Tiếp tuyến với đồ thị hàm số FILE WORD (BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN THTT SỐ 460.2015)

Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài viết đăng Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ B ài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số giới thiệu sơ qua từ khởi đầu phép tính đạo hàm học chương trình lớp 11, tiếp sau lớp 12 học trọn vẹn thể loại thông qua công cụ khảo sát hàm số, viết xin trình bày lại vấn đề trên, vài phương pháp cụ thể Lê Ngô Nhật Huy Trang 1/3 Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số • • • Bài viết đăng Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015 Phương pháp : (Dựa vào biểu diễn hình M ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) ( C ) y = f ( x) học) Cho đồ thị : điểm Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến ( C) y = g ( x ) = kx + b Tiếp tuyến với đồ thị M có phương dạng : (T) k y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) số biết b ẩn số phải tìm trình: ( C) ( C ) : y = x2 − 4x + Bước 2: Lí luận (T) tiếp xúc để tìm Ví dụ 1: Cho đồ thị Viết b ( C) Trong phương pháp 2, với điều kiện tiếp xúc phương trình tiếp tuyến với giao  f ( x0 ) = g ( x0 )  ( C) x0  f ′ ( x0 ) = g ′ ( x0 ) điểm với trục hoành tồn giá trị thỏa: Lời giải: ( C) Đối với phương pháp ta không tính trực Phương trình hoành độ giao điểm tiếp hoành độ tiếp điểm mà ta xét trực tiếp x − x + = ⇔ x = hoÆc x = phương trình tiếp tuyến thông qua điều kiện trục hoành: y′ = x − Tùy theo thể loại hàm số hoàn Ta có cảnh cụ thể mà ta dùng phương pháp thích hợp C M 1;0 ( ) ( ) 2x + Tiếp tuyến với điểm có ( C) : y = x −1 y − = −2 ( x − 1) ⇔ y = −2 x + Ví dụ 2: Cho đồ thị phương trình: (d ) : y = −3 x + 11 Viết phương trình tiếp N ( 3;0 ) ( C) ( C) (d ) Tiếp tuyến với điểm có tuyến với song song với y − = ( x − 3) ⇔ y = x − −3 y′ = phương trình: ( x − 1) x ≠1 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Lời giải: Ta có với ( C) y = f ( x) (d ′) ( d ′) Cho đồ thị : Viết phương trình Gọi tiếp tuyến cần tìm song ( C) k x0 (d ) tiếp tuyến với có hệ số góc song với nên tồn giá trị thỏa Phương pháp 1: kd = k d ′ (Tìm tiếp tuyến cách tìm hoành độ tiếp , có nghĩa: điểm) −3 y′ = = −3 ⇔ ( x0 − 1) = f ′ ( x0 ) = k ( x0 − 1) ⇔ x0 = v x0 = Bước 1: Giải phương trình để tìm x0 x0 = ⇒ y0 = −1 hoành độ tiếp điểm + Tại nên ta có phương trình Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến điểm y + = −3 ( x − ) ⇔ y = −3 x − ( d ′) M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: Lê Ngô Nhật Huy Trang 2/3 Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài viết đăng Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015 x0 = ⇒ y0 = 4 ( x − x ) = ( x − 1) 2 ( 2) ⇔ x − x = x −1 ⇔  + Tại nên ta có phương trình  x ≥ y − = −3 ( x − ) ⇔ y = −3x + 11 ( d ′) là: (loại  3x − x − =  x = ± (d ) ⇔ ⇔ đường thẳng trùng với ) ⇔ x = 1+ x ≥  x ≥ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −3 x − 1 ( 1) ⇔ b = x2 − x − x = ( 3x2 − x ) − x Lưu ý: Nếu gặp toán viết phương trình (d ′) tiếp tuyến biết trước đường   = − 1 + ÷ = −2 − (d )   3x2 − x = thẳng có trường hợp sau: (vì ) k d k d ′ = −1 ( d ) ⊥ ( d ′) Và phương trình tiếp tuyến cần tìm là: • hệ số góc y = 2x − − kd = kd ′ ( d ) ( d ′) • // hệ số góc A( α; β ) Nhưng hệ số góc chưa hẳn hai Tiếp tuyến qua điểm cho đường thẳng song song (có thể trùng nhau) trước sau giải nên kiểm tra lại để (hoặc phải tìm) loại đường thẳng trùng với đường thẳng ( giả thiết đề bài, cụ thể ví dụ loại y = −3 x + 11 đường thẳng ( C) : y = x − 2x Ví dụ 3: Cho đồ thị d : y = x + ( ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) ( d ′) (d ) với song song với Lời giải: ( d ′) (d ) Tiếp tuyến song song với có b ≠ ( ) y = 2x + b phương trình dạng: (T)  x − x = x + b ( 1)   x −1 = ( 2)   x − 2x (T) tiếp xúc (C) nên cần có: Lê Ngô Nhật Huy Trang 3/3 ) Phương pháp 1: Bước 1: Tiếp tuyến có phương trình dạng: y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) , tiếp tuyến qua β − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( α − x0 ) ( *) A nên: x0 Bước 2: Giải (*) để tìm suy phương trình tiếp tuyến Phương pháp 2: A( α; β ) Bước 1: Tiếp tuyến qua có phương y − β = k ( x −α ) k trình dạng: (T) hệ số góc cần phải tìm ( C) k Bước 2: Lí luận (T) tiếp xúc để tìm , tìm tiếp tuyến Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số • • Bài viết đăng Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015 ( C ) : y = x2 − 4x +1 y − ( x02 − x +2 ) = ( x0 − ) ( x − x0 ) Ví dụ 4: Cho đồ thị Viết (T) ( C) A ( 1; a ) phương trình tiếp tuyến (T) với kẻ từ Do (T) qua nên: A ( 2; −6 ) a − ( x0 − x +2 ) = ( x0 − ) ( − x0 ) = −2 x02 + x − điểm Lời giải: ⇔ x02 − x0 + a = A ( 2; −6 ) (*) Tiếp tuyến (T) qua có phương trình x1 + x2 = 2, x x2 = a y + = k ( x − ) ⇔ y = kx − 2k − (*) cho ta: (định lí viète) Để có hai tiếp tuyến với (C) kẻ từ A vuông dạng: x1 , x2 ( C) góc với (*) phải có hai nghiệm (T) tiếp xúc với đồ thị cần có : thỏa :  x − x + = kx − 2k − ( 1) y′ ( x1 ) y ′ ( x2 ) = −1 ⇔ ( x1 − ) ( x2 − ) + =  ( 2) 2 x − = k ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = ⇔ a − ⇔ a = Thế (2) vào (1) ta có: x2 − x + = ( x − 4) x − ( x − 4) − ∆′ = − a = − > ⇔ x − 4x +1 = ⇔ x = ± Lúc (*) có chứng tỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tức k = 2+ −4 = x = 2+ có hai phương trình tiếp tuyến Với  3 Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: A 1; ÷  4 y = 3x − − Vậy điểm cần tìm điểm ( C ) : y = x − 3x2 + x + k = 2 − − = − x = 2− Ví dụ 6: Cho đồ thị Với Tìm điểm A thuộc (C) cho từ A kẻ Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: tiếp tuyến với đồ thị (C) y = 3x + − Phân tích tìm hướng giải: ta đoán Vậy có hai tiếp tuyến : toán có liên quan đến dáng điệu hàm số bậc y = x + − y = 3x − − ba, dễ thấy đồ thị hàm số bậc ba ; có vị trí đặc biệt vị trí điểm uốn, trực quan ta nhận tiếp tuyến ( C ) : y = x − 2x + xuất phát từ điểm uốn kẻ Ví dụ 5: Cho đồ thị tiếp tuyến nhất, công việc làm ( d ) : x =1 ( d) để chứng minh nhận định Tìm điểm A thuộc cho từ A kẻ hai tiếp tuyến vuông góc Lời giải: Lời giải: y′ = x − x + y ′′ = x − A 1; a ∈ d ( ) ( ) ′ y = 2x − Ta có: ; Ta có đặt ( C) Tiếp tuyến với có phương trình dạng: ( ( Lê Ngô Nhật Huy ) ) Trang 4/3 Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài viết đăng Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015 y′′ = x − = ⇔ x = ⇒ y = ( C ) : y = x4 − 5x2 − x + Lúc cho Suy 2.Cho đồ thị Viết I ( 1;1) ( C) ( C) có điểm uốn phương trình tiếp tuyến với giao ( C) y = −x + Dời uur gốc tọa độ O I theo phép tịnh tiến theo điểm với đường thẳng OI ( 1;1) x = X + 1; y = Y + 3.( Khối B-2008) : ( C ) : y = x3 − x + ( C) Cho đồ thị Viết phương Đồ thị hàm số viết lại: ( C) Y + = ( X + 1) − ( X + 1) + ( X + 1) + trình tiếp tuyến với , biết tiếp tuyến M ( −1; −9 ) ⇔ Y = X − 2X Y ′ = 3x − qua điểm , lúc 4.( Khối B-2004) A ( X = a; Y = a − a ) ∈ ( C ) ( C ) : y = x3 − x + 3x Đặt ( C) Cho đồ thị Viết Phương trình tiếp tuyến với có dạng: ( C) ∆ Y − ( X − X ) = ( 3X − 2) ( X − X ) phương trình tiếp tuyến với điểm ∆ (T) uốn chứng minh biết tiếp Tiếp tuyến qua A nên: ( C) a − 2a − ( X 03 − X ) = ( X 02 − ) ( a − X ) tuyến có hệ số góc nhỏ 3 x2 + x −1 ⇔ a − X − ( a − X ) = ( X − 2) ( a − X ) ( C) : y = x+2 5.Cho đồ thị Viết phương 2 ⇔ ( a − X ) ( X − aX − a ) = ( C) trình tiếp tuyến với , biết tiếp tuyến a X = − ( C) ⇔ X0 = a hay vuông góc với tiệm cận xiên Dựa vào giả thuyết để từ A kẻ y = − x + 3x − tiếp tuyến với đồ thị phải có: 6.Cho hàm số a Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà a=− ⇔a=0 từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị ( C) A ( x = 1; y = 1) Vậy điểm điểm cần tìm Cuối để kết thúc viết, phương pháp mời bạn đọc giải toán sau: ( C ) : y = x3 − x + x + 1.Cho đồ thị Chứng ( C) minh hai tiếp tuyến vuông góc Lê Ngô Nhật Huy Trang 5/3