Tìm hiểu phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô dạy em suốt bốn năm học qua giúp em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt trình thực khóa luận Do nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên khóa luận nhiều thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý, nhận xét thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Thúy LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp thời hạn Đề tài có kế thừa kết nghiên cứu trước Em xin cam đoan kết nghiên cứu mình, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương I: Phuơng pháp luợng tử hóa lần thứ hai cho hệ hạt đồng 1.1 Hệ hạt vi mô đồng 1.1.1 Nguyên lý tính phân biệt hạt đồng 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Các boson Fermion 1.1.3 Nguyên lý loại trừ 11 1.1.4 Các hàm sóng cho hệ fermion boson 14 1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ hạt đồng 16 1.2.1 Mở đầu 16 1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai 17 Chương II: Hamiltonian hệ điện tử hệ điện tử-phonon 26 2.1 Hamiltonian hệ điện tử 26 2.2 Hamiltoinan hệ điện tử - phonon 27 Chuơng III: Các toán tử thống kê phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ hai Ma trận tán xạ biểu diễn tuơng tác 31 3.1 Các toán tử thống kê biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 31 3.2 Ma trận tán xạ biểu diễn tương tác 35 3.2.1 Các toán tử vecto trạng thái biểu diễn tương tác 35 3.2.2 Phép biểu diễn Schrodinger biểu diễn Heisenberg 36 3.2.3 Phép biểu diễn tương tác 37 3.3 Ma trận tán xạ 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Vật lý học là một môn khoa học thự c nghiệm chuyên nghiên cứu các qui luật tự nhiên , cấu trúc của vật chất thông qua hệ thống các đị nh, đị luânh ̣ t ly.́ Bằng công cụ toán học thì đã giúp vật lý học đã thu được nhiều kết quả mong muốn Tuy nhiên với qui luật h ạt vi mô , vĩ mô tác dụng trường khác thì việc giải quyết trở nên rất khó khăn Từ đó người ta xây dựng lên chuyên nghành Vật lý lý thuyết , nâng cao khái quát hóa những đị nh luật thành qui luật tạo “Bức tranh” tổng quát về vật lý học Để mô tả thế giới vi mô với những hạt chuyển động có vận tốc nhỏ thì học lượng tử đã đời đem lại nhiều thành công rực rỡ Vậy một câu hỏi đặt rằng hạt chuyể n động với vận tốc lớn thì học lượng tử còn áp dụng hay không ? Và để khắc phục điều lí thuyết đời Đó là Lý thuyết trường lượng tử Có thể nói rằng Lý thuyết trường lượng tử là lý thuyế t hạt bản Nó tổng hợp Cơ học lượng tử lý thuyết tương đối Kiến thức của nhân loại vốn rất bao la Với mong muốn tì m tòi và mở rộng kiến thức của bản thân về trường lượng tử cho hệ nhiều hạt lựa chọn Lý thuyết lượng tử làm đề tài khóa luận của mì nh , Với nội dung “tìm hiểu phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt” muốn sâu vào nghiên cứu phương pháp hiểu công cụ sử dụng lượng tử hóa Tôi hy vọng thông qua đề tài này bạn đọc sẽ có thêm nhiều kiến thức cho riêng mì nh II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Và ma trận tán xạ biểu diễn tương tác III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Để đạt mục đích nghiên cứu đề ta cần thực nhiệm vụ sau: Tìm hiểu hệ hạt vi mô đồng Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Tìm hiểu nguyên lý loại trừ Tìm hiểu ma trận tán xạ biểu diễn tương tác IV ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các công cụ sử dụng lý thuyết trường lượng tử V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1 Hệ hạt vi mô đồng 1.1.1 Nguyên lý tính phân biệt đƣợc hạt đồng Như biết véctơ trạng thái trường lượng tử (trường điện tử, trường vô hướng …) diễn tả trạng thái với số hạt khác Do đó, lý thuyết trường lượng tử công cụ tốt để nghiên cứu hệ nhiều hạt mà số hạt thay đổi Các vecto trạng thái trạng thái trường lượng tử vecto trạng thái hệ nhiều hạt đồng tuân theo thống kê Bose-Einstein Fermi-Dirac Các hạt đồng hạt có đặc trưng giống khối lượng, điện tích, spin… Trong học cổ điển, ta phân biệt hạt đồng dựa theo quỹ đạo chuyển động chúng Trong học lượng tử ta phân biệt hạt đồng khái niệm quỹ đạo hạt ý nghĩa (đó hệ nguyên lý bất định) Từ trạng thái hệ hạt đồng không thay đổi hoán vị hạt Đó nội dung nguyên lý tính phân biệt hạt đồng Sau xét xem hệ hạt đồng vậy, trạng thái mô tả hàm sóng có dạng Như thấy, hàm sóng đối xứng phản đối xứng tùy thuộc vào hạt boson hay fermion 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Các boson fermion Ta giả sử hệ gồm N hạt đồng Gọi  i tập hợp tọa độ không gian (và có thêm tọa độ thứ tư hình chiếu spin) hạt thứ i Khi hàm sóng viết thành:    1 ,2 , ,i ,  N , t  Hamiltonian hệ có dạng: N   Hˆ 1 , , ,i ,  N , t       i  U  i , t     W  i k  2m i 1   i # k ;i ,k (1.1) Với m khối lượng hạt, U i , t  tương tác hạt thứ i với trường ngoài, W i ,k  lượng tương tác cặp hạt thứ I thứ k Rõ ràng Hamiltonian không thay đổi hoán vị tọa độ cặp hạt cho Ta đưa vào toán tử hoán vị cặp hạt Pik tác động lên hàm f  ,i , ,k  tọa độ hạt thứ i thứ k sau: Pik f  ,i , ,k   f  , ,k ,i ,  (1.2) Theo lý luận ta có: Pik H  H Từ ta có:  P H    P  H     P H  p ik ik ik ik    HPik  Tức toán tử Hˆ Pik giao hoán với nhau:  Pik , Hˆ     (1.3) Giả sử   ,i , ,k ,  hàm sóng mô tả trạng thái hệ N hạt đồng Khi hoán vị hạt thứ i thứ k, trạng thái hệ mô tả   hàm sóng  , , , , Theo nguyên lý tính phân biệt k i hạt đồng ta suy trạng thái hệ không thay đổi, tức    mô tả trạng thái hệ Vì hàm sóng xác định sai khác nhân tử không đổi nên ta có:     Hay Pik   ,i , ,k ,  =   ,i , ,k ,  (1.4) Do phương trình (1.3) phương trình cho hàm riêng  trị riêng  toán tử Pik Từ ta xác định  bằng cách tác động toán tử Pik lần vào hai vế (1.4) ta thu được: Pik2    Pik       2  Hay (1.5) Từ suy ra: 2     (1.6) Từ (1.6) (1.7) ta có: Pik    (1.7) Pik    (1.8) Hoặc là: Như vậy, ta hoán vị cặp hạt (i,k) hàm sóng mô tả hệ không đổi đổi dấu Người ta gọi hàm sóng đối xứng (ứng với   ), phản đối xứng (ứng với   1) Từ tính bình đẳng hạt ta thấy rằng có hàm sóng đối xứng với cặp hạt đồng thời phản đối xứng với cặp hạt khác Ta ta đưa kết luận sau: có hai lớp trạng thái cho hạt đồng nhất, là: Đối xứng theo tất hạt: Pik  s   s (1.9) ( với i, k bất kì) Phản đối xứng theo tất hạt: Pik    (1.10) ( với i, k bất kì) Vì toán tử Pik không phụ thuộc tường minh vào thời gian giao hoán với Hˆ nên đại lượng ứng với  phải bảo toàn theo thời gian Bởi vậy, thời điểm đó, hệ trạng thái đối xứng  s (hoặc phản đối xứng   ) trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng) Tính chất đối xứng phản đối xứng hàm sóng mô tả hệ xác định tính chất nội hạt Các nghiên cứu thực nghiệm lý thuyết chứng tỏ rằng, hạt có spin nguyên mô tả bằng hàm sóng đối xứng  s , hạt có spin bán nguyên mô tả hàm sóng phản đối xứng   Các hạt có spin nguyên gọi hạt Bose (các boson) tuân theo thống kê Bose – Einstein Các hạt có spin bán nguyên gọi Fermi ( hay Fermion ) tuân theo thống kê Fermi – Dirac Ví dụ hạt có spin nguyên Photon (s=1),  - meson (s=0), K- meson (s=0) Các hạt có spin bán nguyên bằng gồm có electron, proton, neutron, muon, neutrion phản hạt chúng … Các hạt phức tạp hạt nhân, nguyên tử có spin nguyên hay bán nguyên tùy thuộc vào số hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức hợp chẵn hay lẻ 10 Phương trình (3.11) gọi phương trình Liouville lượng tử Nó cho phép xác định ma trận mật độ thời điểm biết ma trận mật độ thời điểm ban đầu Trong phép biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai, thay cho hàm sóng hệ N hạt  t , , N , t  ta có vecto trạng thái  thỏa mãn phương trình i d ˆ   dt (3.12) Tương ứng với toán tử Fˆ ta có toán tử fˆ mà dạng cụ thể tùy thuộc vào Fˆ Cụ thể là: ˆ    Fˆ    ˆ   d  fˆ    Khi: n Fˆ   Fˆ  i  (3.13) i 1 Và ˆ     ˆ    Fˆ  ,   ˆ    ˆ   d d fˆ     1 2 2 2 1 1 2  1, (3.14) Vì giá trị trung bình đại lượng vật lý F trạng thái  t cho bởi: Fˆ  t , Fˆt   t , fˆ t  Nên giá trị trung bình đại lượng F trạng thái diễn tả ma trận mật độ  là: F  Wt   t , Fˆ  t  Wt   t , fˆ  t  t (3.15) t Ở W t xác suất để tồn trạng thái với hàm sóng  t Công thức (3.15) có dạng giống (3.2) tiến hành tương tự trình đến ( 3.3) từ (3.2) ta thu được: 33 F   Sp  f   f         (3.16) Ở đây: f          fˆ (3.17)    WT  t  , t   t  , t  (3.18)  t Ma trận  chính ma trận mật độ phép biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai Vì  t thỏa mãn phương trình (3.12) tương tự phương trình (3.8) cho  nên  thỏa mãn phương trình Liouville lượng tử tương tự phương trình (3.11) cho  , tức là: i  d  Hˆ ,  dt  (3.19) Công thức (3.18) mở rộng cho trường hợp mà hệ số có số hạt thay đổi ma trận mật độ  (còn gọi ;à toán tử thống kê) sử sụng để nghiên cứu hệ số hạt thay đổi Trong trường hợp  t trạng thái dừng với lượng xác định Et : Hˆ  t  Et  t (3.20) Xác suất Wt xác định theo công thức phân bố chính tắc: E Wt t e   e t (3.21)  E t Trong   k hằng số Boltzmann, T nhiệt độ tuyệt đối kT Ta thừa nhận rằng, tất hệ cân bằng nhiệt độ xác định T tuân theo phân bố chính tắc từ (3.15) ta suy giá trị trung bình F đại lượng vật lý F viết lại sau: 34 e   , f  F e    , feˆ      ,e    Et t  H t t t  Et  H t t Đạilượng: t  t  ˆ   H  Sp He Sp  e  H    (3.22) t Z   e   Et  Sp  e   H  (3.23) t Được gọi tổng thống kê Nó có vai trò quan trọng biết Z ta tìm nhiều đại lượng vật lý hệ, nội U (năng lượng trung bình H ) lượng tự Helmholtz F d ln Z d U H  F  (3.24) (3.25) ln Z Các công thức (3.21) và(3.23) áp dụng cho hệ có số hạt không đổi hệ có số hạt thay đổi thay cho (1.37) – (1.39) ta có công thức sau đây:    E   Nt  W1 t e   e t  t F     H  N  Sp fˆ e     H  N  Sp e  (3.26) E   Nt     H  N  Z  Sp e    (3.27) (3.28) Trong N t số hạt trạng thái  t ,  hóa học, N toán tử số hạt Các công thức (3.24), (3.25) cho trường hợp hệ số có số hạt thay đổi 3.2 Ma trận tán xạ biểu diễn tƣơng tác 3.2.1 Các toán tử vecto trạng thái biểu diễn tƣơng tác Phép biểu diễn tương tác phép biểu diễn trung gian phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg Nó thuận tiện cho việc nghiên cứu tương tác trường 35 Trước đề cập đến toán tử trường, Hamiltonian vecto trạng thái biểu diễn tương tác, ta nhắc lại số kiến thức sở ba loại biểu diễn biết học lượng tử 3.2.2 Phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg Phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn phổ biến học lượng tử Trong biểu diễn này, biến thiên trạng thái hệ theo thời gian mô tả hàm sóng t  thỏa mãn phương trình Schrodinger i t  ˆ  Ht  t (3.29) Còn toán tử B đặc trưng cho biến động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian Giá trị trung bình biến động lực cho công thức: Bt  t  t    t  (3.30) Vì H toán tử tương ứng với lượng toàn phần hệ không phụ thuộc vào thời gian hệ bảo toàn nên ta tích phân cách hình thức phương trình (3.29) thu được: t   ut U H (3.31) u t   e (3.32) Ở đây:  iHˆ t Nhờ (3.31) công thức (3.32) viết dạng: B  H u  t  Bu  t   H  H BH t   H (3.33) BH  t   u   t  Bu  t   eiHt Be iHt (3.34) Với Như vậy, giá trị trung bình Bt biểu diễn giá trị trung bình theo hàm  H không phụ thuộc vào thời gian toán tử B t  H phụ thuộc tường minh vào thời gian Ở ta tới biểu diễn Heisenberg 36 hàm sóng  H không phụ thuộc vào thời gian (nó bằng 0 ), toán tử BH  t  phụ thuộc vào thời gian Bằng cách vi phân biểu thức (3.34 ) ta thu phương trình chuyển động: idBH  t    BH  t  , Hˆ  dt (3.35) Tóm lại, ta thu hai phương pháp tương đương cho việc mô tả phát triển hệ lượng tử theo thời gian thông qua phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg 3.2.3 Phép biểu diễn tƣơng tác Ngoài hai phép biểu diễn trên, người ta cò sử dụng thêm phép biểu diễn thứ ba phép biểu diễn tương tác Phép biểu diễn Dirac đưa nghiên cứu hệ gồm số phần tương tác với Khi Hamiltonian toàn phần Hˆ hệ biểu diễn thành tổng Hamiltonian chuyển động tự H Hamiltonian tương tác Hˆ Hˆ H ˆ  Hˆ (3.36) Phương trình schrodinger cho hàm sóng t  có dạng biểu diễn sau: i t   Hˆ  Hˆ  t  t   Khi chuyển sang biểu diễn tương tác tổng quát hóa biểu thức (3.37) cho t  liên hệ với hàm sóng int  t  phụ thuộc thời gian hệ thức   t   e  int  t  ˆ  iHt Trong (3.38)  t  gọi hàm sóng biểu diễn tương tác int Bây giờ, sử dụng công thức (3.30), (3.38), ta có: BT  int  t  e iHˆ 0t Be  int  t   int  t  Bint  int  t   iHˆ 0t 37 (3.39) Ở toán tử: iHˆ 0t e int B iHˆ 0t Be (3.40) Được gọi toán tử B biểu diễn tương tác Tiếp theo, thay (3.38) vào (3.37), ta thu phương trình i int  t  ˆ  H int int  t   t  (3.41) Với iHˆ t  iHˆ t Hˆ int  e H1 e (3.42) Ngoài lấy vi phân hai vế (3.40) theo thời gian ta có: i dBint  t    Bint  t  , Hˆ  dt (3.43) Như vậy, biểu diễn tương tác vecto trạng thái thỏa mãn phương trình schrodinger (3.41) Hamiltonian tương tác thay cho Hamiltonian toàn phần Các toán tử thỏa mãn phương trình chuyển động giống phương trình (3.35) biểu diễn Heisenderg Do ta kết luận rằng phép biểu diễn tương tác phép biểu diễn trung gian phép biểu diễn Schrodinger phép biểu diễn Heisenberg 3.3 Ma trận tán xạ Như biết mục trước, biểu diễn tương tác thay đổi vecto trạng thái  t  int theo thời gian xác định phương trình (3.41) Từ (3.43) ta thấy rằng Hˆ int  0  Hˆ I Vì để đơn giản công thúc trình bày sau ta kí hiệu lại Hˆ int  t   Hˆ I  t  Khi phương trình (3.41) trở thành i  int  t  ˆ  H I  t   int  t  t 38 (3.44) Giả sử cho vecto trạng thái thời điểm ban đầu t0 ta cần xác định thời điểm t > t0 Vì phương trình (3.44) tuyến tính nên viết: int  t   S  t , t0  int  t0  (3.45) Ở S t ,t  toán tử tuyến tính Ta xác định dạng tường minh toán tử S t ,t  Thay (3.45) vào (3.44) ta có phương trình cho toán tử này: S t , t   iHˆ I t S t , t  t (3.46) Ngoài (3.45) ta suy diều kiện sau: S t , t   (3.47) Lấy tích phân vế phương trình (3.46) từ t0 đến t ý đến diều kiện (3.47) ta thu phương trình tích phân: t S t , t    i  dt1 Hˆ I t1 S (t1 , t ) (3.48) t0 Ta áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình (3.40) Trước hết, ta thay biểu thức tương tự (3.48) cho S t1 ,t  : t1 S t1 , t    i  dt Hˆ I t S t , t  t0 Vào vế phải phương trình (3.48) kết là: t0 1 t0 t0 S t , t    i  dt1 Hˆ I t1   i   dt1  dt Hˆ I t1 Hˆ I t S t , t  Tiếp tục phương pháp cuối ta thu được:  S  t , t0    S  n 0 n  t , t0  39 (3.49) Ở đây:   S t , t   (3.50) 1 S t , t    i   dt Hˆ t  n I t0 S n  t n 1 t , t    i   dt1  dt  dt n Hˆ I t1 Hˆ I t  Hˆ I t n  t0 t0 t0 t1 n Dễ ràng thấy rằng toán tử S t ,t  toán tử Unita Thật vậy, lấy liên hợp Ecmit hai vế (3.48) ý rằng toán tử Hˆ I  t  toán tử Ecmit ta có: S   t , t0   iS   t , t0  Hˆ I  t  t (3.51) Nhân trái (3.46) với S   t , t0  , nhân phải (3.49) với S t ,t  cộng vế phương trình ta nhận được:    S  t , t0  S  t , t0    t (3.52) Điều kéo theo S  t , t S t , t   const Vì S t , t   nên ta suy ra: S  t , t S t , t   (3.53) Bây nhìn lại nghiệm (3.49) phương trình (3.46) n  cận tích phân khác điều bất tiện Ta số hạng chuỗi (3.49) viết dạng mà cận tích phân bằng t Ta bắt đầu xem xét số hạng thứ ba chuỗi (3.49) S  2 t t1  t , t0    i   dt1  dt2 Hˆ I  t1  Hˆ I  t2  t0 40 t0 (3.54) t t1  t2 t2 t0 t0 t1 t Hình vẽ 3.1 Miền lấy tích phân tam giác phân bố đường phân giác góc vuông mặt phẳng tọa độ t1 ,t  (hình vẽ 3.1) Toán tử Hˆ I t1 Hˆ I t  lấy tích phân theo t , (từ t đến t1 ), sau theo t1 ( tức từ t đến t) Bây ta lấy tích phân Hˆ I t1 Hˆ I t  miền ta lấy theo t1 (từ t đến t) sau theo t (từ t đến t) Rõ ràng hai tích phân nói phải cho kết có nghĩa ta có:  2 S t t t0 t2  t , t0    i   dt2  dt1Hˆ I  t1  Hˆ I t2  (3.55) Sau đổi biến số t1  t ta thu biểu thức (3.55) đẳng thức sau đây: S  2 t t  t , t0    i   dt2  dt1Hˆ I  t2  Hˆ I t1  t0 (3.56) t2 Các đẳng thức (3.54) (3.56) kéo theo S  2  t , t0   i   t  t1  ˆ ˆ ˆ ˆ dt dt H t H t  dt H t H t 1 I  1 I  2 t I   I   t0  t0  t 41 (3.57) Cả hai tích phân theo t vế phải (3.57) tổ hợp lại ta đưa vào tích phân thứ tự thời gian (T – tích) định nghĩa sau:   T Hˆ I t1 Hˆ I t   Hˆ I t1 Hˆ I t  t1  t Và (3.58)   T Hˆ I t1 Hˆ I t   Hˆ I t Hˆ I t1  t  t1 Trên sở biểu thức (3.58) ta có:  t   t   t   dt 2T Hˆ I t1 Hˆ I t    dt 2T Hˆ I t1 Hˆ I t    dt 2T Hˆ I t Hˆ I t1  t0 t0 (3.59) t1 với t  t1  t Sử dụng (3.57) (3.59) ta suy biểu thức sau cho S  2 t,t    i  n  dt  dt T  Hˆ  t  Hˆ  t   t t   S t ,t  t0 I I (3.60) t0 Ta chứng tỏ rằng công thức tổng quát (3.60) cho n nguyên dương (n  2), tức là: S  2  t , t0    i  n t t t t0 t0 t0   dt1  dt2  dtnT Hˆ I t1  Hˆ I t2  Hˆ I tn   (3.61) Ở đó:     T Hˆ I t1 Hˆ I t  Hˆ I t n   T Hˆ I t i1 Hˆ I t i  .Hˆ I t in  (3.62) t i1  t i  t in Chứng minh rằng công thức (4.61) theo phương pháp qui nạp xét biểu thức: t t1 tn t0 t0 t0 I t    dt1  dt  d t n 1 Hˆ I t1 Hˆ I t  .Hˆ I t n 1  t t t   dt dt dt T Hˆ t Hˆ t  Hˆ I t n 1  n  1! t0 t0 t0 n1 I I 42 (3.63) Lấy đạo hàm hai vế I (t) theo t dI  t  t t t  ˆ  H I  t    dt1  dt2  dtnHˆ I  t1  Hˆ I  t2  .Hˆ I  tn  dt t t t  t 1t t   dt1  dt2  dtnT Hˆ I  t1  Hˆ I  t2  .Hˆ I  tn  n! t t t 0 Vì   S t ,t  n1 0 n1 0  (3.64)  tính theo công thức (3.61) (3.51) nên vế phải n (3.64) bằng không ta có: dI t  0 dt (3.65) Nghĩa I không phụ thuộc vào thời gian Hiển nhiên T t   nên I t  = n Như vậy, công thức (3.61) thỏa mãn cho tích n toán tử thỏa mãn cho tích (n + 1) toán tử mà ta suy công thức (3.61) cho n = toán tử Do đó, cho n Như vậy, ta viết toán tử S t ,t  dạng chuỗi:  S  t , t0    n 0  1 n t n!  dt  dt  dt T  Hˆ t  Hˆ t  Hˆ t   t t t0 t0 n I I I n (3.66) t0 Bằng cách cho toán tử S t ,t  , ta xác định vecto trạng thái hệ hạt thời điểm t biết vecto trạng thái thời điểm ban đầu t Khi nghiên cứu trình tán xạ ta xem xét thay đổi hệ trường từ thời điểm ban đầu t   đến thời điểm cuối t   Toán tử tương ứng S , kí hiệu S gọi ma trận tán xạ hay S- ma trận   i n n 0 n! S   dt  dt . dt T Hˆ t Hˆ t  Hˆ t       n I I I n (3.67)  Có thể đưa ký hiệu T – tích khỏi dấu tổng tích phân, viết lại biểu thức (3.67) dạng cô đọng hơn: 43       S  T exp  i  Hˆ I t dt         (3.68) Ta kết thúc phần với việc thảo luận ngắn gọn ý nghĩa vật lý yếu tố ma trận tán xạ thời điểm t   trình tán xạ, hạt hệ khảo sát vô xa không tương tác Vì vecto trạng thái ban đầu  i     có dạng hoàn toàn tương tự vecto trạng thái hệ trường tự thu tác dụng toán tử sinh hạt lên véctơ trạng thái chân không  , sau nhân với thừa số chuẩn hóa Sau trình tán xạ, thời điểm cuối t   hệ trạng thái mô tả hai vecto trạng thái:    S i (3.69) Vì hạt xa vô sau tán xạ nên xem  vecto trạng thái hệ hạt tự Nếu ký hiệu đầy đủ vecto trạng thái hệ  n ta khai triển  theo chúng:     cn  n (3.70) c n   n ,   (3.71) Với Tại t   , xác suất tìm thấy hệ trạng thái  n tính theo công thức Wn  c   f , S i n (3.72) Nếu thời điểm ban đầu t   trạng thái  i xác suất tìm thấy hệ trạng thái cuối  i bằng: Wi f  c f   f , S i 44 (3.73) Đây chính xác suất dời chuyển hệ từ trạng thái  i tới trạng thái  f trình tán xạ Để tìm xác suất Wi f ta cần tính yếu tố ma trận sau ma trận tán xạ S: si  f   f ,  i (3.74) Theo (3.67) ta có số hạng S n  S có yếu tố ma trận là: S n i f   i  n! n          dt1  dt2  dtn  f ,T Hˆ I  t1  Hˆ I  t2  Hˆ I  tn  i (3.75) KẾT LUẬN: Trong chương III dã tìm hiểu vè toán tử thống kê phép biểu diễn lượng tử hoá lần thứ hai ma trận tán xạ biểu diễn tương tác Qua chương tính giá trị trung bình đại lượng vật lý tổng thống kê chúng Và cho toán tử s  t0 , t  ta xác định vecto trạng thái hệ hạt thời t ta biết thời điểm ban đầu t0 45 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp giúp nghiên cứu sâu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai Bằng cách vận dụng lý thuyết lượng tử, tìm hiểu kĩ lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử biết vận dụng kiến thức vật lý để nghiên cứu đề tài cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vậy, mong góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Báu , Bùi Bằng Đoan , Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lý thống kê, nhà Xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, nhà xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng tử , nhà xuất ĐHQG Hà Nội 47 [...]... rộng rãi trong lĩnh vực thống kê lượng tử KẾT LUẬN: Trong chương I ta đã đi tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồng nhất và phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ đó Qua chương này chúng ta đã biết được hệ vi mô đồng nhất là những hạt có những đặc trưng giống nhau như cùng khối lượng, điện tích, spin Và biết được phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai là phương pháp chuyển từ số sang toán tử tức là... tác, trong đó hạt thứ i (i=1, 2,…, N) ở trạng thái ni 1.2 Phƣơng pháp lƣợng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 1.2.1 Mở đầu Phương pháp lượng tử hóa các trường sóng thực chất tương tự như phương pháp lượng tử hóa trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Vấn đề là ở chỗ có thể khảo sát trường sóng với vô hạn bậc tự do N khi N đủ lớn mà các hệ với số N lớn đã được nghiên cứu ở cơ học lượng tử. .. Hˆ của lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai và thu được qui luật về các hạt thể hiện tính chất của trường  đã cho: Sau khi lượng tử hóa, trường thể hiện tính chất hạt, gián đoạn phương pháp này được gọi là lượng tử hóa trường” Ở trên ta vừa đề cập đến sự lượng tử hóa trường cho trường hợp các hạt Bose Bằng phương pháp tương tự như vậy, ta có thể thực hiện sự lượng tử hóa cho trường hợp các hạt fermi... tức là ta dã đi từ lý thuyết cổ điển sang lý thuyết lượng tử Sự mô tả chuyển động của một hạt nhờ hàm sóng   đã là sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế các biên độ an thành các toán tử aˆ n được gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng ˆ   được gọi là hàm sóng lượng tử hóa  25 CHƢƠNG II: HAMILTONIAN CỦA HỆ ĐIỆN TỬ VÀ HỆ ĐIỆN TỬ - PHONON 2.1 Hamiltonian của hệ điện tử Trong phần này ta... trường hợp riêng của các hệ này là hệ N dao động tử điều hòa Công cụ quan trọng được áp dụng trong phương pháp lượng tử hóa các trường là phép biểu diễn các số lấp đầy (còn được gọi là phép biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai hay phép biểu diễn Fock) 16 Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt Ta hãy trả lời... thể khảo sát các quá trình bức xạ và hấp thụ ánh sáng như là các quá trình sinh và hủy photon Bằng phương pháp tương tự có thể nghiên cứu các hiện tượng sinh và hủy electron và positron khi phân rã   tạo thành và phân rã các meson vv… Tất cả các hiện tượng này được xem xét bởi lý thuyết lượng tử của các trường Ngoài lý thuyết lượng tử của các trường, lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai còn được... được chọn là số hạt của hệ ở trạng thái khác nhau: N1  N2  ), đồng thời đưa vào lý thuyết khái niệm toán tử sinh và hủy hạt là phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai Phép biểu diễn các số lấp đầy đã làm đơn giản hóa lý thuyết một cách đáng kể Khi trạng thái của hệ được đặc trưng bởi số hạt trong mỗi trạng thái của hạt, tính chất đối xứng của hàm sóng đối với sự hoán vị các cặp hạt đã được kể đến và... Nguyên lý loại trừ Hệ các hạt đồng nhất fermion được mô tả bởi các hàm sóng phản đối xứng tuân theo nguyên lý loại trừ Nguyên lý này được pauli đưa ra lần đầu tiên khi áp dụng cho các electron trong nguyên tử và được phát biểu như sau: “ trong hệ nhiều điện tử không thể có hai điện tử (hoặc nhiều hơn hai điện tử ) ở cùng một trạng thái” Tuy nhiên không thể coi cách phát biểu này của nguyên lý pauli... tác của nó với các hạt còn lại U i  là thế năng của hạt thứ i trong trường ngoài W ik  là năng lượng tương tác giữa các hạt thứ i và thứ k Ý nghĩa vật lý của hàm sóng  là ở chỗ:  d1d2 dn cho ta xác 2 suất tìm thấy một cách đồng thời hạt thứ nhất trong khoảng tọa độ ( 1 ,1  d1 ), hạt thứ hai trong ( 2 ,2  d2 ),…., hạt thứ N trong  ,  N  d N  Mật độ xác suất là  Xác suất... thuyết cổ điển sang lượng tử Nhưng sự mô tả chuyển động của một hạt nhờ hàm sóng   đã là sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế các biên độ an thành các toán tử aˆ n được gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng ˆ   được gọi là hàm sóng lượng tử hóa Phép chuyển từ hàm sóng không lượng tử hóa sang hàm sóng lượng tử hóa có thể phát biểu một cách trực tiếp không qua toán tử aˆ Thật vậy, từ ... xem xét lý thuyết lượng tử trường Ngoài lý thuyết lượng tử trường, lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai áp dụng rộng rãi lĩnh vực thống kê lượng tử KẾT LUẬN: Trong chương I ta tìm hiểu hệ hạt vi... mô đồng phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ Qua chương biết hệ vi mô đồng hạt có đặc trưng giống khối lượng, điện tích, spin Và biết phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai phương pháp chuyển... hóa lần thứ hai lý thuyết hệ nhiều hạt Tìm hiểu nguyên lý loại trừ Tìm hiểu ma trận tán xạ biểu diễn tương tác IV ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các công cụ sử dụng lý thuyết trường lượng tử V PHƢƠNG PHÁP