Lý thuyết về kỳ vọng, kỳ vọng điều kiện và martingale

lời nói đầu Kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện là những công cụ rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt trong lý thuyết các quá trình Markov, martingale. Còn khái niệm martingale bắt nguồn từ trò chơi mà ngày nay đã trở thành công cụ toán quan trong các lĩnh vực của xác suất và giải tích, có nhiều ứng dụng trong thống kê, giải tích hàm, ph- ơng trình vi phân, toán kinh tế và đặc biệt gần đây có nhiều ứng dụng thú vị trong thị tr- ờng chứng khoán. Về phơng diện xác suất, lý thuyết martingale mở rộng lý thuyết về tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Luận văn này nghiên cứu một số tính chất về kỳ vọng, kỳ vọng điều kiện và martingale. Luận văn gồm 3 phần Phần 1: Kỳ vọng. Phần này nêu các tính chất và các mệnh đề về kỳ vọng. Tuy nhiên phần này sẽ không có chứng minh cho các tính chất đã trình bày trong các tài liệu tham khảo mà sẽ chứng minh cho một số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng và mở rộng của nó. Phần 2: Kỳ vọng điều kiện. Nội dung phần này là định nghĩa, tính chất và nêu các tính chất khác của kỳ vọng điều kiện nhằm thể hiện sự khác biệt và mối liên quan của kỳ vọng có điều kiện và kỳ vọng thông thờng. Sự khác nhau cơ bản của kỳ vọng điều kiện và kỳ vọng thông th- ờng là: Kỳ vọng điều kiện đối với - đại số g là 1 biến ngẫu nhiên g - đo đợc còn kỳ vọng thông thờng là hằng số. Phần 3: Martingale. Trong phần này trình bày định nghĩa các tính chất và các tính chất của martingale. Tuy nhiên chơng này sẽ không có chứng minh cho các tính chất đã trình bày trong các tài liệu tham khảo mà chỉ chứng minh các tính chất khác nhằm nhấn mạnh thêm khái niệm về martingale và mối liên hệ giữa martingale, martingale trên, martingale dới và hiệu matingale. 1 Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS-TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngời đã dành cho em sự h- ớng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong quá trình học và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của thầy cô trong khoa Toán. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Cuối cùng vì sự hạn chế thời gian cũng nh tài liệu nên luận văn này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận đợc sự đóng góp giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 2 Phần 1: Kỳ vọng Đ 1. Định nghĩa và tính chất 1.1. Định nghĩa: Giả sử (,f, P) là không gian xác suất, X : R là biến ngẫu nhiên (b.n.n). Kỳ vọng của b.n.n X là một số, ký hiệu là EX đợc xác định bởi công thức: = dPXEX 1.2. Chú ý: Kỳ vọng của b.n.n X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của b.n.n X tồn tại nếu tích phân vế phải công thức trên tồn tại. 1.3. ý nghĩa: Kỳ vọng của b.n.n X là giá trị trung bình theo xác suất của b.n.n đó. Trong trờng hợp X nhận các giá trị với xác suất nh nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó. 1.4. Các tính chất: Giả sử (,f, P) là không gian xác suất, X là b.n.n khả tích thì ta có các tính chất sau: a) Nếu X = C = const thì EC = C b) Với C là hằng số ta có: ECX = CEX c) Cho X, Y là đại lợng ngẫu nhiên ta có: E(X Y) = EX EY d) Nếu X, Y độc lập thì EX.Y = EX.EY Tổng quát: Nếu X 1 , X 2 , , X n là họ các b.n.n độc lập thì E(X 1 . X 2 . X n ) = EX 1 . EX 2 EX n 3 e. Nếu b.n.n Y = f(X) là hàm của b.n.n X thì: EY = Ef(X) = ( ) = n 1i ii pxf nếu X rời rạc và P(X = x i ) = p i và EY = Ef(X) = ( ) ( ) + dxxpxf nếu X liên tục và có hàm mật độ là p(x) Việc chứng minh các tính chất này có thể suy ra từ định nghĩa. Vì vậy ta không trình bày ở đây. 4 Đ 2. Các tính chất khác của kỳ vọng 2.1. Mệnh đề 1: Giả sử X là b.n.n. Khi đó a) EX tồn tại khi và chỉ khi tồn tại E[X] (ở đây [a] là phần nguyên của số a). b) EX = E[X] khi và chỉ khi X là b.n.n nhận giá trị nguyên. Chứng minh: a) Ta có X = [X] + {X} trong đó {X} là phần thập phân của X , 0 {X} < 1 Do 0 {X} < 1 nên tồn tại 0 E{X} < 1 Do đó EX và E[X] đồng thời cùng tồn tại và ngợc lại với EX = E[X] + E{X} b) Ta có: EX = E[X] + E{X} Do đó EX = E[X] E{X} = 0 và do {X} 0 nên {X} = 0 hầu khắp nơi X nhận giá trị nguyên hầu khắp nơi. 2.2. Mệnh đề 2: Giả sử X - b.n.n giá trị nguyên không âm với kỳ vọng hữu hạn Khi đó: EX = [ ] = 1i iXP Chứng minh: Ta có EX = = 1n n p.n với p n = p(X = n) Theo giả thiết EX < + chuỗi = 1n n p.n hội tụ = n 1k k p.k 0 khi n Ta có: P(X 1) = P 1 + P 2 + + P n + P(X 2) = P 2 + + P n + P(X 3) = P 3 + + P n + 5 P(X n) = P n + P n+1 + Do đó: +== = += 1nk k n 1k n 1k k PnP.k)kX( (*) Ta có: 0 += += += < 1nk k 1nk k 1nk k P.kP.nPn 0 khi n ở (*) khi cho n ta có: ( ) EXP.kkXP 1k k 1nk == = += Vậy: EX = ( ) = 1i iXPn 2.3. Mệnh đề 3: Giả sử EX p < (p > 0 nào đó). Khi đó [ ] 0tXP.tlim P t => Chứng minh: Ta có: > +== tX P tX PPP dpXdpXdpXXE > + tX P tX PP dpXdpXXE cho t thì P tX P XEdpX EX P EX P + lim t P P(X> t) (1) (1) xảy ra khi và chỉ khi ( ) 0tXP.tlim P t => 2.4. Mệnh đề 4: Giả sử X là b.n.n không âm với hàm phân phối F(x) và kỳ vọng hữu hạn. Khi đó: ( ) [ ] dxxF1EX 0 + = . Chứng minh: Thật vậy vì X là b.n.n không âm nên ( ) ( )( ) ( )( ) +++ === 000 xF1xdxFxdxFxdEX 6 = ( )( ) ( )( ) + + + 0 0 dxxF1xF1x = ( )( ) + 0 dxxF1 (vì F() = 1 , F(o) = 0) Vậy ( )( ) + = 0 dxxF1EX 2.5. Mệnh đề 5 (Mở rộng của mệnh đề 4): Giả sử F(x) là hàm phân phối của b.n.n X không âm và EX < ( > 0 nào đó). Khi đó ( )( ) + = 0 1 dxxF1xEX Chứng minh: Gọi ( ) ~ xF là hàm phân phối của X Khi đó ( ) ( ) = <=<= 11 ~ xFxXPxXPxF Suy ra: ( ) + = 0 ~ dxxF1EX (áp dụng mệnh đề 4) + = 0 1 dxxF1EX Đặt dtt.dxtx 1 1 == Khi đó nếu: ++ == tx 0t0x Thì ( )( ) + = 0 1 dt.t.tF1EX ( )( ) + = 0 1 dt.t.tF1EX Đổi vai trò của x và t ta có: ( )( ) + = 0 1 dx.xxF1EX 7 2.6. Mệnh đề 6: Giả sử F(x) là hàm phân phối của b.n.n X không âm và EX < ( < 0 nào đó). Khi đó ( ) + = 0 1 dxxFxEX Chứng minh: Thật vậy ta có: Với < 0, F(x) là hàm phân phối của b.n.n X không âm và EX < thì: ( ) ( ) ( ) + + + == 0 0 0 dxxFxFxxdFxEX ( ) + + == 0 0 11 dxxFxdx)x(Fx Vậy: ( ) + = 0 1 dxxFxXE 2.7. Mệnh đề 7: Giả sử X và Y là hai b.n.n độc lập với phơng sai hữu hạn. Khi đó DX.Y DX.DY. Khi nào có dấu bằng? 8 Chứng minh: Thật vậy, ta có: DX.Y = E(X.Y) 2 - (EXY) 2 = E(X.Y) 2 - (EX.EY) 2 và DX.DY = [EX 2 - (EX) 2 ][ EY 2 - (EY) 2 ] = EX 2 . EY 2 - EX 2 . (EY) 2 - (EX) 2 . EY 2 + (EX . EY) 2 Do đó: DX.Y - DX . DY = E(X . Y) 2 - (EX . EY) 2 - EX 2 . EY 2 + EX 2 . (EY) 2 + (EX) 2 . EY 2 - (EX . EY) 2 = E(XY) 2 - (EXY) 2 - EX 2 . Y 2 + EX 2 (EY) 2 + (EX) 2 . EY 2 - (EXY) 2 = E(X . Y) 2 - E(XY) 2 - 2(EXY) 2 + EX 2 (EY) 2 + (EX) 2 . EY 2 = EX 2 (EY) 2 - (EX) 2 . (EY) 2 + (EX) 2 . EY 2 - (EX) 2 . (EY) 2 = (EY) 2 . [EXX 2 - (EX) 2 ] + (EX) 2 [EY 2 - (EY) 2 ] = (EY) 2 . DX + (EX) 2 . DY 0 (Do mỗi số hạng ở vế trái đều không âm) DXY DX . DY và DX . Y = DX . DY = = 0DX.EY 0DY.EX = = 0EY 0EX hoặc = = 0DX 0EX hoặc = = 0DY 0EY 2.8. Mệnh đề 8: Giả sử X 1 , , X n là các b.n.n có mômen bậc 0 < 1. Khi đó: E X 1 + + X n E X 1 + + E|X n Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức |a + b| a + b với 0 < 1 E|a + b| E (a + b ), với 0 < 1 9 = Ea + Eb , với 0 < 1 E|a + b| Ea + Eb , với 0 < 1 Khi đó với X 1 , , X n là các b.n.n có mômen bậc 0 < 1 E X 1 + X 2 E X 1 + E|X n E (X 1 + X 2 ) + X 3 E X 1 + X 2 + E|X 3 E X 1 + E X 2 + E|X 3 E X 1 + X 2 + X 3 E X 1 + E X 2 + E|X 3 E X 1 + + X n E X 1 + + E|X n 2.9. Mệnh đề 9: Giả sử X và Y độc lập, EY = 0, EX < , E|Y < , 1 thì khi đó E X + Y E|X Chứng minh: Với 1 và EY = 0 thì: EX = E(X + Y) EX + Y Gọi F(x) là hàm phân phối của X. Khi đó: EX + Y = ( ) ( ) + + =+ XExFdXExFdYXE Vậy: EX + Y EX 10