Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
1,43 MB
Nội dung
CHƢƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 10/27/2013 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có ( x ) 2x nên F(x) = x b) Ta thấy (sin x) ' cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu lim x a F ( x) F ( a ) hay f (a) xa lim x b F ( x) F (b) f (b) x b • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngƣợc lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu f ( x )dx F( x ) C ,C f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f ( f ( x )dx )' f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 10/27/2013 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp 0dx C dx 1dx x C x dx x 1 1 C ( 1) x dx ln x C 10/27/2013 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp cos( kx b ) C ,k sin( kx b )dx k sin( kx b ) C cos( kx b )dx k x kx a e x kx a dx C( ) e dx C ln a k cos x dx tan x C 10/27/2013 dx cot x C sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì: [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx af ( x )dx a f ( x )dx Chú ý: 10/27/2013 [ f ( x )dx ] ' f ( x ) f ( t )dt F ( t ) C f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C f ( u )du F ( u ) C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu f ( x )dx F ( x ) C f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b ) a F ( ax b ) C a u ' ( x) u( x) dx ln u( x) C dx x C x 10/27/2013 n n n1 xdx n x C dx n n n 1 n x n 1 x C n dx 1 x n (n 1) x n1 C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: A B e dx e C x x dx x C C sin xdx cos x C x D xdx C 10/27/2013 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm hàm số: f ( x ) x 3x x Giải f ( x) x 3x x x (3x) (5x) f ( x)dx [ x 2 3 (3x) (5 x) ]dx 3 2x 3 3 x 5 x C 4 3 3 x x 3 x C 4 10/27/2013 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x f ( x) (3 ) (3 ) 2.3 (2 ) x x x 2.6 x Vậy 10/27/2013 x x x x x x x x f ( x)dx C ln ln ln 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: sin x f( x) sin x Giải sin x sin x f ( x) sin x 3 sin x Vậy sin x sin x dx cos x cot x C 10/27/2013 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: x x f ( x ) sin sin 3 Giải x x f ( x) sin sin 3 Vậy x x 2(3 sin sin ) 2 sin x 3 f ( x ) dx ( sin x ) dx 2( cos x) C cos x C 10/27/2013 16 Bảng nguyên hàm mở rộng a sin(ax b)dx a cos(ax b) C dx ax b a ln ax b C cos(ax b)dx a sin(ax b) C 1 cos (ax b) dx a tan(ax b) C e ax b axb dx e C a 1 ( ax b ) ( ax b ) dx C ( 1) a 1 1 sin (ax b) dx a cot(ax b) C 10/27/2013 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm hàm số: Giải f( x) x2 x 1 f ( x) x x ( x 1)( x ) 2 [( x ) ( x 1)] 1 ( ) 3 x ( x 1)( x ) x 2 1 dx dx] Vậy f ( x)dx [ x 1 x [ln x ln x / C ] x 1 ln C 10/27/2013 x 3/ 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) Giải sin x cos x 1 f ( x) sin x cos x cos( x ) 1 x 2[1 cos( x )] 2 sin ( ) Vậy 10/27/2013 dx 1 x f ( x)dx cot( ) C 2 sin ( x ) 2 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) e e x Giải x x 2dx x 2 x f ( x) e x e x (e e ) | e e x Xét e e x x x | x x 0 x0 2 x x x x x f ( x) e e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C Xét x e e x x x 0 x0 x x x x f ( x) e e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C 10/27/2013 20 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm hàm số: Giải x3 x f( x) x( x 2 x ) x 3x 2 f ( x) 1 2 x( x 2 x 1) x x( x 1) Ta có a b c x( x 1) x x ( x 1) a( x 1) bx( x 1) cx Cho x=0 a=1 , x=-1 c=-1 , x=1 b=-1 Do x 3x 2 1 1 4 2 x( x 2 x 1) x x x ( x 1) x f ( x)dx x ln | x | 4 ln C 10/27/2013 x x 21 [...]... x D xdx C 2 10/27/2013 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x ) x 3 3x 3 5 x Giải 1 3 1 2 f ( x) x 3 3x 3 5 x x (3x) (5x) f ( x)dx [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3 (3x) (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3 3 x 5 x C 3 4 4 3 4 3 2 3 3 3 4 5 3 4 x x 3 x C 3 4 4 10/27/2013 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x 2 f ( x) (3 2 ) ... 2 x 9 6 4 f ( x)dx 2 C ln 9 ln 6 ln 4 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin x 2 f( x) 2 3 sin x 3 Giải sin x 2 sin x 2 1 f ( x) 2 2 3 sin x 3 3 sin x 3 Vậy 2 1 2 sin x 3 3 sin 2 x dx 3 cos x 3 cot x C 10/27/2013 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x ) 8 sin 6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x) 8 sin 6 sin 3 3 3 Vậy x 3 x 2(3 sin ... 1 ln C 10/27/2013 5 x 3/ 2 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải 1 2 sin x cos x 1 1 f ( x) 2 sin x cos x 2 2 cos( x ) 4 1 1 2 x 2[1 cos( x )] 2 2 sin ( ) 4 2 8 Vậy 10/27/2013 dx 1 x f ( x)dx cot( ) C 2 8 2 2 sin 2 ( x ) 2 2 8 1 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) e e x Giải x x 2 2dx x 2 2 x 2 f ( x) e x e x... 10/27/2013 16 Bảng các nguyên hàm mở rộng a 0 1 sin(ax b)dx a cos(ax b) C dx 1 ax b a ln ax b C 1 cos(ax b)dx a sin(ax b) C 1 1 cos 2 (ax b) dx a tan(ax b) C e ax b 1 axb dx e C a 1 1 ( ax b ) ( ax b ) dx C ( 1) a 1 1 1 sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C 10/27/2013 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f( x) 2 x2... e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C Xét x 2 e e x 2 x 2 x 2 0 x0 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x) e e f ( x)dx (e e )dx 2(e e ) C 10/27/2013 20 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải x3 3 x 2 f( x) x( x 2 2 x 1 ) x 3x 2 2 4 f ( x) 1 2 2 x( x 2 x 1) x x( x 1) 3 Ta có 1 a b c 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) 2 1 a( x 1) 2 bx( x 1)...3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì 1 f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b ) a 1 F ( ax b ) C a u ' ( x) u( x) dx ln u( x) C dx 2 x C x 10/27/2013 n n n1 xdx n .. .Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x)... khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số... với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngƣợc lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x)