Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Hoàng Phúc Huấn người hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thiện đề tài, người dành cho em giúp đỡ ưu thời gian học tập, nghiên cứu q trình hồn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Vật lí lý thuyết tạo điều kiện đóng góp ý kiến để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Tuy nhiên thời gian khn khổ khơng cho phép, đề tài hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp tiếp tục xây dựng đề tài bạn đọc quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan nội dung nghiên cứu trình bày khóa luận “Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử” riêng em hướng dẫn tận tình Th.S Hoàng Phúc Huấn Nội dung nghiên cứu chưa cơng bố khóa luận khác Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nội dung nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Các tiên đề học lượng tử 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển 1.1.1 Bức xạ vật đen 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử 1.1.3 Hiệu ứng quang điện 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng 1.2.2 Thuyết lượng tử Anhxtanh (Thuyết photon) 1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr) 1.3 Hệ tiên đề học lượng tử 1.3.1 Tiên đề 1.3.2 Tiên đề 1.3.3 Tiên đề Bài tập vận dụng Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử 2.1 Các toán tử tọa độ 17 2.2 Các toán tử xung lượng 18 2.3 Các toán tử moment xung lượng 19 2.4 Toán tử lượng 20 2.5 Toán tử spin electron 21 Bài tập vận dụng .24 Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử 27 3.1 Tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa 27 3.1.1 Phương trình Schodinger 28 3.1.2 Hàm sóng 28 3.1.3 Năng lượng 32 3.2 Chuyển toán tử: tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt 33 3.2.1 iểu diễn số hạt toán tử tọa độ xung lượng .33 3.2.2 Biểu diễn số hạt toán tử lượng 34 3.2.3 Các vectơ riêng trị riêng toán tử Hamintonian .35 Bài tập vận dụng .41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào cuối kỷ 19 nhà Vật lí phát nhiều tượng hiệu ứng mà Vật lí học cổ điển khơng thể giải thích là: hiệu ứng quang điện, quy luật xạ vật đen,… Và để giải thích tượng này, nhà Vật lí lỗi lạc kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein Niels Bohr đề xuất giả thuyết lượng tử khác mà tất thừa nhận tính chất gián đoạn lượng số loại hệ vi mô Và vậy, hạt vật chất vi mơ vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, mà đại lượng động lực khơng xác định đồng thời Trong học cổ điển, để đặc trưng cho chuyển động hạt, ta dùng đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng, moment động lượng hạt… Các đại lượng gọi chung biến số động lực (như tọa độ xung lượng…) có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu việc mơ tả chuyển động tìm phụ thuộc chúng vào thời gian Trong học lượng tử vấn đề lại khác, hạt khơng hình dung chất điểm chuyển động theo quỹ đạo, mà bó sóng định xứ miền không gian thời điểm bó sóng thay đổi theo thời gian Tại thời điểm ta nói xác suất để tìm thấy hạt phần tử thể tích khơng gian Hay nói cách khác xác suất để tọa độ hạt có giá trị nằm khoảng Nói chung biến số động lực vậy, ta nói xác suất để biến số động lực có giá trị nằm khoảng khơng thể nói giá trị xác định biến số động lực thời điểm học cổ điển Và để giải toán cho chuyển động hạt vi mơ ta phải giải phương trình Schodinger tức ta tìm phương trình hàm riêng, trị riêng cho toán tử lượng Việc làm dẫn đến tích phân phức tạp việc giải tốn khó khăn Để đơn giản việc giải phương trình hàm riêng, trị riêng ta chuyển việc giải phương trình tích phân thành việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu cách biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử - Tìm hiểu sở toán học lượng tử Giả thuyết khoa học - Tìm cách giải phương trình Schodinger phương pháp đơn giản phương pháp đại số Đối tượng nghiên cứu - Thế giới hạt vi mô - Nghiên cứu đại lượng động lực học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Biểu diễn toán tử lượng, toán tử xung lượng toán tử tọa độ hạt vi mơ qua tốn tử sinh hủy - Giải phương trình vi phân học lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Dùng phương pháp tốn cho Vật lí Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có chương: Chương 1: Các tiên đề học lượng tử Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ điển Vật lí học không kể đến thuyết tương đối thuyết lượng tử Theo quan niệm cổ điển loại xạ (tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rơnghen, tia Gamma) sóng điện từ lan truyền khơng gian Năng lượng sóng tỷ lệ với bình phương biên độ biến đổi liên tục Như vật phát (dưới dạng xạ) hay hấp thụ (của xạ chiếu tới) lượng tùy ý, tức lượng có giá trị liên tục Sau ta xét số tượng khơng thể giải thích lý thuyết cổ điển như: tính bền vững nguyên tử, quy luật xạ vật đen,… Từ dẫn đến việc phải xây dựng khái niệm lượng tử giải thích chúng, bước đầu việc hình thành học lượng tử 1.1.1 Bức xạ vật đen Thực nghiệm chứng tỏ vật đen nhiệt độ T phát xạ điện từ có phổ liên tục, lượng xạ phát phụ thuộc vào nhiệt độ vật Vật phát xạ đồng thời hấp thụ lượng xạ chiếu tới Khi lượng mà vật hấp thụ lượng vật xạ thời gian nhiệt độ vật giữ khơng đổi Nếu thực cân lượng hệ thống vật xạ xạ gọi xạ cân Xét xạ cân có tần số góc từ m đến m + dm Năng lượng xạ chứa đơn vị thể tích khơng gian tỷ lệ với dm có biểu thức là: q(m, T)dm Hệ số tỷ lệ q(m, T): gọi mật độ lượng phổ, hàm số đặc trưng cho xạ cân Từ giáo trình vật lý thống kê dẫn tới công thức cho mật độ lượng xạ gọi công thức Rêlây:   , T    (1.1) kT  2c Với c vận tốc ánh sáng chân không, k số Bônzơman, T nhiệt độ xạ cân Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm phạm vi tần số góc m nhỏ nhiệt độ T tương đối lớn Nhưng tần số lớn cơng thức cho kết phi lý Ta thấy điều tính lượng tồn phần q xạ (tức lượng xạ toàn phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số cao) chứa đơn vị thể tích khơng gian:       ,T  d  kT    (1.2) c Năng lượng q vơ cực Đó điều khơng thể thừa nhận Sự thất bại việc vận dụng công thức Rêlây (1.1) vào miền tần số lớn gọi “tai biến miền tử ngoại” 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử Nếu áp dụng định luật vật lí cổ điển cho electron chuyển động xung quanh nguyên tử dẫn đến kết sau đây: Nguyên tử ln ln xạ, tần số xạ có giá trị liên tục, nói cách khác phổ xạ nguyên tử liên tục Vì nguyên tử phát xạ nên lượng nguyên tử giảm liên tục, bán kính quỹ đạo electron giảm Sau thời gian ngắn vào khoảng 10– 10 giây, electron rơi vào hạt nhân nguyên tử bị biến đổi Các kết mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường nguyên tử khơng phát xạ, bị kích thích nguyên tử phát xạ mà tần số có giá trị xác định (phổ gián đoạn), nguyên tử bền vững khơng có tượng electron rơi vào hạt nhân 1.1.3 Hiệu ứng quang điện Nếu ta chiếu ánh sáng thích hợp vào bề mặt kim loại làm bật electron mặt kim loại ngoài, tượng phát lần vào năm 1887 Các kết thực nghiệm thu là: Có hiệu ứng ngưỡng: dòng quang điện xuất tần số v ánh sáng không nhỏ giá trị ngưỡng v0 giá trị v0 phụ thuộc vào chất bị chiếu sáng Vận tốc điện tử độ lớn hãm không phụ thuộc vào cường độ mà phụ thuộc vào tần số ánh sáng chất bị chiếu sáng Với ν> v0 cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ thuận với cường độ ánh sáng gây hiệu ứng quang điện Khơng thể giải thích phát quan niệm cho ánh sáng túy sóng, lượng sóng thay đổi liên tục, chiếu sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số ánh sáng bao nhiêu, điện tử nhận lượng lượng lớn cơng tối thiểu (còn gọi cơng thốt) kim loại để chuyển động nhanh cường độ chiếu sáng lớn, điều hoàn toàn trái ngược với kết thực nghiệm 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng Để giải điều phi lý tượng xạ vật đen nói trên, năm 1900 Plăng đưa giả thuyết sau: dao động tử điều hòa có tần số (góc) riêng m có lượng gián đoạn, giá trị aˆ − aˆ + = − iJ 2m ℏ ⇒ aˆ = (J g− ̂ iJ + aˆ = 2m ℏm 2m (g− ̂ imqˆ ), (3.56) (g+ ̂ imqˆ ) (3.57) √2ℏm qˆ) = √2ℏm ℏ ℏm (3.55) qˆ) = ℏ (J g+ ̂ iJ qˆ, Vì: [g,̂ qˆ ] = ĝqˆ − qˆg= ̂ − iℏ (3.58) Ta có: ĝqˆ = iℏJ aˆ + )J = iℏ qˆg= ̂ iJ ℏm (aˆ + (aˆ − aˆ + ) 2m [aˆ − aˆaˆ + + aˆ + aˆ − (aˆ +)2 ], ℏ 2m ℏm (aˆ − aˆ + )J aˆ + ) (3.59) (aˆ + = Nên: hay: iℏ [aˆ + aˆaˆ + − aˆ + aˆ − (aˆ + )2 ] [g,̂ qˆ] = ĝqˆ − qˆg= ̂ − iℏ(aˆaˆ + − aˆ + aˆ) = − iℏ ⇒ aˆaˆ + − aˆ + aˆ = 1, [aˆ, aˆ + ] = (3.60) (3.61) (3.62) (3.63) Và Hamintonian (3.53) trở thành: Hˆ = (aˆ + aˆ + ) ℏm (3.64) Cơng thức (3.64) biểu diễn số hạt toán tử lượng 3.2.3Các vectơ riêng trị riêng toán tử Hamintonian Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy tốn tìm vectơ riêng trị riêng Hamintonian (3.64), tốn tử aˆ aˆ + thỏa mãn hệ thức giao hốn (3.63) Để làm điều ta định nghĩa toán tử sau: Nˆ = aˆ + aˆ (3.65) Và có hệ thức giao hốn tốn tử với toán tử aˆ aˆ +: [Nˆ, aˆ] = Nˆaˆ − aˆNˆ = aˆ + aˆaˆ − aˆaˆ + aˆ = − (aˆaˆ + − aˆ + aˆ )aˆ = − aˆ , hay: Nˆaˆ = aˆ(Nˆ − 1) (3.66) (3.67) Ta lại có: [Nˆ, aˆ + ] = Nˆaˆ + − aˆ + Nˆ = aˆ + aˆaˆ + − aˆ + aˆ + aˆ = aˆ + (aˆaˆ + − aˆ + aˆ ) = aˆ + , hay: Nˆaˆ + = aˆ + (Nˆ + 1) (3.68) (3.69) Ký hiệu |n〉 vectơ riêng chuẩn toán tử Nˆ ứng với trị riêng n Nˆ|n〉 = n|n〉 (3.70) Từ phương trình (3.70) ta suy ra: n= 〈n|Nˆ|n〉 〈n|n〉 ⟨n|aˆ +aˆ|n⟩ = ≥ (3.71) 0, (3.72) (3.73) ⟨n|n⟩ ⟨n|n⟩ = Vì: ⟨n|aˆ +aˆ|n⟩ = và: ∫ |ƒn (r)|2 |aˆƒ (r)| ∫dr≥ n Vậy : Các trị riêng toán tửdr≥ Nˆ số không âm Bây ta xét vectơ trạng thái thu cách tác dụng toán tử aˆ lên |n〉 Đó vectơ trạng thái aˆ |n〉 Tác dụng lên vectơ trạng thái toán tử Nˆ sử dụng cơng thức (3.67), ta có: Nˆaˆ |n〉 = aˆ(Nˆ − 1)|n〉 = aˆ (n − 1)|n〉 = (n − 1)aˆ |n〉 (3.74) Hệ thức vừa thu có nghĩa aˆ |n〉 vectơ riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n − Tương tự vậy, dễ dàng chứng minh aˆ |n〉, aˆ |n〉,…cũng véctơ riêng Nˆ ứng với trị riêng n − 2, n − 3,… Nˆaˆ p |n〉 = Nˆaˆaˆ p–1 |n〉 = (aˆNˆ − aˆ)aˆ p–1 |n〉 = aˆNˆaˆ p–1 |n〉 − aˆ p |n〉 = aˆ(aˆNˆ − aˆ)aˆ p–2 |n〉 − aˆ p |n〉 = aˆ Nˆaˆ p–2 |n〉 − 2aˆ p |n〉 = aˆ (aˆNˆ − aˆ)aˆ p–3 |n〉 − 2aˆ p |n〉 = aˆ Nˆaˆ p–3 |n〉 − 3aˆ p |n〉 ⋯⋯⋯ = aˆ p Nˆ|n〉 − gaˆ p |n〉 = naˆ p |n〉 − gaˆ p |n〉 = (n − g)aˆ p |n〉 ⇒ aˆ p |n〉 vectơ riêng Nˆ ứng với trị riêng n − g Tiếp theo ta xét vectơ trạng thái thu cách tác dụng tốn tử aˆ + lên |n〉.Đó vectơ trạng thái aˆ + |n〉 Tác dụng lên vectơ trạng thái tốn tử Nˆ sử dụng cơng thức (3.69), ta có: Nˆaˆ + |n〉 = aˆ + (Nˆ + 1)|n〉 = aˆ + (n + 1)|n〉 = (n + 1)aˆ + |n〉 (3.75) = aˆ + (n + 1)|n〉 = (n + 1)aˆ + |n〉 (3.76) Hệ thức có nghĩa aˆ + |n〉 vectơ riêng Nˆ ứng với trị riêng n + Nˆaˆ +p |n〉 = Nˆaˆ + (aˆ + )p–1 |n〉 = (aˆ + Nˆ + aˆ + )aˆ p–1 |n〉 = aˆ + Nˆ(aˆ + )p–1 |n〉 + (aˆ + )p |n〉 = aˆ + (aˆ + Nˆ + aˆ + )(aˆ + )p–2 |n〉 + (aˆ + )p | n〉 = (aˆ + )2 Nˆ(aˆ + )p–2 |n〉 + 2(aˆ + )p |n〉 = (aˆ + )2 (aˆ + Nˆ + aˆ + )(aˆ + )p–3 |n〉 + 2(aˆ + )p |n〉 = (aˆ + )3 Nˆ(aˆ + )p–3 |n〉 + 3(aˆ + )p |n〉 ⋯⋯⋯ = (aˆ + )p Nˆ|n〉 + g(aˆ + )p |n〉 = n(aˆ + )p |n〉 + g(aˆ + )p |n〉 = (n + g)(aˆ + )p |n〉 ⇒ (aˆ + )p |n〉 vectơ riêng Nˆ ứng với trị riêng n + g Tương tự vậy, dễ dàng chứng minh aˆ +2 |n〉, aˆ +3 | n〉,… vectơ riêng Nˆ ứng với trị riêng n + 2, n + 3,… Nếu |n〉 vectơ riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n với p = 1, 2, 3,…, aˆ p |n〉 vectơ riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n − g aˆ +p |n〉 vectơ riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n + g chúng khác không Kết hợp hai kết luận ta thấy n trị riêng Nˆ chuỗi số khơng âm n − 1, n − 2, n − 3, … trị riêng Nˆ Vì chuỗi giảm dần nên phải tồn số không âm nhỏ nmin Xét véctơ trạng thái |nmin 〉 ứng với trị riêng nhỏ nmin Rõ ràng là: aˆ |nmin 〉 = (3.77) Vì nếu: aˆ |nmin 〉 ≠ vectơ trạng thái ứng với trị riêng nmin − < nmin , trái với giả thiết nmin trị riêng nhỏ Từ đẳng thức (3.77) ta suy ra: aˆ + aˆ|nmin 〉 = Nˆ|nmin 〉 = (3.78) Mặt khác theo định nghĩa nmin, Nˆ|nmin 〉 = nmin |nmin 〉 (3.79) So sánh hai phương trình ta đến kết luận sau: Trị riêng nhỏ toán tử Nˆ nmin = Vectơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ Nˆ ký hiệu | 0〉 Vectơ trạng thái thỏa mãn điều kiện: aˆ |0〉 = Khi (3.80) aˆ + |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |1〉 Nˆ ứng với trị riêng n = 1, aˆ +2 |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |2〉 Nˆ ứng với trị riêng n = 2, … aˆ +n |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |n〉 Nˆ ứng với trị riêng n = n Vì : ˆ Hˆ =) ℏm = (N +1 ℏm, ( ) a ˆ + a ˆ + (3.81) ℏm , |0〉 nên vectơ riêng Hˆ ứng với trị riêng: E0 = ) |1〉 ℏm, vectơ … riêng Hˆ ứng với trị riêng: E1 = (1 + |n〉 ) vectơ ℏm riêng Hˆ ứng với trị riêng: En = (n + Vậy trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lượng gián đoạn với giá trị cách nhau: hiệu số lượng hai trạng thái kề luôn lượng tử lượng ℏm Trạng thái |0〉 có lượng thấp E0 Trạng thái | 1〉 với lượng E0 + ℏm xem kết việc thêm lượng tử lượng ℏm vào Nếu ta chứa n hạt Đó biểu tưởng diễn số hạt dao động trạng thái |0〉 Trạng thái |2〉 với lượng : tưởng tử điều hòa Trong học lượng tử trạng thái lượng dừng dao động E1 + ℏm = E0 + 2ℏm, xem kết tử việc thêm lượng tử năng lượng ℏm vào trạng lượng thái |1〉, có nghĩa là thêm lượng tử lượng tử điều hòa hạt ℏm vào trạng thái Nˆ |0〉,… Nếu ta lấy gốc tính tốn lượng E0 tử coi |0〉 trạng thái không chứa lượng tử , |1〉 trạng thái chứa lượng tử, |2〉 trạng thái chứa lượng tử,…, |n〉 trạng thái chứa n lượng tử Tốn tử Nˆ có trị riêng ngun số hạt, aˆ toán tử hủy hạt, aˆ + tốn tử sinh khơng âm cách hạt đơn vị đốn nhận Khi tốn tử số lượng tử trạng lượng Toán tử aˆ tác thái | dụng lên |n〉 cho trạng thái tỷ lệ với |n − 1〉 đoán nhận toán tử hủy lượng tử n〉 với lượng: En = nℏ m, lượng Toán tử aˆ + tác dụng lên |n〉 cho trạng thái tỷ lệ với |n + 1〉 đốn nhận tốn tử sinh lượng tử lượng trạng thái coi tập hợp nhiều hạt, hạt có lượng ℏm Khái niệm “hạt” đưa vào tiện Thực chất “giả hạt”, khái niệm quan trọng hữu hiệu nghiên cứu trạng thái kích thích Vật lí mơi trường đơng đặc Cuối ta tính hệ s t l n, ỵn, yn cỏc h thc: aˆ |n〉 = αn |n − 1〉, aˆ +|n〉 = þn |n + 1〉, |n〉 = yn (aˆ +)n |0〉 (3.82) Để cho véc tơ trạng thái trực giao chuẩn hóa: ⟨m|n⟩ = ðmn (3.83) Từ biểu thức (3.71), (3.82) sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa (3.83) vừa viết ta có: n = ⟨n|aˆ + aˆ |n⟩ = |αn |2 ⟨n − 1|n − 1⟩ = |αn |2 , (3.84) n = ⟨n|aˆ + aˆ|n⟩ = ⟨n|aˆaˆ + − 1|n⟩ = |ỵn |2 n + 1|n + n|n = |ỵn |2 (3.85) Coi n, ỵn l số thực ta rút ra: αn = √n , þn = √n + (3.86) Ta có : (aˆ + )n |0〉 = (aˆ + )n–1 aˆ + |0 = ỵ0 (a + )n1 |1 = ỵ0 (a + )n2 a + |1 = ỵ0 ỵ1 (a + )n2 |2 = ỵ0 ỵ1 (a +)n3 a + |2 = ỵ0 ỵ1 ỵ2 (a + )n3 | = = ỵ0 ỵ1 ỵn1 |n = n! |n, đó: = ⟨n|n⟩ = |yn |2 ⟨0|aˆ n (aˆ + )n |0⟩ = |yn |2 n!, (3.87) hay, coi yn thực ta rút ra: yn = √n! (3.88) Tóm lại ta thiết lập công thức quan trọng sau đây: Nˆ | n 〉 = n | n 〉 (3.89) aˆ |0〉 = (3.90) aˆ |n〉 = √n|n − 1〉(n > 0) (3.91) aˆ + |n〉 = √n + 1|n + 1〉 0) (3.92) (n ≥ |n〉 = √n! (aˆ + )n |0〉 (3.93) Bài tập vận dụng Dùng hệ thức giao hốn x gs Tìm giá trị riêng toán tử Hamintonian dao động tử điều hòa chiều xác định phần tử ma trận tọa độ xˆ xung lượng ĝs biểu diễn lượng Lời giải Toán tử Hamintonian dao động tử điều hòa chiều có dạng: Hˆ = pˆ 2m d ds + mm x , g= ̂ − iℏ (3.94) Giá trị trung bình lượng dao động tử điều hòa trạng thái ƒ(x) là: E = ∫ ƒ∗(x) Hˆƒ(x )dx = ∫ ƒ∗ĝ2 ƒdx + ∫ ƒ∗x ƒdx.(3.95) mm2 2m Vì tốn tử ĝvà xˆ Hecmite nên ta có: ∗ ̂ (x )) ĝƒ(x )dx ∫ ƒ∗(x )ĝ2 ƒ(x )dx = ∫ (gƒ = ∫ |gƒ ̂ (x )|2 dx ≥ (3.96) ∗ ∫ ƒ∗(x ) x ƒ(x )dx = ∫ (xƒ(x )) xƒ(x )dx = ∫ |xƒ(x )|∗dx ≥ (3.97) Vậy E ≥ 0.Nếu ƒn (x) hàm riêng Hˆ ta có: E = ∫ ƒn Hˆ ƒn dx = ∫ ƒn En ƒn dx = En ≥ ∗ (3.98) ∗ ˆ ˆ Ký hiệu Fnm = ∫ ƒ∗ n (x )F ƒm (x )dx ≡ ⟨n|F |m⟩.Khi F = I toán tử đơn vị ⟨n|I |m⟩ = ⟨n|m⟩ = ðn,m Đặt: aˆ = √2ℏm pˆ {√m − im√mxˆ}, (3.99) aˆ + = √2ℏm {√m + im√mxˆ}, (3.100) pˆ Dễ dàng thấy rằng: xˆ = i J ℏ 2mm (aˆ − aˆ + ), (3.101) mℏm (aˆ g= ̂ J + + aˆ ) (3.102) Xác định phần tử ma trận aˆ aˆ + ta xác định phần tử ma trận xˆ ĝ Từ hệ thức giao hoán xˆg− ̂ ĝxˆ = iℏ ta suy ra: aˆaˆ + − aˆ + aˆ = Toán tử Hˆ biểu diễn qua aˆ aˆ + sau: Hˆ = pˆ xˆ = + ℏm (aˆaˆ + + aˆ + aˆ) m m 2m 2 = ℏm (aˆ + aˆ + ) (3.103) Năng lượng En dao động tử điều hòa là: ℏm E n = ( n | H ˆ | n ) = + ℏm⟨n|aˆ + aˆ|n⟩|⟨n|aˆ| n⟩|2 ≥ (3.104) ℏ En = m ≥ |m⟩⟨m| (3.1 +| ⟩| aˆ n 05) ℏ⟨m|aˆ| m n⟩| ) ⟨ n | a ˆ + m Đ ặ ℏm + ℏm(n|Nˆ| t m) ≥ 0, N (3.106) ˆ = a ˆ + a ˆ t a đ ợ c : a + ˆ a = a a a ( N ˆ a ˆ − a ˆ N ˆ = a ˆ + En = hay: (n|Nˆ| n) ≥ (3.107 ) Dùng hệ thức giao hoán: aˆaˆ + − aˆ + aˆ = 1, (3.108) ta có: Nˆaˆ + − aˆ + Nˆ = aˆ + aˆaˆ + − a ˆ a ˆ − a ˆ a ˆ + a ˆ = − a = ( Toán tử Hˆ Nˆ giao hốn với nên có chung hàm riêng ƒn Gọi ƒn hàm riêng Nˆ tương ứng với trị riêng n, ta có: Nˆƒn = nƒn hay (n|Nˆ|n) = n ≥ Dễ dàng thấy rằng: (Nˆaˆ + − aˆ + Nˆ)ƒn = aˆ + ƒn (3.111) Nˆaˆ + ƒn − aˆ + Nˆƒn = Nˆaˆ + ƒn − naˆ + ƒn = aˆ + ƒn , (3.112) hay: Tương tự: Nˆ(aˆ + ƒn ) = (n + 1)(aˆ + ƒn ) (Nˆaˆ − aˆNˆ)ƒn = − aˆƒn (3.113) (3.115) Nˆaˆƒn − aˆNˆƒn = Nˆaˆƒn − aˆnƒn = aˆƒn , (3.116) hay Nˆ(aˆƒn ) = (n − 1)(aˆƒn ) (3.117) Vậy ƒn hàm riêng Nˆ ứng với trị riêng n (aˆ + ƒn ) (aˆƒn ) hàm riêng Nˆ tương ứng với trị riêng (n + 1) (n − 1) Các trị riêng liên tiếp n khác đơn vị Gọi ƒ0 hàm riêng Nˆ tương ứng với trị riêng bé n0 Ta có: Nˆ(aˆƒ0 ) = (n0 − 1)(aˆƒ0 ) (3.118) Vì n0 trị riêng bé Nˆ n0 − khơng thể trị riêng bé Nˆ Đẳng thức (3.118) xảy aˆƒ0 = Vì aˆƒ0 = nên: aˆ + (aˆƒ0 ) = Nˆƒ0 = n0 ƒ0 = (3.119) Từ suy n0 = 0.Các trị riêng Nˆ có là: n = 0, 1, 2, … Năng lượng En dao động tử điều hòa chiều bằng: En = ℏm + nℏ m , n = 0, 1, 2, … (3.120) Hàm ƒ0 (x ) xác định từ phương trình aˆƒ0 = Biết ƒ0 (x ) ta xác định ƒn = (aˆ +)n ƒ0 Ta xác định phần tử ma trận aˆ aˆ + Ta biết: n = (n|Nˆ|n) = ⟨n|aˆ + aˆ |n⟩ = )⟨n|aˆ +|m⟩⟨m|aˆ |n⟩ (3.121) m Chú ý aˆ + ƒm ƒm+1 hàm riêng Nˆ tương ứng với trị riêng m + nên hai hàm riêng khác thừa số nhân α đó: aˆ + ƒm = αƒm+1 Khi ta có: ⟨n|aˆ + |m⟩ = α⟨n|aˆ + |m + 1⟩ = αðn,m+1 Phần tử ma trận khác m = n Tng t an = ỵn1 , m|a|n = ỵm,n1 Vy ta cú: n = n|a + |n − 1⟩⟨n − 1|aˆ |n⟩ = |⟨n|aˆ +|n − 1⟩|2 , (3.122) ⟨n|aˆ + |n − 1⟩ = √ne iy , ⟨n − 1|aˆ|n⟩ = √ne iy (3.123) hay: Trong y số thực Chú ý ⟨n|aˆ |n − 1⟩ = ta tìm được: ⟨n|xˆ|n − 1⟩ = i J ℏ 2m = − iJ {⟨n|aˆ |n − 1⟩ − ⟨n|aˆ +|n − 1⟩} ℏn 2mm ⟨n|ĝ|n − 1⟩ = J mℏm = J Nếu chọn y = n/ thì: eiy (3.124) {⟨n|aˆ |n − 1⟩ + ⟨n|aˆ + |n − 1⟩} mℏmn eiy (3.125) ⟨n|xˆ|n − 1⟩ = J ℏn , (3.126) 2mm ⟨n |ĝ| n − 1⟩ = m iJ ℏm n (3 12 7) KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu em hoàn thành đề tài : “Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử” Sau thực khóa luận em hồn thành vấn đề sau đây: - Thiết lập lại nội dung tiên đề học lượng tử - Trình bày đại lượng động lực học lượng tử - Biết cách biểu diễn đại lượng động lực: tọa độ, xung lượng lượng học lượng tử thơng qua biểu diễn số hạt Từ em có nhìn khái qt mơn học lượng tử giúp ích thiết thực cho việc giảng dạy mơn vật lí sau trường Trung học phổ thông Tuy nhiên thời gian điều kiện nghiên cứu hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung hình thức trình bày Chính em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đọc quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.S Davydov (1972), Đặng Quang Khang dịch, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Hồng Dũng (1999), Nhập mơn học lượng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm [5] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003),Cơ sở lý thuyết vật lí lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Hồng Phương (1998), Nhập mơn học lượng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục ... việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt... đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ... CHƯƠNG 2: CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của hạt, ta dùng đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng hạt, … Các đại lượng gọi