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật đại Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết lò phản ứng,… Sự tồn vectơ riêng dương với giá trị riêng dương thỏa mãn số tính chất đặc biệt ma trận dương Perron chứng minh vào năm 1907 Kết tương tự Entz mở rộng cho tốn tử tuyến tính với hạch dương vào năm 1912 Các kết riêng biệt cho ma trận dương tốn tử tích phân dương Krein Rutman tổng quát hóa cho ánh xạ tuyến tính compact dương mạnh khơng gian Banach với thứ tự sinh nón năm 1940 Từ đến tồn vectơ riêng dương tiếp tục nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử rộng lớp tốn tử compact dương mạnh để ứng dụng vào toán thực tiễn khoa học kỹ thuật Các kết tồn vectơ riêng dương ánh xạ nghiên cứu nhiều tác giả phương pháp khác nhiều báo sách chuyên khảo Luận văn trình bày sau thu thập tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu chúng Các kết trình bày hệ thống khoa học thống với chứng minh chi tiết Phần nội dung Nội dung luận văn bao gồm bốn chương: Chương Nhắc lại kiến thức nón khơng gian Banach có thứ tự tồn vecto riêng dương ánh xạ compact dương Chương Trình bày tồn vecto riêng dương ánh xạ liên hợp Chương Giới thiệu điểm tựa trong, nón Minihedral vecto riêng dương Chương Trình bày vecto riêng dương ánh xạ tuyến tính dương không compact Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự Các kiến thức chuẩn bị nêu với chứng minh chi tiết, trích từ [1] PGS.TS Nguyễn Bích Huy Định nghĩa 1.1 Cho X không gian Banach trường số thực, tập K khơng gian X gọi nón như: i) K tập đóng, K ≠ ∅ ii) K+K ⊂K λ K ⊂ K , ∀λ ≥ iii) K ∩ (− K ) ={θ } Nếu K nón thứ tự X sinh nón K định x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi phần tử dương Mệnh đề 1.1 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón Khi đó: a) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X λ x ≤ λ y, ∀λ ≥ b) Nếu xn ≤ yn , ∀n ∈ * ,lim = xn x,lim = yn y x ≤ y c) Nếu {xn } dãy tăng, hội tụ x xn ≤ x, ∀n ∈ * Định nghĩa 1.2 Nón K gọi nón chuẩn ∃N > : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón chuẩn K Khi đó: 1) Nếu u ≤ v đoạn u , v := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ∈ * ,lim = xn a,lim = zn a lim yn = a 3) Nếu {xn } dãy đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn = a Định nghĩa 1.3 Nón K gọi nón qui ( X , ≤) dãy tăng bị chặn (hay dãy giảm bị chặn dưới) hội tụ Mệnh đề 1.3 Nón quy nón chuẩn Định nghĩa 1.4 Nón K gọi nón sinh X= K − K , hay ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v Mệnh đề 1.4 Nếu K nón sinh tồn số M > cho: ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v u ≤ M x , v ≤ M x Định nghĩa 1.5 Nếu K nón tựa khơng gian Banach X ta định nghĩa nón liên hợp K K *= { f ∈ X * : f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K } Mệnh đề 1.5 x0 ∈ K ⇔ f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * 1.2 Vecto riêng dương ánh xạ compact dương Nhắc lại: Ánh xạ tuyến tính  : X → X gọi ánh xạ compact (hoàn toàn liên tục) B cầu đơn vị đóng X  ( B ) tập compact tương đối X Nếu dim  ( X ) < +∞  ánh xạ compact λ ∈  thỏa ( − λ I ) song ánh tuyến tính tư X vào X λ gọi giá trị quy ánh xạ  Tập gồm giá trị qui  gọi tập giải  , ký hiệu ρ ( ) Tập σ ( ) =  \ ρ ( ) gọi phổ  = Số r ( ) sup{ λ : λ ∈ σ ( )} gọi bán kính phổ  λ ∈ K giá trị riêng của  có vecto x ≠ θ X cho:  ( x ) = λ x, ta nói x vecto riêng  ứng với giá trị riêng λ Nếu λ giá trị riêng  λ ∈ σ ( ) Khơng gian Banach thực X có thứ tự sinh nón K Một ánh xạ tuyến tính  : X → X gọi ánh xạ dương ∀x ≥ θ  ( x) ≥ θ , ta nói x vecto riêng  ứng với giá trị riêng λ Định lí 1.1 Cho khơng gian Banach X có thứ tự sinh nón K Ánh xạ  :X →X ánh xạ tuyến tính, compact, dương và: ∃u0 = v − w; v, w ∈ K , v ≠ θ ; ∃p ∈ * , ∃α > cho  p (u0 ) ≥ α u0 p Khi  có K vectơ riêng với giá trị riêng λ ≥ α Chứng minh Xét ánh xạ n : K ∩ B (0,1) → K ∩ B(0,1), v n n ( x) = v  ( x) + n  ( x) + n xác định vì: • n ( x) = •  ( x) + v v v v − =  ( x) ≥ ⇒  ( x) + ≥ ≠ θ ⇒ n ( x) ≥ θ n n n n Ngoài n compact ta lấy dãy {uk }k bị chặn ∃{uki }i cho { (uki )}i hội tụ Do {n (uki )}i hội tụ Theo định lí điểm bất động Schauder ánh xạ n có điểm bất động, tức là: ∃xn ∈ K : n ( xn ) = xn , xn = v n =x , x = ∃xn ∈ K : Đặt λn n n = v  ( xn ) + n  ( xn ) + v ∃xn ∈ K , ∃λn > :  (= xn ) + λn x= n , xn n p Chứng minh λn ≥ α  ( xn ) + v > , lúc ta có: n Từ λn xn =  ( xn ) + v v u v ≥ , nên xn ≥ ≥ n n λn n λn n Gọi tn số lớn thỏa xn ≥ tnu0 tn ≥ Ta có λn xn =  ( xn ) + v ≥  ( xn ) n > λn n suy xn ≥ λn  ( xn ), từ suy  1  1  ( xn ) A( xn ) ≥    ( xn )  =  ( xn ), nên ta có xn ≥   ( xn )  = λn  λn  λn  λn  λn … tiếp tục trình ta có xn ≥ λnp  p ( xn ), p ∈ * (1.1) Theo tính đơn điệu ánh xạ dương cho ta: xn ≥ tnu0 tn (u0 ) ⇒  ( xn ) ≥  (tnu0 ) = ⇒  ( xn ) ≥ tn  (u0 ) ⇒  p ( xn ) ≥ tn p (u0 ) Từ (1.1) (1.2) suy xn ≥ p dẫn đến λn ≥ α Ta có λn =  ( xn ) + (1.2) tn tn tnα λn λn λnp  p (u0 ) ≥ p α u0 nên tn ≥ p , (1.3) { } v nên {λn } bị chặn, ta có ∃ xnk ⊂ {λn }n cho: k n p lim λnk= λ ≥ α (do (1.3)) k →∞ Mặt khác  compact { ( x )} hội tụ nk i i y∈ X {xnk }k { } { } bị chặn nên ∃ xnk ⊂ xnk cho k i i 55  ( x0 − ty0 ) =  ( x0 ) − t ( y0 ) = λ0 x0 − tλ0 y0 = λ0 ( x0 − ty0 ) Mà  không phân tích nên x0 − ty0 điểm K Do đó: ∃γ > : x0 − ty0 ≥ γ y0 ⇒ x0 ≥ ( t + γ )  y0 Điều mâu thuẫn với tính lớn t Chứng minh tính đơn λ0 Giả sử ∃n0 > 1, z0 ∈ K \ {θ } cho (  − λ0 I )n0 ( z0=) θ , (  − λ0 I ) n0 −1 (z ) 0= v0 ≠ θ Ta có  (v0 ) = λ0v0 Tương tự chứng minh Trường hợp 3, Định lí 3.7, ta có điều mâu thuẫn Do x0 vectơ riêng λ0 giá trị riêng đơn  Định lí 3.9 Giả sử  u0 _khơng phân tích u0 _bị chặn X có vectơ riêng K x0 tương ứng giá trị riêng λ0 Khi đó, λ0 giá trị riêng đơn  Chứng minh  ( x0 ) λ0 x0 , x0 ∈ K \ {θ } nên x0 ∈ K [u0 ] Do  u0 _không phân tích = Do ∃α > : x0 ≥ α u0 Chứng minh  khơng có vectơ riêng khác x0 Thật vậy, giả sử ∃y0 ≠ tx0 cho  ( y0 ) = λ0 y0 Ta coi − y0 ∉ K Do  u0 _bị chặn X nên: αλ0n y ∃n ∈  , ∃β > :  ( y0 ) ≤ β u0 ⇒ x0 ≥ α  ( y0 ) =  β β * n n αλ0n > 0, x0 − ty0 ≠ (do tx0 ≠ y0 ) Ta Gọi t số lớn thỏa x0 ≥ ty0 t ≥ β có:  ( x0 − ty0 ) = λ0 x0 − tλ0 y0 = λ0 ( x0 − ty0 ) 56 λ0m y , dẫn đến Và  u0 _khơng phân tích nên ∃γ > : x0 − ty0 ≥ γ u0 ≥ γ β  γλ0m  x0 ≥  t + y0 Mâu thuẫn tính lớn t    β   Chứng minh tính đơn λ0 Giả sử ∃n0 > 1, z0 ∈ K \ {θ } cho (  − λ0 I )n0 ( z0 ) = θ , (  − λ0 I )n0 −1 ( z0 ) = v0 ≠ θ Ta có  (v0 ) = λ0v0 , nên theo chứng minh v0 = tx0 Đặt w0 = w0 ) λ0 w0 + x0 (  − λ0 I )n0 − ( z0 ) , ta có  (= t Nhận xét , − w0 ∉ K Thật vậy, − w0 ∈ K  n ( w0= ) λ n w0 + nλ0n −1x0 ≤ θ , ∀n Suy λ w0 + x0 ≤ θ nên x0 ≤ θ (cho n → +∞) Điều vô lý, nên − w0 ∉ K n Do  u0 _bị chặn X nên ∃p ∈ * , ∃δ > :  p ( w0 ) ≤ δ u0 Do đó: w0 ≤ λ0  ( w0 ) ≤ ≤ λ0p  p ( w0 ) αλ0p Khi x0 ≥ α u0 ≥ α  ( w0 ) ≥ w0 δ δ p Gọi t số lớn thỏa x0 ≥ tw0 t ≥ αλ0p > 0, x0 − ty0 ≠ (do tx0 ≠ y0 ) δ t t Ta có x0 =  ( x0 ) ≥  ( w0 ) = (λ0 w0 + x0 ) , từ suy : λ0 λ0 λ0  t2  x0 ≥ tw0 + x ≥ tw0 + w0 =  t +  w0 λ0 λ0  λ0  t t2 Điều mâu thuẫn với tính lớn t Vậy λ0 giá trị riêng đơn  57 Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG KHƠNG COMPACT Định nghĩa 4.1 Cho nón K 1, q ∈ ( 0,1] Ta định nghĩa: 1) u ∈ K , u = K q (u ) = {x ∈ K : x ≥ q x u} 2) u ∈ K \ {θ }, ρ ≥ Ta định nghĩa: Ku , ρ = {x ∈ K : ∃α > 0,α u ≤ x ≤ ρα u} Định lí 4.1 Giả sử rằng: 1)  tuyến tính dương, liên tục,  ( K ) ⊂ K q (u0 )  (u0 ) ≠ θ 2) ∃β > cho từ  ( x) + u0= λ x, x ∈ K \ {θ } suy  ( x) ≤ β x u0 Khi  có vectơ riêng ứng với giá trị riêng Chứng minh ∞  Đặt = λ0 inf λ > : ∑  m −1(u0 ) hội tụ m  m =1 λ    α u0 Do  ( u0 ) ∈ K q (u0 ) , nên  ( u0 ) ≥ q  ( u0 ) u0 := ∀λ ∈ ( 0, α ] Do ∃d > : λ m  λ m m −1  α  (u0 ) ≥   λλ m −1 m −1 u0 ≥ λ u0 , ∀m (u0 ) ≥ d , ∀m Suy chuỗi Dẫn đến λ0 ≥ α Ta chứng minh ∞ ∑ m=0 λ m ∞ ∑ m=0 λ m  m −1(u0 ) phân kỳ  m −1(u0 ) hội tụ ∀λ > λ0 58 Thật vậy, xét λ > λ0 Do định nghĩa λ0 , ∃λ1 ∈ ( 0, λ ) cho ∞ ∑ m m = λ1  m −1(u0 ) hội tụ ∃l > : λ1m  m −1(u0 ) ≤ l, ∀m m −1 (u0 ) =  Khi λ ∞ Nên ∑ m m =1 λ m Đặt xn (λ ) =  ( xn (λ ) ) = λ1m  m −1 m m λ  λ  (u0 )   ≤ l   , ∀m λ λ  m −1(u0 ) hội tụ, ∀λ > λ0 ∞ ∑ m =1 λ ∞ m ∑ m m =1 λ  m −1(  m ( u0 u0 n n ), λ ∈ ( λ0 , +∞ ) , n ∈  ) u λ xn (λ ) suy  ( xn (λ )) ≤ β xn (λ ) u0 Nên  ( xn (λ ) ) + = n Ta có: lim xn (λ ) = (1) λ →+∞ lim xn (λ ) = ∞ (2) λ →λ0 Ánh xạ λ  xn (λ ) liên tục ( λ0 , +∞ ) (3) Chứng minh (1): Xét λ > λ0 , Do đó, ∞ ∑ m =1 λ m −1 m  m −1(u0 ) hội tụ nên ∃L > :  = (u0 ) λm λ m  m −1 m λ m m  m −1 (u0 ) ≤ L λ λ (u0 )   ≤   L, ∀m λ λ 59 ∞ ∞ λ L m −1 u0  ≤ xn (λ ) = ( ) ∑ m ∑  λ  n n λ = m 1= m 1  m λ L λ = n 1− L λ = ⇒ lim xn (λ ) = λ n λ − λ λ → +∞ λ Chứng minh (2) Giả sử trái lại ∃{λk } giảm, lim λk = λ0 cho xn (λk ) ≤ M , ∀k k →∞  1  m −1  u0     −   ∈ K q (u0 ) nên { xn (λk )} tăng ∑ m m  n  m =1  λk +1 λk  ∞ Do xn (λk +1 ) − xn (λk= ) Và K q (u0 ) nón hồn tồn quy nên tồn lim xn (λk ) = x0 k →∞ u u λ0 x0 , nên: λk xn (λk ) ta có  ( x0 ) + = Qua giới hạn  ( xn (λk ) ) + = n n 1  ( x0 ) Vậy λ0 x0 ≥  ( x0 ) +  ( x0 ), β x0 nβ x  ( x0 ) ≤ β x0 u0 ⇒ u0 ≥ nên:   λ0   ( x0 ) ≤    + nβ x     x := λ ' x0 với λ ' < λ0 Chọn λ ∈ ( λ ', λ0 ) Do u0 ≤ nλ0 x0    nên: λm  m −1 (u0 )  λm nλ0 m −1 ( x0 )  λm nλ0λ ' m −2 nλ  λ '  = 0  λ2  λ  m −2  ( x ) (với "  " thứ tự sinh nón K q (u0 ) ) Do ∃N > : ∞ Chuỗi ∑ m =1 λ m λm  m −1 nλ  λ '  (u0 ) ≤ N 20   λ λ m−2  ( x0 ) , ∀m  m −1(u0 ) hội tụ, với λ < λ0 Mâu thuẫn với chứng minh 60 Vậy lim xn (λ ) = ∞ λ →λ0 Chứng minh (3): Xét λ ∈ ( λ0 , +∞ ) Chọn λ1, λ2 cho λ0 < λ1 < λ2 < λ Ta có: m −1 u0  = ( ) n λm Từ suy ∞ ∑  λ1  m −1 u0  = ( )   n λ2m  λ2  m m =1 λ  m −1( u0 n Nên với ε > 0, ∃m0 > cho m λ1m  m −1 m λ  u ( ) ≤   H , ∀λ > λ2 n  λ2  ) hội tụ ∀λ > λ2 ∞ ∑ m m0 +1 λ = m  m −1( u0 n ) < ε , ∀λ > λ2 Chọn δ > 0, δ < λ − λ2 cho λ − λ < δ ta có: m0 ∑ m =1 λ m  m −1 ( u0 n )− m0 ∑ m =1 λ m  m −1( u0 n ) < ε Do λ − λ < δ ta có xn (λ ) − xn (λ ) < ε nên xn liên tục theo biến λ Vậy hàm xn (λ ) thỏa (1),(2),(3) nên ∃λn ∈ ( λ0 , +∞ ) : xn (λn ) = u λn xn ,lúc đó: Đặt xn = xn (λn ) ta có  ( xn ) + = n λn ≤  + u0 , ∀n ⇒ {λn } bị chặn nên có dãy hội tụ, nên coi λn → µ ≥ λ0 (do λn ≥ λ0 ) { xn }n dãy Cauchy theo u0 _chuẩn, x u= inf{α > : −α u0 ≤ x ≤ α u0 } Thật vậy: = xn u0   u0  1    ( xn ) +  ≤  β xn u0 +  ≤ ( β + 1) u0 := δ u0 λn  n  λn  n  λ0 Ngồi cịn có  ( xn ) ≥ 1  ( u0 ) > θ (do xn ≥ u ) và: nλn nλn 61  ( x= n) λn xn − u0 n ≥ λn xn − u0 n ≥ λ0 − u0 n > λ0 , ∀n ≥ n0 ( ) Nên, ∃a > :  xn ≥ a, ∀n Do : xn = u0  1  q.a q  ( xn ) u0 ≥ u ≥:= γ u0   ( xn ) +  ≥ λn  n  λn  + u0 Vậy γ u0 ≤ xn ≤ δ u0 , dẫn đến γ ≤ xn ≤ δ , u0 { x } dãy số bị n u chặn nên có dãy hội tụ Có thể coi xn u → b ≥ γ Bây giả sử trái lại, {xn } không dãy Cauchy theo u0 _chuẩn Khi ∃ε > cho ∃m, n ∈  : xn − xm u > ε , từ suy hai bất đẳng thức sau không −ε 0u0 ≤ xn − xm ≤ ε 0u0 Giả sử −ε 0u0 ≤ xn − xm khơng xn < xm − ε 0u0 < xm − ε0 x δ m (do xm Do t ∈  0,1 −  , nên: δ   ε  ε0  xn − txm ≥ xn − t xm ≥ +  −1 + 0= δ  δ  Mặt khác: (do xn= xm − 1) 62  ( xn − txm )= λn xn − u0  u  − t  λm xm −  n m  1  ≥ λm xn − txm − λn − λm xn −  +  u0 n m ε λε 1  ≥ λ0 − λn − λm −  +  u0 ≥ 0 2δ δ n m Với n,m đủ lớn Cho nên  ( xn − txm ) ≥ q  ( xn − txm ) u0 ≥ qλ0ε u0 Do đó: 2δ u0  t  u0     ( xn ) +  −   ( xm ) +  λn  n  λm  m − txm xn= =     t u0 − u0   ( xn − txm ) +  −   ( xn ) +  mλm  λm  λn λm   nλn ≥ ( qλ0ε 1 u0 − u0 β 0u0 − − mλ0 λn λm  + u0 ) 2δ Nên xn − txm ≥ t ' u0 (khi m,n đủ lớn, t’>0) Từ suy ra: xn ≥ txm + t ' u0 ≥ txm + t ' 1  xm = t + t '  xm δ δ  Mâu thuẫn tính lớn t.Vì nên lim m, n →∞ xn − xm u0 = Theo định nghĩa chuẩn u , ta có: − xn − xm u u0 ≤ xn − xm ≤ xn − xm ⇒ θ   ( xn − xm ) + xn − xm u0  ( u0 )  xn − xm ⇒  ( xn − xm ) ≤ (2 N + 1) xn − xm Vậy lim m, n →∞ u u0 u0  ( u0 )  ( xn ) −  ( xm ) = Khi đó: u0  ( u0 ) 63 u0   u0     ( xn ) +  −   ( xm ) +  λn  n  λm  m − xm xn= = Cho nên  λn (  ( xn ) −  ( xm ) ) +  λ1  lim m, n →∞ − n    u0 − u0    ( xm ) +  λm  mλm   nλn xn − xm = Do {xn } dãy Cauchy nên hội tụ = xn x0 , x0 ≠ θ (do xn = ) Từ ∃x0 để lim n →∞ u λn xn , ta  = Qua giới hạn  ( xn ) + = ( x0 ) µ x0 , x0 ≠ θ n Vậy x0 vectơ riêng dương  Định lí 4.2 Với giả thiết định lí 4.1  có K vectơ riêng x0 ứng với giá trị riêng x0 ứng với giá trị riêng: ∞  = λ0 inf λ > : ∑  m −1(u0 ) hội tụ m  m =1 λ    Chứng minh = Theo định lí 4.1, ta có  ( x0 ) µ x0 , x0 ≠ θ Ta chứng minh µ ≤ λ0 Thật vậy, giả sử trái lại µ > λ0 , định nghĩa λ0 ta có: ∃λ < µ : ∞ ∑ m =1 λ m  m −1(u0 ) hội tụ (*) Do γ u0 ≤ xn ≤ δ u0 , ∀n lim xn = x0 , dẫn đến x0 ≤ δ u0 , nên u0 ≥ n →∞ λm  m −1 ∃d > : (u0 ) ≥ λm 1 λm δ  m −1  m −1(u0 ) > d µ ( x0 ) =   λδ  λ  m −1 x0 ≥ δλ x0 δ x0 Khi đó: 64 Dẫn đến chuỗi ∞ ∑ m =1 λ m  m −1(u0 ) phân kỳ Mâu thuẫn với (*) Do µ ≤ λ0 Suy µ = λ0 ,  ( x0 ) = λ0 x0 Vậy λ0 giá trị riêng tương ứng vectơ riêng x0  Định lí 4.3 Giả sử rằng: 1)  tuyến tính dương, liên tục,  ( K ) ⊂ K q (u0 )  (u0 ) > θ 2)  u0 _bị chặn trên K ∞  Khi số  m −1(u0 ) hội tụ = λ0 inf λ > : ∑ m m =1 λ    giá trị riêng  tương  ứng vectơ riêng K Chứng minh Ta có điều kiện 1) định lí 4.1 thỏa mãn Ta chứng minh điều kiện 2) định lí 4.1 thỏa mãn Do  u0 _bị chặn trên K nên ∃n0 , β :  n0 ( x) ≤ β x u0 , ∀x ∈ K Nói riêng  n0 (u0 ) ≤ β u0 u0 = β 0u0 Mặt khác,  ( u0 ) ∈ K q (u0 ), đó:  ( u0 ) ≥ q  ( u0 ) u0 Từ suy ra:  ( u0 ) ≥ q  ( u0 )  ( u0 ) ≥ q  ( u0 ) u0 …  n0 ( u0 ) ≥ q n0 −1  ( u0 ) n0 −1  ( u0 ) ≥ q n0  ( u0 ) n0 u0 n n −1 Dẫn đến q n0  ( u0 ) u0 ≤ q n0 −1  ( u0 )  ( u0 ) ≤ ≤  n0 ( u0 ) ≤ β 0u0 Do µ u0 ≤  ( u0 ) ≤ µ u0 , µ , γ số dương λ x , ta có: Xét x > θ thỏa mãn  ( x ) + u0 = 65 x = λ = λ u0 + u0 + λ  ( x) 1    u0 +  ( x)  λ λ λ  = 1 λ λ2 = u0 + Đặt yn := λ  ( u0 ) + + u0 + λ2  m −1 ( u0 ) λm  ( u0 ) + + + m ( x) λm  m −1 ( u0 ) λm  x y1  y2  Do K q (u0 ) hoàn toàn quy nên { yn }n hội tụ, hay ∞ ∑ m =1 λ m  m −1(u0 ) hội tụ Do λ ≥ λ0 Gọi d số dương thỏa: z ≥ u0 ⇒ z ≥ d Ta có λ x ≥ u0 ⇒ λ x ≥ d Do đó: 1 λ λ2  ( x ) =  ( u0 ) +  ( u0 ) + +  n0 −1 ( u0 ) λ n0 −1 +  n0 ( x ) λ n0 −1 1 γ2 γ n0 −1   ≤ γ+ + + n −  u0 + n −1 β x u0 λ λ0 λ0  λ0   β γ2 γ n0 −1  x ≤ γ + + + n −  u0 + n 0−1 x u0 := β x u0 0   d λ0 λ λ 0   Như điều kiện 2) định lí 4.1 thỏa mãn.Vậy λ0 giá trị riêng  tương ứng vectơ riêng dương x0 Định lí 4.4 Giả sử rằng: 1)  tuyến tính dương, liên tục,  ( K ) ⊂ K q (v) 2)  u0 _bị chặn trên K 3) ∃p ∈ * , γ > :  p (v) ≥ γ u0 66 ∞  Khi số  m −1(u0 ) hội tụ = λ0 inf λ > : ∑ m  m =1 λ   giá trị riêng  tương  ứng vectơ riêng dương Chứng minh Do  ( K ) ⊂ K q (v) ,nên  ( x ) ≥ q  ( x ) v, ∀x ∈ K Từ suy ra:  p +1 ( x) ≥ q  ( x)  p (v) ≥ q γ q  p +1 ( x ) u0 u  ( x ) γ u0 =  p ( x)  p +1 ( x ) ≥ q0  p +1 ( x )= u , với q0 γ q u0 = ,u  p ( x) u0 u0 u0 Chọn q1 : < q1 < Min {1, q0 } , ta có  p +1 ( K ) ⊂ K q1 (u ) Do  u0 _bị chặn trên, nên : ∃n0 ∈ * , ∃β > :  n0 ( x) ≤ β x u0 , ∀x ∈ K ( )  ( p +1) n0 ( x) =  n0  pn0 ( x) ≤ β  pn0 ( x) u0 ≤ β  pn0 x u0 := β1 x u0 Do  p+1 u0 _bị chặn Ta chứng minh  p +1 (u ) > Do  p (v) ≥ γ u0 , nên  (v) ≠ θ ,vì nên:  (v) ≥ q  (v) v := δ v ⇒  n (v) ≥ δ nv, ∀n Mặt khác  n0 (v) ≤ β v u0 , dẫn đến u0 ≥ β0 v  n0 (v) ≥ δ n0 δ n0 v= v β0 v β0 Do đó:  p +1  n0 1 p +1 p +1 δ (u ) =  (u0 ) ≥    β0 u0 u0   v  > θ   Vậy  p+1 thỏa điều kiện định lý 4.3, nên: ∞  y0 > θ :  p +1 ( y0 ) = µ0 y0 Với ∃ µ0 inf λ > : ∑  p +1 = m m =1 λ  ( ) m −1  (u0 ) hoäi tụ   67 Ta chứng minh µ0 = λ0p +1 Thật vậy: ∞ Nếu ∑  m −1(u0 ) hội tụ, ∀λ > λ1 ta có m m =1 λ1 ∞ ∑ m =1 (λ ) p +1 m (  p +1 ) m −1 (u) hội tụ Do µ0 ≤ λ0p +1 Ngược lại, hội tụ, ∀µ > µ1 ta có: ∞ ∑ Các chuỗi m =1 ( p +1 ∞ ∑ Nên chuỗi m =1 µ µ m p +1 ) m ( p +1)  m −1 µ sp p +1 (  p +1 ) m −1  s (u0 ) hội tụ (với s = 0,1, 2, , p ) (u0 ) hội tụ Cho nên λ0 ≤ p +1 µ0 , µ0 ≥ λ0p +1 Qua rút µ0 = λ0p +1 x0 λ0p y0 + λ0p −1 ( y0 ) + +  p ( y0 ) x0 > θ và: Ta đặt= =  ( x0 ) λ0p  ( y0 ) + λ0p −1 ( y0 ) + +  p +1 ( y0 ) ( = λ0 λ0p y0 + λ0p −1 ( y0 ) + +  p ( y0 ) ) = λ0 x0 Vậy λ0 giá trị riêng tương ứng vectơ riêng dương  dẫn đến 68 Phần kết luận Qua luận văn này, thân cảm thấy thật làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tôi học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu thảo luận nhóm.Bản thân học cách vận dụng kĩ thuật chứng minh từ lĩnh vực như: Giải tích phi tuyến, Giải tích hàm, Tơpơ đại cương,… vào khơng gian có thứ tự Mong luận văn tài liệu tham khảo phục vụ chuyên đề: “Phương trình khơng gian có thứ tự” Tuy nhiên giai đoạn bước đầu tập nghiên cứu khoa học nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong hổ trợ bảo từ quý Thầy, Cơ ngồi hội đồng đóng góp chân thành bạn bè, đồng nghiệp 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Nguyễn Bích Huy, Giáo trình Giải tích phi tuyến , ĐHSP.TpHCM, 2010 2- K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer - Verlag, 1985 3- Krasnoselskii, Positive solutions of Operator equations, P.Noorhoff, Groningen, 1964 4- M Krein, A Rutman, Linear Operators leaving invariant a cone in a Banach Space, Amer Math Soe Transl.10 (1962) pp.199-325 5- I A Bakhtin, Nghiệm dương phương trình tuyến tính ( tiếng Nga), Giáo trình chun đề, ĐHSP Vononez, 1990 ... Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG T 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự T T 1.2 Vecto riêng dương ánh xạ compact dương T T Chương VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN HỢP... riêng, giá trị riêng ánh xạ tuyến tính đóng vai trị quan trọng Lý thuyết phương trình vi phân, Tích phân, Giải tích hàm, Đại số, … Đặc biệt vectơ riêng dương giá trị riêng dương ánh xạ tuyến tính. .. riêng dương ánh xạ compact dương Chương Trình bày tồn vecto riêng dương ánh xạ liên hợp Chương Giới thiệu điểm tựa trong, nón Minihedral vecto riêng dương Chương Trình bày vecto riêng dương ánh