Thiết kế bài giảng phần hệ hạt đồng nhất của các hạt vi môtrong cơ học lượng tử

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Lời cảm ơn Đề tài “Thiết kế giảng phần hệ hạt đồng hạt vi mô học lượng tử” đề tài mẻ có nhiều ý nghĩa Sau thời gian nghiên cứu tài liệu phương pháp vật lí lý thuyết, hoàn thành đề tài thu số kết quan trọng Để đạt điều thiếu hướng dẫn giúp đỡ thầy cô giáo bạn Trước tiên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo T.s Trần Thái Hoa người tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa, trường, gia đình bạn sinh viên nhóm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho thời gian làm khoá luận tốt nghiệp suốt bốn năm học vừa qua SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp mang tên “Thiết kế giảng phần hệ hạt đồng hạt vi mô học lượng tử” kết nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo T.s Trần Thái Hoa Khoá luận không trùng với kết tác giả khác Tôi xin cam đoan điều thật sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà nội, ngày 12 tháng năm 2009 Sinh viên Trịnh Thị Thu Giang SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Nội dung Chƣơng Các hạt đồng học lƣợng tử 1.1 Cơ học lượng tử cho hệ hạt 1.2 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng 1.3 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng 1.4 Các toán tử sinh hạt huỷ hạt Boson 12 1.5 Toán tử sinh huỷ hạt Fecmion 14 1.6 Nguyên lý loại trừ Pauli 17 1.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree – Fock 19 Chƣơng Các thống kê lƣợng tử 25 2.1 Đặt vấn đề 25 2.2 Sự lượng tử hoá lần thứ hai Thống kê Bose-Einstein 26 2.3 Sự lượng tử hoá lần thứ hai Thống kê Fecmi – Dirac 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Cơ học lượng tử môn chuyên ngành vật lý lý thuyết nghiên cứu quy luật tổng quát hạt vi mô trường lực Ngoài đại lượng vật lý đặc trưng cho trạng thái chuyển động hạt vi mô không gian tọa độ, xung lượng, mô men xung lượng, lượng, hình chiếu spin, có đại lượng vật lý gắn liền với chất hạt vi mô khối lượng, điện tích, spin gọi hạt đồng Đối với sinh viên vật lý phần hệ hạt đồng phần thiếu để hoàn thiện chương trình học môn học lượng tử chương trình đào tạo Do chọn đề tài “Lượng tử hóa lần hai Bài tóan dao động điều hóa ứng dụng giải tóan liên quan” làm tài liệu ban đầu giảng dạy phần hệ hạt đồng II Mục đích nghiên cứu Vận dụng quan điểm lý luận đại dạy học để thiết kế giảng phần hệ hạt đồng III Đối tƣợng nghiên cứu Cơ sở vật lý toán học hệ hạt đồng IV Phƣơng pháp nghiên cứu Các phương pháp vật lý vật lý lý thuyết V ý nghĩa khoa học việc nghiên cứu đề tài Nghiên cứu đề tài giúp hiểu sâu sắc hệ hạt đồng làm số tập chúng SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1 Cơ học lƣợng tử cho hệ hạt 1.1.1 Đặt vấn đề Chuyển từ học lượng tử cho hạt sang học lượng tử cho hệ hạt tiến hành hoàn toàn tương tự ta làm vật lý cổ điển Hệ N hạt coi hệ có 3N bậc tự Hàm sóng xác định không gian cấu hình có dạng:    ( x1 , y1 , z1; x2 , y2 , z2 ; xn , yn , zn ; t ) (1.1) Nếu biết hàm sóng, ta xác định chuyển động hệ cách lấy tích phân theo toạ độ tất hạt, mà chuyển động chúng truờng hợp ta không xét đến Điều có nghĩa là: lấy tích phân theo toạ độ tất hạt, trừ hạt thứ k mà ta muốn xét, kết thu xác suất để tìm thấy riêng hạt thứ k  thể tích cho (chú ý dV  d r  dxdydz ):     (1.2) W ( xk , yk , zk )dxk dyk dzk  dxk dyk dzk   d r1 d rk  1d rk  d rn Hamiltonian hệ hạt có dạng:  2  N N    p  =  r, t   r ,r   k U U H     k kj k j  k   2m k  j 1 k  (1.3)   pk  toán tử toán tử động hạt thứ k, U k 2m hạt trường ngoài, N  U k  j 1 kj toán tử gây tương tác hạt thứ k với tất hạt lại hệ SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa 1.1.2 Phƣơng trình Schrodinger Sự biến thiên trạng thái hệ mô tả phương trình có dạng: i    H t (1.4) Nếu hệ hạt không tương tác phương trình (1.4) có nghiệm đơn  không Khi giản Thật vậy, hạt không tương tác tất U kj phương trình (1.4) cho trạng thái dừng viết dạng: N N  N  2         E H       k  U k      H H  k k k 1  k 1    k 1  2mk   (1.5)  tác dụng lên toạ độ hạt thứ k, nên hàm sóng  biểu Vì H k diễn dạng tích hàm sóng riêng hạt:        r1 , r2 , , rN   r1  r2  N rN        (1.6) Từ 1.5 1.6 suy ra: N N k 1 k 1   H      E H   k   H k N (1.7) Chia hai vế (1.7) cho  , ta có kết quả: N E=  H k k   k 1 k N   Ek ; (1.8) k 1    E H k k k k Như vậy, hệ hạt không tương tác, hàm sóng hệ hạt tích hàm sóng hạt, lượng toàn phần hệ hạt tổng lượng hạt riêng biệt 1.2 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng Trong Cơ học cổ điển dù hạt có giống phân biệt hạt riêng biệt thời điểm, xung lượng toạ độ SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa hạt hoàn toàn xác định hạt chuyển động theo quỹ đạo riêng không lẫn với quỹ đạo hạt khác Trong Cơ học lượng tử, có nguyên lý bất định Heisenberg, toạ độ xung lượng hạt đồng thời xác định xác, có nghĩa không khái niệm quỹ đạo Ta biết xác suất tìm thấy hạt vị trí mà Như vậy, thay cho quỹ đạo xác định, hạt có miền không gian mà trình chuyển động ta tìm thấy miền không gian với xác suất Các miền không gian hạt khác phủ lên Nếu ta “tóm’’ hạt miền không gian có phủ lên ta biết xác “nó từ đâu đến’’, “nó hạt nào’’, có nghĩa ta khả phân biệt hạt đồng Cụ thể hơn, xét hệ N hạt đồng hạt có khối lượng m, Hamiltonian hệ là: N   l2  N  H (1, 2, , k , , j , , N , t )      U (l , t )    W(l, n) 2m l 1   l n1 (2.1) = r1 ,  1 , = r2 ,   , với rl  l biến số toạ độ số spin hạt thứ l, U(l, t) hạt thứ l trường W(l, n) lượng tương tác hạt thứ l hạt thứ n Hamiltonian (2.1) cho thấy ta quy ước đánh số hạt theo thứ tự từ đến N Thì việc đổi chỗ hạt với làm thay đổi thứ tự đánh số quy ước xáo trộn số hạng tổng N  l 1 N  không l  n 1 làm thay đổi giá trị tổng vậy:  (1, 2, , k , , j, , N , t )  H  (1, 2, , j, , k, , N , t ) , H (2.2) với k, j Tính chất phát biểu sau: Hamiltonian hệ hạt đồng bất biến (đối xứng) phép hoán vị hai hạt SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Hàm sóng hệ nhiều hạt đồng hàm đa thành phần  =  (1, 2, , k, j, , N, t) Thoả mãn phương trình Schrodinger: i  (1, 2, , k , , j , , N , t )  t  (1, 2, , k , , j, , N , t) (1, 2, , k, j, , N, t) H (2.3) Để mô tả đổi chỗ hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị pkj hạt k hạt j sau: p f (1, 2, , k , , j, , N , t )  f (1, 2, , k , , j, , N , t ) kj f hàm Sử dụng toán tử hoán vị pkj , ta viết lại đẳng thức (2.2) dạng p H  (1, 2, , k , , j, , N , t )  H  (1, 2, , j, , k , , N , t ) p kj kj (2.4) Ta thấy toán tử pkj giao hoán với Hamiltonian hệ hạt đồng Bây tác dụng toán tử pkj lên hai vế phương trình Schrodinger (2.3) i    ( pkj )  pkj H t  nên ta viết Vì pkj giao hoán với H i    ( p  ) ( pkj )  H kj t (2.5) So sánh hai phương trình (2.5) (2.3) ta suy  (1, 2, , k, , j, , N, t) lời giải phương trình Schrodinger (2.3)  '  pkj (1, 2, , k, , j, , N, t) =  (1, 2, , j, , k, , N, t) SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa lời giải phương trình Do  '  diễn tả trạng thái hệ hạt đồng Vì lập luận k j nên kết luận tất hàm sóng thu từ  (1, 2, , k, , j, , N, t) cách hoán vị tuỳ ý hạt lời giải phương trình Schrodinger Tất hàm sóng tạo theo kiểu hoán vị nói bình đẳng với biết xác phân bố không gian hạt riêng biệt mà biết thông tin toàn hệ Từ cần phải hiểu giới vi mô hạt đồng tổng thể khách quan mà ta nói trạng thái hạt riêng biệt Điều phát biểu dạng nguyên lý chung gọi nguyên lý không phân biệt hạt đồng sau: Các trạng thái vật lý hệ nhiều hạt đồng phải trạng thái bất biến phép hoán vị hạt 1.3 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Nguyên lý tính không phân biệt hạt đồng giữ vai trò học lượng tử ta nghiên cứu hệ hạt đồng Để đơn giản, ta xét hệ gồm hai hạt Hàm sóng hệ  (q1 , q2 , t ) , q1 đại diện cho biến hạt 1: x1, y1, z1, sz1 q2 đại diện cho biến hạt 2: x2, y2, z2, sz2 Ta hoán vị hai hạt cho Theo nguyên lý tính không phân biệt hạt đồng nhất, trạng thái hệ không thay đổi, hàm sóng  thay đổi thừa số pha Ta viết  (q1 , q2 , t )  ei (q2 , q1 , t )  ei 2 (q1 , q2 , t ) Từ suy e 2i 1 ei   Như hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng  (q1 , q2 )   (q2 , q1 ) SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý (3.1) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Ta tới kết luận, có hai khả xẩy - hàm sóng đối xứng (không đổi hoán vị hai hạt), phản đối xứng (hàm sóng đổi dấu hoán vị hai hạt) Rõ ràng là, hàm sóng tất trạng thái hệ hạt phải có tính đối xứng nhất, đối xứng, phản đối xứng Trong trường hợp ngược lại, theo nguyên lý chồng chất trạng thái, hàm sóng hệ chồng chất trạng thái có tính đối xứng khác nhau, không đối xứng không phản xứng Kết mở rộng sang cho hệ có N hạt đồng Ta dễ dàng thực nghiệm rằng, hàm  hệ hạt đối xứng cặp hạt k j, j i, lại phản xứng cặp hạt i k hàm  không Thực vậy, ta viết  ( qi , qk , q j )   ( qk , qi , q j )   ( qk , q j , qi )    ( q j , qk , qi )   ( qi , qk , q j )  Bây ta chứng minh rằng, thời điểm hệ trạng thái đối xứng (hay phản xứng) hệ mãi trạng thái đối xứng (hay phản xứng) Muốn vậy, ta đưa vào toán tử hoán vị pkj xác định hệ thức p ( q , q , q , t)   ( q , q , q , t) kj i k N k i N Nhưng  ( qk , qi , )   ( qi , qk , ) nên pik    (3.2) Từ suy trị riêng toán tử 1 Các hàm đối xứng hệ hạt hàm riêng toán tử pik ứng với trị riêng +1, hàm sóng phản xứng hàm riêng ứng với trị riêng -1 Hamiltonian hệ có dạng: SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa - Nguyên lý loại trừ Pauli hệ fecmion đồng Để hình dung vấn đề cụ thể, trước hết ta lấy ví dụ minh hoạ sau Giả sử có hệ gồm hai hạt qui ước mô tả trạng thái hạt ô (để cụ thể !) Ta có khả phân phối thống kê sau: - Trước hết, ta giả sử phân biệt hạt đồng (tức khuôn khổ học lượng tử) Từ đó, ta đánh số hạt chữ a, b, c phân phối hai hạt hệ theo trạng thái, tức theo ô, sau: Trạng thái hạt, Trạng thái hạt, Ô thứ Ô thứ hai (a,b) (0) (0) (a,b) (a) (b) (b) (a) Trạng thái toàn hệ Như thế, không xét đến nguyên lý không phân biệt hạt đồng nhất, ta thấy hệ hạt bốn trạng thái khác (a, b), (0) (0), (a, b) (a), (b) ; (b), (a) ; ; - Bây giờ, giả sử hạt đồng hệ bôzôn, áp dụng nguyên lý không phân biệt hạt đồng Thế hai khả (a), (b  a) (b  a), (a) nhau: Hệ hạt bôzôn xét ba trạng thái sau SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 26 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa (a, a), (0) (0), (a, a) (a), (a) ; ; 3- Cuối cùng, giả sử hạt đồng hệ fecmion đây, nguyên lý không phân biệt hạt đồng nguyên lý loại trừ Pauli có hiệu lực Do khả phân phối (a, a), (0) (0), (a, a) bị loại trừ nguyên lý thứ hai Do toàn hệ hai fecmion xét trạng thái (a), (a) Qua ví dụ ta thấy rằng, nguyên lý nêu học lượng tử dẫn tới qui luật thống kê khác hệ hạt đồng Các thống kê gọi thống kê lƣợng tử Có hai loại thống kê lượng tử: thống kê Bose Einstein, vận dụng cho bôzôn; thống kê Fecmi Dirac, vận dụng cho fecmion 2.2 Sự lƣợng tử hóa lần thứ hai Thống kê Bose-Einstein Một phương pháp tính toán quan trọng, thường dùng học lượng tử cho hệ gồm số lớn hạt đồng nhất, phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai Phương pháp đặc biệt cần thiết lý thuyết lượng tử tương đối tính, cần phải xét hệ có số hạt thay đổi Trong phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai, người ta chuyển từ phép biểu diễn toạ độ cho hàm sang biến Để làm biến này, người ta chọn số hạt n có trạng thái lượng tử xét Như vậy, đặc trưng hệ hạt nằm hàm sóng  (1 ,2 , , N , t ) , mà hàm sóng (n1 , n2 , , nN , t ) n1, n2, SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 27 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa số hạt trạng thái lượng tử 1, Các đại lượng n1, n2, gọi số lấp đầy trạng thái Trong hệ hạt tự do, xung lượng hệ hạt bảo toàn Như vậy, bảo toàn số lấp đầy, cụ thể số n1, n2, nói lên có hạt trạng thái  , , Trong hệ hạt có tương tác, xung lượng hạt không bảo toàn nữa, số lấp đầy không bảo toàn Đối với hệ thế, nói đến phân bố xác xuất giá trị khác số lấp đầy Bình phương môđun (n1 , n2 , , nN , t ) xác định xác suất giá trị n1, n2 khác Sự chuyển từ việc mô tả thông thường sang lượng tử hoá lần thứ hai thí dụ biến đổi phép biểu diễn Chúng ta xây dựng công cụ toán học, biến số lấp đầy thay cho biến tọa độ spin Hàm sóng với biến lấp đầy (n1 , n2 , , nN , t ) thay cho hàm  (1 ,2 , , N , t ) Vấn đề đặt là, toán  nói riêng biểu diễn tử vật lý nói chung toán tử H chuyển biến từ  sang n Muốn vậy, ta xuất phát từ phương pháp biểu diễn toán tử ma trận Cụ thể, ta xét phần tử ma trận hàm sóng trạng thái dừng hệ hạt không tương tác Giả thiết xét hệ hạt bôzôn Đối với hệ n hạt bôzôn không tương tác, hàm sóng có dạng:  n !n !   n ,n ,     p (1 ) p ( )  p ( n )  n!  2 n (2.2.1) lấy tổng theo phép hoán vị p1, p2, , pn Trong phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai, ta đưa vào hai toán tử ai ai+ Các toán tử không tác động lên hàm toạ độ, mà lên hàm số lấp đầy Toán tử ai định nghĩa sau: SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 28 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa ai (n1 , n2 , , ni )  ni (n1 , n2 , , ni  1, ) (2.2.2) Có thể nói rằng, toán tử ai làm giảm đơn vị số hạt trạng thái i, nghĩa thay ni ni - Toán tử ai gọi toán tử huỷ số hạt Nó biểu diễn dạng ma trận với phần tử khác không ni  ai ni   n 1 ai  n dni  ni i (2.2.3) i Toán tử ai+ toán tử liên hợp với toán ai , theo định nghĩa, biểu diễn ma trận có phần tử  ni  ai ni  ni  ai ni  ni (2.2.4) hay viết ni  ai ni  ni  (2.2.4’) Điều có nghĩa là, tác động lên hàm (n1 , n2 , , ni , ) làm tăng số ni lên đơn vị: ai(n1 , n2 , , ni , )  ni  1(n1 , n2 , , ni  1, ) (2.2.5) Nói cách khác toán tử ai+ tăng số hạt trạng thái i lên đơn vị Toán tử ai+ gọi toán tử sinh hạt Tác dụng liên tiếp hai toán tử ta thu được: ai ai  n ,n , ,n 1  ni ai  n ,n , ,n 1  ni ni  n ,n , ,n i i i (2.2.6) Như ai ai  n ,n , ,n  ni  n ,n , ,n i i SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý (2.2.7) 29 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Điều chứng tỏ rằng, việc ứng dụng liên tiếp toán tử ai ai không làm thay đổi số hạt trạng thái i, hàm  nhân với ni: toán tử a i giảm số hạt đơn vị, sau ai đưa số hạt giá trị ban đầu Dựa (2.2.7), ta viết  a i a i = ni (2.2.8) Toán tử ai ai gọi toán tử số hạt có trạng thái i Một cách tương tự, chứng minh được: ai ai = ni + (2.2.9) Từ hai đẳng thức trên, ta viết ai ai - ai ai = (2.2.10) Các toán tử với số i k khác tác động lên biến khác (ni nk) giao hoán với ai ak  ak ai  (i  k ) (2.2.11) ai ak  ak ai  (2.2.12) với k i ai ak  ak ai  (2.2.13) Các hệ thức (2.2.10) (2.2.12) hợp thành biểu thức ai ak  ak ai   ik (2.2.14) Dễ dàng nghiệm rằng, phần tử ma trận toán tử (2.2.8) (ai ai ) n ' ,n  ni n ' ,n i i i (2.2.15) i nghĩa biểu diễn ma trận chéo Tác động liên tiếp toán tử ai ak lên hàm  n , n , ,n 1 theo (2.2.2) (2.2.5), ta thu biểu thức k i nk ni  n , n 1,n , k SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý i 30 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Do nk  1, ni ai ak nk , ni   nk ni  n , n 1,n ,  n , n 1,n ,  nk ni k i k i (2.2.16) ứng dụng liên tiếp toán tử ar ap al+ ak lên  n , n , ,n 1, ,n k l ta p , , n p 1 nk nl np nr  n , n , ,n 1, ,n k l p , , n p 1, , nr Như nk  1, nl , n p  1, nr ar ap al ak nk , nl  1, n p , nr   nk nl n p nr (2.2.17) Tương tự vậy, ta xét cho chuỗi Như vậy, xét tính chất toán tử sinh huỷ số hạt Để hoàn thành việc chuyển sang phép biểu diễn số lấp đầy, cần phải biểu diễn toán tử đại lượng vật lý qua toán tử sinh huỷ  (1) toán tử đại lượng vật lý thuộc hạt thứ Giả sử Q a a, nghĩa tác động lên hàm biến  a Ta đưa vào toán tử đối xứng với tất hạt F(1)   fa(1) (2.2.18) a (lấy tổng theo tất hạt) xác định phần tử ma trận hàm (2.2.1) Trước hết cần quan niệm rằng, phần tử ma trận khác không dời chuyển không làm thay đổi số n1, n2, (các phần tử chéo) dời chuyển, trong số lấp đầy khác giảm  (1) tác dụng lên một đơn vị Thực vậy, toán tử Q a hàm tích  p (1 ) p (2 )  p (n ) nên phần tử ma trận n khác không dời chuyển với biến đổi trạng thái hạt; điều có nghĩa số hạt có trạng thái giảm, SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 31 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa trạng thái tương ứng khác đơn vị Do đó, ta viết phần tử không chéo  (1) n  1, n  f (1) n n ni , nk  F i k ik i k (2.2.19) phần tử ma trận f ik(1) bằng: f ik(1)   i ( ) f (1) k ( )d (2.2.20) Vì toán tử f a(1) khác biệt ký hiệu biến mà tác động lên, tích phân (2.2.20) không phụ thuộc vào số a, số bỏ  (1) giá trị trung bình đại lượng F(1) Các phần tử chéo F trạng thái  n ,n , Phép tính cho kết F (1)   f ii(1) ni (2.2.21) i Dựa (2.2.20) tính chất mô tả toán sinh huỷ, ta nhận thấy toán tử (1)  f (1) a a F  ik i k (2.2.22) i ,k trùng với toán tử (2.2.18) Như vậy, biểu diễn toán tử thông thường tác động lên hàm toạ độ dạng toán tử tác động lên hàm biến số lấp đầy ni Kết thu dễ dàng mở rộng sang toán tử có dạng khác Giả sử  ( 2)  f ( 2) F  ab (2.2.23) a b f ab( 2) toán tử đại lượng vật lý thuộc cặp hạt, tác dụng lên hàm biến  a b Bằng phép tính tương tự trên, ta biểu diễn toán tử qua toán sinh huỷ: SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 32 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa  (2)  F ik f (2) lm ai ak am al  i , k ,l , m (2.2.24) ik f (2) lm    i (1 ) k (2 ) f (2) l (1 ) m ( )d1d Dễ dàng mở rộng công thức sang toán tử đối xứng tất  (3)  f (3) hạt có dạng khác ( F  abc v.v ) Trong trường hợp hệ vật lý cụ thể gồm n hạt đồng nhất, ta  qua toán tử a a+ , Hamiltonian H  biểu diễn toán tử Hamiltonian H i i hệ rõ ràng đối xứng hạt hệ Trong phép  không phụ thuộc gần tương đối tính từ trường toán tử H vào spin hạt biểu diễn dạng tổng quát sau:   H H   a(1)  U ( 2) (ra , rb )  a a b U (3) a b  c (ra , rb , rc )  (2.2.25)  (1) phần Hamiltonian phụ thuộc vào toạ độ hạt H (a) thứ a: 2 (1)  H(a)    a  U (1) (ra ) 2m (2.2.26) U (1) (ra ) hạt trường ngoài, U(2) U(3) tương ứng với lượng tương tác hạt với nhau, phụ thuộc tương ứng vào toạ độ hai, ba hạt v.v Dựa vào (2.2.22) (2.2.24), ta viết được:   H (1) a a  H ik U (2) lm ai ak am al   ik i k i , k ,l , m i ,k (2.2.27) Đối với hệ hạt không tương tác, biểu thức (2.2.27) lại số hạng thứ SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa   H (1) a a H  ik i k (2.2.28) i ,k  (1) hàm riêng lẻ làm Nếu chọn hàm riêng Hamiltonian H hàm  , ma trận H ik(1) ma trận chéo phần tử chéo trị riêng lượng hạt  i Như    a a H  i i i (2.2.29) i Thay toán tử ai ai trị riêng ni nó, ta thu biểu thức sau cho mức lượng hệ E    i ni (2.2.30) i Công cụ tính toán trình bày tiết biểu diễn dạng cô đọng cách đưa vào  - toán tử  ( )   ( )   i ( )ai ;   ( )   ( )   i* ( ) ai i (2.2.31) i biến  coi thông số Từ tính chất toán tử ai , ai , ta thấy rõ ràng toán tử  làm giảm,   làm tăng tổng số hạt hệ đơn vị Các qui tắc giao hoán  - toán tử thu trực tiếp từ qui tắc giao hoán toán tử ai , ai :  ( ) ( ' )     (2.2.32)  ( )  ( ' )    i ( ) i* ( ' )   (   ' )   i (2.2.33)  (1) lượng tử hoá lần thứ hai viết dựa vào  - toán tử Toán tử F dạng  (1)    ( )  F f (1) ( )d    i* ( )  f (1) k ( )d ai ak  (2.2.34) i ,k SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa Cuối ta lại thu (2.2.22):  (1) f (1) a a F  ik i k i ,k Một cách tương tự, thay cho (2.2.24) ta có  (2)    ( )  ( ' ) f (2) ( ' ) ( )d d ' F  (2.2.35) Đặc biệt, Hamiltonian hệ, biểu diễn qua  - toán tử, viết dạng  2     H     ( ) ( )    ( )U (1) ( ) ( )  d   2m     ( )  ( ' )U ( 2) ( ,  ' ) ( ' ) ( ) d d '  (2.2.36)  Toán tử   ( ) ( ) xây dựng từ  - toán tử tương tự tích   , biểu thức xác đinh xác suất tìm thấy hạt trạng thái với hàm sóng  Toán tử   ( ) ( ) gọi toán tử mật độ hạt Còn tích phân  n    d (2.2.37) phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai giữ vai trò toán tử số hạt toàn phần hệ Thực vậy, thay vào (2.2.31) ý đến tính trực chuẩn hàm sóng, ta thu n   ai ai   ni Mỗi số hạng tổng toán tử số hạt trạng thái i Theo (2.2.8), trị riêng số lấp đầy ip, tổng tất số số hạt toàn phần hệ Nếu hệ gồm hạt bôzôn khác loại, lượng tử hoá lần hai, phải đưa vào toán tử a a cho loại Các toán tử thuộc loại hạt khác tất nhiên giao hoán với Tên gọi phương pháp lượng tử hoá lần hai gắn liền với thay hàm  toán tử  Trong lượng tử hoá lần hai, tất đại lượng học thay SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa toán tử (sự lượng tử hoá thông thường), mà thân hàm sóng thay toán tử Mặc dù lượng tử hoá lần hai biện pháp hình thức, nhiều trường hợp phương pháp tiện lợi 2.3 Sự lƣợng tử hóa lần thứ hai Thống kê Fecmi-Dirac Tất nét phép lượng tử hoá lần hai giữ nguyên cho hệ gồm fecmion đồng Những công thức cụ thể cho phần tử ma trận đại lượng toán tử ai tất nhiên phải thay đổi Hàm sóng  n ,n , có dạng:   p (1 )  p ( )  p ( n )  p (1 )  p ( )  p ( n ) n! 1 2  p (1 )  p ( )  p ( n ) n n (2.3.1) n Hàm  phản xứng Do đó, vấn đề phải chọn dấu hàm Trong trường hợp thống kê Bose, vấn đề không đặt ra, hàm sóng đối xứng Dấu hàm, sau chọn, giữ nguyên tất hoán vị hạt Để cho dấu (2.3.1) xác định, ta qui ước thiết lập sau Đánh số lần mãi tất trạng thái  i số Sau lấp đầy định thức (2.3.1) cho: P1 < p2 < p3 < < pn (2.3.2) đồng thời cột có hàm với biến khác theo thứ tự 1 , 2 , , n Chú ý rằng, có hai số pi giống nhau, định thức không Nói cách khác, số lấp đầy ni lấy giá trị hay (1)  (1)   Ta đưa vào toán tử F  f a phần tử ma trận khác a không dời chuyển không làm thay đổi tất số lấp đầy SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa dời chuyển cho số ni giảm đơn vị (từ trở thành 0), số nk khác tăng đơn vị (chuyển thành 1)  Với hệ fecmion, toán tử a k , a k không thoả mãn giao hoán tử trường hợp hệ bôzôn Lý trị riêng toán tử ak ak hay 1, hệ bôzôn, trị riêng ak ak nk số nguyên dương tuỳ ý Muốn điều kiện  a a   k k nk nk 0  nk   1 (2.3.3)  thực toán tử a k , a k phải thoả mãn qui tắc phản giao hoán: ak al  al ak   kl (2.3.4) ak al  al ak  ak al  al ak  (2.3.5) Muốn vậy, phải có: (ak ak )  ak ak (2.3 6) Thực vậy, khai triển vế trái (2.3.6) dùng (2.3.4), ta thu được: (ak ak )  ak ak ak ak  ak ak (1  ak ak )  a a  a a a a  a a k k k k k k k k ak2  , điều suy từ (2.3.5) Lấy phần tử ma trận chéo biểu thức (2.3.6), ta thu nk2  nk Đẳng thức thực nk = nk = Như vậy, trường hợp thống kê Bose, toán tử al ak hay ak với l  k giao hoán với nhau, trường hợp thống kê Fecmi chúng SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa phản giao hoán với Sự khác hoàn toàn tự nhiên Đối với thống kê Bose toán tử al ak hoàn toàn độc lập; toán tử ai tác động lên biến ni , đồng thời kết tác động không phụ thuộc vào giá trị số lấp đầy lại Nhưng thống kê Fecmi kết tác động toán tử ai phụ thuộc vào số ni , mà phụ thuộc vào số lấp đầy tất trạng thái trước Do tác động toán tử khác al , ak coi độc lập Sau tính chất toán tử ak , ak xác định vậy, tất công thức (2.2.22) – (2.2.27) hoàn toàn hiệu lực Cả công thức (2.2.34) – (2.2.36) công thức biểu diễn toán tử đại lượng vật lý qua  - toán tử xác định (2.2.31) Còn qui tắc giao hoán (2.2.32) (2.2.33) thay đẳng thức   ( ' ) ( )   ( )  ( ' )   (   ' ) (2.3.7)  ( ' ) ( )  ( ) ( ' )  (2.3.8) Nếu hệ gồm hạt khác với loại hạt phải đưa vào toán tử lượng tử hoá lần hai riêng cho loại hạt Khi toán tử thuộc bôzôn fecmion giao hoán với Còn toán tử thuộc fecmion khác nhau, giới hạn lý thuyết phi tương đối tính, coi chúng giao hoán phản giao hoán Trong hai trường hợp việc ứng dụng phương pháp lượng tử hoá lần hai đưa tới kết Tuy nhiên, để ứng dụng lý thuyết tương đối tính, có chuyển hoá lẫn hạt khác nhau, phải coi toán tử sinh huỷ hạt fecmion khác phản giao hoán SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa KẾT KUẬN Sau thời gian tích cực tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn Th.s Nguyễn Huy Thảo thầy cô tổ Vật lý lý thuyết, đến hoàn thành khoá luận thực nhiệm vụ đặt là: Xây dựng khái niệm hệ hạt đồng nhất, hạt Bose, hạt Fecmion Xây dựng thống kê Bose – Einstein vận dụng cho Bose thống kê Fecmi – Dirac vận dụng cho Fecmion số vấn đề khác liên quan đến hệ hạt đồng học lượng tử Đề tài phát triển mở rộng tiếp tục giải tập liên quan đến hệ hạt đồng học lượng tử Nhìn chung kiến thức khoá luận tương đối điển hình tổng quát Vì có ích cho thân mà có ích cho bạn sinh viên khác tài liệu tham khảo Tuy nhiên, hạn chế kinh nghiệm phương pháp nghiên cứu cộng với thời gian ngắn nội dung nêu đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý, dẫn thầy cô bạn để đề tài nghiên cứu trọn vẹn SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Trần Thái Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 1998 [2] Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nhà xuất ĐHSP, 2005 [3] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học Kỹ Thuật,1996 [4] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh , Cơ học lượng tử tập 2, NXB ĐHSP Hà Nội, 1995 [5] http:// vi.wikipedia.org/wiki/hehatdongnhat SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý 40 [...]... được các hạt đồng nhất (tức là ở ngoài khuôn khổ của cơ học lượng tử) Từ đó, ta có thể đánh số các hạt bằng các chữ a, b, c và có thể phân phối hai hạt của hệ theo các trạng thái, tức là theo ô, như sau: Trạng thái từng hạt, Trạng thái từng hạt, Ô thứ nhất Ô thứ hai 1 (a,b) (0) 2 (0) (a,b) 3 (a) (b) 4 (b) (a) Trạng thái toàn hệ Như thế, nếu không xét đến nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất, ... số này là số hạt toàn phần trong hệ Nếu hệ gồm các hạt bôzôn khác loại, thì trong sự lượng tử hoá lần hai, phải đưa vào các toán tử a và a cho từng loại Các toán tử thuộc về các loại hạt khác nhau tất nhiên giao hoán với nhau Tên gọi của phương pháp lượng tử hoá lần hai gắn liền với sự thay thế hàm  bằng toán tử  Trong sự lượng tử hoá lần hai, không những tất cả các đại lượng cơ học được thay... 2 và tập hợp ở  1' ,  2' , của các electron .,  n' trong trong trường các trạng CHƢƠNG 2: CáC THốNG KÊ LƢợNG thái Tử  1' , 3, 2.1 Đặt vấn đề .,  n Nêu vài nét cơ bản về các tính chất thống kê của một hệ hạt đồng nhất theo quan điểm của cơ học lượng tử Sẽ thấy rằng các tính chất thống kê này phụ thuộc vào tính chất của từng hạt của hệ hay cụ thể hơn phụ thuộc vào các nguyên lý đã chứng minh ở... biểu diễn các số lấp đầy, cần phải biểu diễn các toán tử của mọi đại lượng vật lý bất kỳ qua các toán tử sinh và huỷ  (1) là toán tử của một đại lượng vật lý nào đó thuộc một hạt thứ Giả sử Q a a, nghĩa là nó chỉ tác động lên hàm biến  a Ta đưa vào toán tử đối xứng với tất cả các hạt F(1)   fa(1) (2.2.18) a (lấy tổng theo tất cả các hạt) và xác định các phần tử ma trận của nó đối với các hàm (2.2.1)... Như vậy các tính chất đối xứng của hàm  của hệ hạt đã cho bảo toàn theo thời gian (là một tích phân chuyển động) Tính đối xứng của hàm  phụ thuộc vào bản chất của loại hạt Cơ học lượng tử tương đối tính chứng tỏ rằng các hạt có spin nguyên hay bằng không được mô tả bằng các hàm đối xứng; còn các hạt có spin bán nguyên được mô tả bằng các hàm phản đối xứng Các hạt có spin nguyên được gọi là các bôzôn... a H  ik i k (2.2.28) i ,k  (1) của một hàm riêng lẻ làm Nếu chọn các hàm riêng của Hamiltonian H các hàm  , thì ma trận H ik(1) là ma trận chéo và các phần tử chéo của nó là các trị riêng của năng lượng hạt  i Như vậy    a a H  i i i (2.2.29) i Thay các toán tử ai ai bằng các trị riêng ni của nó, ta thu được biểu thức sau cho các mức năng lượng của hệ E    i ni (2.2.30) i Công cụ... bằng cách đưa vào các  - toán tử  ( )   ( )   i ( )ai ;   ( )   ( )   i* ( ) ai i (2.2.31) i trong đó các biến  được coi như các thông số Từ những tính chất của các toán tử ai , ai , ta thấy rõ ràng các toán tử  làm giảm, còn   làm tăng tổng số hạt trong hệ một đơn vị Các qui tắc giao hoán của các  - toán tử thu được trực tiếp từ các qui tắc giao hoán của các toán tử. .. gồm một số lớn các hạt đồng nhất, là phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai Phương pháp này đặc biệt cần thiết trong lý thuyết lượng tử tương đối tính, ở đây cần phải xét các hệ có số hạt thay đổi Trong phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai, người ta chuyển từ phép biểu diễn toạ độ cho các hàm sang các biến mới Để làm các biến mới này, người ta chọn số hạt n có trong một trạng thái lượng tử đang xét Như... dẫn tới các qui luật thống kê khác nhau đối với các hệ hạt đồng nhất Các thống kê này gọi là thống kê lƣợng tử Có hai loại thống kê lượng tử: thống kê Bose Einstein, vận dụng cho các bôzôn; và thống kê Fecmi Dirac, vận dụng cho các fecmion 2.2 Sự lƣợng tử hóa lần thứ hai Thống kê Bose-Einstein Một trong những phương pháp tính toán quan trọng, thường được dùng trong cơ học lượng tử cho các hệ gồm một... tỏ rằng hệ hạt không tồn tại trong điều kiện trên Ta có thể phát biểu: Đối với hệ các fecmion, nhiều hạt của hệ không thể ở cùng một trạng thái  i nhƣ nhau Đó là nội dung của một nguyên lý cơ bản trong cơ học lượng tử, gọi là nguyên lý loại trừ Pauli, hay vắn tắt hơn, nguyên lý Pauli Nguyên lý này đóng vai trò chủ yếu trong vi c nghiên cứu những hệ nhiều hạt fecmion đồng nhất, chẳng hạn là hệ êlectrôn ... dạy học để thiết kế giảng phần hệ hạt đồng III Đối tƣợng nghiên cứu Cơ sở vật lý toán học hệ hạt đồng IV Phƣơng pháp nghiên cứu Các phương pháp vật lý vật lý lý thuyết V ý nghĩa khoa học vi c... k Như vậy, hệ hạt không tương tác, hàm sóng hệ hạt tích hàm sóng hạt, lượng toàn phần hệ hạt tổng lượng hạt riêng biệt 1.2 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng Trong Cơ học cổ điển dù hạt có giống... xung lượng, mô men xung lượng, lượng, hình chiếu spin, có đại lượng vật lý gắn liền với chất hạt vi mô khối lượng, điện tích, spin gọi hạt đồng Đối với sinh vi n vật lý phần hệ hạt đồng phần