Đang tải... (xem toàn văn)
bàn về 2 dạng tóan của giải tích tổ hợp tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 1 BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre) G GG G iải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau: I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON. * Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có các công thức sau: 1) Công thức hoán vị: .1.2.3) 2)(1(! − − = = nnnnP n ( n giai thừa, n > 1). 2) Công thức chỉnh hợp: )1( )!( ! nk kn n A k n ≤≤ − = 3) Công thức Tổ hợp: )0( )!(! ! nk knk n C k n ≤≤ − = * Một số tính chất số Tổ hợp: kn n k n k n k n k n k n CCCCCC − − − −+ − =+=+ 1 1 11 1 , *Khai triển nhị thức Newton: ( ) 0 ( , ) . . n n k n k k n k P a b a b C a b − = = + = ∑ (I) + Có n + 1 số hạng trong khai triển. + Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức. 4) Các công thức biến đổi với số mũ. ( ) .)5, 1 )4 ,.)3,)2,)1 . n m n mn n mnmnmn m n mn m n aaa a aaaa a a aa == === − +− II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Phương trình tổ hợp là phương trình (PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 2 3 7 2 x x x C C C x + + = (1) Lời giải: Điều kiện: 3; ≥ Ν ∈ xx . Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x 2 7 !3!3 ! !2!2 ! !1!1 ! 1 = − + − + − ⇔ ( ) ( ) x xxxxx x 2 7 6 21 2 )1( = − − + − +⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) = −= = ⇔=−⇔=−⇔ =−−+−+⇔ 4 4 0 016016 2121136 23 x x x xxxx xxxxxxx Đối chiếu nghiệm với ĐK đề bài ta có PT (1) có nghiệm là x = 4. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 1 1 2 2 . 3 x x x C C A − − − − = (2) Lời giải: Đk: Ν ∈ ≥ xx ,4 .Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = ⇔=+−⇔ −= − − −− ⇔ − − = − − − − − ⇔ 2 9 01811 3. 3 2 2 1 6 31 !4 !2 . 3 2 !3!2 !1 !4!3 !1 )2( 2 x x xx x xxx x x x x x x So với ĐK đầu bài PT (2) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 9. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 1 3 2 1 1 6 2 3 3 159 x x x x x A C C x P − − + − + − = + + (3) Lời giải: Đk : Ν ∈ ≥ xx ,3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 159!63 !3!2 !13 !1!2 !12 !3 ! )3( 2 ++= − − − − + + − ⇔ x x x x x x x ( )( ) ( ) ( )( ) 0176415132 879321 2 3 121 23 2 =−+−⇔ +=−−−++−−⇔ xxx xxxxxxxx Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được: ( ) ( ) 12014711212 2 =⇔=++− xxxx nghiêmvô Từ ĐK Ν ∈ ≥ xx ,3 nên PT (3) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 12. Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n): 6 7 8 9 8 2 3 3 2 n n n n n C C C C C + + + + = (4) Lời giải: Đk: Ν ∈ ≥ nn ,9 ,theo tính chất số Tổ hợp k n k n k n CCC 1 1 + − =+ , ta có ( ) 9 3 9 2 8 2 9 1 8 1 7 1 9887769876 2 233 ++++++ =+=++= +++++=+++ nnnnnn nnnnnnnnnn CCCCCC CCCCCCCCCC Vậy, theo giả thiết tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) 152 9 3 !6!8 !22 !6!9 !3 2 8 2 9 3 =⇔= + ⇔ − + = − + ⇔= ++ n n n n n n CC nn Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy nhất một nghiệm là n = 15. Lưu ý: Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau: + Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ hợp thì nk ≤ ≤ 0 , ví dụ: 8 3+n C thì đk của n là: 583 ≥ ⇔ ≥ + nn . +Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất, ví dụ: 7 2 9 1 ++ + nn CC thì đk là: ≥⇔≥+ ≥⇔≥+ 572 891 nn nn 8 ≥ ⇔ n . + Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến đổi, rút gọn và giải PT. + Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán để kết luận. III/ NHỊ THỨC NEWTON. Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau: Ví dụ 1: Khai triển ( ) 5 x y − thành tổng các đơn thức. Lời giải: Theo công thức Nhị thức Newton ta có: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 5 05 5 4 4 5 3 23 5 2 32 5 41 5 0 50 5 55 yxCyxCyxC yxCyxCyxCyxyx −+−+−+ +−+−+−=−+=− 54322345 510105 yxyyxyxyxx −+−+−= . Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( ) 6 2 1 2 ,( 0) A x x x x = − ≠ . Lời giải: Với 6; 1 ;2 2 = − == n x bxa , Từ (I) ta có: ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑ = −− = −−− = − −=−= − = 6 0 366 6 6 0 266 6 6 0 2 6 6 .1.2 )1.(2. 1 .2. k k k kk k kkkkk k k k k xCxxC x xCxA Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho 2036 = ⇔ = − kk Vậy số hạng cần tìm là 240)1.(2. 2262 6 =− − C Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa 8 x trong khai triển ( ) 12 5 3 1 ,( 0) B x x x x = + ≠ . Lời giải: Ta có 12,; 1 2 5 53 3 ===== − nxxbx x a Từ (I) ta có: ( ) ( ) ∑∑ = +− = − − = = 12 0 2 1172 12 12 0 2 5 12 3 12 k k k k k k k xCxxCxB Tìm k sao cho 88 2 1172 =⇔= + − k k Vậy số hạng cần tìm là : 495 8 12 =C . Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 3 Ví dụ 4: Xét khai triển ( ) ( ) 15 3 , C x y x xy = + .Tìm hệ số chứa 21 12 x y . Lời giải: Ở đây, ta có 15,, 3 === nxybxa Từ (I) ta có ( ) ( ) ∑∑ = − = − == 15 0 245 15 15 0 15 3 15 ).(., k kkk k k k k yxCxyxCyxC Đến đây, ta tìm k sao cho 12 12 21245 =⇔ = =− k k k . Vậy hệ số chứa 1221 yx là 455 12 15 =C . Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa 7 x trong khai triển ( ) ( ) 2 2 , 0, n D x x x n x = − ≠ ∈Ν , biết n thỏa mãn hệ thức sau: 3 2 3 1 4 2 n n n C C A + + = . Lời giải: Đk: .;2 Ν ∈ ≥ nn Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11222211. 6 4 !3 ! !2!2 ! .2 !2!3 !1 .4 =⇔=⇔−=++⇔ − = − + − + nnnn n n n n n n Ta có 11,.2 2 , 12 =−= − == − nx x bxa Từ (I) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k kk k xCxxCxD 322 11 0 11 11 0 1 11 2 11 .2.2. − == − − −=−= ∑∑ Tìm k sao cho 57322 = ⇔ = − kk Vậy số hạng cần tìm là : ( ) 147842. 5 5 11 −=−C Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( ) 3 2 n E x x x = + , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: ( ) 9 8 3 2 2 , 0, . n n C C x n + + = > ∈Ν Lời giải: Đk: Ν ∈ ≥ nn ;6 . Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương : ( ) ( ) ( ) ( ) 15 !8 2 !9 3 !6!8 !2 .2 !6!9 !3 =⇔ = + ⇔ − + = − + n n n n n n Ta có 15,.2 2 , 2 1 3 1 3 ===== − nx x bxxa Từ (I) ta có: ( ) ∑∑ = − = − − = = 15 0 6 530 15 15 0 2 1 15 3 1 15 .2 2. k k kk k k k k xCxxCxE Ta tìm k sao cho 60 6 530 =⇔= − k k Vậy số hạng cần tìm là: 3203202. 66 15 =C . Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton ( ) ( ) 1 n G x ax = + ta được số hạng thứ hai là 24 x ; số hạng thứ ba là 2 252 x . Hãy tìm a và n. (a ∈ R; n ∈ N*). Lời giải: Ta có: axba = = ,1 . Từ (I) ta có ( ) 0 0 ( ) .1 . . . n n k k n k k k k n n k k G x C ax C a x − = = = = ∑ ∑ *Theo đề bài số hạng thứ hai là x24 nên: = = ⇒ = )1(24. 1 24 1 aC k xxaC n kkk n *Theo đề bài số hạng thứ ba là 2 252x nên: = = ⇒ = )2(252. 2 252 22 2 aC k xxaC n kkk n *Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình sau: = = )2(252. )1(24. 22 1 aC aC n n PT (1) 1 24 n C a =⇔ thay vào (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 8162 16 7 2 1 16 7 !2!2 ! 16 7 16 7 24 252 252 24 .2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 =⇔=⇔ = − ⇔ = − ⇔=⇔ ==⇔= ⇔ nn nn n n n n C C C C CPT n n n n n * Với n = 8 thay vào (1) 3 24 1 8 == C a Vậy 8,3 = = na . Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 4 Ví dụ 8: Khi khai triển ( ) ( ) 6 3 ( ) H x a x b x = + + (*) ta được hệ số chứa 7 x là 9 − ; không có số hạng chứa 8 x . Hãy tìm a và b. (a,b ∈ R). Lời giải: Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo ra số hạng 7 x thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến 654 ,, xxx nhân với các biến số tương ứng trong nhị thức bậc 3 là xxx ,, 23 . *Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có: ∑ = − 6 0 6 6 k kkk xaC số hạng chứa 654 ,, xxx tương ứng với k lần lượt là 4, 5,6. 06 6 5 6 24 6 .,.,. aCaCaC⇒ *Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có: ∑ = − 3 0 3 3 k kkk xbC số hạng chứa xxx ,, 23 tương ứng với k lần lượt là 3, 2, 1. 21 3 2 3 03 3 .,.,. bCbCbC⇒ *Hệ số chứa 7 x là 9 − vậy: 21 3 6 6 2 3 5 6 23 3 4 6 bCCabCCaCC ++ = 9 − (1) (với quy ước 1 0 =a ) *Tương tự trên, đối với 8 x ta cũng có: )2(0 3 3 5 6 2 3 6 6 =+ aCCbCC Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình sau: ( ) ( ) −= = ⇔ −= −=−+−+ ⇔ −= −=++ ⇔ =+ −=++ ⇔ =+ −=++ ab a ab aaaa ab baba ab baba aCCbCC bCCabCCaCC 2 1 2 32265 2 365 063 931815 0 9 2 2 2 2222 3 3 5 6 2 3 6 6 21 3 6 6 2 3 5 6 23 3 4 6 Vậy có hai kết quả là: 2,1 − = = ba và 2,1 = − = ba Lưu ý: Để tính hệ số của số hạng α x (α là một số hữu tỉ cho trước) trongkhai triển nhị thức Newton của n xfxP ))(()( = ta làm như sau: + Biểu diễn ∑ = = n k kg k xaxP 0 )( )( + Số hạng chứa α tương ứng với α = )(kg + Giải phương trình α = )(kg ta tìm được k. + Nếu ,, nkk ≤ Ν ∈ hệ số phải tìm là k a . Nếu Ν ∉ k hoặc nk > thì trong khai triển không có số hạng chứa α x hệ số cần tìm bằng 0. * Một số đề bài không cho bậc n của đa thức )( xP , ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT chứa ẩn n, 0)( = nF để tìm bậc của )( xP , sau đó ta thực hiện các bước như trên. IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. 1)Giải các phương trình sau: 79) 21 =++ −− n n n n n n CCCa Đs: n = 12 12) 23 =− nn AAb Đs: n = 4 )3(7) 3 1 4 +=− + + + nCCc n n n n Đs: n = 12 1 4 2 1 1 .6 711 ) ++ =− xxx CCC d Đs: x = 8 & x = 3. 2) Tìm số hạng chứa 10 x trong khai triển n x x − 2 3 1 biết rằng n thỏa mãn hệ thức: Ν∈= nCC nn ,13 24 ,Đs: n = 15; k = 7; -6435. 3) Cho khai triển nhị thức 12 3 3 − x x a)Tìm số hạng chứa 4 x . Đs: 9 55 ;4=k . b)Tìm số hạng không chứa x Đs: 924;6 = k . 4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n x xx + 15 28 3 1 . , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: ( ) .,0,79 21 Ν∈≠=++ −− nxCCC n n n n n n Đs: 792 5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n x xx + 4 1 . , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: ( ) 2 1 44, 0, . n n C C x n − = > ∈ Ν Đs: n = 11, k=3,165. 6) a)Tìm hệ số chứa 3 x trong khai triển và rút gọn của đa thức: ( ) ( ) ( ) 743 11312)( +++−+= xxxxP Đs: 65 − b)Tìm hệ số chứa 9 x trong khai triển và rút gọn của đa thức: ( ) ( ) 1210 22)( xxxQ −++= Đs: 1740 − 7) Xét khai triển ( ) 6 32 1 xxx −+− thành đa thức 18 18 3 3 2 210 )( xaxaxaxaaxP +++++= . Tìm hệ số 9 a .Đs: -580 HẾT Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 5 . = = )2( 2 52. )1 (24 . 22 1 aC aC n n PT (1) 1 24 n C a =⇔ thay vào (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 81 62 16 7 2 1 16 7 !2! 2 ! 16 7 16 7 24 25 2 25 2 24 .2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 =⇔=⇔ = − ⇔ = − ⇔=⇔ ==⇔= ⇔ nn nn n n n n C C C C CPT n n n n n . ) −= = ⇔ −= −=−+−+ ⇔ −= −=++ ⇔ =+ −=++ ⇔ =+ −=++ ab a ab aaaa ab baba ab baba aCCbCC bCCabCCaCC 2 1 2 322 65 2 365 063 931815 0 9 2 2 2 222 2 3 3 5 6 2 3 6 6 21 3 6 6 2 3 5 6 23 3 4 6 Vậy có hai kết quả là: 2, 1 − = = ba và 2, 1 = − = ba Lưu ý: Để tính hệ số của số hạng. hai là x24 nên: = = ⇒ = )1 (24 . 1 24 1 aC k xxaC n kkk n *Theo đề bài số hạng thứ ba là 2 252x nên: = = ⇒ = )2( 2 52. 2 2 52 22 2 aC k xxaC n kkk n *Từ PT(1) và PT (2) ta có