Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiều

LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Cận số giỏ tr riờng ca toỏn t Schrădinger t tớnh khơng o gian hai chiều" hồn thành theo quan điểm riêng cá nhân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trang Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian Sobolev 11 1.1.4 Không gian Hilbert 12 1.2 Các toán tử 14 1.2.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 14 1.2.2 Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 19 1.3 Phổ toán tử 20 Chng Toỏn t Schrădinger o 23 2.1 Một số định nghĩa tính chất 24 2.2 Ph ca mt s dng toỏn t Schrădinger o 30 2.2.1 Toán t Schrădinger dng H0 + V o 30 λ |x| 31 2.2.2 Toỏn t Schrădinger dng o N 2.2.3 Toỏn t Schrădinger dng − o N Vj,k (xj − xk ) ∆j + j=1 35 j 0, u (r, θ) dθ = (3.46) |( + iA) u (x)| dx ≥ ν R2 R2 |u(x)|2 dx |x|2 (3.47) Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 3.3 3.5 Chứng minh kết chính: trường xuyên tâm Đối với từ trường xuyên tâm, giới thiệu véctơ vị A tương ứng tọa độ cực (r, θ) sau r A (r, θ) = a (r) (− sin θ, cos θ) , a (r) = r B (t) tdt = Φ (r) r Khi rơta A = B Vì A bị chặn, xem Giả thiết 3.7, nên toán tử Hamilton HB liên kết với dạng tồn phương đóng ∞ 2π |∂r u|2 + r−2 |i∂θ u + Φ (r) u|2 rdrdθ, u ∈ H (R+ × (0, 2π)) 0 (3.48) Khai triển hàm u ∈ L2 (R+ × (0, 2π)) cho trước thành chuỗi Fourier với sở trực chuẩn (2π)− eimθ L2 (0, 2π), ta thu khai m∈Z triển tổng trực tiếp L2 R2 = ⊕Lm , m∈Z 61 (3.49) ∞ Lm = g∈L R : g(x) = f (r)e imθ , |f (r)|2 rdr < ∞ Vì từ trường B xun tâm, nên tốn tử HB phân tích theo tổng trực tiếp ⊕ (hm ⊗ id) Πm , HB = (3.50) m∈Z hm tốn tử sinh bao đóng, L2 (R+ , rdr), dạng toàn phương ∞ (Φ(x) + m)2 |f | + |f | rdr r2 (3.51) ∞ xác định ban đầu C0 (R+ ), Πm : L2 R2 → Lm phép chiếu xác định sau 2π (Πm u) (r, θ) = 2π eim(θ−θ ) u (r, θ ) dθ (3.52) Rõ ràng, toán tử H0 = −∆ cho ta phân tích đơn giản −∆ = ⊕ (Pm ⊗ id) Πm , (3.53) m∈Z Pm tốn tử sinh bao đóng, L2 (R+ , rdr), dạng toàn phương ∞ m2 ∞ |f | + |f | rdr, f ∈ C0 (R+ ) r 3.5.1 Chứng minh Định lý 3.3 Ta chứng minh cận (3.8) với giá V liên tục compact Khi trường hợp tổng quát suy từ việc xấp xỉ V dãy hàm có 62 giá liên tục compact sử dụng đối số giới hạn chuẩn bất đẳng thức (3.8) Giả sử Π0 cho công thức (3.52) đặt Qu = u − Π0 u, u ∈ L2 R2 Vì Π0 Q giao hoán với HB , nên từ nguyên lý biến phân bất đẳng thức ∞ |(u, (Π0 V Q + QV Π0 ) u)| ≤ (u, QV Qu) + (u, Π0 V Π0 u) ∀u ∈ C0 R2 ta suy đánh giá HB − V ≥ Π0 (HB − 2V ) Π0 + Q (HB − 2V ) Q (3.54) ∞ thỏa mãn theo dạng toàn phương C0 R2 Do N (HB − V, 0) ≤ N (Π0 (HB − −2V ) Π0 , 0) + N (Q (HB − 2V ) Q, 0) (3.55) Đặt 2π ˆ V (r) = 2π V (r, θ)dθ (3.56) a,b Ta kí hiệu P0 giới hạn toán tử P0 L2 ((a, b), rdr) với điều kiện biên Neumann đầu mút a b Bổ đề 3.5 Cho ≤ a < b ≤ ∞ Giả sử W ≥ giá compact liên tục Khi tồn số L0 độc lập với a b cho với δ > ta có N δ2 a,b P0 + − W (r), r b L2 ((a,b),rdr) 63 L0 ≤ δ W (r)rdr a (3.57) Chứng minh Xét ánh xạ U : L2 ((a, b), rdr) → L2 (a, b) xác định công thức (Uf ) (r) = r1/2 f (r) Bằng cách tính tốn trực tiếp ta thấy tốn tử Tδa,b : −U a,b P0 δ2 + r U −1 ∈ L2 (a, b) (3.58) tác động miền định theo cơng thức δ2 − (r) = −u (r) + u(r), r2 u(b) u(a) , u (b) = , < a < b < ∞, u (a) = 2a 2b điều kiện biên sau u(a) = a = u ∈ L2 (a, ∞) Tδa,b u b = ∞ Giả sử Ga,b (r, r , k) hạt nhân tích phân giải thức Tδa.b δ điểm k , nghĩa Ga,b (r, r δ Tδa,b , k) = +k −1 (r, r ) Từ lý thuyết Sturm-Liouville tốn tử vi phân thường ta tính Ga,b (r, r, k) = δ r (Iδ (rk) + ωδ (a)Kδ (rk)) (Iδ (rk) + ωδ (b)Kδ (rk)) , ωδ (a) + ωδ (b) Iδ Kδ hàm Bessel cải biên, ωδ (r) = − Iδ (rk) Kδ (rk) (3.59) Từ [AS, Sect.9.6] ta kết luận lim Ga,b (r, r, k) δ k→0 22−2δ (ab)2δ + 2δ (a + b2δ ) r2δ 2r = δ ≤ cr , δ với số c độc lập với a, b r Do theo nguyên lý BirmanSchwinger ta có b N Tδa,b − W (r), L2 (a,b) b c Ga,b (r, r, k)W (r)dr ≤ δ δ ≤ lim k→0 a W (r)rdr a Vì U đơn vị, nên ta có điều phải chứng minh 64 Bổ đề 3.6 Cho V ∈ L1 R+ , L∞ S1 Khi với ε > kỳ tồn Cε cho N HB + ε − V, |x|2 ≤ Cε V L1 (R+ ,L∞ (S1 )) (3.60) Chứng minh Do tính trù mật nên ta cần chứng minh cơng thức đánh giá với giá V compact liên tục Theo (3.50) ta có N HB + ε − V, |x|2 ≤ N hm + m∈Z ε ˜ − V ,0 |x| (3.61) L2 (R + ,rdr) Ta nhắc lại kết Laptev [La1]: N ε ˜ −∆ + − V , |x| = N m∈Z ≤ c(ε) V m2 + ε ˜ P0 + − V ,0 r2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) L2 (R+ ,rdr) (3.62) Vì Φ(r) bị chặn, nên tồn n0 ∈ N cho m2 ∀r > 0, ∀m ∈ Z : |m| > n0 (m + Φ(r)) ≥ 2 Do từ (3.62) dễ dàng suy N hm + |m|>n0 ˜ − V ,0 ε r2 ≤ N |m|>n0 ≤N m2 + ε ˜ P0 + − 2V , r2 −∆ + ≤ 2c(ε) V L2 (R+ ,rdr) L2 (R+ ,rdr) ε ˜ − 2V , |x| L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Mặt khác, theo Bổ đề 3.5 ta có với m ∈ Z N hm + ε ˜ − V ,0 r L2 (R+ ,rdr) ≤N P0 + ˜ ≤ Cε V 65 m2 + ε ˜ − 2V , r L1 (R+ ,L∞ (S1 )) L2 (R+ ,rdr) Do từ (3.61) ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.7 Cho B thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3 Giả sử V giá compact liên tục Khi tồn số c0 cho N (Π0 (HB − V ) Π0 , 0) ≤ c0 V L1 (R2 ) + V log |x| L1 (B1 ) (3.63) Chứng minh Từ bất đẳng thức Hardy (3.37) ta cần chứng minh N (Π0 (HB + U1 − V ) Π0 , 0) ≤ c V L1 (R2 ) + V log |x| , L1 (B1 ) (3.64) U1 cho cơng thức (3.21) Lưu ý ˆ N (Π0 (HB + U1 − V ) Π0 , 0) = N h0 + U1 − V , L2 (R+ ,rdr) (3.65) Ta thêm điều kiện biên Neumann điểm r = Theo nguyên lý biến phân ˆ N h0 + U1 − V , L2 (R + ,rdr) 0,1 ˆ ≤ N P0 + − V , +N 1,∞ P0 + L2 ((0,1),rdr) ˆ − V ,0 r L2 ((1,∞),rdr) Hơn nữa, từ Bổ đề 3.5 suy với c ta có ∞ N 1,∞ ˆ P0 + − V , r ˆ V (r)rdr ≤ L2 ((r0 ,∞),rdr) (3.66) 0,1 0,1 Với toán tử P0 +1 L2 ((0, 1), rdr) ta lưu ý inf σ P0 + = Do 0,1 ˆ N P0 + − V , L2 ((0,1),rdr) 0,1 ˆ = N P0 − V , −1 ˆ = N T0 − V , −1 66 L2 ((0,1),rdr) L2 (0,1) , (3.67) 0,1 T0 = UP0 U −1 toán tử thuộc L2 (0, 1) tác động miền xác định sau (T0 u) (r) = −u (r) − u(r) 4r2 u(1) , u(0) = Như ta tính phần tử chéo hạt nhân tích phân T0 + k với điều kiện biên u (1) = T0 + k −1 −1 : −1 (r, r) =: G0 (r, r, k) = rI0 (rk) K0 (kr) + ω0 (1)I0 (rk) Sử dụng tích chất hàm I0 K0 , xem [AS, Sect.9.6], ta dễ dàng có G0 (r, r, 1) ≤ cr (1 + |log r|) r ∈ (0, 1) Từ theo nguyên lý Birman-Schwinger phương trình (3.67) ta 0,1 ˆ N P0 + − V , L2 ((0,1),rdr) ˆ = N T0 − V , −1 L2 (0,1) ˆ G0 (r, r, 1)V (r)dr ≤ ˆ V (r) (1 + |log r|) rdr ≤c (3.68) Kết hợp công thức với (3.66) ta suy (3.64) bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 3.3 Từ Bổ đề 3.3, bất đẳng thức (3.60) nguyên 67 lý biến phân ta có N (Q (HB − V ) Q, 0) ≤ N Q HB + ≤N HB + ≤c V ν − 2V |x|2 Q, ν − 2V, |x|2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Sử dụng Bổ đề 3.7 ta có điều phải chứng minh Chú ý 3.7 Các đánh giá tương tự, dạng bất đẳng thức logarit Lieb-Thirring, toán tử −∆ − V hai chiều thu [KVW] Các cận N (−∆ − V, 0) bao gồm trọng lượng logarit nghiêm cứu [CKMW, Sol.1, W95] 3.5.2 Chứng minh Định lý 3.4 Theo Bổ đề 3.2 ta cần chứng minh cận (3.10) cho toán tư HB + − V + |x| log2 |x| Bổ đề 3.8 Cho B thỏa mãn giả thiết Định lý 3.4 giả sử Φ = Giả sử V giá compact liên tục Khi tồn số L1 cho N h0 + ˆ − V ,0 log2 r 1+r ≤ L1 V L1 (R2 ) + V log |x| L1 (R2 ) L2 (R+ ,rdr) (3.69) 68 Chứng minh Ta thêm điều kiện biên Neumann r = Theo cách nhóm Neumann ta có N h0 + ˆ − V ,0 + r2 log2 r ≤N +N L2 (R+ ,rdr) ˆ − V ,0 log2 r 1+r L2 ((0,2),rdr) 2,∞ ˆ P0 + 2 − 2V , r log r ((2,∞),rdr) L 0,2 P0 + Thay đổi trực tiếp (3.68) ta 0,2 ˆ N P0 + − V ,0 + r2 log2 r L2 ((0,2),rdr) ˆ V (r) + X(0,1) (r) |log r| rdr ≤c (3.70) Trên khoảng (2, ∞) ta thêm điều kiện biên Neumann điểm {r = n, n ∈ N, n ≥ 3} Do 2,∞ ˆ N P0 + 2 − V , r log r ∞ ≤ N n=2 n,n+1 P0 + L2 ((2,∞),rdr) ˆ − V ,0 log2 r r (3.71) L2 ((n,n+1),rdr) Theo kí hiệu Bổ đề 3.5, xem phương trình (3.58), ta thu N n,n+1 P0 + ˆ − V ,0 log2 r r L2 ((n,n+1),rdr) ˆ ≤ N Tδn,n+1 − V , n L2 (n,n+1) , (3.72) δn = log2 (n + 1) 69 Do theo (3.57) ta n+1 n+1 ˆ N Tδn,n+1 − V , n L2 (n,n+1) −1 ˆ δn V (r)rdr ≤ c ˜ ≤ L0 n ˆ V (r)(log r)rdr n Kết hợp với (3.70) (3.71) ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.9 Cho B thỏa mãn giả thiết Định lý 3.4 giả sử Φ = −m ∈ Z Giả sử V giá compact liên tục Khi tồn số k1 k2 cho N hm + ˆ − V ,0 log2 r 1+r ≤ k1 L2 (R V L1 (R2 ) + V log |x| L1 (R2 ) + ,rdr) (3.73) ˆ N h0 − V , L2 (R+ ,rdr) ≤ k2 V L1 (B1 ) + V log |x| L1 (R2 ) (3.74) Chứng minh Các bất đẳng thức (3.73) (3.74) suy trực tiếp từ Bổ đề 3.8 Bổ đề 3.7 tương ứng Chứng minh Định lý 3.4 Giả sử Φ = −m ∈ Z Theo bất đẳng thức (3.40) ta có N (HB − V, 0) ≤ N HB + − V, + |x|2 log2 |x| ν (3.75) Đặt Q = − Π0 − Πm phép chiếu phần bù trực giao L0 ⊕ Lm Lập luận tương tự phần trước ta có N HB + − V, + |x| log2 |x| ≤ N (Q (HB − 3V ) Q, 0) + N (Π0 (HB − 3V ) Π0 , 0) +N Πm HB + − 3V + |x|2 log2 |x| 70 Πm , ˆ = N (Q (HB − 3V ) Q, 0) + N h0 − 3V , +N hm + ˆ − 3V , + r2 log2 r L2 (R+ ,rdr) (3.76) L2 (R+ ,rdr) Như chứng minh Định lý 3.3 ta lưu ý theo Bổ đề 3.4 bất đẳng thức (3.60) N (Q (HB − V ) Q, 0) ≤ N HB + ν − 2V, |x|2 ≤c V L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Do phát biểu Định lý suy từ Bổ đề 3.8, 3.9 bất đẳng thức (3.75), (3.76) Ta khác công thức đánh giá (3.8) (3.10), hay nói cách khác số hạng V log |x| L1 (B1 ) V log |x| L1 (R2 ) , tốc độ giảm dần trọng lượng Hardy tương ứng: ∞ (HB u, u) ≥ (ρu, u) ∀u ∈ C0 R2 ,  −1   + |x|2 log2 |x| , Φ∈Z ρ(x) = c −1   + |x|2 , Φ ∈ Z / Chú ý 3.8 Thừa số logarit trường hợp Φ ∈ Z cụ thể R2 Chẳng hạn miền loại đường sóng R × (0, 1) trọng lượng Hardy phân rã vô |x|−2 độc lập với thơng lượng tồn phần, xem [EK] 3.5.3 Chứng minh Mệnh đề 3.1 Chứng minh Mệnh đề 3.1 Theo [BL, Sec.6] với σ > ta có lim λ−σ N (P0 − λWσ , 0)L2 (R+ ,rdr) = lim λ−σ N (P0 − λVσ , 0)L2 (R+ ,rdr) λ→∞ λ→∞ σ−1 = 71 Γ σ− √ πΓ(σ) (3.77) Vì V xuyên tâm, nên toán tử HB − V cho ta khai triển tương tự với (3.50) Do N (HB − λ, 0) = N (hm − λV, 0)L2 (R+ ,rdr) ≥ N (h0 λV, 0)L2 (R+ ,rdr) m∈Z (3.78) Từ giả thiết B bất đẳng thức Hălder ta c o (r) = o (V (r)) , r → r2 Từ cách nhóm Dirichlet-Neumann chuẩn ta có lim λ−σ N (h0 λVσ , 0)L2 (R+ ,rdr) = lim λ−σ N (P0 − λVσ , 0)L2 (R+ ,rdr) λ→∞ λ→∞ (3.79) Theo nguyên lý biến phân kết hợp với (3.77) (3.79) suy lim inf λ−σ N (h0 − λV, 0)L2 (R+ ,rdr) ≥ lim λ−σ N (P0 − λcVσ , 0)L2 (R+ ,rdr) λ→∞ λ→∞ > 0, c > số thích hợp Từ (3.78) ta có phát biểu thứ Mệnh đề Để chứng minh phát biểu thứ hai ta giả sử Φ(r) = −k ∈ Z với r đủ lớn Tương tự ta có lim inf λ−σ N (HB − λV, 0) ≥ lim inf λ−σ N (hk − λcWσ , 0)L2 (R+ ,rdr) λ→∞ λ→∞ = lim λ−σ N (P0 − λcWσ , 0)L2 (R+ ,rdr) > λ→∞ Chú ý 3.9 Từ chứng minh Mệnh đề 3.1 rõ ràng ta thấy tăng siêu tuyến tính N (HB − λVσ ) xuất với từ trường khơng có điểm kì 72 dị mạnh gốc Cụ thể hơn, với (3.19) số hạng Φ2 (r)/r2 không trội điểm kì dị V σ(r) r → Ví dụ trường hợp trường AharonovBohm, Φ(r) số, xem Chú ý 3.3 73 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J.E Avron, I Herbts B Simon (1978), Schrădinger operators with o magnetic fields, Duke Math J [4] MS Birman and A Laptev (1996), The negative discrete spectrum of a two-demensional Schrădinger operator, Comm Pure and Appl o Math XLIX [5] Kovarik, S Vugalter and T, Weidl (2007), Spectral estimates for two-dimensional Schrădinger operators with application to quano tum layers, Comm Math Phys 275 [6] A Laptev and T Weidl (1999), Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms, Oper Theory Adv Appl 108 [7] E Lieb (1976), Bound States of the Laplace and Schrădinger opo erators, Bull Armer Math [8] M Reed and B Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics, I Functional Analysis, Academic Press, New York 74 [9] Gerald J Tesch (2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrădinger Operators, Academic o Press, New York [10] Tạ Ngọc Trí (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University, England 75 ... 35 j