Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (10)

Bi toỏn vt lý Ta ó bit bi toỏn cht im chuyn ng thng cú phng trỡnh s=f(t) vi f(t) l hm s cú o hm Khi ú tc ti thi im t l v(t)=f(t) Trong thc t cú ta gp bi toỏn ngc l bit tc v(t) tỡm phng trỡnh chuyn ng s=f(t) T ú ta cú bi toỏn : Cho hm s f(x) xỏc nh trờn khong (a;b), tỡm hm s F(x) cho trờn khong ú: F(x)=f(x) &1 NGUYấN HM I Nguyờn hm v tớnh cht : II Nguyờn hm : a nh ngha: Hm s y = f(x) xỏc nh trờn K Hm s F(x) gi l nguyờn hm ca f(x) trờn K nu F(x) = f(x) vi mi x thuc K Hm s f(x) = 2x cú nguyờn hm l nhng hm s no a F(x) = x2 b F(x) = x2 + c F(x) = x2 - d Tt c cỏc hm s trờn Hóy chn phng ỏn ỳng Nhn xột Mi hm s dng F(x)=x2+C (C l hng s tựy ý) u l nguyờn hm ca hm s f(x)=2x Trờn R Mi hm s G(x)=tgx+C (C l hng s tỳy ý) u l nguyờn hm ca hm s g( x ) cỏc khong xác định cos x Tng quỏt ta cú nh lý b.nh lý: Nu F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong K thỡ: *Vi mi hng s C, F(x) +C cng l mt nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong ú *Ngc li, mi nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong (a;b) u cú th vit di dng F(x)+C vi C l mt hng s F(x) + C (C thuộc R) gọi họ nguyên hàm f(x) kớ hiu : f ( x).dx F ( x) C 2.Tớnh cht ca nguyờn hm Tớnh cht : Tớnh cht : kf ( x ) dx k f ( x ) C ( k 0) Tớnh cht : f ( x)dx f ( x) C / [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx 3.S tn ti nguyờn hm nh lý : Mi hm s f(x) liờn tc trờn K u cú nguyờn hm trờn K Nguyờn hm ca mt s hm s thng gp x dx C a x C 5. a dx ln a 2. dx X + C 6. cos x.dx Sinx + C 3. x dx x C sin x.dx - Cosx + C 4. 1 dx Tanx + C dx ln x C 8. cos x x 5. e dx e C x x 9. dx - cotx + C sin x VD:Tớnh nguyờn hm 1. (3x )dx x dx x dx x x 2x C 2, (2sin x )dx sin xdx 2 dx x x x cos x C ln 3, 2sin x.cos xdx 2( sin xdx sin 3xdx) cos x cos3x C Qua bi hc ta ó bit - nh ngha nguyờn hm t ú bit cỏch chng minh hm s l nguyờn hm ca hm s cho trc - Tỡm h cỏc nguyờn hm bng cỏch tỡm nguyờn hm ri cng thờm hng s C VD Chng minh Rng : tan x x C tan x dx Ta cú : tan x dx (1 tan x 1) dx ( 1)dx tan x x C cos x Hm s F( x ) cos x l nguyờn hm ca hm s no sau õy? a c f1 x sin x b f2 x sin x f3 x sin x d f4 x sin x ax Xỏc nh a hm s F x l x mt nguyờn hm ca hm s f x a trờn R \ / Ta cú F ( x) ( x 1) Suy : - a = 1 x a ( x 1) Vy a = - Cho f x x 2x v F x ax b x Xỏc nh a, b F(x) l mt nguyờn hm ca f(x) trờn ; GII: F ( x) a x (ax b) x a(2 x 1) ax b 3ax a b 2x 2x a / Suy : 3a a b b Xỏc nh a, b, c cho hm s F(x)=(ax2+bx+c)e-x l mt nguyờn hm ca hm s f(x)=(2x2-5x+2)e-x trờn R Hm s F( x ) x l mt nguyờn hm ca hm s no sau õy? a f1 x x b f2 x 2x x c f3 x d f x 4x x 4x x Bi Tỡm F(x) bit F( x ) xdx v F(1)=3 Hng dn: F(x)=x2+C M F(1)=3 1+C=3C=2 Vy F(x)=x2+2 II.PHNG PHP TNH NGUYấN HM 1.Phng phỏp i bin s: a nh lý : nu v u = u(x) l hm s cú o hm liờn tc thỡ : f (u)dx F (u) C f ( u ) u ( x ) dx F ( u ( x )) C / b.Phng phỏp: B1: t u = u(x) B2: tớnh du = u(x)dx B3: tớnh f (u)u ( x)dx F (u( x)) C / VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau (2 x 1) dx B1: t u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x 1) dx u 1 6 u du u C (2 x 1) C 12 12 5 VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau x x 5.dx B1: t u x B2: du 3x dx B3: du x dx du x x dx u 3 3 2 2 u du u C ( x 5) C 9 Cỏch VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau x x 5.dx u x B1: t u x 2u.du 2 B2: 2u.du 3x dx x dx B3: 2u.du x 2 x 5.dx u 3 2 u du u C 3 2 ( x 5) C VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau sin x cos x dx u sin x B1: t B2: du cos x.dx B3: sin x.(1 sin x) cos x.dx u (1 u ).du (u u )du 5 u u sin x sin x C C 5 [...]... định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên  1    ;    2  GIẢI: 1 F ( x)  a 2 x  1  (ax  b) 2 x  1 a(2 x  1)  ax  b 3ax  a  b   1  2x 1 2x 1 a / Suy ra : 3a  1  a  b  1  3  b  2  3 4 Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R 1 Hàm số F( x )  2 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? a f1...  2 1   ( 2  1)dx  tan x  x  C cos x 1    Hàm số F( x )  cos   2 x  là nguyên 2 3  hàm của hàm số nào sau đây?  1    a c f1  x   sin  2 x   3  b 1   f2  x    sin   2 x  2 3  f3  x   sin   2 x  2 3  d   f4  x   sin   2 x  3  ax  1 2 Xác định a để hàm số F  x   là x 1 một nguyên hàm của hàm số f  x   a 1  trên R \ 1   1  1  ... / VD: tính các nguyên hàm sau 1 (2 x  1) dx  B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: 5 du (2 x  1) dx  u   2 1 1 5 1 6 6   u du  u  C  (2 x  1)  C 12 2 12 5 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x  x  5.dx 2 3 B1: đặt u  x  5 2 B2: du  3x dx B3: 3 du  x dx  3 2 du x x  5 dx  u   3 3 1 3 2 3 2 2 2 2   u du  u  C  ( x  5) 2  C 9 9 9 2 3 Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x  x... hàm số nào sau đây? a f1  x   x b f2  x   1 2x x c f3  x    d f 4  x   1 4x x 1 4x x Bài tập Tìm F(x) biết F( x )   2 xdx và F(1)=3 Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1)=3  1+C=3C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số: a Định lý 1 : nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :  f (u)dx  F (u)  C f ( u ) u ( x ) dx  F ( u ( x ))  C  / b.Phƣơng pháp:... sau 2 x  x  5.dx 2 3 u  x 5 B1: đặt u  x  5 2u.du 2 2 B2: 2u.du  3x dx  x dx  3 B3: 2u.du 3 x 2 2 x  5.dx   u 3 3 2 2 3 2   u du  u  C 3 9 3 3 2 2 3  ( x  5)  C 9 VD: tính các nguyên hàm sau sin x cos x dx  2 3 u  sin x B1: đặt B2: du  cos x.dx B3: 2  sin 3 x.(1  sin x) cos x.dx 2   u (1  u ).du   (u  u )du 2 3 2 5 2 3 4 5 u u sin x sin x   C   C 3 5 3 5  ... f(x) trờn khong (a;b) u cú th vit di dng F(x)+C vi C l mt hng s F(x) + C (C thuộc R) gọi họ nguyên hàm f(x) kớ hiu : f ( x).dx F ( x) C 2.Tớnh cht ca nguyờn hm Tớnh cht : Tớnh cht : kf (... (2 x 1) dx B1: t u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x 1) dx u 1 6 u du u C (2 x 1) C 12 12 5 VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau x x 5.dx B1: t u x B2: du 3x dx B3: du x dx du x x dx