Bài giảng nguyên hàm giải tích 12

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 5/15/2015 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) nếu: a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có (x )  2x nên F(x) = x b) Ta thấy (sin x ) '  cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu là: F ( x)  F (a)  f (a ) hay lim x  a xa  F ( x)  F (b) lim x  b  f (b) x b  • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh rằng: F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu là:  f ( x )dx  F ( x )  C ,C   f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f (  f ( x )dx )'  f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 5/15/2015 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp  0dx  C  dx   1dx  x C x  dx  x  1  1  C (  1)  x dx  ln x  C 5/15/2015 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp cos( kx  b )  C ,k   sin( kx  b )dx   k sin( kx  b ) C  cos( kx  b )dx  k x kx a e x kx e dx  C  a dx  ln a  C(    )  k  cos x dx  tan x  C 5/15/2015  dx   cot x  C sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f, g hai hàm số liên tục K, với a số thực khác thì:  [f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx  af ( x )dx  a  f ( x )dx Chú ý: 5/15/2015 [  f ( x )dx ] '  f ( x )  f ( t )dt  F ( t )  C   f [u( x )]u'( x )dx  F [u( x )]  C  f ( u )du  F ( u )  C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu  f ( x )dx  F ( x )  C  f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d ( ax  b ) a  F ( ax  b )  C a u ' ( x)  u ( x) dx  ln u ( x)  C  dx  x C x 5/15/2015 n n n 1  x dx  n  x  C dx n n n 1  n x  n 1 x  C n dx 1  x n  (n  1) x n1  C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: A B e dx  e  C  x x 2dx  x  C  sin xdx  cos x  C  x D  xdx  C C 5/15/2015 12 Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số: f( x) Giải x  3x  5x 3 f ( x)  x  3 x  x  x  (3 x)  (5 x)  f ( x)dx   [ x 2 3  (3 x)  (5 x) ]dx 3 2x 3  3  x 5  x C 4 3 34  x   x  3  x C 4 5/15/2015 13 Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x f ( x)  (3  )  (3 )  2.3  (2 ) x x x   2.6  x Vậy  5/15/2015 x x x x x x x x f ( x)dx    C ln ln ln 14 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: sin x  f( x) sin x Giải sin x  sin x   f ( x)      sin x 3  sin x  Vậy   sin x   dx   cos x  cot x  C   3 sin x  3 5/15/2015 15 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: x x f ( x )  sin  sin 3 Giải x x f ( x)  sin  sin 3 Vậy x x  2(3 sin  sin )  2 sin x 3  f ( x)dx   (2 sin x)dx  2( cos x)  C  cos x  C 5/15/2015 16 Bảng nguyên hàm mở rộng a   sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  C dx  ax  b  a ln ax  b  C  cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  C 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax  b ax  b dx  e C a ( ax  b) 1 ( ax  b) dx    C (  1)  a  1 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C 5/15/2015 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm hàm số: Giải f( x) x2  x  1 f ( x)    x  x  ( x  1)( x  ) 2 [( x  )  ( x  1)] 1    (  ) x 1 x  ( x  1)( x  ) 2 1 dx   dx ] Vậy  f ( x )dx  [  x 1 x  [ln x   ln x  /  C ] x 1  ln C 5/15/2015 x  3/ 18 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm hàm số: f( x) Giải f ( x)    sin x  cos x  [1  cos( x  Vậy  5/15/2015   )]  sin x  cos x  cos( x   ) x  2 sin (  ) dx 1 x  f ( x ) dx   x   cot(  )  C 2 sin (  ) 19 Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x )  e x  e  x  2dx Giải x x 2 x f ( x )  e x  e  x   (e  e ) | e  e x Xét e  e x x x | x x 0   x0 2 x x x x x f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C Xét x e e x x x 0 x0 x x x x f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C 5/15/2015 20 Ví dụ 7: Tìm ngun hàm hàm số: Giải x3  x  f( x) x( x 2 x  ) x  3x  2 f ( x)   1  2 x ( x 2 x  1) x x ( x  1) Ta có a b c    x ( x  1) x x  ( x  1)   a ( x  1)  bx ( x  1)  cx Cho x=0 a=1 , x=-1 c=-1 , x=1 b=-1 Do x  3x  2 1 1     4   x x   ( x  1)   x ( x 2 x  1) x   x   f ( x)dx  x  ln | x | 4 ln  C 5/15/2015 x  x  21 .. .Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x)... khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số... hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 5/15/2015 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên