Nguyên lý bất biến tơng đối tính là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của Vật lý học hiện đại. Nó khẳng định rằng tất cả các hệ quả vật lý nh nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, nói cách khác trong mọi hệ toạ độ không-thời gian liên hệ với nhau bởi các phép biến đổi Lorentz.
Ta hãy ôn lại vài khái niệm cơ bản về các phép biến đổi Lorentz. Ta hãy
ký hiệu xà là các toạ độ của vectơ bốn chiều (4-vectơ) không-thời gian:
xà = {x0, x1, x2, x3}
trong đó x0 = ct là toạ độ thời gian, x1, x2, x3 là toạ độ không gian. Đôi khi ta còn viết:
xà = {x0, x}
trong đó x là vectơ không gian ba chiều thông thờng x ={ x1, x2, x3}
Để thuận tiện, ta dùng hệ đơn vị trong đó vận tốc ánh sáng c=1 và hằng số
Planck ∇ =1. Nh vậy ta có: x0 = t
Tích vô hớng giữa hai vectơ x và y nh sau:
x y = gàν xà xν (2.1)
trong đó gàν là texơ metric với các thành phần là:
Từ đây về sau ta quy ớc rằng trong biểu thức có các chỉ số lặp lại hai lần thì phải
hiểu là tổng theo các chỉ số đó. Nh vậy (2.1) ta phải hiểu là:
x y = ∑ = 3 1 ,ν à gàν xà xν = x0y0 - xy (2.1a)
Đặc biệt, độ dài của vectơ x xác định với
||x|| = 2 2 0
2 (x ) x
x = −
Ta hãy xét phép biến đổi tuyến tính không-thời gian:
xà → xà’ = Λàνxν
trong đó Λàν là các hệ số thực và thay thế nh thế nào để tích vô hớng của hai
vectơ bất kỳ là không đổi, có nghĩa:
x y =x y’ ’
Các phép biến đổi này đợc gọi là phép biến đổi của Lorentz đồng nhất.
Bây giờ ta xét quy luật biến đổi của hàm trờng với các phép biến đổi Lorentz Λ.
Mỗi hàm trờng đều đợc mô tả bởi hàm phụ thuộc vào toạ độ không thời
gian ϕ(x) gọi là hàm trờng. Hàm trờng ϕ(x) có thể là hàm phức nhiều thành phần,
nói cách khác có thể là tập hợp nhiều hàm và do đó để tổng hợp ta có thể viết ϕ i
(x), i = 1, 2, ..., n (n là số thành phần).
Sự chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác bởi các phép biến đổi Lorentz dẫn đến sự thay đổi của hàm trờng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ϕi (x) →ϕ‘i (x )’
Một cách khác tổng quát ta có thể viết
ϕ‘i (x ) = (S’ (ϕ)(Λ)ijϕ‘j (x)={ S(ϕ)(Λ)jϕ (x))i
trong đó S(ϕ)(Λ) là một ma trận n x n phụ thuộc vào phép biến đổi Λ và thoả mãn
S(Λ1)S(Λ2) = S(Λ1Λ2) S(1) = 1 (ma trận đơn vị)
và S(Λ-1) = S -1(Λ)
Tuỳ theo phép biến đổi của trờng dới tác dụng của phép biến đổi Lorentz,
tức là tuỳ theo dạng của ma trận S(ϕ)(Λ) khi đó ngời ta phân loại các trờng thành
trờng vô hớng, trờng vectơ, trờng spinơ, vv...
Trờng vô hớng, ta ký hiệu là Φ(x) là trờng một thành phần với quy luật
biến đổi nh sau:
Φ’(x )’ = Φ(x)
Trờng vô hớng, ta ký hiệu là Φ(x) là trờng một thành phần với quy luật biến đổi
nh sau:
Φ’(x )’ = Φ(x)
Trờng vectơ, ta ký hiệu là ϕà(x), là trờng bốn thành phần, à =0, 1, 2, 3 với
quy luật biến đổi nh sau:
ϕ’à(x ) = ’ Λàνϕàν(x)