Nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I CHU TH± LAN NHIEU CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Hà N®i-2013 ĐOI VéI B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I CHU TH± LAN NHIEU CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N ĐOI PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO VéI KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS Nguyen Văn Hà N®i - 2013 Hào LèI CÁM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào - trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cna Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Trong khn kho có han cna mđt khoỏ luắn tot nghiắp, ieu kiắn thòi gian, trình đ® có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung góp ý cna thay ban sinh viên Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Chu Th% Lan LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket q cna bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em nh¾n đưoc rat nhieu sn quan tâm cna thay cô giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna TS Nguyen Văn Hào Trong nghiên cúu hoàn thành bỏn khoỏ luắn ny em ó tham khỏo mđt so tài li¾u ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cna đe tài “Phương pháp nhieu cía giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so ” khơng có sn trùng l¾p vói ket cna đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Chu Th% Lan Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm ve bắc m®t so ví du 1.1.1 Lòi dan 1.1.2 Các khái ni¾m ve "khơng" b¾c .8 1.1.3 Chú ý 1.1.4 M®t so ví du ve b¾c .10 1.1.5 Nh¾n xét 10 1.2 Dãy ti¾m c¾n chuoi ti¾m c¾n .10 1.2.1 Khái ni¾m ví du ve dãy ti¾m c¾n 10 1.2.2 Chuoi lũy thùa ti¾m c¾n .11 1.3 Khai trien ti¾m c¾n 17 1.4 M®t so tính chat bán cna khai trien ti¾m c¾n .19 Chương Phương pháp nhieu vái phương trình đai so 24 2.1 Khai trien Taylor quy tac l’Hospital .24 2.1.1 Đ%nh lí Taylor 24 2.1.2 Quy tac l’Hospital .25 2.2 Khái ni¾m ve nhieu phương trình đai so 26 2.3 Ý tưóng cna phương pháp nhieu .27 2.4 M®t so phương pháp nhieu phương trình đai so .29 2.4.1 Phương pháp l¾p 29 2.4.2 Phương pháp nhieu kỳ d% 30 2.4.3 Phương pháp tí l¾ .31 2.5 Trưòng hop lũy thùa khơng ngun 34 Ket lu¾n 36 Tài li¾u tham kháo 37 Má đau Lý chon đe tài Ve m¾t l%ch sú, sn xuat hi¾n cna giái tích ti¾m c¾n có the nói rat sóm Th¾m chí có the ke đen thòi điem to tiên cna nghiên cúu tù van e nhú nh thúc o cna mđt cõy gắy, ho¾c đen van đe lón nghiên cúu sn xáo tr®n quy đao chuyen đ®ng cna m®t hành tinh Nh chỳng ta biet, o mđt cõy gắy moi phép đo cho m®t giá tr% khác Do sau n lan đo ket nh¾n đưoc n giá tr% khác M®t nhung ket có the chon chieu dài cna g¾y hay khơng? Xap xí tot nhat vói chieu dài thnc cna g¾y giá tr% trung bình cna n so nh¾n đưoc moi ket đo có the đưoc coi m®t nhieu cna giá tr% trung bình Lnc hap dan cna M¾t tròi yeu to ánh hưóng đen chuyen đ®ng cna moi hành tinh xung quanh nó, lnc yeu nhieu lnc hap dan giua hành tinh Đieu đó, tao sn nhieu đoi vói quy đao chuyen đ®ng cna chúng; đieu gây sn thay đoi nhó đen quy đao chuyen đ®ng cna hành tinh theo thòi gian Các hành tinh gây sn xáo tr®n nhieu nhat đen quy đao chuyen đ®ng cna trái đat Kim, M®c Tho Các hành tinh m¾t tròi gây nhieu quy đao chuyen đng cna mắt trng xung quanh trung tõm hắ thong Trái đat-M¾t trăng Vi¾c sú dung kien thúc tốn hoc đoi vói nhung yeu to ve quy đao chuyen đ®ng hàm cna bien thòi gian có the mơ tá xác sn nhieu quy đao chuyen đ®ng cna cỏc hnh tinh thuđc hắ mắt trũi khoỏng thũi gian nhat đ%nh Đoi vói khống thòi gian dài hơn, hàng loat van đe phái đưoc tính tốn lai Giái tích ti¾m c¾n cơng cu huu hi¾u vi¾c tìm lòi giái gan đoi vói nhieu tốn phúc tap thưòng g¾p thnc te, mđt ngnh quan cna toỏn hoc ỳng dung Viắc thiet l¾p xác hóa khái ni¾m nh viắc a mđt so ket quỏ khúi au lĩnh vnc đưoc tìm thay cơng trình cna Poincare Stieltjes vào năm 1886 Trong cơng trình đó, hai nhà tốn hoc cơng bo nhieu bi bỏo giúi thiắu ve mđt so khỏi ni¾m ket q nghiên cúu đoi vói chuoi ti¾m c¾n Sau vào năm 1905, Prandtl cơng bo m®t báo ve chuyen đ®ng ve dũng chat lúng hoắc luong khớ vúi đ nhút nhú doc theo mđt vắt the Trong trũng hop chuyen đng cánh máy bay khơng khí, tốn v¾y đưoc mơ tá bói phương trình Navier-Stokes vói so Reynolds lón Tuy nhiên, cơng trình phương pháp nhieu kỳ d% đưoc đe c¾p đen Thơng thưòng, m®t van đe tốn hoc khơng han có the oc giỏi quyet mđt cỏch chớnh xỏc Thắm cá đưa đưoc lòi giái xác cna bi toỏn, thỡ nhung nghiắm ú cũn phu thuđc vo thơng so rat khó đe sú dung Thơng thưòng toán xuat phát tù nhung van đe thnc te phương pháp đeu dna m®t tham so van đe tương đoi nhó Tình hình tương đoi bien úng dung đieu m®t nhung lý mà phương pháp nhieu cna toán hoc úng dung náy sinh M®t nhung nen táng khác khoa hoc máy tính đieu thú v% hai đoi tưong phát trien lên Khi sú dung m®t máy tính, m®t giái quyet van đe mà phi tuyen, không đong nhat đa chieu Hơn nua, có the đe đat đưoc đ® xác rat cao Nhung han che giái pháp máy tính khơng cung cap nhìn sâu sac vào v¾t lý cna van đe (đ¾c bi¾t cho nhung ngưòi khơng có quyen truy c¾p vào phan mem thích hop ho¾c máy tính) ln ln có câu hói đ¾t có hay khơng giái pháp tính tốn xác M¾t khác, phương pháp nhieu có giái quyet vói tốn phi tuyen, khơng đong nhat đa chieu (m¾c dù chưa đen múc giong giái pháp máy tính tao ra) Các muc tiêu bán sú dung phương pháp nhieu loan, nhat l e cung cap mđt bieu hiắn khỏ chớnh xác cho giái pháp Bang cách làm có the lay oc mđt sn hieu biet ve vắt lý cna van đe đưoc đưa Bói tam quan tính thnc tien cna van đe đưoc sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, em chon đe tài: “Phương pháp nhieu cúa giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so” đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p h¾ đào tao cú nhân chun ngành Sư pham Toán hoc Cau trúc cna đe tài đưoc bo cuc thành hai chương Chương Trong chương ny, chỳng tụi trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n tính chat đ¾c trưng cna giái tích ti¾m c¾n Chương Chương dành cho vi¾c sú dung phương pháp nhieu cna giái tớch tiắm cắn mđt so bi toỏn so vói m®t an phu thu®c m®t tham so Mnc đích, đoi tưang pham vi nghiên cNu Khóa lu¾n nghiên cúu ve giái tích ti¾m c¾n bao gom khái ni¾m ve b¾c ti¾m c¾n, dãy ti¾m c¾n, chuoi ti¾m c¾n; tính chat phép tốn giái tích đoi vói chuoi ti¾m c¾n Trên só h¾ thong kien thúc đây, chúng tơi t¾p trung nghiên cúu úng dung cna giái tích ti¾m c¾n bang phương pháp nhieu đoi vói phương trình đai so Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Chương M®t so kien thNc chuan b% Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành khói nguon tù m®t so cơng trình tính tốn cna L Euler Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n mói đưoc xõy dnng mđt cỏch hắ thong búi Stiltjes [8] v Poincaré [6] é đây, ngưòi ta nghiên cúu chuoi mà đưoc bieu dien bói dãy hàm ti¾m c¾n Thơng thưòng hàm đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi lũy thùa ho¾c dưói dang nghi¾m cna phương trình vi phân Trong chương chúng tơi se trình bày vói múc đ® can thiet bán nhat ve lý thuyet giái tích ti¾m c¾n 1.1 Mđt so khỏi niắm ve bắc v mđt so ví dn 1.1.1 Lài dan Các kí hi¾u O, o ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E Landau P D B Reymond Trưóc giói thi¾u khỏi niắm ny, chỳng ta xột en mđt bi toỏn thưòng g¾p thnc te Tính giá tr% cna tích phân ¸∞ I (s) = e−t dt; vói s > đn nhó 1+ st Như trình bày phan mó đau, chúng tơi se trình bày m®t phương pháp xap xí cna tích phân I(s) bang phương pháp de tiep c¾n nhat (phương pháp tích phân tùng phan) Lay tích phân tùng phan thú nhat ta thu đưoc ¸ ∞ X ε =1 (2.13) Xε ε =1+ (2.14) ε ε2 Xε (2.15) = + + Khi đó, van đe xuat hi¾n rang: giá tr% Xε ; i = 1, 2, có thóa i mãn phương trình cna xε hay khơng? Bang cách tính tốn trnc tiep, ta suy rang (Xε) − εXε − = O(ε) 1 (Xε) − εXε − = O(ε2) 2 (Xε) − εXε − = O(ε3) 3 (2.16) (2.17) (2.18) Tù đieu đó, ta de dàng thay đưoc giá itr% X ε thóa mãn rat tot phương trình xét ε nhó sai so nhó i lón 2.4 M®t so phương pháp nhieu phương trình đai so 2.4.1 Phương pháp l¾p Vói ý tưóng trình bày đây, phan se sú dung quy trình vói khái ni¾m đưoc goi “Phương pháp l¾p” đe xây dnng khai trien ti¾m c¾n đoi vói phương trình (2.1) Đe làm đưoc đieu đó, ta viet lai (2.1) sau √ x = ± + εx Khi x = xε công thúc goi ý cho ta quy trình l¾p sau √ xn+1 = + εxn; moi n ∈ N (2.19) vói é đây, đe minh hoa cho van đe trình bày lay nghiắm dng Cho x0 l mđt so thnc co đ%nh Khi đó, sú dung khai trien Taylor đoi vói phương trình (2.19) ta nh¾n đưoc ε x1 = + x0 + (2.20) Vì v¾y ta tìm đưoc so hang đau tiên cna khai trien ti¾m c¾n, nhiên so hang thú hai ó (2.20) van phu thu®c vào x0 Đe có đưoc so hang thú hai cna khai trien ti¾m c¾n ta l¾p lai q trình dan đen ε ε x2 = + x1 + = + + (2.21) 2 Đieu cho phép có ket mong muon Sau l¾p lai hai lan, xây dnng khai trien ti¾m c¾n ε ε x = + + (2.22) Han che cna phương pháp đoi vói vi¾c xây dnng khai trien ti¾m c¾n, khơng the đám báo oc cụng thỳc lắp (2.19) cú hđi tu hay khụng 2.4.2 Phương pháp nhieu kỳ d% Bây giò ta xét phương trình sau mà se cho ta nhung ket khác εx2 − x − = (2.23) Giá sú ε = phương trình (2.23) tró thành −x − = (2.24) M®t cách de dàng ta tìm đưoc nghi¾m cna phương trình (2.23) √ ± + 4ε xε = 2ε Khi đó, ta thay rang ε → nghi¾m thú nhat + cna phương trình xε khơng xác đ%nh Đây m®t đieu khác han so vói phương trình q trình nhiên cúu phương trình (2.1) Đoi vói nghi¾m thú hai cna phương trình này, ε → ta có √ ε − 1+ x− = ~ −1 2ε 4εnghi¾m xε , ta nh¾n đưoc Viet khai trien Taylor đoi vói (1++ + 2ε √ + − 1− + 4ε x = 2ε2 ε 2ε + = 2ε = + − 2ε + (2.25) ε Do ta cú the thay oc nghiắm hđi tu en mđt nghi¾m cna phương xε − trình (2.24) vói sn sai khác m®t lưong Do đó, khơng the mong ε muon nh¾n đưoc khai trien ti¾m c¾n thnc hi¾n đoi vói trưòng hop quy V¾y bang cách có the tìm đưoc mđt tý lắ thớch hop cho cỏc bi toỏn? Phng pháp dưói se cho ta nhung ky thu¾t v¾y 2.4.3 Phương pháp tí l¾ Giá sú ta chưa biet trưóc đưoc tý l¾ xác đe xây dnng mđt khai trien tiắm cắn e minh hoa ieu ny, ta xét cu the phương trình (2.23) Cho mđt hm thnc cna v x = X, ó δ = δ(ε) X = O(1) Ky thu¾t tí l¾ xác đ%nh hàm so δ, bien mói X se đưoc tìm Viet lai phương trình (2.23) theo X, ta có εδ 2X2 − δX − = (2.26) Bang cách so sánh h¾ so cna phương trình (2.26) cu the εδ2, δ, Ta chia l¾p lu¾n đoi vói phương pháp tí l¾ thành năm trưòng hop (i) Trưòng hop δ > ε trình (2.26) vói ε−1δ−2 ta đưoc −1 =0 (2.31) X (εδ) X − εδ2 s o¸(1¸) x X = o(1) õy cng khụng phỏi l mđt tý lắ thớch hop Do đó, ta thay rang chí có nhat trưòng hop δ = thóa mãn Khi ε X đó, ta nh¾n đưoc x = phương trình (2.26) tró thành ε X − X − ε = (2.32) Bây giò quay tró lai phương trình (2.23) Phương pháp tí l¾ goi ý cho ta sú dung bieu dien sau xε = ε−1x − + x0 + + εx1 (2.33) Thay vào phương trình (2.23) so sánh h¾ so cna εi(i = −1, 0, ) cá hai ve cna phương trình (2.23) ta đưoc ε−1 : −1 − x−1 = ε0 : 2x0x − − −1=0 (2.35) x0 ε1 : x + 2x − − x1 (2.34) =0 (2.36) x1 Các nghi¾m cna phương trình (2.34) x−1 = x−1 = Nghiắm thỳ hai khụng cho ta mđt khai trien ti¾m c¾n quy Bây giò ta xét tói nghi¾m thú nhat x−1 = Tù phương trình (2.35) phương trình (2.36) ta giái đưoc x0 = 1, x1 = −1 Do đó, xây dnng xap xí Xε ; i = 0, 1, cna ε nghi¾m x i bói + X ε =1 + ε − ε (2.37) X1 (2.38) ε = +1 ε X0 = ε (2.39) ε Van đe lai là, chúng có thóa mãn phương trình (2.23) hay khơng? Bang tính tốn đơn gián ta nh¾n đưoc ε(Xε) − X ε − = −1 Tương úng vói xε+ − = − 2ε + o(ε) ~ Đieu cho thay X ε khơng phái m®t khai trien tot Đoi vói hai khai trien lai ta có 2 ε(Xε) − X ε − = ε ε(Xε) − X ε − = O(ε2) 1 2 Tương úng ta thay rang xε + Như the X ε , ε X ε o ε − X1 = O(ε) x+ − X2 = O(ε ) m®t xap xí tot đoi vói xε Hơn nua, có the + thay rang vi¾c lay thêm so hang cho ta xap xí tot Ngồi ra, có the hình dung đưoc dáng đi¾u ti¾m c¾n cna xε+ 2.5 Trưàng hap lũy thNa không nguyên Trong phan đây, khai trien ti¾m c¾n đeu chuoi có lũy thùa nhung so nguyên Tuy nhiên, nhìn chung khơng phái lúc có đieu Ta xét phương trình sau (1 − ε)x2 − 2x + = (2.40) , xác đ%nh m®t bieu dien sau Như phan trưóc xε = x0 + εx1 + ε2x2 + (2.41) Thay (2.41) vào phương trình (2.40) cân bang cá hai ve ta đưoc ε 0: x2 − 2x0 + = 0 : 2x0x1 − 2x1 − x2 = 0 (2.42) (2.43) ε1 ε2 : 2x0x2 − 2x2 1+ x2 − 2x0x1 = (2.44) Tù phương trình (2.42) ta nh¾n đưoc nghi¾m x0 = Thay x0 = vào phương trình (2.43) ta đưoc 2x1 − 2x1 − = nghĩa = Đieu mâu thuan cho thay phương trình (2.41) khơng xác đ%nh Bây giò, ta xác đ%nh m®t bieu dien khác sau xε = x0 + εαx1 + εβ x2 + ; (2.45) ó < α < β < hang so xác đ%nh Thay bieu dien (2.45) vào phương trình (2.40) cân bang cá hai ve ta nh¾n đưoc α = , β = 1, Như v¾y bieu dien đưoc xác đ%nh xác ε x = x0 + ε x1 + εx2 + ε x3 + (2.46) Phan lai cna vi¾c xây dnng đưoc thnc hi¾n tương tn Ta có ε x = ± ε + ε ± ε Ket lu¾n Trờn õy l ton bđ nđi dung khúa luắn: "Phng pháp nhieu cúa giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so" Khóa lu¾n giái quyet van e sau õy Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n tính chat ắc trng cna giỏi tớch tiắm cắn cựng mđt so phép tốn giái tích bán đoi vói chuoi ti¾m c¾n liên quan đen vi¾c trình bày van đe cna chương sau Trên só h¾ thong kien thúc ve giái tích ti¾m c¾n bao gom khái ni¾m ve b¾c ti¾m c¾n, dãy ti¾m c¾n, chuoi ti¾m c¾n; tính chat phép tốn giái tích đoi vói chuoi ti¾m c¾n, chúng tơi t¾p trung nghiên cúu úng dung cna giái tích ti¾m c¾n bang phương pháp nhieu đoi vói phương trình đai so Các nghi¾m nhieu ó đưoc xét hai trưòng hop vói lũy thùa ngun khơng ngun Các phương pháp nhieu đưoc trình bày ó gom + Phương pháp l¾p; + Phương pháp nhieu kỳ d%; + Phương pháp tý l¾ Tài li¾u tham kháo [1] I Avramidi, Lecture Notes on Asymptotic Expansions, New Mexico Institute of Mining and Technology, 2000 [2] E T Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge at the University Press, 1965 [3] W Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular perturbation, Basque Center for Applied Mathmatics and Ikerbasque Foundation for Science, 2009 [4] A Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover publication, Inc New York, 1956 [5] M H Holmes, Introduction to perturbation Methods, SpringerVerlag, 1994 [6] H Poincaré, Asymptotic Expansions, Acta Math, 1886 [7] W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw- Hill, New York, 1964 [8] Th Stieltjes, Asymptotic Expansions, Ann.de l’Éc Norm, 1886 37 ... ni¾m ve nhieu phương trình đai so 26 2.3 Ý tưóng cna phương pháp nhieu .27 2.4 M®t so phương pháp nhieu phương trình đai so .29 2.4.1 Phương pháp l¾p 29 2.4.2 Phương pháp... cna tích phân ¸∞ I (s) = e−t dt; vói s > đn nhó 1+ st Như trình bày phan mó đau, chúng tơi se trình bày m®t phương pháp xap xí cna tích phân I(s) bang phương pháp de tiep c¾n nhat (phương pháp tích. .. nghiên cúu úng dung cna giái tích ti¾m c¾n bang phương pháp nhieu đoi vói phương trình đai so Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m,