Lý thuyết về sự lượng tử hoá lần thứ hai

Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Trờng đại học vinh khoa vật lý ---------------- phạm thị vân Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai khoá luận tốt nghiệp Chuyên nghành : vật lý chất rắn Vinh, 2006 1 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Phần Mở đầu Một trong những phơng pháp quan trọng thờng đợc ứng dụng trong cơ học lợng tử của hệ nhiều hạt là phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai. Trong phơng pháp này, ngời ta dùng sự mô tả trờng đối với các hạt, tức là các hạt của hệ đợc coi nh các lợng tử của một trờng nào đó. Tơng tác giữa các hạt trong hệ đợc thực hiện thông qua các trờng khác, mà các lợng tử của những trờng này là những hạt khác. Các trờng của những hạt tơng ứng đợc ví nh là những biến số động lực. Chúng là các hàm của toạ độ không gian và thời gian. Các toạ độ này đặc trng cho các điểm của không gian nhng chúng không phải là toạ độ của các hạt vì ở trong ph- ơng pháp này các hạt đợc coi ví nh các lợng tử của trờng. Chính vì vậy phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai rất tiện lợi khi nghiên cứu các hệ có số hạt thay đổi. Nghĩa là các hệ trong đó xẩy ra sự biến đổi lẫn nhau giữa các hạt. Các véctơ trạng thái của trờng lợng tử là các véctơ trạng thái của các hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê BoseEinstein hoặc Fermi-Đirac. Và đối với hệ hạt đồng nhất thì duy nhất chỉ có phơng pháp này giải quyết trọn vẹn. Trong các hệ hạt đồng nhất, sự mô tả trạng thái không phụ thuộc vào việc đánh số các hạt. Tính chất này đợc phản ánh trong tính đối xứng của các hàm đối với phép hoán vị một cặp hạt bất kỳ. Mặt khác các trạng thái của hệ Bôzôn-các hạt có spin nguyên-chỉ đợc mô tả bởi các hạt đối xứng đối với phép hoán vị này. Việc nghiên cứu các trạng thái nh thế một cách tiện lợi nhất có thể đợc tiến hành trong phép biểu diễn các số lợng tử lấp đầy, hay nh ngơi ta nói, trong phép biểu diễn lợng tử hoá lần thứ hai, phép biểu diễn này chọn các hàm có tính đối xứng cần thiết. Trong biểu diễn toạ độ thông thờng các hàm sóng của hệ N hạt với bậc tự do phụ thuộc và N biến. Trong biểu diễn lợng tử hoá lần thứ hai, tất cả các toán tử đều đợc biểu diễn qua các toán tử sinh và huỷ các hạt trong các trạng thái một hạt với số bậc tự do chỉ của một hạt, còn trạng thái của toàn bộ hệ đợc mô tả 2 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai bằng các hàm phụ thuộc vào các số nêu lên số hạt trong mỗi trạng thái một hạt. Do đó, phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai làm dễ dàng rất nhiều cho việc nghiên cứu hệ có số hạt thay đổi. Trong lý thuyết cổ điển ngời ta quan niệm trờng điện từ mang tính chất sóng. Để diễn tả đợc tính chất hạt của ánh sáng ta phải tiến hành lợng tử hoá trờng điện từ. Cũng giống nh phép chuyển từ các đại lợng của cơ học cổ điển sang các toán tử tơng ứng trong cơ học lợng tử. Năm 1920, lần đầu tiên Đirac sử dụng phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai để khảo sát các hệ hạt Bose và năm 1928 đợc phát triển bởi Fermi, Wigner và Jordan. Ngày nay, ngời ta dùng phơng pháp này làm công cụ tốt để nghiên cứu các hệ nhiều hạt mà ở đó số hạt có thể thay đổi. Phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai có rất nhiều ứng dụng nh trong lý thuyết t- ơng tác trờng, trong quang học lợng tử vv . Ngoài ra, ngời ta còn sử dụng phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai để khảo sát dao động nhỏ của các nguyên tử đối với vị trí cân bằng của chúng trong các vật rắn. Vì những lý do trên nên Tôi đã chọn đề tài: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai. Đề tài này đợc nghiên cứu dựa trên các mục đích sau: 1. Khảo sát sự lợng tử hoá các dao động nhỏ của các nguyên tử trong các vật rắn và sự lợng tử hoá trờng điện từ bằng cách đa Hamitonian lợng tử của các hệ dao động tử không tơng tác với sự chuyển tiếp theo của các toán tử sinh và toán tử huỷ các hạt Bose. 2. Nghiên cứu sự lợng tử hoá lần thứ hai để giải đáp vấn đề trạng thái của hệ các hạt đồng nhất đợc xác định bởi cái gi? Có thể xác định trạng thái của hệ nếu chỉ rỏ có bao nhiêu hạt ở trạng thái khác nhau hay không? 3. Sử dụng phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai để khảo sát trờng tơng ứng với các hạt Bose từ đó xác định các hàm sóng trạng thái. 3 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Với mục đích và lý do đã trình bày ở trên, luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận còn có các chơng sau: Ch ơng I : Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Trớc hết giúp chúng ta hiểu đợc lý thuyết về sự lợng tử hoá. Chúng ta sử dụng phơng pháp lợng tử hoá để khảo sát sự lợng tử hoá các dao động nhỏ của các nguyên tử trong các vật rắn và sự lợng tử hoá trờng điện từ bằng cách đa Hamiltonian cổ điển về Hamiltonian của các hệ dao động tử không tơng tác với sự chuyển tiếp theo các toán tử sinh và toán tử huỷ các hạt bose. Nghiên cứu phép biểu diễn các số lấp đầy hay là phép biểu diễn lợng tử hoá lần thứ hai đợc sử dụng nh một công cụ nh thế nào trong phơng pháp lợng tử hoá các trờng. Ch ơng II : Sự lợng tử hoá lần thứ hai trờng tơng ứng với các hạt Bose Trong chơng này chúng ta đi khảo sát phơng pháp tổng quát lợng tử hoá tr- ờng tơng ứng với các hạt phôtôn có khối lợng 0, spin 1 hay các hạt Bose. Từ đó đi xác định hàm sóng trạng thái của các hạt. Ch ơng III : Phơng pháp Lợng tử hóa lần thứ hai cho hệ các hạt Bose đồng nhất. Trong phần này chúng tôi sử dụng phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai nghiên cứu hệ có những đặc trng giống nhau nh khối lợng, điện tích, spin . hay còn gọi là các hạt đồng nhất. Nội dung của luận văn đã trình bày đợc một số kiến thức cơ bản về lợng tử hoá lần thứ hai nh: lợng tử hoá các trờng, lợng tử hoá các hạt .Hy vọng các kết quả đó sẽ là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên khoa Vật lý khi học các môn học: vật lý lý thuyết nói chung và vật lý chất rắn nói riêng. Qua luận văn, tác giả luận văn đã bớc đầu thực tập nghiên cứu, thu thập kiến thức và trình bày một vấn đề khoa học. Nếu có điều kiện thì có thể phát triển thêm các nội dung nh: sự lợng tử hoá lần thứ hai cho trờng vô hớng, trờng điện từ và các ứng dụng của phơng 4 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai pháp lợng tử hoá lần thứ hai cho hệ hạt Bôzôn (tơng tác) và hệ các hạt fermion (vật chất) . CHƯƠNG I Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Một trong những phơng pháp quan trọng thờng đợc ứng dụng trong cơ học l- ợng tử của hệ nhiều hạt là phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai. Trong phơng pháp 5 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai này, ngời ta dùng sự mô tả trờng đối với các hạt, tức là các hạt của hệ đợc coi nh các lợng tử của một trờng nào đó. Tơng tác giữa các hạt trong hệ đợc thực hiện thông qua các trờng khác, mà các lợng tử của những trờng này là những hạt khác. Các trờng của những hạt tơng ứng đợc ví nh là những biến số động lực. Chúng là các hàm của toạ độ không gian và thời gian. Các toạ độ này đặc trng cho các điểm của không gian nhng chúng không phải là toạ độ của các hạt vì ở trong ph- ơng pháp này các hạt đợc coi ví nh các lợng tử của trờng. Chính vì vậy phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai rất tiện lợi khi nghiên cứu các hệ có số hạt thay đổi. Nghĩa là các hệ trong đó xẩy ra sự biến đổi lẫn nhau giữa các hạt. Các véctơ trạng thái của trờng lợng tử là các véctơ trạng thái của các hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê BoseEinstein hoặc Fermi-Đirac. Và đối với hệ hạt đồng nhất thì duy nhất chỉ có phơng pháp này giải quyết trọn vẹn. 1.1 Biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hoà Công cụ quan trọng đợc áp dụng trong phơng pháp lợng tử hoá các trờng là phép biểu diễn các số lấp đầy hay là phép biểu diễn lợng tử hoá lần thứ hai. Chúng ta bắt đầu làm quen với các số lấp đầy từ việc nghiên cứu nhiều khái niệm mới đợc dùng trong phép biểu diễn các số lấp đầy đối với các trờng khác. Ta biết, Hamiltonian của giao động tử điều hoà có thể viết dới dạng: H ( ) = 2 ( 2 - 2 2 d d ) = 2 ( 2 + 2 ) (1.1.1) Trong đó là biến không thứ nguyên = m Với m là khối lợng của hạt, là tần số, x là toạ độ Các toán tử toạ độ = và toán tử xung lợng p = - có thể đợc biểu diễn qua hai toán tử không ecmit khác â = 2 1 ( + ) = 2 1 ( + p ) (1.1.2 ) 6 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai â + = 2 1 ( ) = 2 1 ( - p ) (1.1.3 ) Các toán tử này thoả mãn các hệ thức giao hoán [â, â + ] = (â â + - â + â) = 1 (1.1.4) Khi đó Hamiltonian (1.1.1) có dạng: H = 2 (ââ + + â + â ) = (â â + + 2 1 ) (1.1.5) Tất cả các toán tử khác thuộc về giao động tử điều hoà đều là các hàm của và - , do đó dựa vào (1.1.2) và (1.1.3) ta có thể biểu diễn chúng qua các toán tử â và â + . Đặc biệt: = 2 1 (â + â + ) và = 2 1 ( â - â + ) (1.1.6) Ta đã biết tác dụng của các toán tử â và â + lên các hàm sóng n đợc xác định bởi các hệ thức: â n = n n 1 ; â + n = 1 + n n +1 (1.1.7) Các toán tử â và â + là các toán tử không ecmitic chúng tác động lên tập hợp các hàm ( ) đợc chuẩn hoá bởi điều kiện: + *( ) ( ) d = 1 (1.1.8) Các đẳng thức (1.1.7) cho phép ta xác định đợc tác dụng của chúng lên các hàm riêng của toán tử năng lợng. Việc nêu lên số lợng tử n hoàn toàn đặc trng cho trạng thái dừng của dao động tử sẽ đợc gọi là một fônôn. Khi đó số lợng tử n sẽ xác định các số fônôn trong trạng thái tơng ứng. Tất cả các fônôn đều có trạng thái nh nhau. Trạng thái dừng hoàn toàn xác định bởi sự nêu lên số các fônôn, do đó thay cho hàm n ( ) ngời ta có thể đặc trng trạng thái đó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các fônôn. Mỗi fônôn có năng lợng . Trạng thái n tơng 7 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai ứng với sự có mặt của n fônôn với năng lợng n và hàm này đợc ký hiệu là | n>. Tác dụng của các toán tử â và â + tác dụng lên các số lấp đầy n. Toán tử â giảm số fônôn giảm đi một đơn vị đợc gọi là toán tử huỷ các fônôn. Toán tử â + tăng số fônôn lên một đơn vị đợc gọi là toán tử sinh số fônôn. Nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái không có các fônôn ) trong phép biểu diễn các số lấp đầy có dạng | 0 > gọi là véc tơ trọng trởng thì khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh â + , ta có thể thu đợc trạng thái với n fônôn: n > = n 1 ( â + ) n 0 > (1.1.9) Trong biểu diễn các số lấp đầy, thờng ngời ta đặt 0> = 1, khi đó hàm n> xác định bởi (1.1.9) sẽ đợc chuẩn hoá về 1, tức là tích vô hớng: (<1 , 1>) = 1 hay * n n dx = 1 Trạng thái cơ bản của hệ, mô tả bởi hàm 0 >, thờng đợc gọi là trạng thái vacum. Trạng thái vacum có thể đợc xác định từ điều kiện : â 0> = 0 Nghĩa là toán tử huỷ các fôtôn, tác động lên các trạng thái vacum, cho ta giá trị không. Năng lợng của trạng thái vacum là E 0 = 2 1 Vậy, phép biểu diễn các số lấp đầy tơng ứng với sự mô tả các dao động của giao động tử trong ngôn ngữ các fônôn. Tất cả các fônôn trong trờng hợp này đều là nh nhau, và trạng thái đợc xác định đơn trị bằng cách nêu số fônôn. Do đó hàm sóng trong biểu diễn các số lấp đầy chỉ phụ thuộc vào một biến đó là số fônôn trong một trạng thái. Nếu trong toán tử Hamilton (1.1.1) ta thay các toán tử và p bằng các đại lợng cổ điển, thì chúng ta thu đợc Hamiltonian của cơ học cổ điển. H cđ = 2 ( 2 + p 2 ) 8 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Trong đó và p là các biến thực, chúng ta chuyển các biến thực này sang các biến phức: a = 2 1 ( - P ); a * = 2 1 ( + P ) ( 1.1.10 ) Khi đó Hamiltonian biến đổi về dạng H cđ = a*a Sự chuyển từ Hamiltonian cổ điển sang toán tử Hamilton lợng tử, tơng ứng sự thay thế trong Hamiltonian đã đối xứng hoá H cđ = 2 ( + aa + aa + ) (1.1.11) Các đại lợng phức a và a* bằng các toán tử a và + a thoả mãn các hệ thức giao hoán (1.1.4). Bằng biện pháp nh thế chúng ta thu đợc toán tử Hamilton trong biểu diễn các số lấp đầy. Sự chuyển này từ Hamiltonian cổ điển sang Hamiltonian lợng tử đợc gọi là sự lợng tử hoá lần thứ hai. Đó là lợng tử hoá xẩy ra khi chuyển các toạ độ và các xung lợng liên hợp với chúng sang các toán tử tơng ứng. Các toán tử của dao động tử điều hoà trong biểu diễn các số lấp đầy cũng có thể đợc viết dới dạng các ma trận vô hạn. Giả sử toán tử â và â + đợc biểu diễn qua ma trận có dạng = . . . 222120 121110 020100 aaa aaa aaa a ; = +++ +++ +++ + . . . 222120 121110 020100 aaa aaa aaa a Trong năng lợng biểu diễn các dao động tử điều hoà, ta có: â| n > = n |n-1> â + | n > = 1 + n |n+1> (<m|, |n>) = m n 9 Luận văn tốt nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai â mn =(<m|, â|n >) = (<m|, n |n-1>) = n (<m|, |n-1>) = n m n-1 Tơng tự: â + mn = 1 + n m n+1 áp dụng vào cho các phần tử của ma trận â và â + ta có: = .000 .200 .010 a ; = + .020 .001 .000 a Trong biểu diễn này ta thấy đợc rõ tính liên hợp ecmitic của các toán tử â và â + . Toán tử số fônôn đợc biểu diễn bằng ma trận chéo N = â + â = .020 .001 .000 N .000 .200 .010 = .200 .010 .000 Các hàm sóng của các trạng thái dừng đợc biểu diễn bằng các ma trận một cột 0> = 0 0 1 , 1> = 0 1 0 , 2> = 1 0 0 Trong các biểu thức (1.1.6) nếu ta chia cả 2 vế cho m thì ta đợc x = ( m2 ) 1/2 ( â + + â), x p = - ( 2 m ) 1/2 (â - â + ) Khi đó giá trị trung bình trong các trạng thái | n > của các hàm bất kỳ của toạ độ và xung lợng đợc tính nh sau: <n x n> = <n ( m2 ) 1/2 (â + â) n> = ( m2 ) 1/2 {<n â + + â n>} 10 . nghiệp: Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai Trờng đại học vinh khoa vật lý ---------------- phạm thị vân Lý thuyết về sự lợng tử hoá lần thứ hai khoá luận. lợng tử hoá lần thứ hai Trớc hết giúp chúng ta hiểu đợc lý thuyết về sự lợng tử hoá. Chúng ta sử dụng phơng pháp lợng tử hoá để khảo sát sự lợng tử hoá