Căn nguyên của giải tích Fourier

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khố luận tốt nghiệp em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cám ơn thầy khoa tốn trường ĐHSPHà Nội 2, thầy tận tình dạy dỗ em năm học vừa qua tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành thành khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tở lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Do hạn chế thời gian nên đề tài em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ góp ý quý thầy cô bạn để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Cúc Vũ Thị Cúc K35E – Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Vũ Thị Cúc Trường ĐHSP Hà Nội K35E – Sp Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu em hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường Trong trình nghiên cứu thực đề tài em có tham khảo số tài liệu (đã nêu phần tài liệu tham khảo) Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Vũ Thị Cúc Vũ Thị Cúc K35E – Sp Toán MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu Chương 1: Phương Trình Truyền Sóng .6 1.1 Một vài khái niệm mở đầu 1.1.1 Chuyển động hàm điều hòa đơn giản 1.1.2 Sóng đứng sóng dịch chuyển 1.1.3 Điều hòa chồng chất âm 10 1.2 Nguồn gốc phương trình truyền sóng 11 1.2.1 Bài toán 11 1.2.2 Giải toán 11 1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng 14 1.3.1 Nghiệm phương trình truyền sóng 14 1.3.2 Sự chồng chất sóng đứng 18 1.4 Ví dụ .22 Chương 2: Phương trình truyền nhiệt 24 2.1 Nguồn gốc phương trình truyền nhiệt 24 2.2 Trạng thái ổn định phương trình truyền nhiệt đĩa 26 2.3 Ví dụ 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong giải tích cổ điển phương trình đạo hàm riêng, sinh viên tiếp cận giải tích Fourier ứng dụng Qua tìm hiểu ta thấy rằng, chất giải tích Fourier bắt nguồn từ tượng vật lý bên thực tiễn Để làm sáng tỏ chất làm tài liệu cho khóa sau, em chọn đề tài “ Căn nguyên giải tích Fourier” để làm tài liệu cho khóa luận tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu Qua đề tài nghiên cứu ta làm rõ được: Cơ sở vật lý giải tích Fourier Bản chất vật lý phương pháp tách biến Bản chất vật lý phương pháp D’Alembert 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đạt mục đích đề 4.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt 5.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp đánh giá 6.Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Phương trình truyền sóng Chương 2: Phương trình truyền nhiệt Trong suốt trình nghiên cứu ẹm nhận giúp đỡ tận tình thầy tổ giải tích khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt thầy giáo Bùi Kiên Cường Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em mong nhận đóng góp ý kiến q báu q thầy bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! Chương Phương Trình Truyền Sóng 1.1 Một vài khái niệm mở đầu 1.1.1 Chuyển động hàm điều hòa đơn giản Chuyển động hàm điều hòa đơn giản mơ tả có trạng thái hệ thống dao động đơn giản (gọi dao động hàm điều hòa đơn giản), sở tự nhiên để bắt đầu nghiên cứu dao động Xét vật khối lượng m gắn vào lò xo nằm ngang Một đầu gắn vào tường, giả thiết hệ nằm bề mặt ma sát Chọn trục tọa độ có gốc trùng với trọng tâm vật vật trạng thái nghỉ (khi lò xo khơng bị kéo hay nén), hình Kéo vật rời khỏi vị trí cân ban đầu m m y y y(t) Hình Chuyển động hàm điều hòa đơn giản thả ra, chuyển động hàm điều hòa đơn giản Chuyển động mơ tả tốn học ta sử dụng phương trình vi phân để thể thay đổi chuyển động vật Gọi y  t  vị trí vật thời điểm t Ta giả sử rằng, lò xo trạng thái lý tưởng để định luật Hooke’s thỏa mãn: Lực phản hồi F tác dụng lò xo lên vật cho F  ky t Ở k  0là đại lượng vật lý gọi  số lò xo Áp dụng định luật Newton’s (lực = khối lượng x gia tốc), ta có: ky  t   myt  , Với y đạo hàm bậc hai hàm y , biến số t Với c  k m , phương trình vi phân trở về: yt   c y  t   (1) Nghiệm tổng quát phương trình (1 ) cho công thức: y  t   a cos ct  b sin ct, với a, b số Tất hàm số có cơng thức thỏa mãn phương trình (1), rõ ràng, hàm nghiệm phương trình cho Trong biểu y  t  trên, với đại lượng c cho, a bcó thể đồng thời số thực Để xác định nghiệm riêng phương trình, ta phải đặt điều kiện ban đầu cho hai số chưa biết a b Chẳng hạn, cho y  y  0 vị trí ban đầu vận tốc ban đầu vật nghiệm tốn vật lý cho cơng thức: y  t   y  0 cos ct  y  0 c sin ct Đơn giản ta kiểm tra rằng: tồn số A  0và   R cho: a cos ct  b sin ct  Acos ct    Theo cách lý giải vật lý trên, gọi A  a2  b2 biên độ dao động, c tần số tự nhiên,  pha (xác định từ bội số nguyên 2 ) 2 c chu kỳ chuyển động Đồ thị tiêu biểu hàm số A   cos ct    minh họa hình 2, hình đại diện đường lượn sóng, thu tịnh tiến dãn (hoặc co lại) đồ thị hàm số cos t Ta quan sát hai ý phần ví dụ chuyển động hàm điều hòa đơn giản Chú ý diễn tả toán học phần lớn hệ dao động bản, gọi dao động điều hòa đơn giản, bao gồm hàm lượng giác sở sin t , cos t Hình Đồ thị hàm số A   cos ct    Điều quan trọng sau ta nhắc lại mối quan hệ hàm với số phức, công thức Euler’s it e  cost  isin t Nhận xét thứ hai hàm điều hòa đơn giản coi hàm theo biến thời gian với hai điều kiện ban đầu, để xác định vị trí, để xác định vận tốc (ví dụ, thời điểm t  0) Nhiều hệ dao động tổng quát có chung tính chất này, thấy bên 1.1.2 Sóng đứng sóng dịch chuyển Như ta thấy, dao động sợi dây xem chuyển động sóng chiều Bây giờ, ta mơ tả hai loại chuyển động có biểu diễn đồ thị đơn giản Loại thứ nhất, ta khảo sát sóng đứng Đó chuyển động mơ tả đồ thị hình y  u  x,t  theo biến thời gian t , cho y  u  x,t  Nói cách khác, tồn hình dạng ban đầu y    x  biểu diễn sóng thời điểm t  , phần tử khuyêch đại   t  , phụ thuộc vào thời gian t , cho y  u  x,t  , với: u  x,t     x  t  Sự tự nhiên sóng đứng gợi ý cho ta ý tưởng phương pháp tách biến phương trình đạo hàm riêng Loại chuyển động thứ hai sóng thường thấy tự nhiên sóng dịch chuyển Biểu diễn đặc biệt đơn giản: Hình Sóng đứng hai thời điểm khác t  0và t  t Do đó, dự đốn A hệ số Fourier sine thứ n f , là: m (6) A n    f  x sin nxdx Chúng ta quay trở lại công thức công thức tương tự sau Ta chuyển câu hỏi chuỗi hàm sin Fourier đoạn 0,  sang câu hỏi tổng quát đoạn  ,  Nếu ta biểu diễn hàm f dạng chuỗi hàm sin đoạn  0,  , khai triển đoạn  ,  ta thác triển f đoạn cách biến thành hàm lẻ Tương tự, đặt câu hỏi hàm chẵn g  x  đoạn  ,  biểu diễn dạng chuỗi hàm cos hay không, cụ thể:  g  x    Am cos mx m0 Tổng quát hơn, hàm F đoạn  ,  biểu diễn thành f  g , f hàm lẻ g hàm chẵn, nên đặt câu hỏi F viết lại dạng   m1 m0 F  x    A m sin mx   Am cos mx, Hay cách áp dụng đồng thức Euler’s eix  cos x  i sin x , ta mong muốn F có dạng: F  x    m1 ameimx Tương tự với công thức (6) , ta sử dụng kết : 0, imx  inx e e dx    2  1,  nm n  m để nhận thấy a    F  x e inxdx   n Đại lượng a n gọi hệ số Fourier thứ n F Ta viết lại tốn đặt sau: Câu hỏi: Cho hàm F xác định  ,  , với số Fourier xác định trên, liệu điều sau (7) F  x    a m im x hay không? m Cơng thức tốn này, có dạng số mũ phức, ta áp dụng hầu hết trường hợp Quay trở lại với phương trình truyền sóng Để xây dựng cơng thức hóa tốn cách xác, phải đặt hai điều kiện ban đầu gặp chuyển động điều hòa đơn giản sóng đứng Đòi hỏi, u thỏa mãn phương trình vi phân hai điều kiện: u  x, 0  f  x u t  x, 0  g  x , Ở f g hàm cho trước Lưu ý điều phù hợp với (4), f với g biểu diễn dạng:   f  x   Am sin mx g  x   mBm sin mx m11 m11 1.4.Ví dụ: Sợi dây kéo Bây ta áp dụng lập luận vào toán kéo sợi dây Để đơn giản, ta chọn đơn vị cho sợi dây nằm đoạn 0,  , thỏa mãn phương trình truyền sóng với c 1 Giả sử sợi dây kéo đến độ cao h điểm p với  p   ; vị trí ban đầu Nghĩa là, ta kéo sợi dây cho vị trí sợi dây có dạng hình tam giác cho bởi:  xh f  x    p 0xp ,  h   x px, ,    h Được minh họa đồ thị 8: Hình Vị trí ban đầu sợi dây bị kéo Ta chọn vận tốc ban đầu g(x) Khi đó, ta tính hệ số Fourier f , giả sử kết câu hỏi cho đưa trước công thức (5) dương, ta có:  f  x   Am sin mx với A  m m1 2h m sin mp p   p  Do  (8) u  x, t    Am cos mt sin mx m 1 lưu ý chuỗi hội tụ tuyệt đối Nghiệm biểu diễn dạng sóng dịch chuyển Với: (9) u  x, t   f  x t  f  x t  Ở đây, f  x xác định x sau: ta thác triển f đoạn  ,  cách làm cho f lẻ sau thác triển f tồn chu kỳ 2 nghĩa f x  2k    f  x  với tất số nguyên k Ta thấy (8) kéo theo (9) theo cách đồng thức lượng giác cos v sin u  sin  u  v   sin  u  v   Chương Phương Trình Truyền Nhiệt 2.1 Nguồn gốc phương trình truyền nhiệt Xét kim loại vô hạn mà ta xem như mặt phẳng R2 , giả sử có phân bố nhiệt lên thời điểm t  Kí hiệu nhiệt độ điểm  x, y  thời điểm t hàm u  x, y,t  Xét hình vng nhỏ có tâm điểm x , y0  có cạnh song song với trục tọa độ có độ dài cạnh h ( hình 9) Năng lượng nhiệt S thời điểm t cho công thức: H  t     u  x, y,t dxdy, S với   số, gọi hệ số dẫn nhiệt chất liệu Do đó,lượng nhiệt truyền tới S là: H t    u S dxdy, t xấp xỉ bằng: u  h t (x0 , y0 , t), diện tích S h Giờ ta áp dụng định luật Newton’s hạ nhiệt, trạng thái mà nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao vào nơi có nhiệt độ thấp theo tỉ lệ,tức gradient Hình Nhiệt truyền qua hình vng nhỏ Do đó, lượng nhiệt truyền qua cạnh thẳng đứng bên phải  h u x x h 2, y 0,t  ,   gọi độ dẫn vật liệu Lập luận tương tự với cạnh khác hình vng, ta tổng nhiệt tỏa hình vng S là: u  u  x  h 2, y ,t  u 2,t  2, t    0    h x0 , y0  h x0 , y0  h   x  y y Áp dụng định luật giá trị trung bình cho h tiến dần , ta được:  u  t   u x 2   u y ; Phương trình gọi phương trình truyền nhiệt phụ thuộc vào thời gian, thường gọi tắt phương trình truyền nhiệt 2.2 Phương trình trạng thái cân nhiệt đĩa Sau thời gian, khơng có thêm biến đổi nhiệt, hệ đạt tới cân nhiệt u t  Trong trường hợp này, phương trình nhiệt phụ thuộc vào thời gian rút gọn thành phương trình trạng thái cân nhiệt: 2 u  u  2 x y (10 ) Toán tử  x 2   y có vai trò quan trọng tốn học vật lý thường viết tắt  gọi tốn tử Laplace Do đó, phương trình cân nhiệt viết dạng: u  0, nghiệm phương trình gọi hàm điều hòa Xét đĩa đơn vị mặt phẳng D   x, y   R : x  y  1 , 2 biên đường tròn đơn vị C Trong hệ tọa độ cực  r,  , với  r    2 , ta có: D   r,  :  r  1 C   r,  : r 1 Bài toán gọi toán Dirichlet (đối với toán tử Laplace hình tròn đơn vị), giải phương trình cân nhiệt đĩa đơn với điều kiện biên u  f C Điều tương ứng với cố định hàm phân phối nhiệt độ xác định trước hình tròn, đợi thời gian dài, nhìn vào tỏa nhiệt bên đĩa Hình 10 Bài tốn Dirichlet đĩa Khi phương pháp tách biến áp dụng vào giải (10) có vấn đề khó giải điều kiện biên không dễ biểu diễn theo dạng tọa độ thình chữ nhật Vì điều kiện biên biểu diễn tốt tọa độ cực  r,  , cụ thể u 1,   f   ta viết lại toán tử Laplace dạng tọa độ cực Áp dụng quy tắc dây chuyền ta có : u u  r  u r r  1u r  Chúng ta nhân hai vế với  ,vì u  2 2 r ru2  r ru    2u Dùng phương pháp tách biến, tìm nghiệm dạng u  ,   F   G   , ta được: r2 F  r   rF  r  F  r   G  G   Điều xảy hai vế phương trình số, số, gọi  Vì G     G    0,   r F   r   rF   r    F  r   Do G tuần hoàn với chu kỳ 2 ,   ta biết trước   m m số nguyên, đó: G    □Acos m  B□ sin m Áp dụng đồng thức Euler’s eix  cox  i sin x , ta viết lại G dạng số mũ phức: G    Aeim  Beim Với   m2 m  hai nghiệm đơn giản phương trình F F  r   r m F  r   r  m Nếu m  F  r   1và F  r   log r hai nghiệm Nếu m  ý r  m dần tới trạng thái không bị chặn r dần tới Do F   G   không bị chặn gốc Tương tự, m  F  r   log r Chúng ta bỏ qua nghiệm mâu thuẫn với trực giác Do đó, lại hàm đặc biệt sau: u  r,   r m e , im m với m Z Ta thấy nhận xét quan trọng cơng thức (10) tuyến tính, tương tự sợi dây dao động, ta chồng chất nghiệm đặc biệt vào để thu công thức nghiệm tổng quát : u  r,     m m im amr e Nếu biểu diễn tất nghiệm phương trình trạng thái cân nhiệt với hàm f phù hợp ta có: u 1,     m a meim  f   Trong điều kiện ta đặt câu hỏi : Cho hàm f xác định đoạn 0, 2  với f  0  f  2  có tìm hệ số am thỏa mãn: f      am im hay khơng? m Chú thích lịch sử: D’Alembert (năm 1747) lần giải phương trình chuỗi dao động cách sử dụng phương pháp sóng dịch chuyển Nghiệm Euler chỉnh sửa sau Năm 1753, D.Bernoulli giả định phương pháp dựa vào chuỗi Fourier đưa (4), Euler khơng hồn tồn đồng ý q chung chung hợp lý hàm tùy ý mở rộng chuỗi Fourier D’Alembert nhà toán học khác hoài nghi phương pháp Mối hoài nghi Fourier dập tắt (năm 1807) ông nghiên cứu phương trình nhiệt Nghiên cứu ơng chứng thuyết phục hàm biểu diễn chuỗi Fourier 2.3 Ví dụ: Giải toán Drichlet sau: 2 u xx  uyy  0, x y 1  2 x  y 1  x  x  xy u  Bài giải Đặt:  x  r cos 0r1     2  y  r sin  2  u u 1 u  u    2 r r r r  Khi nghiệm tốn có dạng: a0 u  r,   rn  a cos n b sin n     n n1  u 1,   a0  1n  a cos n  b sin n  n n n1 g    cos  cos3   cos sin2   cos  cos   cos 1  cos   3  cos  cos   cos 1  cos  cos3  cos   cos  cos 3 4 4 Sử dụng phương pháp đồng hệ số hai vế ta được: a0   a  1   a  3 a  2  an  n  4, bn   u  r,   r n  1 3  cos  r cos3       4  Theo cách đăt ta có:  x  r cos     y r sin    r  x2  y   arctan  y x  Nghiệm tốn có dạng:  u  x, y   x y  1  cos  arctan  y x        x y 3  1  cos3 arctan  y x  4  Kết luận Những vấn đề mà ta đặt giải chương điểm khởi đầu cho giả tích Fourier mà Joseph Fourier (1786-1830) người tin hàm số F biểu diễn dạng cơng thức (7) Hay nói cách khác, ý tưởng ông hàm tổ hợp tuyến tính hàm lượng giác sin mx cos mx , với m số nguyên.Mặc dù ý tưởng ngầm xuất cơng trình trước đó, Fourier cho người tiền nhiệm chưa có nhìn tổng qt Ơng sử dụng ý tưởng nghiên cứu khuếch xạ nhiệt; điều khơi mào cho chủ đề “Giải tích Fourier” Một lần em xin cám ơn thầy Bùi Kiên Cường tồn thể thầy khoa tốn Đặc biệt thầy tổ giải tích tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận Tài liệu tham khảo Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích –tập 2, Nxb Giáo Dục, 2006 Nguyễn Đình Trí-Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập tốn học cao cấp-tập 2, Nxb Giáo Dục 2001 Trần Đức Long-Nguyễn Đình Sang-Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích 2, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội, 2001 Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, Nxb ĐH Quốc Gia, 2006 Elias M.Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis, An Introduction, Psinceton leeture in Analysis, 2002 ... MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong giải tích cổ điển phương trình đạo hàm riêng, sinh viên tiếp cận giải tích Fourier ứng dụng Qua tìm hiểu ta thấy rằng, chất giải tích Fourier bắt nguồn từ tượng vật... sau, em chọn đề tài “ Căn nguyên giải tích Fourier để làm tài liệu cho khóa luận tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu Qua đề tài nghiên cứu ta làm rõ được: Cơ sở vật lý giải tích Fourier Bản chất vật... cứu Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt 5.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp đánh giá 6.Cấu