Tiếp tuyến với đồ thị hàm số FILE WORD (BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN THTT SỐ 460.2015)

viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã được giới thiệu sơ qua từ sự khởi đầu

Trang 1

viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM

SỐ

ài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã được giới thiệu sơ qua từ sự khởi đầu của phép tính đạo hàm khi học ở chương trình lớp 11, tiếp sau đó ở lớp 12 chúng ta đã được học trọn vẹn về các thể loại của nó thông qua các công cụ khảo sát hàm số, trong bài viết này xin trình bày lại vấn đề trên, bằng một vài phương pháp cụ thể.

B

 Cho đ th ồ thị ị  C : y f x   và đi m ểm M x f x 0;  0  C

Ti p tuy n v i đ th ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị ồ thị ị  C t i M có ph ng ại M có phương ương

Ví d 1: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  C :y x 2 4x  Vi t3 ếp tuyến với đồ thị

ph ương ng trình ti p tuy n v i ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị  C t i các giao ại M có phương

đi m c a ểm ủa  C v i tr c hoành ới đồ thị ục hoành.

L i gi i ời giải ải :

Phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình hoành đ giao đi m gi a ộ giao điểm giữa ểm giữa ữa  C

và tr c hoành: ục hoành: x2 4x  3 0 x1hoÆc x3

Ta có y 2x 4

 Ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C t i đi m ại điểm ểm giữa M1;0 có

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình: y 02x 1  y2x2

 Ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C t i đi m ại điểm ểm giữa N3;0 có

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình: y 0 2 x 3 y2x 6

1 Ti p tuy n có h s góc k cho tr ếp tuyến có hệ số góc k cho trước: ếp tuyến có hệ số góc k cho trước: ệ số góc k cho trước: ố góc k cho trước: ước: c:

Cho đ th ồ thị ị  C : yf x  Vi t ph ếp tuyến với đồ thị ương ng trình

ti p tuy n v i ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị  C có h s góc ệ số góc ố góc k

Ph ương pháp 1: ng pháp 1:

(Tìm ti p tuy n b ng cách tìm hoành đếp tuyến với ếp tuyến với ằng cách tìm hoành độ ộ giao điểm giữa

ti p đi m)ếp tuyến với ểm giữa

B ưới đồ thị c 1: Gi i phải phương trình ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình f x 0  đ tìmk ểm giữa

hoành đ ti p đi m ộ giao điểm giữa ếp tuyến với ểm giữa x0

B ưới đồ thị c 2: Vi t phếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n t iếp tuyến với ếp tuyến với ại điểm

đi mểm giữa M x f x 0;  0 

Ph ương pháp 1: ng pháp 2 : (D a vào bi u di n hìnhựa vào biểu diễn hình ểm giữa ễn hình

h c)ọc)

B ưới đồ thị c 1: Vi t phếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n dếp tuyến với ếp tuyến với ưới i

d ng :ại điểm y g x   kx b  (T) trong đó k là

h ng s đã bi t và ằng cách tìm hoành độ ố đã biết và ếp tuyến với b là n s ph i tìm.ẩn số phải tìm ố đã biết và ải phương trình

B ưới đồ thị c 2: Lí lu n (T) ti p xúc ận (T) tiếp xúc ếp tuyến với  C đ tìm ểm giữa

được bc Trong phương trình hoành độ giao điểm giữa ng pháp 2, v i đi u ki n ti pới ều kiện tiếp ện tiếp ếp tuyến với xúc đây là t n t i các giá tr ở đây là tồn tại các giá trị ồn tại các giá trị ại điểm ị x th a:0 ỏa:

0 0







Đ i v i phố đã biết và ới ương trình hoành độ giao điểm giữa ng pháp 2 thì ta không tính

tr c ti p hoành đ ti p đi m mà ta ch xétựa vào biểu diễn hình ếp tuyến với ộ giao điểm giữa ếp tuyến với ểm giữa ỉ xét

tr c ti p phựa vào biểu diễn hình ếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n thông quaếp tuyến với ếp tuyến với

đi u ki n trên.ều kiện tiếp ện tiếp Tùy theo th lo i hàm s và trong t ng hoànểm giữa ại điểm ố đã biết và ừng hoàn

c nh c th mà ta có th dùng phải phương trình ục hoành: ểm giữa ểm giữa ương trình hoành độ giao điểm giữa ng pháp thích h p.ợc

Ví d 2: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  : 2 1

1

x





( ) :d y3x11 Vi t ph ếp tuyến với đồ thị ương ng trình ti p ếp tuyến với đồ thị tuy n v i ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị  C và song song v i ới đồ thị ( )d

L i gi i: ời giải ải Ta có  

2

3 1

y x



 

 v i ới x 1

G i ti p tuy n c n tìm là ọc) ếp tuyến với ếp tuyến với ần tìm là ( )d và ( )d song song v i ới ( )d nên t n t i giá tr ồn tại các giá trị ại điểm ị x th a0 ỏa:

k k , có nghĩa:

2 0 2

0

3

1

x



+ T i ại điểm x0  0 y0 1 nên ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ( )d là: y 1 3x 0  y3x 1

Trang 2

+ T i ại điểm x0  2 y0  nên ta có ph ng trình5 ương trình hoành độ giao điểm giữa

( )d là: y 53x 2  y3x11 (lo iại điểm

đường thẳng này do trùng với ng th ng này do trùng v i ẳng này do trùng với ới ( )d )

V y phận (T) tiếp xúc ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n c n tìm là:ếp tuyến với ếp tuyến với ần tìm là

y x

L u ý ư : N u g p bài toán vi t phếp tuyến với ặp bài toán viết phương trình ếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình

ti p tuy nếp tuyến với ếp tuyến với ( )d khi bi t trếp tuyến với ưới c được c m tộ giao điểm giữa

đường thẳng này do trùng với ng th ngẳng này do trùng với ( )d thì có các trường thẳng này do trùng với ng h p sau:ợc

 ( )d ( )d thì h s góc ện tiếp ố đã biết và k k d. d  1

 ( )d //( )d thì h s góc ện tiếp ố đã biết và k d k d

Nh ng h s góc b ng nhau ch a h n haiư ện tiếp ố đã biết và ằng cách tìm hoành độ ư ẳng này do trùng với

đường thẳng này do trùng với ng th ng song song (có th trùng nhau)ẳng này do trùng với ểm giữa

do đó sau khi gi i chúng ta nên ki m tra l iải phương trình ểm giữa ại điểm

đ lo i đểm giữa ại điểm ường thẳng này do trùng với ng th ng trùng v i đẳng này do trùng với ới ường thẳng này do trùng với ng th ngẳng này do trùng với

c a gi thi t đ bài, c th trong ví d trênủa giả thiết đề bài, cụ thể trong ví dụ trên ải phương trình ếp tuyến với ều kiện tiếp ục hoành: ểm giữa ục hoành:

lo i đại điểm ường thẳng này do trùng với ng th ng ẳng này do trùng với y3x11

Ví d 3: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  C :y x2 2x và

 d :y2x  Vi t ph ng trình ti p tuy n1 ếp tuyến với đồ thị ương ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị

( )d v i ới đồ thị  C và song song v i ới đồ thị ( )d

L i gi i: ời giải ải

Ti p tuy n ếp tuyến với ếp tuyến với ( )d song song v i ới ( )d thì có

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình d ng: ại điểm y2x b (T) b 1

(T) ti p xúc (C) nên c n có:ếp tuyến với ần tìm là

 

2

1

2

x











1

x







3 2 3

3

x





3

Và do đó phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n c n tìmếp tuyến với ếp tuyến với ần tìm là

là:

y x 

2 Ti p tuy n đi qua đi m ếp tuyến có hệ số góc k cho trước: ếp tuyến có hệ số góc k cho trước: ểm A   cho ; 

tr ước: c (ho c ph i tìm) ặc phải tìm) ải

B ưới đồ thị c 1: Ti p tuy n có phếp tuyến với ếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình d ng:ại điểm

qua A nên:  f x 0 f x  0   x0  *

B ưới đồ thị c 2: Gi i (*) đ tìmải phương trình ểm giữa x r i suy ra ph ng0 ồn tại các giá trị ương trình hoành độ giao điểm giữa trình ti p tuy n.ếp tuyến với ếp tuyến với

B ưới đồ thị c 1: Ti p tuy n qua ếp tuyến với ếp tuyến với A   có ph ng ;  ương trình hoành độ giao điểm giữa trình d ng: ại điểm y  k x  (T) trong đó k

là h s góc c n ph i tìm.ện tiếp ố đã biết và ần tìm là ải phương trình

B ưới đồ thị c 2: Lí lu n (T) ti p xúc ận (T) tiếp xúc ếp tuyến với  C đ tìm ểm giữa k ,

khi đó tìm được c ti p tuy n.ếp tuyến với ếp tuyến với

Ví d 4: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  C :y x 2 4x  Vi t1 ếp tuyến với đồ thị

ph ương ng trình ti p tuy n (T) v i ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị  C k t ẻ từ ừ

Ti p tuy n (T) qua ếp tuyến với ếp tuyến với A2; 6  có phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình d ng:ại điểm y 6 k x  2  y kx  2k 6 (T) ti p xúc v i đ th ếp tuyến với ới ồn tại các giá trị ị  C c n có :ần tìm là

 

2 4 1 2 6 1







Th (2) vào (1) thì ta có:ếp tuyến với

2 4 1 2 4 2 2 4 6

2 4 1 0 2 3

Ti p tuy n c n tìm có phếp tuyến với ếp tuyến với ần tìm là ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình:

V y có hai ti p tuy nận (T) tiếp xúc ếp tuyến với ếp tuyến với :

y x  ; y2 3x 4 3 6

Trang 3

Ví d 5: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  C :y x 2 2x  và2

A k đ ẻ từ ược hai tiếp tuyến vuông góc nhau c hai ti p tuy n vuông góc nhau ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị

Ta có y 2x 2 và đ t ặp bài toán viết phương trình A1;a   d

Ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C có ph ng trình d ng:ương trình hoành độ giao điểm giữa ại điểm

(T)

Do (T) qua A1;a nên:

0 2 0 2 2 0 2 1 0 2 0 4 2

2

0 2 0 0

(*) cho ta: x1x2 2,x x1 2  (đ nh lí viète)a ị

Đ có hai ti p tuy n v i (C) k t A vàểm giữa ếp tuyến với ếp tuyến với ới ẻ từ A và ừng hoàn

vuông góc v i nhau thì (*) ph i có haiới ải phương trình

1 2 1 2

3

4

Lúc đó (*) có

3

4

a



     

ch ng tứng tỏ ỏa:

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình (*) có hai nghi m phân bi t,ện tiếp ện tiếp

t c luôn có hai phứng tỏ ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy nếp tuyến với ếp tuyến với

V y đi m c n tìm là đi mận (T) tiếp xúc ểm giữa ần tìm là ểm giữa

3 1;

4

Ví d 6: ụ 1: Cho đ th ồ thị ị  C :y x 3 3x2  x 2

đ ược hai tiếp tuyến vuông góc nhau c m t ti p tuy n v i đ th (C) ộc ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ới đồ thị ồ thị ị

Phân tích tìm h ước: ng gi i: ải ta đoán r ng bàiằng cách tìm hoành độ

toán có liên quan đ n dáng đi u hàm s b cếp tuyến với ện tiếp ố đã biết và ận (T) tiếp xúc

ba, d th y r ng trên đ th hàm s b c baễn hình ấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba ằng cách tìm hoành độ ồn tại các giá trị ị ố đã biết và ận (T) tiếp xúc

nó có m t v trí r t đ c bi t đó là v trí đi mộ giao điểm giữa ị ấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba ặp bài toán viết phương trình ện tiếp ị ểm giữa

u n, do đó b ng tr c quan ta nh n ra ti pố đã biết và ằng cách tìm hoành độ ựa vào biểu diễn hình ận (T) tiếp xúc ếp tuyến với

tuy n xu t phát t đi m u n thì luôn kếp tuyến với ấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba ừng hoàn ểm giữa ố đã biết và ẻ từ A và

được c m t ti p tuy n duy nh t, công vi cộ giao điểm giữa ếp tuyến với ếp tuyến với ấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba ện tiếp

bây gi là làm nh th nào đ ch ng minhờng thẳng này do trùng với ư ếp tuyến với ểm giữa ứng tỏ

nh n đ nh trên là đúng.ận (T) tiếp xúc ị

Ta có: y 3x2 6x ; 1 y 6x 6

Lúc đó cho y 6x 6 0  x 1 y1Suy

ra  C có đi m u n ểm giữa ố đã biết và I1;1

D i g c t a đ ờng thẳng này do trùng với ố đã biết và ọc) ộ giao điểm giữa O v ều kiện tiếp I theo phép t nh ti nị ếp tuyến với theo OI 1;1

: xX 1;y Y 1

Đ th hàm s ồn tại các giá trị ị ố đã biết và  C đ c vi t l iược ếp tuyến với ại điểm :

3

2

   , lúc đó Y 3x2 2

Đ t ặp bài toán viết phương trình  2   

Phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C có d ng:ại điểm

0 2 0 3 0 2 0

(T)

Ti p tuy n qua A nên:ếp tuyến với ếp tuyến với

0 2 0 3 0 2 0

0 2 0 0 0

0

2

a

X 

D a vào gi thuy t đ t A ch k đựa vào biểu diễn hình ải phương trình ếp tuyến với ểm giữa ừng hoàn ỉ xét ẻ từ A và ược c m tộ giao điểm giữa

ti p tuy n v i đ th thì ph i có:ếp tuyến với ếp tuyến với ới ồn tại các giá trị ị ải phương trình

0 2

a

a  a

V y đi m ận (T) tiếp xúc ểm giữa A x 1; y là đi m c n tìm.1 ểm giữa ần tìm là

Cu i cùng đ k t thúc bài vi t, b ng các ố góc ểm ếp tuyến với đồ thị ếp tuyến với đồ thị ằng các

ph ương ng pháp trên m i b n đ c gi i các bài ời bạn đọc giải các bài ại M có phương ọc giải các bài ải các bài toán sau:

1.Cho đ th ồn tại các giá trị ị  C :y x 3 x22x Ch ng1 ứng tỏ minh trên  C không có hai ti p tuy nếp tuyến với ếp tuyến với vuông góc nhau

2.Cho đ th ồn tại các giá trị ị  C :y x 4 5x2 x Vi t8 ếp tuyến với

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C t i các giaoại điểm

đi m c a ểm giữa ủa giả thiết đề bài, cụ thể trong ví dụ trên  C v i đ ng th ng ới ường thẳng này do trùng với ẳng này do trùng với yx4

3.( Kh i B-2008 ố góc k cho trước: ) Cho đ thồn tại các giá trị ị  C :y4x3 6x2 Vi t1 ếp tuyến với

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C , bi t r ngếp tuyến với ằng cách tìm hoành độ

ti p tuy n đó đi qua đi m ếp tuyến với ếp tuyến với ểm giữa M   1; 9 

4.( Kh i B-2004 ố góc k cho trước: ) Cho đ th ồn tại các giá trị ị  

3 2

1

3

C y x  x  x

Vi tếp tuyến với

phương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n ếp tuyến với ếp tuyến với  v i ới  C t iại điểm

Trang 4

đi m u n và ch ng minh r ng bi t r ng ểm giữa ố đã biết và ứng tỏ ằng cách tìm hoành độ ếp tuyến với ằng cách tìm hoành độ 

là ti p tuy n c a ếp tuyến với ếp tuyến với ủa giả thiết đề bài, cụ thể trong ví dụ trên  C có h s góc nhện tiếp ố đã biết và ỏa:

nh t.ấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba

5.Cho đ th ồn tại các giá trị ị  

2 1 :

2

x

 



 Vi t phếp tuyến với ương trình hoành độ giao điểm giữa ng trình ti p tuy n v i ếp tuyến với ếp tuyến với ới  C , bi t r ng ti pếp tuyến với ằng cách tìm hoành độ ếp tuyến với

tuy n đó vuông góc v i ti m c n xiên c aếp tuyến với ới ện tiếp ận (T) tiếp xúc ủa giả thiết đề bài, cụ thể trong ví dụ trên

 C

6.Cho hàm s ố đã biết và yx33x2 2

Tìm trên đường thẳng này do trùng với ng th ng (ẳng này do trùng với d): y = 2 các đi m màểm giữa

t đó có th k đừng hoàn ểm giữa ẻ từ A và ược c ba ti p tuy n đ n đếp tuyến với ếp tuyến với ếp tuyến với ồn tại các giá trị

th ị  C .

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	281,3 KB