LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T8 Tạ Ngọc Trí, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn thành luận
văn này
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
Tác giả
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của số các giá trị riêng của tốn tử Schrưdinger từ tính trong không gian hai chiều" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân
tôi
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
Tác giả
Trang 3Mục lục Mở đâu | -.cŸẶŸ 2222 4
Chương 1 [Kiến thức chuẩn bị| 7
1.1 |Các không gian| cẶ Ăn 7
1.1.1.|Không gian BanaechlL eenet ene vớ 7
1.1.2 |Không gian ƑP [ Ặ nnn nnn eens 8 II Non 0O na 11 1.1.4 |Không gian Hilbert[ HH nh ng ng kh kẻ 12 1.2.|Các toán tửỬ| cQQQ ng ng nh ky 14 1.2.1.|Toán tử tuyến tính bị chặn| c2 SE nh nh và 14 1.2.2.|Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert[ - 19 1.3.|Phổ của toán tử| c2 22s 20 Chương 2 [Tốn tử Schrưdinger| - 23 2.1.|Một số định nghĩa và tính chất| 24 2.2.|Phổ của một số dạng toán tử Schrưdingerl 30 2.2.1.|Tốn tử Schrưdinger dạng Hạ + VỊ ẶẶẶẶẶẶSẶSSS 30 À 2.2.2.|Toán tử Schrödinger dạng —A — el "dd 31 x N N 2.2.3.|Toán tử Schrödinger dạng — Ð} A; + YO) Vj g(aj — wp)| 0 0 eee 35 j=l j<k
Trang 5Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Toán học chính là ngôn ngữ để miêu tả một cách gọn gàng và logic các định lý, định luật của vật lý Toán tử Schrédinger chính là một trong ví dụ điển hình của ngôn ngữ đó Thật vậy, trong cơ học lượng tử, mỗi
vật chất có thể được mô tả bởi một toán tử tự liên hợp - ma trận đối xứng xác định trên IR" hữu hạn chiều Chẳng hạn —A là một toán tử
tự liên hợp trong £?(R*") khi xác định trên một miền thích hợp (Không gian Sobolev H?) No tương ứng với một chất điểm tự do di chuyển trong không gian Dùng hàm sóng ø(z,f) € £?(IR") ta có thể mô tả được vị trí của chất điểm và xác suất để tìm nó trong miền © tại thời điểm t= Jo |o(x, £)|Ÿ đz Dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp pha ổn
định ta thu được các đánh giá cần thiết
Vấn đề được quan tâm là số các giá trị riêng khơng âm của tốn tử Schrưdinger từ tính trong khơng gian hai chiều bị chặn bởi các điện thế tương ứng, các ước lượng này không còn đúng nếu không có từ trường Cận trên tương ứng phụ thuộc vào tính chất của từ trường như thế nào và sự liên hệ với bất đẳng thức Hardy ra sao Dể làm rõ vấn đề này ta sẽ đi nghiên cứu về nó
Trang 6“Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiêu” nghiên cứu
2 Mục đích nghiên cứu
+ Tìm hiển về tốn tử Schrưdinger, cận trên của số các giá trị riêng của tốn tử Schrưdinger từ tính trong không gian hai chiều
+ Các định lý, ví dụ và kết quả liên quan về toán tử Schrödinger từ tính trong một số trường hợp
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trinh bày các định nghĩa, định lý, các ví dụ cụ thể về tốn từ Schrưdinger từ tính
+ Cận trên của số các giá trị riêng của tốn tử Schrưdinger từ tính trong không gian hai chiều
+ Nêu các ứng dụng của tốn tử Schrưdinger từ tính trong không gian hai chiều
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trang 75 Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề + Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử tự liên hợp, toán tử trong không gian Hilbert
6 Dự kiến đóng góp
+ Hệ thống một số dạng của toán tử và kết luận cận trên của số các giá trị riêng của tốn tử Schrưdinger từ tính trong không gian hai chiều
Trang 8Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các không gian
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (R hoặc C) Một ánh xạ p: X -> R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) p(z) > 0 với mọi z € X;
p(z) = 0 © z = 0 (8 là kí hiệu phần tử khơng trong X); (đ) p(Az) = |A|p(z) với mọi số À € và mọi zø € X;
(H) p(z + ) < p(z) + p() với mọi z, € X
Số p(z) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(z), thông thường ta kí hiệu ||z|| thay cho p(z)
Không gian vectơ X cùng với chuẩn ||-|| trong nó được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||-|))
Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi +, € X, đặt
Trang 9Khi do, p là một metric trên X
Định nghĩa 1.2 Dãy (z„) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến xạ € X nếu lim ||z„ — zo||= 0 n> oo Khi đó, ta kí hiệu lim x, = 2p hoac x, 4 2, khin > co n—- oo
Mệnh đề 1.2 Dãy (z„) trong không gian định chuẩn X được gọi là một day co ban (hay day Cauchy) néu
lim ||#„ — z„|| = 0
mn oo
Dinh nghĩa 1.3 Không gian metric dude gọi là day di néu moi dãy
Cauchy đều hội tụ
Định nghĩa 1.4 Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ (với khoảng cách ø(z, ) = ||( — ø)||) Khi đó X được gọi là một
không gian định chuẩn đầu đủ, hay còn gọi là không gian Banach
1.1.2 Không gian L’?
Định nghĩa 1.5 Cho (X, Ø,) là một không gian đo được, nghĩa là X
là một tập và
(i) G 1A mét ø - đại số trong X, nghĩa là G 1A một họ những tập con
của X sao cho
Trang 10(b) AEG > A’ EG, A là phần bù của 4
(c) Néu A, € G,Vn thi > A, € G,
n=1
(ii) « 1a một độ do xac dinh trén G, nghia la : G > [0,00) thỏa mãn
(a) (0) = 0,
(b) Nếu (4) là họ đếm được các phần tử rời nhau của Ø, thì
Phần tử của Ø gọi là tập đo được Dôi khi ta viết |A| thay cho (44)
Tập A € Ø với tính chất (4) = 0 gọi là tập có độ do không Ta nói rằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó
đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X
Hàm ƒ : X —> R gọi là đo được trên A4 nếu
VaER: {re A: f(r) <a} eG
Trong truéng hop X = R" va 6 là những tập hợp đo được theo nghĩa Lebesgue thì ta nói tắt ƒ(z) là hàm đo được Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f(x) trén tập đo được A được kí hiệu là
/ ƒ(z)du(z) hoặc J ƒ(z)4(z) hoặc / f(a)a"(x),
A A A
Nếu f f(x)d(z) < co thi ta noi f(x) kha tich trén A Ta luon quy ước A
hai hàm ƒ và ø đo được trên X là bằng nhau nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X, nghĩa là
Trang 11Định nghĩa 1.6 Cho (X,GØ,/) là một không gian đo được Kí hiệu L'(X, ) (hoặc L1!) là không gian các hàm khả tích trên X với
fll = lth = f Islan = f itl
Cho p € R với l < p< oo, kí hiệu, L? 1A khong gian cdc ham s6 f(z) c6 lity thiva bac p kha tich trén X, nghia la |f(x)|? € Lt vdi
l/p
I/l„ = lIfll, = ( [ i'd)
Kí hiệu ® là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại
hằng số Œ để |ƒ(z)| < C hau khắp nơi trên X với
l/l,- = I/ll, = inf{C : |[ƒ(z)| < Œ hầu khắp nơi trên X}
Định nghĩa 1.7 (Không gian 7") Cho (X, Ø,) là một không gian do
được Họ tất cả các hàm số ƒ(z) có lũy thừa bậc ø (l1 < p< œ) của
modun khả tích trên X, tức là sao cho
1p
l= | [eran | <
goi la khong gian L?(X, 1)
Khi đó 7?(X, ø) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu
khắp nơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R*, Li la do do
Lebesgue thi ta viét L?(X) Néu X = [a,b] C R’, w 1a độ do Lebesgue
thi ta viét L?(a,b) ho&c Ty và néu X = [0,1] thi viét don gidn L?
Trang 121.1.3 Không gian Sobolev
Cho © là một tập mở con của IR*" có biên là Ø9
Định nghĩa 1.8 Cho số nguyên mm > 0 và 1 < p < œ Không gian
5obolev được định nghĩa như sau:
W””(9) ={uce L?(Q)| Du € L?(Q), Jal < m}
W”*” là tập hợp tat cA cdc ham thudc L?(Q) cé dao ham suy rong dén m cũng thudc L?(Q)
Ta có ŒX(Ô) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Q thi tri: mat trong L?(Q), véi 1 < p < oo Nếu ó *(ễ) thỡ
D Cđ(â), với mọi đa chỉ số œ Như vậy,
ŒZ(9)C W””(9)C (9), 1<p<œ
W?(Ơ) là một khơng gian vectơ
Trén W™?(Q) ta trang bị một chuẩn ||-||,„„„ như sau: ™,DP, Với l < p< œ, ta định nghĩa
1/p
Hava = 4 > IDs, b (o<lal<<m )
Với p = oo, ta định nghĩa
|Ì+Ì,„ o = 02 la em D“#||¡-(ey:
Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W?(Q) = H”(©), cho u €
H™ (Q), khi d6
Trang 13Ta định nghĩa m/2 H™(R") = {ác 12(R9)| (+ ÉP)” ”á(6) € 12(R*)} At 2 véi chuan 2 Wallac) = f A+ IEE)" wey Re
1.1.4 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.9 Cho ? là một không gian vectơ trên trường số C (gọi tắt là không gian vectơ phức) Ánh xạ ?( x Tí —> (x,y) + (x,y) được gọi là một fích vd hudng trén H néu no thoa man cdc điều kiện sau:
(i) (x, x) > 0 với mọi zø € ?í;
(z,z) =0 z= 0( 0 là kí hiệu phần tử không trong ? );
(ii) (y,v) = (x,y) v6i moi x,y € ?í;
(iii) œ +z,0) = ứ,) + (+0) với mọi z,z', € Tí (iv) (Az,) = À(,) với mọi z € ?, mọi số À € Œ
Trang 14Định nghĩa 1.10 Cho ? là một không gian vectơ trên trường số C Ánh
xa B: Hx H — C duoc gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear
form) néu B(x,-) 1A tuyén tinh, B(-, yo) 1A lién hop tuyén tinh:
Br +y,2+w) = Blx,y) + B(x, w) + Bly,z) + Bly, w),
B(az,b#) = abB(z, 0) véi moi z,y,z,w € H,a,beEC
Định nghĩa 1.11 Không gian vectơ phức ?( được trang bị một dạng tuyến tính rưỡi (-,-) thỏa mãn (+,#) > 0 với mọi z € # \ {0}, được gọi là không gian có tích uô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong 2) Khi đó, (-,-) gọi là tích vô hướng trên ?{ Không gian có tích vô hướng còn gọi là không gian tiền Hilbert
Cho H là không gian tiền Hilbert Với mỗi z € ?, ta đặt ||z|| =
V4,z) Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy-Schwarz2):
Jz.ø)| < lzllllul, Ve,yeH
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:
Mệnh đề 1.3 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn
lzl= vứ,z)
Trang 15Định nghĩa 1.12 Nếu không gian tiền Hilbert # với metric cho béi ø(#, ) = ||(œ, 0)|| là một không gian metric du, thi 4 được gọi là không gian Hilbert
Từ đây trở đi, # sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert
1.2 Các toán tử
1.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.13 Cho X,Y là các không gian vectơ định chuẩn trên trường số K, ánh xạ T': X -> Y tuyến tính nêu
T(az + Ø8) = aTz) + B(Ly)
với mọi z,€ X và œ,Øje€ K
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính 7' là một toán tử tuyến tính bị chặn (bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số Œ sao cho Ifzlly < Cllellx VỚI mỌi # € X Số 7' nhỏ nhất được gọi là chuẩn của 7, kí hiệu là ||7|| hoặc lfllxx: Do đó, ITII= sup ||Tarlly Welly =1
Trang 16Mệnh đề 1.4 Cho T' là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) T bi chan; (1) T liên tục;
(iii) T liên tục tại điểm 0
Định nghĩa 1.14 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệu £(X,Y) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bi chan từ không gian X vào không gian Y Xét A, Ð là hai toán tử thuộc £(X,Y), khi đó ta đưa vào £(X,Y) hai phép toán:
e Tổng của hai toán tử A,B € L(X,Y) là một toán tử, kí hiệu là
A+B và được xác định bởi biểu thức
(A+ B)(x) = Av + Br véi moi x € X;
e Tich vô hướng của œ € € với toán tử A4 € £(X,Y) là một toán tử,
kí hiệu là œA và được xác định bởi biểu thức
(œ4)(z) = a(Az)
Dễ dàng kiểm tra được rằng 4+ 8 € £(X,Y), aA € £(X,Y) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tập £(X,Y) trở thành một không gian vectơ trên trường C Trong trường hợp Y = C thì Z(X,€) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu là X” Nếu Y = X thì Z(X,Y) được kí hiệu gọn lại là £(X)
Trang 17T
P| = sup Pally WP Telly EX
Không gian £(X,Y) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
@) J7z|| < ITIIllzll với mọi z € X
(ñ) Với mọi e > 0, tồn tại z; € X : ||T||— e < |\7z:|
Mệnh đề 1.5 Nếu Y là đầy đủ thì £(X,Y) là không gian Banach Từ mệnh đề trên suy ra X* luôn là không gian Banach
Dinh ly 1.2 ([8]) , Ki hiéu £(H) là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Cho T,, là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (T,,z, y)
hội tụ khi n > oo với mọi ?( Khi do tén tai £L(H) sao cho T, “+ T (hội tụ yếu)
Nếu một dãy các toán tử 7, trên không gian Hilbert có tính chất 7}, hội tụ với mọi z € ?, khi đó tồn tại 7 € £(?0) sao cho Tj, -> 7' (hội tụ
mạnh)
Cho 7 € £(X,Y) Tập các vectơ z € X sao cho Tx = 0 được gọi là
nhân của T, kí hiệu là Ker(T’) = {x € X|Tx = 0} Tập các vectd € Y sao cho = Tz với z € X được gọi là miền giá trị của T, kí hiệu là Ran(7) = {u= 7z|z € X} Ta có Ker(7) và Ran(7) là các không gian con
Trang 18Banach) của 7, kí hiệu là 7", là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y* tới X” được cho bởi công thức
(T'Ð(œ) = t(Tz) với VÉC Y*,z€ X
Định lý 1.3 (|[Š|) ,Cho X,Y là hai không gian Banach Ánh xạ T > T'
là một phép đẳng cấu đẳng cự của £(X,Y) vào £(Y*, X*)
Đặc biệt, 7 là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert ?í vào chính nó Khi đó liên hợp không gian Banach của 7' là ánh xạ từ H* t6i H* ChoC : H —> ?í' là ánh xạ ứng với mỗi y € H, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn (,:) trong ?' Xét Ở là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp và toàn ánh Chúng ta định nghĩa ánh xạ 7” bởi công thức
T'=C'TC
Khi đó 7” thỏa mãn
(x, Ty) = (Cx)(Ty) = (C'T'Cz,y) = (T*x, y)
T* duoc goi la lién hop (trong khong gian Hilbert) của 7' nhưng chúng ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là 7" để phân biệt với 7" Chú ý rằng ánh xạ 7' —> T* là tuyến tính liên hợp nghĩa là œ7' — #7”, do Œ là tuyến tính liên hợp
Dinh ly 1.4 ((8]) ,
(a) T + T* IA phép dang cau ding cit tuyén tinh lién hop tit £(H) lén
Trang 19(b) (TS)' = 8*T"; (e) (T*)* =7:
(d) Nếu T' có toán tử ngược bị chặn T! thì T* có toán tử ngược bị chặn va (T*)~! = (T7!)*;
(e) Ánh xạ T — T* luôn liên tục trong tơpơ tốn tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục trong tơpơ tốn tử mạnh nếu 7t là hữu hạn chiều;
% 2
(0 ||T*T | = ||T |
Định nghĩa 1.16 Toán tử bị chặn 7' trong không gian Hilbert được
gọi là fự liên hợp nêu T' = T"
Định nghĩa 1.17 Nếu P € £() và P? = P thì P được gọi là một phép chiếu Nêu thêm điều kiện thì P = P* được gọi là phép chiếu trực
giao
Dinh nghĩa 1.18 Cho X 1a khong gian Banach, £(X) tà tập các toán tử bị chặn trên X Toán tử A € £(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại tốn tử Ư € £(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong
Trang 20Định lý 1.7 Nếu toán tử A € £(X) khả nghịch và toán tử B € £(X) sao cho
1 I4 = BÌ< a J.4-'|
thì toán tử B khả nghịch
Định nghĩa 1.19 Toán tử 7' được gọi là compact nếu nó liên tục và biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu A/ là
tap bi chan thi T(M) 1A compact tương đối (7(ă) compaet)
Định nghĩa 1.20 Todn tu Hilbert-Schmidt T 1a toán tử trên ?( thỏa mãn tính chất oO 3` |7e,lỦ < %, n=1 4A: x A 2, 2 2
vGi €1, ,€, lA mOt cd sé truc chuan cha H
Toán tử Hilbert-Schmidt khong chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact
1.2.2 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.21 Cho ? và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu B(H, K) là tập các toán tử bị chặn từ ?( vào K, toán tử A € 6(H, 1d) Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A* € 8(H, K) sao cho (Ah, k)„ = (h, A*k) v6iVhEH, KEK
Toan ttt A* dugc goi la todn tit tự liên hợp của toán tử A Trong trường
Trang 211.3 Phổ của toán tử
Định nghĩa 1.22 Cho X là không gian Banach trên trường số C, Z(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử 7 € £(X) Phổ của toán tử 7' kí hiệu là ø(7) là tập tất cả các số phức À sao cho khi đó T'— À1 không khả nghịch (tức là det(7 — À1) = 0, khi X là không gian hữu hạn chiều), trong đó 1 là toán tử đơn vị
Định nghia 1.23 Cho T € L(H) Tập hợp giải được của T` xác định bởi
p(T) = {re C\(T-dy* e L(H)} (1.1)
Chính xác hơn, số phức À € ø(7) khi và chỉ khi 7 — À là song ánh với
toán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được gọi là phổ
o(T) = C\p(T) (1.2)
của T
Đặc biệt, khi À € ø(7) và nếu 7'— À có hạt nhân không tầm thường Khi đí một vectơ khác không jạ € Ker(T — À) được gọi là 0ecfơ riêng và À được gọi là giá †rị riêng tương ứng trong trường hợp đó
Hàm
Rr : p(T) + L(H)
Aw (TA)
được gọi là giải thúc của T' tại À Ta có công thức sau:
Trang 22Đặc biệt,
Định nghĩa 1.24 Cho 7 € £(X)
(a) z # 0,z € Xthỏa mãn 7+ = Àz với À € C được gọi là 0ecfø riêng của 7, À tương ứng được gọi là giá tri riéng Néu À là một giá trị riêng thì 7 — \1 không là đơn ánh do đó À thuộc phổ của 7 Tập các giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T, kí hiệu là ø„(7); (b) Nếu Ker(7 — À1) = 0 và nếu Ran(T' — À1) không là giá trị riêng
và nếu Ran(7 — À1) không trù mật thì A thì được gọi là phổ dư ; (c) Phổ rời rạc , kí hiệu øa(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số
bội hữu hạn Khi 7 là toán tử liên hợp thì
ø4(T) = {À € ø,(T)|rank(Pr(AT— e,À + £)) < œ với mỗi e > 0};
(d) Phổ thiết yếu ơ (T) = ø(T)\øơa(T), khi T là toán tử tự liên hợp thì
Oess(T) = {A € R|rank(Pr(À — e,À +e)) = œ với mỗi e > 0}
Dinh ly 1.8 ([9]) Tap giải được p{(T) là tap md va Rp : p(T) > L(H) là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh điểm Àg € p(T) Thêm vào đó
#z(A)ll > dist(A, ø(7))”1
Trang 23Bồ đề 1.1 ([0|) Ta có À € ø(7) nếu tồn tại dãy „ € D{(T) thỏa mãn
|(L — Awv,)|| > 0 Nếu À là điểm biên của p(T) thì điều ngược lại vẫn đúng Dãy có tính chất như trên được gọi là dãy Woyl
Bổ đề 1.2 (|9|) Giả sử 7 là đơn ánh Khi đó
z(T~})\ {0} = (o(A)\ {0})*
Ngoài ra ta có Tụ = ÀU khi và chỉ khi TT = ÀA~!ú, À #0
Định lý 1.9 (||) Cho T là toán tử đối xứng Khi đó T' là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi ø(T) CR và (T — X) >0, X €R khi và chỉ
khi ø(T) € [X,s] Hơn nữa ||Rr(A)|| < |Im(A)| ` nến (7T — E) > 0;
IR+(A)l|< |À— X| ” nếu À < X
Định lý 1.10 (9|) Cho 7 là toán tử tự liên hợp Khi đó
inf o(T) = inf (Ww, Tw) eD(T),||||—1
và
sup ø(T) = sup (ww, Tw)
eD().|¿l|=1
Định lý 1.11 (|9|) Cho 7' là toán tử đối xứng Khi đó tất cả các giá trị riêng là thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng trực
giao
Trang 24Chương 2
Toan tu Schrodinger
Nhiều tác giả đã nghiên cứu tốn tử Schrưdinger dưới những khía cạnh khác nhau Trong chương này, chúng tôi xin đề cập đến ba dạng tốn tử Schrưdinger đó là H=Hj,+V À H=-A- i D(H) = H?(R°) x N N H=-S 2A; + Via (aj — 2) j=l j<k
đồng thời cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng
Trang 252.1 Một số định nghĩa và tính chất Cho Œ®(R") là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng bậc bất kì Với ƒ € Œ*(R”) và œ € Ñÿ ta đặt olelf Ax" ++ Axe? Một phần tử œ € Ñÿ được gọi là một đa chỉ số và |œ| là bậc của nó Ta Œ — „ỢI On c= 2X, xy",
Onf = la] =a, + + +a
nhac lai rang khong gian Schwartz
Sứ) = {7 € C*(#9|Isap|z"(0,/)6)| < se,a,/ € Nụ }
trù mật trong F?(R”) (do C#(R") C S(R")) Chú ý rằng nếu f € S(R") thì cũng đúng với z^ƒ(z) và (9„ƒ)(z) với mỗi đa chỉ số œ Với mỗi f € S(R") ta định nghĩa
f | ~É# Ƒ(x)d"œ
fir) = Soe [eso (2.1)
F(f)(p)
là phép biến đổi Fourier của hàm ƒ
Bồ đề 2.1 ([9|) Phép biến đối Fourier ánh xạ không gian Schwartz vào
chính nó, F : S(R") —> S(R") Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số œa € Ñj và mỗi f € S(R") ta cé
Trang 26Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần ta có 2 nu 1Ó [ y ềÐ 3“ a 1 0 —lp# nm = om? I (-sre ) ƒ(z)d"z
Công thức thứ nhất được suy ra bằng quy nạp
Tương tự công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng A Ị —ipz m (A) = oe [ meses 1 : ð —lp# m = Om? I (igre ) f(x)d"x Ta thấy rằng f € S(R") néu f € S(R"), ta bat dau vdi nhan xét f bị chặn, thực tế thì |JŸJ„ < (9z)*"”|Jf|J, Còn g*(Ø;Ê)(ø) = ¡-I8l=l2l(Ø%z5 Ƒ(z))^{p) bị chặn vì 6*z?ƒ(z) € S(R") nếu ƒ € S(R") Bồ đề 2.2 ([9]) Cho f € S(R") Khi dé
(f(a + a))*(p) =e" f(p), a ER", (2.3)
(f(Az))°(ø) = s„Ê(?), A>0, (2.4)
Dinh ly 2.1 (9) Phép bién doi Fourier F : S(R") > S(R") là một song anh Phép bién ddi Fourier ngugc cho bởi
~ .h 1 ipa m na
Trang 27Ta c6 F?(f)(x) = ƒ(—z) và do đó Z1? = 1 (1 là toán tử đơn vị) Chứng mình Theo tính hội tụ bị trội ta có 1 (2z)"? 1 SỐ CÀ = li -(pìc1* d” im [ oe: (p)e”" ƒ(p)d"p c0 (Qn)? (Fo)"(@) = [em foe sử dụng Định lý Fubini và Bổ đề ta tiếp tục có 1 = lim 230 (2z)" I (d-(p)e”") (y) f (yd"y 1 | — 2-0 —#)ƒ(u)J°u R
Ta có điều phải chứng minh
Trang 28Nếu ƒ,ø bị chặn thì các hàm fr(p) = X{pp2<ny(p)f(p) va gr(x) =
Xtpp><n}(#)9(2) nằm trong L? Vậy øn(z)ƒn(p) compact Do
lø(z)ƒŒ0) — gr(@)Fr(P)Il S Wglloollf — Fells + M9 - øals, ||» |
tiến đến g(x)f(p) theo chuan, tit d6 f,g triệt tiêu tại vô cùng
Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến xe(ạ + ï)~! là compact nên © là tập bị chặn trong R” Do d6 Jm lvoe |? = 0 với mdi ham w € L?(R") và Q bị chặn trong R“ Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển đến
vô cùng từ đó có thể tìm được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến 0
Bổ đề 2.4 (Riemann-Lebesgue, [9]) Kí hiệu Œ„(JR") là không gian
Banach của tắt cả các hàm số liên tục ƒ : Ñ" —y C triệt tiêu tại vô cùng
được trang bị chuẩn sup Khi đó phép biến đổi Fourier là một đơn ánh bị chăn ánh xạ từ L!(R") vào Œ (R") thỏa mãn IlI« < (2z) ”2|IIi (2.6) Chứng minh Rõ ràng ta có ƒ € Ơ„(R") nếu ƒ € S(IR") Hơn nữa, từ đánh giá 1 "` cớ wll saa | le 2”70)fz= a | eles
chứng tỏ ƒ € Œ(R*) với f bat ki thudc L!(R"), tit do S(R") tri mat
trong L'(R") Dé chitng td phép bién ddi Fourier 1A don ánh ta giả sử f = 0 Theo Dinh ly Fubini ta có
Trang 29với mọi y € S(R”) Từ đó suy ta ƒ = 0
Định nghĩa 2.1 Tốn tử Schrưdinger tự do là toán tử có dạng Hy = —A, D(Hy) = H?(R"), (2.7) trong đó A là toán tit Laplace Tỉ @ A= — » Ox? j=l 7
Dinh lý 2.2 ([9|) Toán tử Schrödingcr tự do Hạ tự liên hợp và phổ của nó được cho bởi
o(Ho) = [0, 00) (2.8)
Chitng minh Diéu kién đủ là chứng tỏ dp, hoan toàn liên tục tuyệt
đối với mỗi ¿ Trước hết ta thấy rằng
(0, Ruu(2)0) = (ó, Re(s)0) = | WON ry = [ —djny(r), Ry pp —Z raz
trong đó
diol) = xu«fn1 (lê) } ức gi
Trang 30Bồ đề 2.5 (9|) Tập
ŒX(R”*) = {7 € S(R")| supp(f) compact}
là miền lõi của Hạ
Chứng minh Dễ thấy S(IR") là miền lõi nên điều kiện đủ là chứng
minh bao đóng của Ao|cx (er) chứa THhls(a»):
Lấy hàm ¿(z) € ŒX(") sao cho hàm (x) = 1 với |z| < 1 và triệt tiêu với |z| > 2 Đặt g„(z) = g(+z), khi đó „(z) = œ„(2)0(z) nằm trong C®(R") với mỗi € S(Ñ”) và „¿ —> t tương ứng với Aw, — Av
Ta lưu ý rằng dạng toàn phương của Hụ được cho bởi
qHy(w) = >| |Ø;U(z)|Ïd"z, — ủc D(Hp) = H!(R")
j=1 RU
Định nghĩa 2.2 Cho V : ]R" — R 1A mot ham số, fẹ là toán tử nhân với V và Schrödinger tự do trên L?(R") Toan tt H = H)+V trén không gian Hilbert L?(R”) cho béi Hyp + Vụ với € L”(R"), được gọi là tốn tử Schrưdinger hoặc toán tử Hamilton
Về miền xác định của toán tử ï và tính liên hợp của nó được khẳng định qua định lý Kato-Rellich, với Họ là toán tử tự liên hợp và giả sử V
là một toán tử đối xứng với D(Hạ) C D(V) sao cho có a < 1 và số b để
IIV(2)1| < ø || Hsớ|| + ð ||ø|
với mọi ¿ € D(Hụ) Khi đó Hạ+V xác định trên D(Hạ)nD(V) = D(Hn)
Trang 31Toán tử Hụ thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thường được gọi là toán tử thế năng
2.2 Phổ của một số dạng tốn tử Schrưdinger
2.2.1 Tốn tử Schrödinger dạng Hạ + V
Xét toán tử
H=Hụ+V, (2.9)
trong do V : R¢ > R 1A ham thế năng lượng của chất điểm Ở day ta quan tâm đến trường hợp 1 < đ < 3 và tìm lớp các hàm thế mà bị chặn tương đối ứng với compact tương đối Để thực hiện điều này ta cần hiểu
Trang 32Chứng tỏ € L!(R") Theo Bổ đề Riemann-Lebesgue |2.4| ta có (p°+ 3”) '| (| pv(o)|| +7 ó(p)||) (+1) |7? le + li) lu|l„ < (2z) "# = (/2z)"” Bổ đề được chứng minh Định lý 2.3 (|9]) Cho hàm V có giá trị thực, V € L%(Ñ") nến n > 3 và V € L&(R") + L?(R") néu n < 3 Khi đó V compact tương đối ứng với Hạ Đặc biệt, H=H,+V, D(H) = H?(R") (2.11) tự liên hợp, bị chặn dưới và Coan (H) = [0,00) (2.12)
Hon nữa, C?°(R") là miền lõi của H
Chứng minh Theo bổ đề nêu ở trên chứng tỏ D(Hg) C D(V) Hơn
nữa từ Bồ đề |2.1| với ƒ(p) = (p?— z)"} và g(x) = V(x) (lưu ý rằng
ƒƑƒ€ L(R")n r?(R") với ø < 3) chứng tỏ V compact tương đối Do đó từ Bổ đề |2.5| ta có Œ(R") là miền lõi của Hạ, điều này cũng đúng với H theo định lý Kato-Rellich Ti trén ta thay, do Co°(R") C D(Ho) nén phải có V € 1ÿ (R") nếu D(V) C D(H)) A 2.2.2 Tốn tử Schrưdinger dạng —A — inl x
Trang 33thiết là cố định tại điểm gốc) Nếu trong tính toán ta chỉ lấy lực tĩnh
điện thì khi đó V được cho bởi trường thế Coulormmb và phương trình Hamilton tương ứng cho bởi
nữ - -A_ À a" D(H) = H?(R?) (2.13)
Nếu trường điện thế là hấp dẫn, nghĩa là y > 0 khi đó nó mô tả nguyên tử Hiđro và có thể đây là một mô hình nổi tiếng nhất trong cơ học lượng tử
Chọn miền D(WŒ)) = D(,)n Dũ) = D(H) và st dung Dinh lý ta rút ra Ữ) tự liên hợp Hơn nữa cũng theo Định ly [2.3] ta cd
Oess(H) = [0, œ) (2.14)
va H” bị chặn dưới
Ey = inf o(H") > —oe (2.15)
Nếu + < 0, ta có ïWỮ > 0 và do vay Ey = 0, cdn néu + > 0 thì ta có E < 0 và có một số giá trị riêng rời rạc dưới phổ thiết yếu
Để nói về các giá trị riêng của #Œ) ta sử dụng cả ụ và Vf = —+/|z|
có biểu diễn đơn giản theo tỉ xích Xét nhóm giãn (dilation group) U(s)U() = e""*“U(e"°z), se€R (2.16) nó liên tục mạnh - nhóm đồng nhất tham số Dùng máy ta dễ dàng tính
được
Trang 34Bây giờ ta khảo sát tác động của U(s) trên #)
H's) = U(—s)H™U(s) =e -** Hy te8V"), D(H (s)) = D(H")
Ta giả sử Hụ = Àu, khi đó
(, [U(s), H]b) = (U(—s), Hủ) — (Hủ,U(s)) = 0 (2.19)
va do đó
0 = lim = (,[U(6), Hh) = tim (0 (9), == sU 8 s0 20) ) 8
= 00, (BH, + V0), (2.20)
Vậy ta đã chứng minh xong định lý virial
Định lý 2.4 (|9|) Giá sử H = Hạ + V với U(—s)VU(s) = e"°V Khi đó hàm riêng chuẩn hóa tÙ theo giá trị riêng À thỏa mãn
1
A= = (U, How) = 5 U,V) (2.21)
Đặc biệt, tẤt cả các giá trị riêng âm
Từ kết quả này ta có một số hệ quả cho phổ điểm của #) Hệ quả 2.1 ([0|) Giả sử y > 0 Khi đó
o,(H™) = oH) = {Ej-1h jen? Ey < E; < đa <0 (2.22)
với lim #; = 0 7—0
Chứng minh Chọn € C¿°(R\ {0}) và đặt j(s) = U(—s) Khi đó
(0(s), HỮU0(3)) = e ®(0, Hạu) + e "(0y VCĐá)
Trang 35rank(Đ„u›(Tœ,0)) = oo
Do mỗi giá trị riêng #; có hữu hạn số bội (nằm trong phổ rời rạc) nên phải có vô số các giá trị riêng chồng chất tại 0
Nếu + < 0 ta có øa(HÚ)) = Ú do trong trường hdp nay H™ > 0
Như vậy ta đã nhận được một hình ảnh khá đầy đủ về phổ của H)
Tiếp theo ta cố gắng tính các giá trị riêng của #Œ) (trong trường hợp + > 0) bằng các giải phương trình đặc trưng tương ứng, nó được cho bởi phương trình đạo hàm riêng
*
— Av(2) — Lula) = W(2) (2.23)
Đối với một trường thế tổng quát thì điều này không thể nhưng trong các trường hợp ta có thể sử dụng phép đối xứng quay của toán tử đưa vào phương trình đạo hàm riêng thông thường
Trước hết ta chuyển sang tọa độ cầu (#,#¿,#s) => (r,Ø,œ}
(i,2a,#3) E> (r,Ø,), 1 =rsin(A)sin(y), z¡ =rcos() (2.24) nó tương ứng với phép biến đổi đồng nhất
Trang 36Lấy tích ansatz (tách biến) 0(,8,ø) = R(r)©(8)8(2) (2.28) Ta được ba phương trình 5turm-Liouville như sau: 1d dc 1+1 (5t + v0) R(r) = AR(r) r2 dr dr r2 1 d d m in ( m0, + Sa) ©(0) = I(1 + 1)©(9) =1 #2) =m°ð(2) ẹ (229) N N 2.2.3 Tốn tử Schrưdinger dạng — >} A; + }} V;j¿(#; — #;) j=l j<k Xét toán tử N N H=~À`A,+ 2 Vja (a; — a4) (2.30) j=1 j<È
Đây chính là phương trình Hamilton tương ứng với hơn một chất điểm
Trước hết ta xét với hai chất điểm:
Ta kí hiệu tọa độ của chất điểm thứ nhất IA 2) = (711,219,713), toa độ của chất điểm thit hai 1A xo = (91,222,223) Néu ta gid sit d6 1A tương tác Coulomb, phương trình Hamilton được cho bởi
1
7 x1 — 29’
H=—A,-A, D(H) = H?(R°) (2.31)
Do Dinh ly không cho phép ta tính điểm kì dị với ø > 3, nó cũng không nói H tự liên hợp hay không Đặt
1 1 1
Trang 37khi đó trong hệ tọa độ mới H có dạng
H=(-Aj+ (-a - 2) (2.33)
lyk
Đặc biệt, nó là phổ của một chất điểm tự do với một chất điểm trong
trường mở rộng Coulomb Theo vật lý, phần thứ nhất ứng với tâm của
động lượng còn phần thứ hai ứng với chuyển động tương đối
Sử dụng +/(V2 |w›|) có (—A›) cận 0 trong L?(R3) không khó khăn lắm để thấy rằng điều này cũng đúng cho (—A¡ — A;) cận trong L?(R°) Dac biệt ï tự liên hợp và nửa bị chặn với mỗi y € R Hơn nữa +/(v2lw|)
compact tương đối theo (—A¡ — A¿) trong U?(R°®) từ đó nó compact
tương đối theo —A¿ trong Ƒ?(R®6) Tuy nhiên điều này không đúng, điều này đưa đến +/(v/2 |w›|) không triệt tiêu khi || > oo
Ta cùng nhìn bài toán này theo quan điểm vật lý Nếu À € ø,,.(H), nghĩa là chuyển động của toàn bộ hệ thống biết không bị chặn Có hai khả năng:
Thứ nhất, cả hai chất điểm rời xa nhau (ta bỏ qua sự tương tác) và năng lượng tương ứng bằng tổng động năng của hai chất điểm Do cả hai có thể bé bất kì (nhưng dương), ta hy vọng [0,o) C ø,;„(H)
Thứ hai, cả hai chất điểm gần nhau và cùng chuyển động Trong hệ
tọa độ cuối nó tương ứng với trạng thái bị chặn của toán tử thứ hai Do
đó ta hy vọng [Ag, ©) C Ø,;„(H), trong d6 Ay = -7/8 la gid tri riéng nhỏ nhất của toán tử thứ hai nếu các lực này hút nhau (+ > 0) va Ay = 0
nếu chúng đẩy nhau (A < 0)
Trang 38Cho 1¡(¡) là dãy Weyl ứng với À € [0,oo) thay cho —Á¡ và ¿(0a) là day Weyl ting với Às thay cho —As — +/(V2|ø›|) Khi đó, di (yr )v2(y2) là dãy Weyl ứng với À + Ào thay cho H và như vậy [À›, ) € ø,,„„(H) Ngược lại, ta có —A¡ > 0 tương ứng với —A¿ — +/(v2Iwl) > Ay va do
vậy H > Xo Vậy ta thu được
—_2
ơ(H) = øơ.,;(H) = [Àu, ®), ro = Ị ’ /8, y20 (2.34)
(9 y<0
Rõ ràng, dữ liệu vật lý thích hợp là phổ của toán tử A› — +/(v2|wa|)
được ấn đi bởi phd cha —A, Do vay để khám phá tính chất vật lý đầu tiên ta phải di chuyển tâm của động lượng
Để tránh rườm ra về kí hiệu, trong trường hợp này ta sẽ hạn chế có
một nguyên tử với electron mà hạt nhân của nó cố định tại điểm gốc
Đặc biệt, điều này dẫn đến chúng ta không phải nói đến tâm của động lượng mà ta gặp trong ví dụ trên Trong trường hợp này phương trình
Hamilton được cho bởi
N N N
HƠ =—SAj— j=l j=l Vui) + 3)” V2 (øị — em) j=l j<k
D(H?) _ H*(R?*), (2.35)
trong đó V„¿ mô tả tương tác của một electron với hạt nhân và V¿„ mô tả tương tác của hai electron Rõ ràng ta có
Vile) = 7 7 >0, j=ne,ee (2.36)
Trang 39Định lý 2.5 (Kato, [9|) Cho Vị € L£(R°) + L?(R4),d < 3 có giá trị thực và V}(#®)) là toán tử nhân trong L?(R"),n = Nd, đạt được bằng cách đặt #®) là tọa độ thứ nhất d của phép biến đổi đồng nhat cia R"
Khi đó V; là Họ bị chặn với Hạ cận 0 Đặc biệt
H=Hy+ > V(y), D(H!Y)) = H?("'), (2.37)
k
tự liên hợp và Œ?§°(IR") là miền lõi
Chứng minh Diều kiện đủ là xét một k Sau phép biến đổi đồng nhất của IR" ta có thé gia stt y = (z, , #a) qua phép biến đổi tích vô hướng cia L?(R") va Hy là bất biến nên ta đặt € S(R”) Khi đó
Trang 40Dinh ly 2.6 (HVZ, [0| Cho HŒ) là toán tử tự liên hợp Khi đó HtỲ)
bị chặn dưới và
ø¿;;(H()) = [AŸ~1! œ), (2.38) trong đó ÀX~! = minø(N(Ÿ~)) < 0
Đặc biệt, năng lượng ion hóa (năng lượng cần thiết để chuyển một electron ra khỏi nguyên tử trang thái cơ sở) của một nguyên tử có W electron được cho bởi ÀŸ — ÀX*=T,
Mục tiêu của chúng ta trong phần còn lại của mục này là chứng minh kết quả này được đưa ra bởi Zhislin, Van Winter và Hunziker và được biết đến là định lý HVZ Thực tế có một dạng đúng cho tổng quát hệ N Chứng minh tương tự nhưng cần phải thêm vào một số kí hiệu
Ý tưởng chứng minh như sau Để chứng minh [AŸ~!,oo) C øơ,¿;(H(X)) ta chọn dãy Weyl để H(Ÿ—~! và — Axy theo kiểu trực giác ở trên Để chứng minh ø,;;(Ht*)) C [AY~!,œ) ta hạn chế #tŸ) trên các tập trong đó một eleetron được bỏ xa hạt nhân Trên các tập này, mức năng lượng tương tác giữa các electron này và các hạt nhân giảm nhanh, do đó nó không đóng góp vào phổ thiết yếu Do vậy, phần còn lại là đánh giá inñïmum của hệ phổ trong đó một electron không tương tác với hạt nhân Do mức năng lượng tương tác với các clectron khác là dương, ta có thể đánh giá rõ ràng infimum này bởi infimum của trường hợp mà trong đó một eleetron được hoàn toàn tách riêng ra từ phần còn lại
Ta bắt đầu với bao hàm thức thứ nhất Cho jŠ~!(z, ,#wy-_¡) €