BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP(BẢI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN TH&TT SỐ ĐS9)_2

Bàn hai dạng Toán Giải Tích Tổ Hợp Ngày soạn: 1/6/2013 (Bài viết đăng đặc san Toán học & Tuổi trẻ số tháng 11 năm 2013) BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP  G LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre) iải tích Tổ hợp mảng Toán khó Đại Số, độ rộng dạng Toán nên chuyên đề đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp Nhị thức Newton, trước vào nội dung chính, ta nhắc lại công thức sau: I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP , NHỊ THỨC NEWTON * Với n k thuộc tập hợp số tự nhiên ta có công thức sau: 1) Công thức hoán vị Pn  n !  n(n  1)(n  2) .3.2.1 ( n giai thừa, n > 1) 2) Công thức chỉnh hợp: n! Ank  (1  k  n) (n  k )! 3) Công thức Tổ hợp: n! Cnk  (0  k  n) k !(n  k )! * Một số tính chất số Tổ hợp: Cnk  Cnk 1  Cnk1 , Cnk11  Cnk1  Cnn  k *Khai triển nhị thức Newton: n n P (a, b)   a  b    Cnk a n  k b k (I) k 0 + Có n + số hạng khai triển + Tổng số mũ a b số hạng số mũ nhị thức 4) Các công thức biến đổi với số mũ m an 1)  a n   a n.m , 2) m  a n  m , 3) a n a m  a n  m , a n m 1 4)    a  n , 5) n a m  a n a II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP  Phương trình tổ hợp phương trình (PT) có ẩn số nằm công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Ví dụ 1: Giải phương trình : C1x  Cx2  Cx3  x (1) Lời giải: Điều kiện: x  ; x  Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy 1  x! x! x!    x 1! x  1 ! 2! x   ! 3! x  3 ! x( x  1) x  x  1 x     x  x  3x  x  1  x  x  1 x    21x  x  x3  16 x   x  x  16   Do x  nên x  16   x  hoÆc x  4 So lại với ĐK PT (1) có nghiệm x  Ví dụ 2: Giải phương trình: Cx31  Cx21  Ax22 (2) Lời giải: Đk: x  4, x   Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:  x  1 !   x  1!   x  ! (2)  3! x   ! 2! x  3 !  x   !  x  1 x  3   x  1   x  3  x  11x  18   x  hoÆc x  So với ĐK đầu PT (2) có nghiệm x =  Ví dụ 3: Giải phương trình: Ax3  2C xx11  3Cxx13  x  P6  159 (3) Lời giải: Đk : x  3, x    x  1 !  x  1 ! x! (3)     x  6! 159  x  3! 2! x  1! 2! x  3!  x  x  1 x  2  x  x  1   x  1 x  2  3x  879  x  13x  15x  1764    x  12  x2  11x  147    x  12  v« nghiÖm Từ ĐK x  3, x   nên PT (3) có nghiệm x = 12 Trang Bàn hai dạng Toán Giải Tích Tổ Hợp Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n): Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn8 Ngày soạn: 1/6/2013 (Bài viết đăng đặc san Toán học & Tuổi trẻ số tháng 11 năm 2013) Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x khai triển (4) Lời giải: Đk: n  9, n   ,theo tính chất số Tổ hợp Cnk  Cnk 1  Cnk1 , ta có Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  Cn6  Cn7   Cn7  Cn8   Cn8  Cn9  Cn71  2Cn81  Cn91  Cn82  Cn92  Cn93 Vậy, theo giả thiết tương đương với:  n  3 !   n   ! Cn93  2Cn8  9! n   ! 8! n   ! n3    n  15 Từ điều kiện đầu ta có PT (4) có nghiệm n = 15  Lưu ý: Khi giải PT tổ hợp ta làm sau: + Đặt đk cho ẩn số, với ý số tổ hợp  k  n , ví dụ: Cn83 đk n là: n38  n  +Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn phải chọn đk cho ẩn tổng quát bao hàm Ví dụ: Cn91  Cn7 đk là: n    n   n8  n    n  + Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến đổi, rút gọn giải PT + Đối chiếu nghiệm tìm với đk toán để kết luận III/ NHỊ THỨC NEWTON Hai vấn đề thường gặp dạng :   A  x    x   , ( x  0) x   Lời giải: Với a  x ; b  1 ; n  , Từ (I) ta có: x2 k A  x    C  x   1    x  6 k k 0 k k   C6k 26 k (1) k x  k x 2 k   C6k 26 k  1 x 3k k 0 k 0 Do số hạng không chứa x nên ta tìm k cho  3k   k  Vậy số hạng cần tìm C62 26  2.( 1)2  240 Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x8 khai triển 12   B  x     x  , ( x  0) x  Lời giải: 3  x ; b  x  x , n  12 x3 Từ (I) ta có: Ta có a  k 12 B  x    C  x k 12 3 12  k  k 0 72 11k 12  5  x    C12k x   k 0 72  11k 8 k 8 Vậy số hạng cần tìm : C128  495 Tìm k cho 15 Ví dụ 4: Xét khai triển C  x, y    x3  xy  Tìm hệ số chứa x 21 y12 Lời giải: Khai triển nhị thức tìm hệ số đa thức, ta Ở đây, ta có a  x3 , b  xy, n  15 xét cụ thể ví dụ sau: Từ (I) ta có 15 Ví dụ 1: Khai triển  x  y  thành tổng đơn thức Lời giải: Theo công thức Nhị thức Newton ta có:  x  y 5 15 k C  x, y    C15k  x  k 0 15 ( xy ) k   C15k x 45 k y k k 0 45  2k  21  k  12 Đến đây, ta tìm k cho  k  12   x    y    C50 x   y   C51 x   y   C52 x 3Vậy   yhệ  số chứa x 21 y12 C1512  455  C53 x   y   C54 x   y   C55 x   y   x5  x y  10 x3 y  10 x y  xy  y Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy Trang Bàn hai dạng Toán Giải Tích Tổ Hợp Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa x7 khai triển n 2  D  x    x   ,  x  0, n    , biết n thỏa mãn x  hệ thức sau: 4C n 1 n Ngày soạn: 1/6/2013 (Bài viết đăng đặc san Toán học & Tuổi trẻ số tháng 11 năm 2013) n  2C  A Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton n G ( x)  1  ax  ta số hạng thứ hai 24x ; số hạng thứ ba 252x Hãy tìm a n.(a R; n N*) Lời giải: Lời giải: Đk: n  2; n   Theo công thức tổ hợp hệ thức tương đương :  n  1!  n !  n ! 3! n   ! 2! n   !  n  3 ! Từ (I) ta có:   n  1   n   2n  22  n  11 2  2.x 1 , n  11 Ta có a  x , b  x Từ (I) ta có k  Cnk a k x k  24 x   Cn a  24 (1) 11 11 k D  x    C11k  x  k 0 11 k n k k 0 k 0 *Theo đề số hạng thứ hai 24x nên: *Theo đề số hạng thứ ba 252x nên: k  2 x 1    C11k  2  x 223k k 0 Tìm k cho 22  3k   k  5 Vậy số hạng cần tìm : C115  2   14784 k  Cnk a k x k  252 x   2 Cn a  252 (2) *Từ PT(1) PT(2) ta có hệ phương trình sau: Cn a  24 (1)  2 Cn a  252 (2) Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x khai n   triển E  x    x   , biết n thỏa mãn hệ x  thức: Cn93  2Cn8 ,  x  0, n    PT(1)  a   24  Cn2 252 PT    C    252     Cn   Cn1  24 16  Đk: n  6; n   24 thay vào (2) ta được: Cn1 n Lời giải: Cn2 n! 7n2    n 16 2! n   ! 16 n  7n  16  2n  16  n  Theo công thức tổ hợp hệ thức tương đương :   n  3!   n  !  n   9! n   ! 8! n   ! 9! 8!  n  15 1  2.x , n  15 Ta có a  x  x , b  x n G ( x)   Cnk 1n  k  ax    Cnk a k x k * Với n = thay vào (1) a  24 3 C81 Vậy a  3, n  Từ (I) ta có: 15  k  1 E  x   C  x3  k 0   15 k 15 Ta tìm k cho k 30  k 15  1   2.x    C15k 2k x k 0   30  5k 0k 6 Vậy số hạng cần tìm là: C156 26  320320 Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy Trang Bàn hai dạng Toán Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết đăng đặc san Toán học & Tuổi trẻ số tháng 11 năm 2013) Ví dụ 8: Khi khai triển H ( x)   a  x   b  x  (*) ta hệ số chứa x7 9 ; số hạng chứa x8 Hãy tìm a b (a,bR) Lời giải: Ta có nhận xét: (*) tích hai nhị thức: nhị thức bậc nhị thức bậc Vậy để tạo số hạng x7 phải tồn nhị thức bậc biến x , x , x nhân với biến số tương ứng nhị thức bậc x , x , x *Vậy nhị thức bậc ta có: C k a 6 k x k số hạng chứa x , x , x tương ứng với k 0 k 4, 5,6  C64 a , C65 a , C66 a *Vậy nhị thức bậc ta có: k C b3 k x k số hạng chứa x3 , x , x tương ứng với k 0 k 3, 2,  C33 b , C32 b , C31.b *Hệ số chứa x7 9 vậy: C64 C33 a  C65 C32 ab  C66 C31.b = 9 (1) (với quy ước a  ) *Tương tự trên,đối với x8 ta có: C66 C32 b  C65 C33 a  (2) Từ PT (1) PT (2) ta có hệ phương trình sau: C64C33 a  C65 C32 ab  C66 C31.b  9  C6 C3 b  C6 C3 a  Ngày soạn: 1/6/2013 * Một số đề không cho bậc n đa thức P( x) , ẩn n cho hệ thức, lúc ta giải PT chứa ẩn n, F (n)  để tìm bậc P( x) , sau ta thực bước IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG 1) Giải phương trình sau: a ) Cnn  Cnn 1  Cnn   79 n n 1 n4 Đs: n = 12 n Đs: n = b) A  A  12 n n3 Đs: n = 12 c) C  C  7( n  3) 1 d)   C x Cx 1 6.Cx1 Đs: x = & x = n   2) Tìm số hạng chứa x khai triển  x3   x   biết n thỏa mãn hệ thức: Cn  13Cn , n   , Đs: n = 15; k = 7; -6435 10 12  x 3 3) Cho khai triển nhị thức    3 x 55 b) Tìm số hạng không chứa x Đs: k  6; 924 4) Tìm số hạng không chứa x khai triển a) Tìm số hạng chứa x4 Đs: k  4; n    x x  15 28  , biết n thỏa mãn hệ thức: x   n n 1 Cn  Cn  Cnn   79,  x  0, n    Đs: 792 5) Tìm số hạng không chứa x khai triển n 15a  18ab  3b  9 5a  6ab  b  3   3b  6a  b  2a    x x   , biết n thỏa mãn hệ thức: x   Cn  Cn  44,  x  0, n    Đs: n = 11, k = 3, 165 5a  6a  2a    2a 2  3 a    b  2a b  2a Vậy có hai kết là: a  1, b  2 a  1, b   Lưu ý: 6) a) Tìm hệ số chứa x3 khai triển rút gọn đa thức: P ( x)   x  1   x  1   x  1 Đs: 2 2 Để tính hệ số số hạng x (α số hữu tỉ cho trước) khai triển nhị thức Newton P( x)  ( f ( x))n ta làm sau: b) Tìm hệ số chứa x9 khai triển rút gọn 10 12 đa thức: Q ( x)    x     x  Đs: 1740 7) Xét khai triển n + Biểu diễn P ( x)   ak x g ( k ) k 0 + Số hạng chứa α tương ứng với g (k )   + Giải phương trình g (k )   ta tìm k 1 x  x x  thành đa thức P ( x)  a0  a1 x  a2 x  a3 x3   a18 x18 Tìm hệ số a9 Đs: – 580 HẾT + Nếu k  , k  n, hệ số phải tìm ak Nếu k   k  n khai triển số hạng chứa x hệ số cần tìm Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy Trang