Tìm hiểu phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khóa luận tốt nghiệp này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô dạy em suốt bốn năm học qua giúp em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt q trình thực khóa luận Do nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên khóa luận nhiều thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý, nhận xét thầy cô bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Thúy LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp thời hạn Đề tài có kế thừa kết nghiên cứu trước Em xin cam đoan kết nghiên cứu mình, khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦ U Lý chọn đề tài .5 Đối tượng nghiên cứ u .6 Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương phá p nghiên cứ u NỘI DUNG Chương I: Phuơng pháp luợng tử hóa lần thứ hai cho hệ hạt đồng 1.1 Hệ hạt vi mô đồng 1.1.1 Nguyên lý tính phân biệt hạt đồng 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Các boson Fermion 1.1.3 Nguyên lý loại trừ 11 1.1.4 Các hàm sóng cho hệ fermion boson 14 1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ hạt đồng 16 1.2.1 Mở đầu 16 1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai 17 Chương II: Hamiltonian hệ điện tử hệ điện tử-phonon 26 2.1 Hamiltonian hệ điện tử .26 2.2 Hamiltoinan hệ điện tử - phonon 27 Chuơng III: Các toán tử thống kê phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ hai Ma trận tán xạ biểu diễn tuơng tác 31 3.1 Các toán tử thống kê biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 31 3.2 Ma trận tán xạ biểu diễn tương tác 35 3.2.1 Các toán tử vecto trạng thái biểu diễn tương tác .35 3.2.2 Phép biểu diễn Schrodinger biểu diễn Heisenberg 36 3.2.3 Phép biểu diễn tương tác .37 3.3 Ma trận tán xạ 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Vậ t lý họ c là mộ t môn khoa họ c thự c nghiệ m chuyên nghiên cứ u cá c qui luậ t tự nhiê,ncấ u trú c củ a vậ t chấ t thông qua hệ thố ng cá c đị nh, đluị nậ th ly.́ Bằ ng công cụ toá n họ c thì đã giú p vậ t lý họ c đã thu đượ c nhiề u kế t quả mong muố n Tuy nhiên vớ i qui luậ t h ạt vi mô , vi mô tác dụng trườ ng khá c thì việ c giả i quyế t trở nên rấ t khó khăn Từ đó ngườ i ta xây dự ng lên chuyên nghà nh Vậ t lý lý thuyế t , nâng cao khái quát hóa nhữ ng đị nh luậ t thà nh qui luậ t tạo “Bứ c tranh” tổ ng quá t về vậ t lý họ c Để mô tả thế giớ i vi mô vớ i nhữ ng hạ t chuyể n độ ng có vậ n tố c nhỏ thì họ c lượ ng tử đã đờ i đem lạ i nhiề u thà nh công rự c rỡ Vậ y mộ t câu hỏ i đặ t rằ ng hạ t chuyể n độ ng vớ i vậ n tố c lớ n thì họ c lượ ng tử cò n á p dụng hay không ? Và để khắc phục điều lí thuyết đờ i Đó là Lý thuyế t trườ ng lượ ng tử Có thể nói rằng Lý thuyết trường lượng tử là lý thuyế t hạ t bả n Nó tởng hợp Cơ học lượng tử lý thuyết tương đố i Kiế n thứ c củ a nhân loạ i vố n rấ t bao la Vớ i mong muố n tì m tò i và mở rộ ng kiế n thứ c củ a bả n thân về trườ ng lượ ng tử cho hệ nhiề u hạ t , lự a chọ n Lý thuyế t lượng tử là m đề tà i khó a luậ n củ a mì nh Vớ i nợ i dung “tìm hiểu phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt” muố n sâu và o nghiên cứ u phương phá p hiể u công cụ sử dụng lượng tử hó a Tôi hy vọ ng thông qua đề tà i nà y bạ n đọ c sẽ có thêm nhiề u kiế n thứ c cho riêng mì nh II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Và ma trận tán xạ biểu diễn tương tác III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Để đạt mục đích nghiên cứu đề ta cần thực nhiệm vụ sau: Tìm hiểu hệ hạt vi mơ đồng Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Tìm hiểu nguyên lý loại trừ Tìm hiểu ma trận tán xạ biểu diễn tương tác IV ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các công cụ sử dụng lý thuyết trường lượng tử V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1 Hệ hạt vi mơ đồng 1.1.1 Ngun lý tính khơng thể phân biệt đƣợc hạt đồng Như biết véctơ trạng thái trường lượng tử (trường điện tử, trường vô hướng …) diễn tả trạng thái với số hạt khác Do đó, lý thuyết trường lượng tử công cụ tốt để nghiên cứu hệ nhiều hạt mà số hạt thay đởi Các vecto trạng thái trạng thái trường lượng tử vecto trạng thái hệ nhiều hạt đồng tuân theo thống kê Bose-Einstein Fermi-Dirac Các hạt đồng hạt có đặc trưng giống khối lượng, điện tích, spin… Trong học cở điển, ta phân biệt hạt đồng dựa theo quỹ đạo chuyển động chúng Trong học lượng tử ta phân biệt hạt đồng khái niệm quỹ đạo hạt khơng có ý nghĩa (đó hệ nguyên lý bất định) Từ trạng thái hệ hạt đồng khơng thay đởi hốn vị hạt Đó nội dung nguyên lý tính phân biệt hạt đồng Sau xét xem hệ hạt đồng vậy, trạng thái mơ tả hàm sóng có dạng Như thấy, hàm sóng đối xứng phản đối xứng tùy thuộc vào hạt boson hay fermion 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Các boson fermion Ta giả sử hệ gồm N hạt đồng Gọi  tập hợp tọa độ i khơng gian (và có thêm tọa độ thứ tư hình chiếu spin) hạt thứ i Khi hàm sóng viết thành:  1 , 2 , ,i , N ,t  Hamiltonian hệ có dạng: ˆ   , N    ,    , ,  ,     2   ,   W i H i N i  U t i t i1  2m k (1.1) i # k ;i ,k   Với m khối lượng hạt, U i ,t là tương tác hạt thứ i với trường ngoài, W i ,k là lượng tương tác cặp hạt thứ I thứ k Rõ ràng Hamiltonian khơng thay đởi hốn vị tọa độ cặp hạt cho Ta đưa vào toán tử hoán vị cặp hạt Pik tác động lên hàm tọa độ hạt thứ i thứ k sau: Pik f  ,i , , ,  f , ,k  k .,i f  ,i , ,k  (1.2) Theo lý luận ta có: Pik H H Từ ta có: P ik H  Pik  H   Pik H pik   HPik  Tức toán tử Hˆ  P , Hˆ 0 Pik giao hoán với nhau: (1.3)  ik Giả sử   ,i , , hàm sóng mơ tả trạng thái hệ N hạt k ,  đồng Khi hoán vị hạt thứ i thứ k, trạng thái hệ mô tả  k , , hàm sóng , Theo nguyên lý tính phân biệt i ,     hạt đồng ta suy trạng thái hệ không thay đổi, tức  mô tả trạng thái hệ Vì hàm sóng xác định sai khác nhân tử khơng đởi nên ta có:  Hay Pik   , i , ,k , =   , i , ,k ,  (1.4) Do phương trình (1.3) phương trình cho hàm riêng và trị riêng của tốn tử Pik Từ ta xác định  bằng cách tác động toán Pik tử lần vào hai vế (1.4) ta thu được: Pik 2  Pik   Hay    Từ suy ra: 2 1 1 (1.5) (1.6) Từ (1.6) (1.7) ta có: Hoặc là: Pik  (1.7) Pik  (1.8) Như vậy, ta hốn vị cặp hạt (i,k) hàm sóng mơ tả hệ không đổi đổi dấu Người ta gọi hàm sóng đối xứng (ứng với phản đối xứng (ứng với 1)  ), Như vậy, giá trị trung bình Bt biểu diễn giá trị trung bình theo hàm khơng phụ thuộc vào thời gian tốn tử H B H phụ thuộc  t tường minh vào thời gian Ở ta tới biểu diễn Heisenberg hàm sóng  khơng phụ thuộc vào thời gian (nó bằng H 0), tốn tử BH t phụ thuộc vào thời gian Bằng cách vi phân biểu thức (3.34 ) ta thu  phương trình chuyển động: idBH t    tˆ, (3.35) H B  H  dt Tóm lại, ta thu hai phương pháp tương đương cho việc mô tả phát triển hệ lượng tử theo thời gian thông qua phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg 3.2.3 Phép biểu diễn tƣơng tác Ngoài hai phép biểu diễn trên, người ta cò sử dụng thêm phép biểu diễn thứ ba phép biểu diễn tương tác Phép biểu diễn Dirac đưa nghiên cứu hệ gồm số phần tương tác với Khi Hamiltonian tồn phần Hˆ hệ biểu diễn thành tổng Hamiltonian chuyển động tự H Hamiltonian tương tác Hˆ Hˆ  Hˆ  Hˆ (3.36) Phương trình schrodinger cho hàm sóng t sau: i t    Hˆ t  Hˆ có dạng biểu diễn t  (3.37) Khi chuyển sang biểu diễn tương tác tổng quát hóa biểu thức cho t int t phụ thuộc thời gian hệ thức liên hệ với hàm sóng  t  e int iHˆ t  Trong  int t  (3.38) tđược gọi hàm sóng biểu diễn tương tác Bây giờ, sử dụng công thức (3.30), (3.38), ta có:  B  t iHˆ ˆ t B  t t    0tB iH 0t    T e int e Ở toán tử: int  iHˆ t B int e int int int (3.40) iH ˆ t Be (3.39) Được gọi toán tử B biểu diễn tương tác Tiếp theo, thay (3.38) vào (3.37), ta thu phương trình t   Với i int H  t int ˆ  int t   Hˆ int e 0t H (3.41) iHˆ 0t iHˆ Ngoài lấy vi phân hai vế (3.40) theo thời gian ta có: dB  t  i int B Htˆ , (3.42) (3.43)  dt int  Như vậy, biểu diễn tương tác vecto trạng thái thỏa mãn phương trình schrodinger (3.41) Hamiltonian tương tác thay cho Hamiltonian tồn phần Các tốn tử thỏa mãn phương trình chuyển động giống phương trình (3.35) biểu diễn Heisenderg Do ta kết luận rằng phép biểu diễn tương tác phép biểu diễn trung gian phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg 3.3 Ma trận tán xạ Như biết mục trước, biểu diễn tương tác thay đổi vecto trạng thái theo thời gian xác định phương trình (3.41) Từ int  t (3.43) ta thấy rằng Hˆ  0 Vì để đơn giản cơng thúc Hintˆ trình bày sau ta kí hiệu lại Hintˆ  t Hˆ  t  Khi phương trình (3.41) trở thành  i t  int H t ˆ I t  int  t  (3.44) Giả sử cho vecto trạng thái thời điểm ban đầu t0 ta cần xác định thời điểm t > t0 Vì phương trình (3.44) tuyến tính nên viết: Ở  int int t (3.45)  S t,t   t  S t, t  toán tử tuyến tính Ta xác định dạng tường minh toán tử S t, t0  Thay (3.45) vào (3.44) ta có phương trình cho tốn tử này: (3.46) S t, t  iHˆ I t S t, t t  Ngoài (3.45) ta suy diều kiện sau: (3.47) S t, t 1 Lấy tích phân vế phương trình (3.46) từ t0 đến t ý đến diều kiện (3.47) ta thu phương trình tích phân: t S t, t 1 i dt1 Hˆ I t1 S(t1 , t ) (3.48) t0 Ta áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình (3.40) Trước hết, ta thay biểu thức tương tự (3.48) cho S t1 , t0 : t1 S t1 ,t 1 i dt Hˆ I t S t , t  t0 Vào vế phải phương trình (3.48) kết là: t0 St, t0 1 i  1 I 1 dt Hˆ t dt1 dt H  i  ˆ I t1 Hˆ I t S t , t0    t0 t0 Tiếp tục phương pháp cuối ta thu được: S  t,t    S  t,t  n n Ở đây: (3.49)   0  S t, t  (3.50)    S t, t  dt t 1 i  n n  ˆ dt dt Hn 1  t0 t0 Dễ ràng thấy rằng toán tử t n 1  t,t   Nhân trái (3.46) với iS ˆ I ˆ I n  (3.51)   t Hˆ  I  t,t t H t tốn tử Ecmit ta có: ˆ I  I S t, t0  toán tử Unita Thật vậy, lấy liên hợp Ecmit hai vế (3.48) ý rằng toán tử S t H  H t  t1  t  Hˆ I t0 n t,t  i  dt S  S t,t0  , nhân phải (3.49) với S t, t0  cộng vế phương trình ta nhận được:    t S Điều kéo theo  (3.52) t,t S t,t  0 0 S  t,t St,t const Vì St, t 1 nên ta suy ra: S t,t0 St,t0  1 (3.53) Bây nhìn lại nghiệm (3.49) phương trình (3.46) n 2 cận tích phân khác điều bất tiện Ta số hạng chuỗi (3.49) viết dạng mà cận tích phân bằng t Ta bắt đầu xem xét số hạng thứ ba chuỗi (3.49) S 2 t,t    i t   t Htˆ  dtˆ t dt H t I  t I (3.54) t t1  t2 t2 t0 t0 t t1 Hình vẽ 3.1 Miền lấy tích phân tam giác phân bố đường phân giác góc vng mặt phẳng tọa độ t1 ,t  (hình vẽ 3.1) Toán tử  t  Hˆ t I  I Hˆ lấy tích phân theo t2 , (từ t đến t1 ), sau theo t1 ( tức từ t đến t) Bây ta lấy tích phân Hˆ t Hˆ t I  I miền ta lấy theo t1 (từ t đến t) sau theo t (từ t đến t) Rõ ràng hai tích phân nói phải cho kết có nghia ta có: S 2 t,t   i t   t0 S 2 1 I (3.55) ta thu biểu thức (3.55) đẳng thức  t2 t,t  i 2 I t t2 Sau đổi biến số t1 sau đây: Htˆ dtˆ t dt H t dtˆ t dt H Htˆ  t (3.56)   t0 I I t2 Các đẳng thức (3.54) (3.56) kéo theo 2 i 2 t    ˆ   ˆ  t1 S t,t0   dt  dt 2H I  t t0 t1 H I t2    ˆ  ˆ t Hdt t2 HI I t1 t1  (3.57)  Cả hai tích phân theo t vế phải (3.57) tổ hợp lại ta đưa vào tích phân thứ tự thời gian (T – tích) định nghia sau:   t   t t 2  Hˆ I  Hˆ T Hˆ I t1 Và  Hˆ I t1 t2 I (3.58)  t  t Hˆ   T Hˆ t t  Hˆ  t t Hˆ I I I I Trên sở biểu thức (3.58) ta có: dt T t  Hˆ I t0 t t  t  dt T Hˆ  I với t t1 t  dt T Hˆ I  Hˆ2 I t Hˆ I t0 t H t1 ˆ I  (3.59) t0 t1 t Sử dụng (3.57) (3.59) ta suy biểu thức sau cho S   2  S t, t  t,t n    i t    t0 Htˆ   t  dtHt ˆdt T t0 I I (3.60) Ta chứng tỏ rằng công thức tổng quát (3.60) cho n nguyên dương (n  2), tức là: n   St,t2  t  t0 Ở đó: Htˆ  t Hˆ t    t0  n I I I Hˆ I (3.61) n t0 t  t   T ti  ti  tin Hˆ I n Hˆ Hˆ I  Hˆ T Hˆ I t  t dt dt dt Tˆ H    i  t (3.62) I I ti1 ti tin Chứng minh rằng công thức (4.61) theo phương pháp qui nạp xét biểu thức: t tn t1 I t dt1 dt d t n1 Hˆ I t1 Hˆ I t  .Hˆ I t n1  t0 - t0 t0 t  ˆ 1T H t t t0 t0 dt1 dt .dt n 1 ! t n I t 1 t1 t2 ˆ ˆ H  H  I I n (3.63) Lấy đạo hàm hai vế I (t) theo t  ˆ  t t dI  t   t1 t dt H dt1 dt2 I dtnHI t t0 t0 tn1 t1 t  dt1 dt2 n dt  ! nT H I t0 Vì  ˆ n1 n  S t, t t0   ˆ   ˆ  ˆ I t1 H I t2  ˆ  t  n H ˆ      I tn t1 H I t2 .H t0 tính theo công thức (3.61) (3.51) nên vế phải (3.64) bằng khơng ta có: dI t  0 dt (3.65) Nghia I không phụ thuộc vào thời gian Hiển nhiên I t  (3.64) T t  0 nên = n Như vậy, công thức (3.61) thỏa mãn cho tích n tốn tử thỏa mãn cho tích (n + 1) toán tử mà ta suy công thức (3.61) cho n = tốn tử Do đó, cho n Như vậy, ta viết tốn tử S t, t0 dưới dạng chuỗi: S  t,t    n t t  dt1  1  dt n!  n0 t0 Bằng cách cho toán tử t0 t dt nT  Hˆ I  t  H t  I tn ˆ ˆ I H  (3.66) t0 S t, t , ta xác định vecto trạng thái hệ hạt thời điểm t biết vecto trạng thái thời điểm ban đầu t Khi nghiên cứu trình tán xạ ta xem xét thay đổi hệ trường từ thời điểm ban đầu t0 đến thời điểm cuối t  Toán tử tương ứng S,được kí hiệu S gọi ma trận tán xạ hay S- ma trận in    ˆ    ˆ  ˆ   S  n0 n! HI dt dt dtnT  t1 H I t H I tn (3.67)  Có thể đưa ký hiệu T – tích khỏi dấu tổng tích phân, viết lại biểu thức (3.67) dạng cô đọng hơn:          S T exp  i Hˆ I t dt        (3.68) Ta kết thúc phần với việc thảo luận ngắn gọn ý nghĩa vật lý yếu tố ma trận tán xạ thời điểm t0 của trình tán xạ, hạt hệ khảo sát vô xa không tương tác Vì vecto trạng thái ban đầu   i  có dạng hồn tồn tương tự vecto trạng thái  hệ trường tự thu tác dụng toán tử sinh hạt lên véctơ trạng thái chân khơng 0 , sau nhân với thừa số chuẩn hóa Sau q trình tán xạ, thời điểm cuối t  hệ trạng thái mô tả hai  vecto trạng thái: (3.69) Si Vì hạt xa vơ sau tán xạ nên xem  vecto trạng thái hệ hạt tự Nếu ký hiệu đầy đủ vecto trạng thái hệ n ta khai triển the o chúng: (3.70)    c n Với n cn   , n (3.71)   Tại t , xác suất tìm thấy hệ trạng thái Wn c n n tính theo công thức  , f S Nếu thời điểm ban đầu t0    (3.72) trạng thái xác suất tìm thấy i hệ trạng thái cuối bằng: i Wi f  c f 2  , f S Đây chính xác suất dời chuyển hệ từ trạng thái i trình tán xạ Để tìm xác suất Wi f (3.73) tới trạng thái f ta cần tính yếu tố ma trận sau ma trận tán xạ S: s i f   ,  (3.74) f Theo (3.67) ta có số hạng S n S có yếu tố ma trận là:  n S i  f  in  n! dt   dt        n f (3.75) Htˆ  t Hˆ t  ˆ , T H  I I I n i  KẾT LUẬN: Trong chương III dã tìm hiểu vè toán tử thống kê phép biểu diễn lượng tử hoá lần thứ hai ma trận tán xạ biểu diễn tương tác Qua chương tính giá trị trung bình đại lượng vật lý tổng thống kê chúng Và cho toán tử st0 ,t ta xác định vecto trạng thái hệ hạt thời t  ta biết thời điểm ban đầu t0 KẾT LUẬN Q trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp giúp nghiên cứu sâu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai Bằng cách vận dụng lý thuyết lượng tử, tơi tìm hiểu ki lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử biết vận dụng kiến thức vật lý để nghiên cứu đề tài cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vậy, mong góp ý q thầy bạn để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễ n Quang Bá u , Bùi Bằng Đoan , Nguyễ n Văn Hù ng (1999), Vậ t lý thố ng kê, nhà Xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, nhà xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễ n Xuân Hã n (1998), Lý thuyết trường lượng tử , nhà xuất ĐHQG Hà Nội ... lượng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Tìm hiểu nguyên lý loại trừ Tìm hiểu ma trận tán xạ biểu diễn tương tác IV ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các công cụ sử dụng lý thuyết trường lượng tử V... lượng tử V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1 Hệ hạt vi mơ đồng 1.1.1 Ngun lý tính khơng thể... Nguyên lý loại trừ 11 1.1.4 Các hàm sóng cho hệ fermion boson 14 1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ hạt đồng 16 1.2.1 Mở đầu 16 1.2.2 Phương pháp lượng tử