LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên Em xin chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSPHà Nội 2, các
thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện
giúp đỡ em hoàn thành thành khóa luận tốt nghiệp này
Em xin bày tở lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận tốt nghiệp
Do còn hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những
thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các
bạn đề đề tài của em được hoàn thiện hơn
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp là công trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này
Trang 3MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU -222-22222+222 L2 re 1
Do 8n hố 5 4
PÄ 00119001300 4 Chương 1: Phương Trình Truyền Sóng 2252 5¿+2<55255+2 6 1.1 Một vài khái niệm mở đầu -cccvccrtrrrtkerrrrrrtrirrrrrrrirrrrree 6
1.1.1 Chuyên động của hàm điều hòa đơn giản . -5¿ 575552 c5s2 6
1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyền . - 2-22 ©+2+zE+£xc2EEerxrerxrrrrrs 9 1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm 2- 2 ©cz+c++2zz+rxevrserseee 10
1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng ¿s¿©+z©c+e+cs2 11 1.2.1 Bai toan 11 1.2.2 Gidi ch 11
1.3 Nghiệm phương trình truyền sOng .ccccesssesseessesssesseessessesssecsesssesseesseeses 14 1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng -2- 2 2+cs+ce+cs+zesrxee 14 1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng -©+:sccsestsetretreerrerrrerere 18
VA VE GU 22
Trang 4LỜI MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong giải tích cô điển và phương trình đạo hàm riêng, sinh viên đã được
tiếp cận giải tích Fourier và những ứng dụng của nó Qua tìm hiểu ta thấy rằng, bản chất của giải tích Fourier được bắt nguồn từ các hiện tượng vật lý bên ngoài thực tiễn Để làm sáng tỏ bản chất này và cũng làm tài liệu cho khóa sau, em đã chọn đề tài “ Căn nguyên của giải tich Fourier” dé lam tài
liệu cho khóa luận tốt nghiệp của mình
2.Mục đích nghiên cứu
Qua đề tài nghiên cứu này ta co thé làm rõ được:
Co so vat ly cua giai tich Fourier
Ban chat vat ly cua phuong phap tach bién Ban chat vật lý của phương pháp D°Alembert 3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra
4.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier
Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt 5.Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá
Trang 5
6.Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Phương trình truyền sóng Chương 2: Phương trình truyền nhiệt
Trong suốt quá trình nghiên cứu ẹm đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của
các thầy cô trong tô giải tích khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là
thầy giáo Bùi Kiên Cường Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và
các bạn sinh viên đề đề tài này được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cám ơn!
Trang 6
Chương 1
Phương Trình Truyền Sóng
1.1 Một vài khái niệm mở đầu
1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn gián
Chuyên động của hàm điều hòa đơn giản được mô tả có trạng thái là hệ
thống dao động đơn giản nhất (gọi là dao động của hàm điều hòa đơn gián),
và đó chính là một cơ sở tự nhiên dé bắt đầu nghiên cứu về dao động Xét vật khối lượng {ø} được gắn vào một lò xo nằm ngang Một đầu được gắn vào
bức tường, và giả thiết rằng hệ nằm trong một bề mặt không có ma sắt
Chọn trục tọa độ có gốc trùng với trọng tâm của vật khi vật ở trạng thái
nghỉ (khi đó lò xo không bi kéo hay nén), như trong hình 1 Kéo vật rời khỏi vị trí cân bằng ban đầu Y 0 y0 v
Hình 1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản
và thả ra, nó sẽ chuyển động như một hàm điều hòa đơn giản Chuyển động này có thể mô tá bằng toán học khi ta sử dụng phương trình vi phân để thể
hiện sự thay đối chuyên động của vật
Trang 7
Gọi y(z)là vị trí của vật ở thời điểm ¿ Ta giả sử rằng, lò xo ở trạng
thái lý tưởng để định luật Hooke's được thỏa mãn: Lực phản hồi F tac dung
bởi lò xo lên vat cho boi F =—ky(r) Ở đây & >0là đại lượng vật lý được gọi
là hằng số của lò xo Áp dụng định luật Newton”s (lực = khối lượng x gia tốc), ta có: -ky(t)= my"(t), Với y”là đạo hàm bậc hai của hàm y, biến số /.Với c=,/k/m , phương trình vi phân trở về: (1) y"(t)+e7y(t)=0 Nghiệm tổng quát của phương trình (1 ) được cho bởi công thức: y(t) =acosct+bsinct,
voi a, b 1a hang số Tất cả các hàm số có công thức trên đều thỏa mãn phương
trình (1), và cũng rõ ràng, chỉ các hàm này là nghiệm của phương trình đã cho
Trong biểu y(¿)ở trên, với đại lượng c đã cho, ava bod thé đồng thời
là số thực Đề xác định nghiệm riêng của phương trình, ta phải đặt điều kiện
ban đầu cho hai hằng số chưa biết a và b Chang hạn, nếu đã cho y(0) và
y’(0)la vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật thì nghiệm của bài toán vật
lý được cho bởi công thức:
y(t) = y(0)cosct + YO) sin ct c
Trang 8
Đơn giản ta có thể kiếm tra được rằng: tồn tại hằng số 4>0và øc R sao cho:
acosct + bsinct = Acos(ct- 9)
Theo cách lý giải vật lý trên, gọi 4= 4a” +ø” là biên độ của dao động,
clà tần số tự nhiên, ølà pha (xác định duy nhất từ bội số nguyên của 2Z) và
2Zz/c là chu kỳ của chuyên động
Đồ thị tiêu biểu của hàm số 4= (coset — g)dugc minh hga trong hình
2, hình đại diện là một đường lượn sóng, nó thu được khi tinh tién va dan ra
(hoặc co lại) của đồ thị hàm số cos/
Ta quan sát hai chú ý trong phần ví dụ chuyển động của hàm điều hòa
đơn giản Chú ý một là sự diễn tả toán học của phần lớn các hệ dao động cơ
bản, gọi là dao động điều hòa đơn giản, bao gồm các hàm lượng giác cơ sở
của sin/,cosứ
Hình 2 Đồ thị của hàm số 4= (cosc¿ - Ø)
Điều này rất quan trọng vì sau đây ta sẽ nhắc lại mối quan hệ giữa những hàm này với số phức, như trong công thức Euler's e” =cosý+isin/
Nhận xét thứ hai là hàm điều hòa đơn giản được coi như một hàm theo biến thời gian với hai điều kiện ban đầu, một để xác định vị trí, một để xác định
Trang 9
vận tốc (ví dụ, tại thời điểm ¢= 0) Nhiều hệ dao động tong quát hơn cũng có
chung tính chất này, như chúng ta sẽ thấy ở bên dưới
1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển
Như ta thấy, đao động của sợi dây có thể xem là chuyển động của sóng
một chiều Bây giờ, ta sẽ mô tả hai loại chuyển động có biểu diễn là đồ thị
đơn giản
Loại thứ nhất, ta khảo sát sóng đứng Đó là những chuyên động được
mô tả bằng đồ thị y= u(x,t) theo biến thời gian ¿, sao cho y= (x,:)như
hình 3
Nói cách khác, tồn tại hình dang ban đầu y= ø(x)biểu diễn sóng tại thời điểm ¿=0, và một phần tử khuyêch dai y(t), phụ thuộc vào thời gian z,
sao cho y=u(x,t), với:
u(x.t)=o(x)v (9)
Sự tự nhiên của sóng đứng gợi ý cho ta ý tưởng về phương pháp tách biến trong phương trình đạo hàm riêng
Loại chuyên động thứ hai của sóng thường được thấy trong tự nhiên là sóng dịch chuyển Biểu diễn của nó đặc biệt đơn giản:
Hình 3 Sóng đứng tại hai thời điểm khác nhau /=0và ¿= t,
Trang 10
tồn tại hình dạng ban đầu F{x)sao cho w(x,/) bằng F{zx)khi ¿=0 Khi
¿ tăng, biên dịch chuyên sang phải một đoạn ct, với c là một hằng sé duong,
hay:
u(x,t) = F(x-ct)
Về đồ thị, các vị trí này được mô tả trong hình 4
Hình 4 Sóng dịch chuyên tại hai thời điểm khác nhau / =0 và ¿ = t, Vì sóng dịch chuyên theo thời gian ¿ với tốc độ c, nên vận tốc của sóng
là hằng số Hàm #(x- c/)là sóng dịch chuyển một chiều chuyên động sang
bên phải Tương tự, u(x,r)= # (x + c¿) là sóng dịch chuyển một chiều chuyển
động sang bên trái
1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm
Hiện tượng vật lý cuối cùng mà ta muốn đề cập đến (không đi vào chỉ
tiếu) là hiện tượng mà các nhạc công đã phát hiện ra từ rất lâu Đó là hòa âm
Âm nghe được là hợp âm bằng cách kết hợp các âm bội được sinh ra tương ứng từ âm sắc của nhạc cụ Ý tưởng kết hợp hay chồng chất của các âm được thực hiện ngay trong toán học dựa trên khái niệm cơ bản về sự tuyến tính, như ta sẽ thấy ở bên dưới
Trang 11
Bây giờ chúng ta quay trở lại vấn đề chính, đó là mô tả chuyển động của một sợi dây dao động Đầu tiên, chúng ta rút ra phương trình sóng, đó là phương trình đạo hàm riêng mô tả chuyên động của dây
1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng 1.2.1 Bài toán
Tưởng tượng một sợi dây đồng nhất được đặt trên mặt phẳng Oxy, va
bị kéo theo hung truc Oxttr x =0 dén x=L Bang cach nao do lam cho soi
dây dao động trong mặt phẳng đứng, dé đơn giản ta coi mỗi điểm của sợi day dịch chuyên thắng góc với trục Óx và trong cùng mặt phẳng Khi đó,độ dịch
chuyển của nó y =u(x,) là hàm số theo biến x và ¿, và mục tiêu là rút ra
được phương trình đạo hàm riêng biểu diễn hàm này
1.2.2 Giải bài toán
Ta xem sợi dây bị chia thành hữu hạn M chất điểm (và xem mỗi chất điểm là những hạt độc lập) phân phối đồng đều dọc theo trục Óx, hạt thứ ø có
hoành độ x, =ø/N Do đó, chúng ta có thể hình dung sợi đây dao động như một hệ gồm hạt, mỗi hạt chỉ dao động theo phương thắng đứng; tuy nhiên, khác với dao động điều hòa đơn giản mà chúng ta đã xét ở trên, mỗi hạt sẽ dao động như những mắt xích liên kết với các phần tử liền kề bởi độ căng của sợi dây
Hình 5 Dao động của sợi dây như một hệ các khối lượng
Trang 12
Ta đặt v,(¡)= w(x.f), và kí hiệu ¥,.-¥, =4, với h= LỊN Nếu ta giá
sử sợi dây có hằng mật độ là ø > 0thì ta có thể coi khối lượng của mỗi hạt là
ph Theo định luật Newton, øñy,(z) bằng lực tác dụng nên hạt thứ ø Ta
đưa ra giả sử đơn giản rằng lực này chịu ánh hưởng của hai hạt lân cận, tức là
của hạt có hoành độ x„, và x„., (xem Hình 5) Ta giả sử thêm rằng lực (hay độ căng) tác động từ bên phải của hạt thứ ø tỉ lệ với (y„„— y„)/ñ, trong đó h
là khoảng cách giữa x,., và x,; do đó ta có thé viết độ căng dây như sau:
Elo —,),
trong đó z > 0 là hằng số bằng hệ số căng của đây
Tương tự cũng có một lực như thế tác động từ bên trái, và nó là
(Elo -y,)
Téng hợp lực ta có, 2 lực này tác động chiều ngược nhau và tạo ra mối liên hệ
với sự dao động y„(/) , cụ thể là
(2) pl(t) = y.u()+3,.()- 29, (1)
Một mặt:
va(t)t+y,,(t)- 2y, (t)=u(x, + h,t)+ u(x, T— h,£)— 2u(x,„„£)
Trang 13Do đó sau khi chia (2) cho h va cho h tién dần về 0 ( tiến ra vô cùng), ta có thể kết luận: Ou =7——, Ou Poe ae Hay 1éeu_eu với c=a|z/p cô? ax?
Công thức này được gọi là phương trình sóng một chiều, hay đơn giản hơn là phương trình sóng Hệ số c >0 được gọi là vận tộc của chuyền động
Để có sự liên quan tới phương trình đạo hàm riêng, chúng ta có một
nhận xét toán học quan trọng Ta phải làm điều này với thang tỉ lệ, hay theo
ngôn ngữ của vật lý là “sự thay đổi đơn vị” Đó là, ta coi tọa độ x bằng x=a# trong đó a là một số dương thích hợp Bây giờ nhờ hệ tọa độ X mới, đoạn 0<x<L trở thành 0< x< //a Tương tự, ta có thể thay thế tọa độ thời gian /bởi /=ð7, với b là một số dương khác Nếu ta đặt
U(X,T)=u(x,t)thi khi do:
ôU _ êm OU _ Ou
ôâX ex’ axe @
tương tự với đạo hàm theo biến thời gian ¢ Vi vay néu ta chon a và b một cách phù hợp, chúng ta có thể biến đối phương trình sóng một chiều thành
U _#@U
oT? ax’
điều này có tác dụng làm vận tốc e=1 Hơn nữa, ta có thê tùy ý thay đổi đoạn
0<x<7 thành 0<x< 7z Những điều này được thực hiện bằng cách cách đặt
a=Lj/Zz, và b=Lj/cz Sau khi giải được phương trình mới, ta quay lại giải
Trang 14
phương trình ban đầu bằng cách đổi ngược lại biến Vì vậy, ta không làm giảm tính tổng quát nếu xem phương trình sóng được cho trên đoạn [0,7] VỚI
van t6c c=1
1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng
Sau khi tìm được phương trình sóng của dây dao động, bây giờ chúng ta trình bày hai cách đề giải nó:
e_ sử dụng sóng dịch chuyền,
e_ sử dụng sự chồng chất của sóng đứng 1.3.1 Nghiệm cúa phương trình truyền sóng
Để đơn giản hóa bài toán, ta giả sử e=lvà L= Z, khi đó phương trình
cân giải có dạng:
BP oe trên đoạn 0< x<Z, với £>0
í x”
Ta có các nhận xét quan trong: néu F là hàm khả vi cấp hai thì
u(x,f)= F(x+£)và u(x,f?)= F(+x —¿) là nghiệm của phương trình sóng Thật Vậy: Gu _ pyr OU _ pn wy oF u(sti)=F(x)ay CU py Oh pm — CỐ ot ot
Chú ý, đồ thị của z(x,)= Ƒ(x—¿) tại thời điểm ¿=0 đơn giản chỉ là
đồ thị của #, tại thời điểm /=l nó là đồ thị của # dịch sang phái một khoảng bằng 1 Do đó, ta thấy rằng #(x-¿)là sóng dịch chuyển sang phải
Trang 15
với tốc độ bằng 1 Tương tự, z(x,£)= Ƒ (x +z) là một sóng dịch chuyển sang
trái với tốc độ là 1 Các chuyên động này được miêu tả trong Hình 6
Hình 6 Sóng dịch chuyền theo cả hai hướng
Sự thảo luận của ta về âm và cách kết hợp của chúng giúp ta đưa đến nhận xét rằng phương trình sóng là tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu
u(x,t) và v(x,/) là nghiệm riêng, thì œw(x,/)+ /Øv(x,:) cũng là nghiệm, với
hang sé a và / bất kỳ Do đó, ta có thê chồng chất hai sóng chạy theo những hướng ngược chiều nhau đề thấy rằng bất cứ khi nào # va G là hàm khả vi cấp hai thì:
u(x,t)= F(x+t)+G(x-12)
là một nghiệm của phương trình sóng Thật ra, ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các
nghiệm của phương trình sóng đều có dạng như công thức này
Trang 16u(x,t)= F(x+t)+ G(x-¿),
với một vài hàm F va G
Bây giờ ta kết hợp kết quả này với bài toán ban đầu, đó là, chuyên động
vật lí của sợi dây Ở đó, ta đã đặt điều kiện 0< x< Z, hình dáng ban đầu của
sợi day u(x,t)= f(x), va hai đầu của sợi dây cố định, tức là 0< x<Z, với >0, Đề sử dụng được kết quả đơn giản bên trên, đầu tiên ta thác triển ƒ trên toàn bộ # bằng cách biến nó thành hàm lẻ trên [—z,Z], tiếp theo biến nó tuần
hoàn theo x với chu kỳ 2Z, và tương tự với nghiệm của bài toán „(x,/) Cuối cùng, đặt w(x,f)=u(x,—r),khi <0 Sự mở rộng của „ là nghiệm của bài tốn trên tồn bộ và zø(x,0)= /(x) với mọi xe#R Do đó,
u(x,t)=F(x+t)+G(x-2) „ đặt /=0 ta thu được:
F(x)+ G(x)= f(x)
Bởi vì có nhiều lựa chọn của # và G thỏa mãn đồng nhất thức này,
điều này gợi ý ta có thể áp đặt thêm một điều kiện ban đầu khác của wu (tương
tự như hai điều kiện ban đầu của hàm điều hòa đơn giản), cụ thể là vận tốc
ban đầu của sợi day, ta kí hiệu là 8 (x)
Ou
2 y0)= (9); ot
hién nhién g(0)= g(z)=0 Lap lai, ta mé rong gtrén R bang cach làm cho
Trang 17Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình hai, ta được:
2F'{x)= f'(x)+9(x)
Tuong tu
va
6(s)=4] 16)-fe0)6 fre
Boi vi F(x)+G(x)=f(x)ta kết luận rằng €+C, =0, và vì vậy,
nghiệm cuối cùng của phương trình sóng với hai điều kiện ban đầu có dạng
x⁄)=2[/( (x+?) )+/(x- aes Je (vay
Dạng của nghiệm này được gọi là công thức D° Alambert Ta thay rằng
việc thác triển ƒ và g đảm bảo sợi dây luôn luôn có một đầu có định, đó là: u(0,t)=u(z,t)= 0 với mọi /
Ta thấy, việc chuyên từ >0 đến /e # và sau đó trở lại / >0, mà ta đã
làm ở trên thể hiện tính chất đáo chiều thời gian của phương trình truyền sóng
Trang 18
dẫn đến một nghiệm „ của phương trình truyền sóng với ¿ >0, chuyển thành nghiệm được định nghĩa với thời gian ¢<0, thiết lập đơn giản bằng cách
đặt w (x,t)=w(x,—:) sự kiện này được sinh ra từ tính bất biến của phương
trình truyền sóng dưới phép biến đối ¿ › —¿ 1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng
Ta chuyển sang phương pháp thứ hai dé giải phương trình truyền sóng
dựa trên hai kết luận cơ bản từ những quan sát vật lý thu được ở trên Xét hiện
tượng sóng đứng, ta thấy nghiệm đặc biệt của phương trình sóng có dạng ø(x)w(£) Phương pháp này cũng áp dụng được với các trường hợp khác (ví dụ như phương trình nhiệt), được gọi là phương pháp tách biến Khi đó đo tính tuyến tính của phương trình sóng, chúng ta mong muốn có thể kết hợp những sóng thuần khiết thành tổ hợp âm phức tạp hơn của âm thanh Tiếp tục ý tưởng này, chúng ta mong rằng có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình sóng dưới dạng tổng các nghiệm riêng
Trang 19Nhận xét quan trọng là về trái chỉ phụ thuộc vào biến ¿, và về phải chi phụ thuộc vào biến x Điều này chỉ xảy ra khi cả hai về của phương trình là hằng số, cùng bằng một hằng số, gọi là 4 Vì vậy, phương trình truyền sóng
có thể đưa về hệ về hệ sau:
li
®) 0" (x) Ag(x)=0
Ta tập trung chú ý vào phương trình đầu tiên của hệ trên Đến bây giờ,
ta nhận ra phương trình mà ta thu được khi khảo sát có dạng chuyển động điều hòa đơn giản Chú ý, ta chí cần xét trường hợp 4< 0 bởi vì khi  > 0thì
nghiệm sẽ không dao động khi thời gian thay đôi Do đó, chúng ta có thể viết 4 = —m”, và nghiệm của phương trình có dạng:
y(t) = Acosmt + Bsinmt
Tương tự, ta tìm được nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ (3) như sau ø(x) = Acosmx + Bsinmx
Bay giờ ta quan tâm tới việc sợi dây có bị tác động tại x=0 và x=Z
Hay ø(0)= ø(Z)= 0 kéo theo 4=0, và nếu 8+0, thì m phải là một số
nguyên Nếu =0 thì nghiệm suy biến, và nếu z<—L , ta có thể đặt lại hằng số và rút gọn thành trường hợp >1 bởi vì hàm siny là hàm lẻ và hàm
cos „ là hàm chẫn Cuối cùng, chúng ta có dự đoán voi mdi m>1 , hàm
Hạ (x,t) = (A,, cos mt + B, sinmt)sin mx,
được xem như là một sóng đứng, là nghiệm của phương trình sóng Chú ý, với những biến đổi ở trên, ta chia cho g và ự, nhưng đôi khi chúng lại bằng
Trang 20
0, do đó chúng ta phải kiểm tra lại bằng tay xem sóng đứng u, CÓ là có là nghiệm của phương trình không Cụ thể: ou : — = m/(A, cosmt + B, sinmt)cosmx ox ?ụ 2 : a =-m’(A, cosmt +B, sinmt)sinmx (*) x ou, ai (—A, sinmt + B, cosmt)sin mx 2 u ae =—m’(A, cosmt +B, sinmt)sinmx (**) í ` 5 8? 8? Tir (*) va Œ*) C“==S”» ox ot
Trước khi tiếp tục nghiên cứu vấn đề khó hơn của phương trình sóng,
chúng ta dừng lại dé thảo luận chi tiết hơn về sóng đứng Thuật ngữ xuất phát
từ việc quan sát đồ thì của ø„(x,:) với mỗi ¿ cố định Đầu tiên giả sử rằng
Trang 21Trường hợp m =1 tương ứng với âm cơ bản hay họa âm đầu tiên của
sợi dây dao động
Bây giờ cho m=2 và quan sát z(x,£)= eos2/sin2x Nó tương ứng
với âm bội đầu tiên hay họa âm thứ hai, chuyên động này được miêu tả trong Hình 7(b) Chú ý, Hì =0 với mọi ¿ Những điểm này có định theo thời
gian, và được gọi là các nút, những điểm khác mà chuyển động với biên độ cực đại được gọi là bụng sóng
Với giá trị m lớn hơn, ta thu được âm bội hơn hay điều hòa cao hơn Chú ý, khi m tăng, tần số tằng, và chu kỳ 2z/m giảm Do đó, các âm cơ bản
có tần số thấp hơn âm bội
Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán ban đầu Xin nhắc lại phương trình sóng là tuyến tính theo nghĩa rằng nếu ¿ và v là nghiệm của phương
trình thi au+ /Øv cũng là nghiệm với giá trị z, /đ bất kỳ Việc này cho phép chúng ta tạo ra nhiều nghiệm bằng cách lấy tô hợp tuyến tính của sóng đứng
u„ Kỹ thuật này, được gọi là sự chồng chất nghiệm, cho ta gợi ý cuối cùng
về nghiệm của phương trình sóng:
(4) u(x,t)=Ð (A„ cosmt + B, sin mt)sin mx
1
Chú ý rằng tổng trên là vô hạn, dó đó câu hỏi về sự hội tụ được đặt ra,
nhưng lập luận của ta đến giờ đều đúng, ta sẽ không quan tâm đến nó ở thời điểm này
Giá sử công thức trên là tất cả các nghiệm của phương trình sóng Nếu
chúng ta yêu cầu vị trị ban đầu của sợi dây tại thời điểm ¿=0 được cho dưới
Trang 22
dạng đồ thị của hàm / trên đoạn [0,z] với /(0)= /(z)=0, ta có
u(x,0)= f(x), do do:
> A,, sinmx = f (x)
m=l
Bởi vì hình dạng ban đầu của sợi dây có thê là bất kỳ một hàm ƒ thích hợp nào đó, nên chúng ta đưa ra một câu hỏi cơ bản sau:
Cho một hàm /trên đoạn [0,z], (với /(0)= Z(z)=0), ta thể tìm
được hệ số 4„ sao cho:
(5) f(x) = > A,,sinmx hay không?
m=
Câu hỏi này được phát biểu không chặt chẽ tuy nhiên nó là bài toán cơ bản phát sinh ra sự nghiên cứu của giải tích Fourier
Một nhận xét đơn giản cho phép ta dự đoán công thức của 4,„ nếu khai triển (5) đúng Thật vậy, chúng ta nhân hai về của nó với sinnxvà lấy tích
phân trên đoạn [0,7]; biến đổi ta thu được:
Trang 23Do đó, có thể dự đoán 44„ là hệ số Fourier sine thứ ø của f, do là:
(6) A ==] f(x)sinnxds
7o
Chúng ta sẽ quay trở lại công thức này và một công thức tương tự như thế
sau
Ta có thể chuyên câu hỏi về chuỗi hàm sin Fourier trên đoạn [0,7]
sang câu hỏi tổng quát hơn trên đoạn [-z.z]- Nếu ta có thể biểu diễn hàm ƒ dưới dạng chuỗi hàm sin trên đoạn [0.z] thì khai triển này cũng đúng trên đoạn [-z.z] nếu ta thác triển ƒ trên đoạn này bằng cách biến nó thành hàm
lẻ Tương tự, chúng ta cũng có thể đặt ra câu hỏi một hàm chẵn g(x) trên
đoạn [-z.z] có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm cos hay không, cụ
thé:
g(x)= YA’, cosmx m=0
Tổng quát hơn, bởi vì bất kỳ hàm #ˆ nào trên đoạn [—z,Zz] cũng có thể
được biểu diễn thành ƒ + ø, trong đó ƒ là hàm lẻ và ø là hàm chẫn, nên
chúng ta đặt ra câu hỏi Ƒ có thể được viết lại đưới dạng
Trang 24Tương tự với công thức (6), ta có thể sử dụng kết quả : 1Z | o™e™ dy = 0, nzm 1, n=m để nhận thấy = ag) Flea a
Đại lượng a, được gọi là hệ sé Fourier thứ øcủa #
Ta có thé viết lại bài toán đặt ra ở trên như sau:
Câu hỏi: Cho hàm Ƒ xác định trên [—z,z], với hằng số Fourier xác định
ở trên, liệu điều sau còn đúng
(7) F(x)= ¥a,e”"" hay khéng?
Công thức của bài toán này, có dạng số mũ phức, sé được ta áp dụng trong hầu hết các trường hợp dưới đây
Quay trở lại với phương trình truyền sóng Để xây dựng cơng thức hóa
bài tốn một cách chính xác, chúng ta phải đặt hai điều kiện ban đầu như đã
gặp ở chuyển động điều hòa đơn giản và các sóng đứng đã chi ra Doi hoi, u thỏa mãn phương trình vi phân và hai điều kiện:
u(x,0)= f(x) va “(x0)=g(x);
Trang 25
Ở đó /ƒvà gølà những hàm cho trước Lưu ý rằng điều này phù hợp với
(4), khi ƒ với g có thể biểu diễn dưới dạng:
ƒ(x)= Š A,sinmx và g(x)= Š mB, sinmx
m=i1 m=l1
1.4.Vi du: Soi day được kéo
Bay giờ ta áp dụng các lập luận ở trên vào bài toán kéo sợi dây Để đơn giản, ta chọn đơn vị sao cho sợi dây nằm trong đoạn [0.z] và thỏa mãn
phương trình truyền sóng với e=l Giả sử sợi dây được kéo đến độ cao “tại
điểm p voi0< p<Z; đó là vị trí ban đầu Nghĩa là, ta kéo sợi dây sao cho vi
Trang 26Ta có thể chọn vận tốc ban đầu g(+) bằng 0 Khi đó, ta có thể tính hệ số Fourier cua f , va gid str két qua của câu hỏi cho được đưa ra trước công thức (5) là dương, ta có: /()=S4 sinmx với a4 = 2È _SiInmp_ mo ¬ Do đó (8) x(x)= 4, cos mt sin mx m=) và lưu ý chuỗi này hội tụ tuyệt đối Nghiệm của nó có thể được biểu diễn dưới dạng sóng dịch chuyên Với: u(x,t) = f(xtt+fe-d (9) 2
Ở đây, / (x) được xác định bằng các xnhư sau: đầu tiên ta thác triển
/trên đoạn [—z,z]bằng cách làm cho ƒ lẻ và sau đó thác triển ƒ trên toàn bộ chu kỳ 2Z nghĩa là ƒ(x+2kZ)= / (x) với tất cả các số nguyên k
Ta thấy rằng (8) kéo theo (9) theo cách đồng nhất thức lượng giác
cosvsinu = si (+ v)+sin (w— v) |
Trang 27
Chương 2
Phương Trình Truyên Nhiệt
2.1 Nguồn gốc của phương trình truyền nhiệt
Xét một tắm kim loại vô hạn mà ta xem như là như mặt phẳng R, và giả sử có một sự phân bố nhiệt lên nó tại thời điểm ¿ =0 Kí hiệu nhiệt độ của điểm (x, y) tại thời điểm ¿ là ham u(x, y,t)
Xét hình vuông nhỏ có tâm tại điểm (zx„.„„) có các cạnh song song với
các trục tọa độ và có độ dài cạnh là ø( hình 9) Năng lượng nhiệt trong Š tại
thời điểm ¿ được cho bởi công thức:
H(t) = olf u(x »,t)dedy,
voi o>Ola một hang SỐ, gọi là hệ số dẫn nhiệt của chất liệu Do đó,lượng nhiệt được truyền tới S là:
và xấp xi bằng:
ou
ơh? ——(xụ, yụ,f), PC Yo
bởi vì diện tích của Slà A’ Gid ta 4p dụng định luật Newton”s về sự hạ nhiệt, là trạng thái mà nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao vào nơi có nhiệt độ thấp theo tỉ lệ,tức là gradient
Trang 28
| ị (4.5) (+4235)
Hình 9 Nhiệt truyền qua một hình vuông nhỏ Do đó, lượng nhiệt truyền qua cạnh thắng đứng bên phải là
Ou
—Kkh—(x, +h/2,y,.t), ay +2, 343)
>0 được gọi là độ dẫn của vật liệu Lập luận tương tự với các cạnh khác
của hình vuông, ta được tổng nhiệt tỏa ra trong hình vuông Š là: ou ou ou Kh —(% +h/2, yy.f)+———(%u» Đụ +h/2,1)-—(x,.% — h/2,t) : Ox oy oy Áp dụng định luật gia tri trung binh va cho h tiến dần 0, ta được: đôu ôu Ou a aetna? Kk Ot Ox” Oy
Phương trình này được gọi là phương trình truyền nhiệt phụ thuộc vào thời gian, thường được gọi tắt là phương trình truyền nhiệt
Trang 29
2.2 Phương trình trạng thái cân bằng nhiệt trong đĩa
Sau một thời gian, nếu không có thêm sự biến đổi nào về nhiệt, hệ đạt tới sự
cân bằng nhiệt và ôu/ô: =0 Trong trường hợp này, phương trình nhiệt phụ thuộc vào thời gian rút gọn thành phương trình trạng thái cân bằng nhiệt:
10 + =
ú9 ax? ay” 0
Toan tu 8*/2xÌ + ô°/ay` có vai trò quan trọng trong toán học và trong vật lý nó thường được viết tắt là A và gọi là toán tử Laplace Do đó, phương
trình cân bằng nhiệt được viết dưới dạng:
Au =0,
và nghiệm của phương trình này được gọi là hàm điều hòa Xét đĩa đơn vị trên mặt phẳng
D={(,y)<Ñ:x)+yỶ <1},
biên là đường tròn đơn vị Œ Trong hệ tọa độ cực (z,Ø), với 0<rvà
0<0@<2z7, ta có:
D={(r,Ø):0<r <1} và C={(r,Ø):r =1}
Bài toán này được gọi là bài toán Dirichlet (đối với toán tử Laplace trên hình tròn đơn vị), cũng được giải bằng phương trình cân bằng nhiệt trong đĩa đơn với điều kiện biên #= / trên C Điều này tương ứng với cố định hàm phân
phối nhiệt độ xác định trước trên một hình tròn, đợi một thời gian dài, và nhìn vào sự tỏa nhiệt bên trong đĩa
Trang 30
=(1L#) = 719}
Hinh 10 Bai toan Dirichlet trong dia
Khi phương pháp tách biến có thể áp dụng vào giải (10) sẽ có một vấn đề
khó giải quyết đó là điều kiện biên không dễ biểu diễn theo dạng tọa độ thình chữ nhật Vì điều kiện biên này được biểu diễn tốt nhất dưới tọa độ cực
(r.Ø) cụ thể u(1,0)= (9) ta viết lại toán tử Laplace đưới dạng tọa độ cực Áp dụng quy tắc dây chuyền ta có :
Ou lou +——+— 1 6u
Au =
Trang 31G"(Ø)+ A6 (Ø)= 0, PF" (r)+rF'(r)-AF (r)= 0 Do Gtuan hoan véi chu ky 27, và 4>0và như ta đã biết ở trước 4 =m khi m là số nguyên, do đó: G(6) = Acosm@ + BsinmØ Áp dụng đồng nhất thức Eulers e* =cox+isinx, ta có thể viết lại G dưới dạng số mũ phức: G(8)= Ae”" + Be 9,
Với Â=m và m=0 hai nghiệm đơn giản của phương trình tại # là F(r)=r"vaF(r)=r" Néu m=0 thi F(z)=1và F(r)= logr là hai nghiệm Nếu m>0 chú ý rằng r ”sẽ dần tới trạng thái không bị chặn khi z dần tới
0 Do đó #(2z)G(Ø)sẽ không bị chặn tại gốc Tương tự, m=0 và
Ƒ{r)= logr Chúng ta bỏ qua những nghiệm này do mâu thuẫn với trực giác
của chúng ta Do đó, chúng ta còn lại hàm đặc biệt sau: u, (r,0)= re", với me Z
Trang 32Nếu biểu diễn này là tất cả các nghiệm của phương trình trạng thái cân bằng nhiệt thì với hàm ƒ phù hợp ta sẽ có:
u(1,0)= > a," = f (9)
Trong điều kiện này ta có thế đặt câu hỏi : Cho hàm ý xác định trong
đoạn [0,2z] với /(0)= /(2z) có tìm được hệ số z„ thỏa mãn:
%
f (9) = > a„e"”° hay không?
m=~%
Chú thích lich sử: D'Alembert (năm 1747) lần đầu tiên giải phương trình của
chuỗi dao động bằng cách sử dụng phương pháp của sóng dịch chuyên
Nghiệm của nó được Euler chỉnh sửa sau đó Năm 1753, D.Bernoulli giả định
phương pháp này có thể dựa vào chuỗi Fourier đưa ra ở (4), nhưng Euler khơng hồn toàn đồng ý vì nó quá chung chung và vì nó chỉ hợp lý nếu một hàm tùy ý có thể mở rộng trong chuỗi Fourier D°Alembert và những nhà tốn học khác đều hồi nghi về phương pháp này Mối hoài nghi này được Fourier
dập tắt (năm 1807) khi ông nghiên cứu về phương trình nhiệt Nghiên cứu của
ông chỉ ra bằng chứng thuyết phục rằng một hàm bắt kỳ có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier
Trang 33
2.3 Ví dụ: Giải bài toán Drichlet sau: u,,tu,,=0, x+y? <1 =x-x`-2xy” vey sl Bai giai Dat: X=rcos@ <rsl y=rsing 0<0<27Z au lôu 1 ô”u = Au =—-+———+-~y 2 or ror r 0@
Khi đó nghiệm của bài toán có dạng:
u(re)= +30 (a, cosng + b, sinng)
n=l
u(1,g)= ot rr" (a, cosng + b, sinng) ø(Ø)= cosø~ cos` ø— 2cosøsin” ø
=C0SØ-~ co§` ø@~2cosø(I — cosŸ ?) =cosy+cos’ p—2cosp
= cos + eos3 —COS =— | cos + 6983 4 Q 4 QP ợ 4 Q 4 Q
Trang 34
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số hai về ta được: -1 (1 =u(r,ø)= Ha r (1)esâø 4 4 Theo cach đất ta có: pores [ra yk? ey’ >
y=rsimn0 (Ø= aretan (y/x)
Nghiệm của bài toán có dạng:
=wy)=J +2? | oos{aretan(y/s))+ (VEY?) ( E}c0s3{arctan(y/))
Trang 35
Kết luận
Những vấn đề mà ta đặt ra và giải quyết trong chương 1 và 2 là những điểm khởi đầu cho giả tich Fourier ma Joseph Fourier (1786-1830) là người đầu tiên tin rằng hàm số # có thể biểu diễn dưới dạng công thức (7) Hay nói cách khác, ý tưởng của ông là bất kỳ hàm nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các hàm lượng giác cơ bản sinznxvà cosmx, với m là số nguyên.Mặc dù ý tưởng này cũng đã ngầm xuất hiện trong các công trình trước đó, nhưng Fourier cho rằng những người tiền nhiệm vẫn chưa có cái nhìn tổng quát nhất Ông đã sử dụng ý tưởng đó trong nghiên cứu khuếch xạ nhiệt; điều đó khơi mao cho chu dé “Giai tich Fourier”
Một lần nữa em xin cdm on thay Bui Kién Cudng toan thé các thầy
cô trong khoa toán Đặc biệt là thầy cô trong tô giải tích đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này
Trang 36
Tài liệu tham khảo
1 Nguyễn Xuân Liêm, Giải ¿ích -tập 2, Nxb Giáo Dục, 2006
2 Nguyễn Đình Trí-Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp-tập 2, Nxb Giáo Dục 2001
3 Trần Đức Long-Nguyễn Đình Sang-Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích 2, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội, 2001
4 Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, Nxb ĐH Quốc Gia,
2006
5 Elias M.Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis, An Introduction,
Psinceton leeture in Analysis, 2002