Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HUYỀN TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức, ngƣời tận tình hƣớng dẫn em suốt trình hoàn thành khóa luận Đồng thời, em xin bày tỏ lời cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý-Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội bạn sinh viên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận: “Toán tử lượng biểu diễn số hạt” kết nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn tận tình GS.TSKH Đào Vọng Đức Các số liệu đƣợc đƣa hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm kết nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chƣơng Dao động tử điều hòa 1.1 Phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển 1.2 Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động hạt học lƣợng tử 1.2.1 Phƣơng trình Schrodinger 1.2.2 Hàm sóng 1.2.3 Năng lƣợng KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Phổ lƣợng dao động tử điều hòa 2.1 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển 2.2 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Toán tử lƣợng biểu diễn số hạt 3.1 Các toán tử tọa độ xung lƣợng tắc 3.2 Các vector riêng trị riêng toán tử Hamilton 3.3 Biểu diễn số hạt toán tử lƣợng 3.4 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa KẾT LUẬN CHƢƠNG KẾT LUẬN TÀI LIÊU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên nghiên cứu qui luật từ đơn giản đến tổng quát tƣợng tự nhiên Vật lý học nghiên cứu tính chất, cấu trúc vật chất định luật vận động vật chất Cơ học phận vật lý học Nó nghiên cứu dịch chuyển vật, biến dạng chúng tƣơng tác diễn vật dịch chuyển biến dạng Một đại lƣợng dùng để mô tả trạng thái vật, mô tả chuyển động hệ vật lƣợng Năng lƣợng ứng với hình thức chuyển động học gọi Định luật bảo toàn lƣợng định luật thiên nhiên Trong giai đoạn phát triển vật lý học, đại lƣợng lƣợng mô tả chuyển động hạt đƣợc nhìn nhận khía cạnh khác Càng sau lƣợng mô tả chuyển động hạt đƣợc nhìn nhận hoàn chỉnh với thực nghiệm Trong học cổ điển, đại lƣợng động lực lƣợng Đến học lƣợng tử, đại lƣợng động lực đƣợc thay toán tử lƣợng mô tả chuyển động hạt tƣơng ứng toán tử lƣợng Khi nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt, ta tìm đƣợc phổ lƣợng hệ dao động phƣơng pháp đại số Chính nên chọn đề tài “Toán tử lượng biểu diễn số hạt” Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt Mục đích nghiên cứu Viết đƣợc toán tử lƣợng hệ dao động qua toán tử sinh hủy dao động Nhiệm vụ nghiên cứu Đƣa đƣợc dạng toán tử lƣợng hệ dao động biểu diễn số hạt Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp toán cho vật lý, phƣơng pháp toán tử, giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng toán tử NỘI DUNG CHƢƠNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Xét hạt có khối lƣợng m chuyển động chiều theo trục Ox dƣới tác dụng lực đàn hồi F  Kx (trong K hệ số đàn hồi) 1.1 Phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển Theo học cổ điển, hạt dao động điều hòa xung quanh vị trí cân x  Áp dụng định luật II Newton ta có: F  mx d 2x   Kx  m , dt d 2x K   x  dt m Trong đó, (1.1) K K số dƣơng, ta đặt:   m m Nghiệm phƣơng trình có dạng: x  Asin t  B cos t  a sin t    Động hạt là: p2 2 2 T  mx  ma  cos t    2m 2 Thế hạt là: F   gradV   x dV , dx x 1  V ( x)    Fdx   Kxdx  Kx  ma 2 sin t    2 0 Khi đó, lƣợng toàn phần hạt đƣợc biểu diễn qua tọa độ x xung lƣợng p theo biểu thức: p2 E  T  V ( x)   V ( x) 2m 1 E  ma 2 cos t     ma 2 sin t    2 Vì sin t     cos t     K  m nên ta có: E  Ka Năng lƣợng hạt có giá trị liên tục tỷ lệ thuận với a Nhƣ vậy, hạt thực dao động điều hòa xung quanh vị trí cân nó: x  a sin t    với pha  , tần số góc   a K biên độ dao động m 2E m 1.2 Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động hạt học lƣợng tử 1.2.1 Phương trình Schrodinger Trong học lƣợng tử ta gọi hệ xét dao động tử điều hòa Khi chuyển từ học cổ điển sang học lƣợng tử, hệ thức liên hệ toán tử giống nhƣ hệ thức liên hệ đại lƣợng vật lý tƣơng ứng học cổ điển toán tử lƣợng toàn phần (hay toán tử Hamilton) tuân theo biểu thức tƣơng tự đƣợc thay toán tử tƣơng ứng: Toán tử Hamilton : pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H  T  V ( x)   V ( x) 2m Trong đó, toán tử hạt có dạng: 1 Vˆ  x   V  xˆ   Kxˆ  Kx 2 Toán tử động hạt có dạng: pˆ  d  2 d Tˆ    i      2m 2m  dx  2m dx Khi đó, toán tử Hamilton hạt có dạng: 2 d 2 Hˆ  Tˆ  Vˆ  x     Kx 2m dx 2 Trạng thái lƣợng tử hạt với lƣợng E không phụ thuộc t đƣợc diễn tả hàm sóng   x  thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger: Hˆ   x   E  x   2 d 2     Kx   x   E  x  2 m dx   d 2  x  2m      E  Kx   x   dx    (1.2) 1.2.2 Hàm sóng Để tìm hàm sóng dao động tử điều hòa ta giải phƣơng trình Schrodinger (1.2) K nên K  m m Từ vật lý cổ điển ta có   Phƣơng trình (1.2) trở thành: d 2  x  2m     E  m x   x   dx    (1.3) 2E m ,   (1.4) 14  mK  Đặt         m 2E  K  Và dùng biến không thứ nguyên:    x  x m  Ta có:   x       , (1.5)    x        x  m      ,   m  m    x                   x Từ (1.4), (1.5) suy E    , x   m Thay vào phƣơng trình (1.3) ta đƣợc: m 2m                       2  Nhân hai vế với  đặt         ta thu đƣợc phƣơng trình: m             (1.6) Hàm sóng    phải hữu hạn   hữu hạn lân cận điểm  Bây ta tìm dáng điệu hàm    lân cận điểm  Khi  đủ lớn bỏ qua số hạng    vế trái phƣơng trình (1.6), ta đƣợc:       2    (1.7)   Nghiệm phƣơng trình (1.7)     exp   2 Những nghiệm chấp nhận đƣợc mặt vật lí hàm sóng    phải hữu hạn điểm    , ta tìm nghiệm xác phƣơng trình dƣới dạng     v   exp 2 Thay (1.8) vào (1.7) ta đƣợc:      v   exp 2  v     exp 2 10 (1.8) giới vi mô, động đo đƣợc xác cách đồng thời Từ hình 2.1b thấy xác suất W2( LT ) bị triệt tiêu hai điểm C D Một cách tổng quát, tính chất hàm sóng dao động tử điều hòa, số điểm mà tìm thấy hạt với lƣợng En n (xem hình 2.2) Hình 2.2: Xác suất tìm thấy hạt có lƣợng En nhƣ hàm  x cho trƣờng hợp a) n  1, b) n  c) n  8, tính theo lý thuyết cổ điển W    lý thuyết lƣợng tử W    CD LT n 21 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 2, ta biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử Dựa vào đồ thị ta hiểu rõ khác biệt dao động tử điều hòa theo lý thuyết cổ điển theo lý thuyết lƣợng tử Trong học lƣợng tử ta nói xác suất tìm thấy hạt vi mô mức lƣợng nằm khoảng nói giá trị xác định lƣợng thời điểm nhƣ học cổ điển Mặt khác, theo học cổ điển hạt đƣợc hình dung nhƣ chất điểm chuyển động quỹ đạo phổ lƣợng liên tục Trong học lƣợng tử, tính chất hàm sóng dao động tử điều hòa, số điểm mà tìm thấy hạt với lƣợng En n nên phổ lƣợng gián đoạn 22 CHƢƠNG TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT 3.1 Các toán tử tọa độ xung lƣợng tắc Phổ lƣợng dao động tử điều hòa tìm đƣợc phƣơng pháp đại số, sử dụng hệ thức giao hoán tắc biểu thức Hamiltonian 2 d 2 ˆ H   Kx 2m dx 2 (3.1) Để thuận tiện viết công thức, thay cho toán tử tọa độ x xung lƣợng i d dx ta dùng toán tử tọa độ xung lƣợng tắc mới: x  qˆ  mx, i d  d  pˆ  i dx m dx Khi đó, hệ thức giao hoán pˆ qˆ  pˆ , qˆ   i Thật ta có: ˆ ˆ  qp ˆˆ  i  pˆ , qˆ   pq  d m dx   pˆ , qˆ   i Mà   d   mx  mx  i , dx m    d d x  ix , dx dx d d  d d d    x    x   1  x   x   x , dx dx  dx dx  dx   Suy  pˆ , qˆ   i 1  x  d  d   ix  i (đpcm) dx  dx Biểu diễn qua toán tử pˆ qˆ , Hamiltonian có dạng: Hˆ   pˆ   qˆ  Ta lại đặt: 23 (3.2) pˆ    aˆ  aˆ   , qˆ  i aˆ  aˆ     2 Thay vào (3.2) ta có: ˆ ˆ   aˆ  aˆ   Hˆ   aa (3.3) Các toán tử aˆ aˆ  xuất biểu diễn ngƣợc lại qua pˆ qˆ nhƣ sau: aˆ   pˆ  i qˆ  ,  aˆ    pˆ  i qˆ   Dễ dàng chứng minh đƣợc toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán: aˆ, aˆ    (3.4) Thật vậy, ta có: aˆ, aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ 1  aˆ , aˆ     pˆ  iqˆ  pˆ  iqˆ    pˆ  iqˆ  pˆ  iqˆ  2 2   pˆ  i pq ˆ ˆ  i qp ˆ ˆ   2qˆ  pˆ  i pq ˆ ˆ  i qp ˆ ˆ   2qˆ  , 2 1  aˆ , aˆ    ˆ ˆ  qp ˆ ˆ     2i  pq  2i  i     (đpcm) 2 2  Từ Và ˆ ˆ   aˆ  aˆ   Hˆ   aa aˆ, aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aa ˆ ˆ    aˆ  aˆ, Do Hamilton (3.1) trở thành Hˆ  1  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ   24 1  Hˆ   aˆ  aˆ    2  (3.5) 3.2 Các vector riêng trị riêng toán tử Hamilton Việc nghiên cứu phổ lƣợng dao động tử điều hòa quy toán tìm vectơ riêng trị riêng Hamiltonian (3.5), toán tử aˆ aˆ  thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.4) Để làm điều ta định nghĩa toán tử nhƣ sau: Nˆ  aˆ  aˆ (3.6) Và có hệ thức giao hoán toán tử với toán tử aˆ aˆ  :   ˆ ˆ  aˆ Nˆ  ,  Nˆ , aˆ   aˆ hay Na    (3.7)  ˆ ˆ   aˆ  Nˆ   Nˆ , aˆ    aˆ  hay Na   (3.8) Thật vậy, theo định nghĩa (3.6) sử dụng hệ thức giao hoán (3.4), ta có: ˆ ˆ  aN  Nˆ , aˆ   Na ˆ ˆ  aˆ  aa ˆ ˆ  aa ˆ ˆ  aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ ,   hệ thức (3.7), ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa  Nˆ , aˆ    Na ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ   aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ  ,   hệ thức (3.8) Ký hiệu n vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n Nˆ n  n n (3.9) Từ phƣơng trình (3.9) ta suy n Nˆ n n aˆ  aˆ n n   0, nn nn Vì n n    n  r  dr  Và 25 (3.10) n aˆ  aˆ n   aˆ n  r  dr  Do đó, trị riêng toán tử Nˆ số không âm Thật vậy, xét vector trạng thái thu đƣợc cách tác dụng toán tử aˆ lên n Đó vector trạng thái aˆ n Tác dụng lên vector trạng thái toán tử Nˆ sử dụng công thức (3.7), ta có:   ˆ ˆ n  aˆ Nˆ  n  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n Na Hệ thức vừa thu đƣợc có nghĩa aˆ n vector riêng Nˆ nhƣng ứng với trị riêng n  Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng minh đƣợc aˆ n , aˆ n , vector riêng Nˆ ứng với trị riêng n  2, n  3, Tiếp theo ta xét vector trạng thái thu đƣợc cách tác dụng toán tử aˆ  lên n Đó vetor trạng thái aˆ  n Tác dụng lên vector trạng thái toán tử Nˆ sử dụng công thức (3.8), ta có:   ˆ ˆ  n  aˆ  Nˆ  n  aˆ   n  1 n   n  1 aˆ  n Na Hệ thức có nghĩa aˆ  n vector riêng Nˆ nhƣng ứng với trị riêng n  Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng minh đƣợc aˆ 2 n , aˆ 3 n , vector riêng Nˆ ứng với trị riêng n  2, n  3, ta tổng quát hóa nhƣ sau: Nếu n vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì, với p  1, 2, 3, , aˆ p n vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n  p aˆ  p n vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng n  p chúng khác không 26 Kết hợp hai tính chất ta thấy n trị riêng Nˆ chuỗi số không âm n  1, n  2, n  3, trị riêng Nˆ Vì chuỗi giảm dần nên phải tồn số không âm nhỏ nmin Xét vector trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nmin Rõ ràng là: aˆ nmin  0, (3.11) Vì, aˆ nmin  vector trạng thái ứng với trị riêng nmin   nmin , trái với giả thiết nmin trị riêng nhỏ Từ đẳng thức (3.11) ta suy ra: aˆ  aˆ nmin  Nˆ nmin  Mặt khác, theo định nghĩa nmin Nˆ nmin  nmin nmin So sánh hai phƣơng trình ta có: Trị riêng nhỏ toán tử Nˆ nmin  Khi đó, vector trạng thái ứng với trị riêng nhỏ Nˆ đƣợc ký hiệu Vector trạng thái thỏa mãn điều kiện: aˆ  Khi aˆ  Tỷ lệ với vector riêng Nˆ ứng với trị riêng n  1, aˆ 2 Tỷ lệ với vector riêng Nˆ ứng với trị riêng n  2, , aˆ  n Tỷ lệ với vector riêng n Nˆ ứng với trị riêng n Vì 27 1 1   Hˆ   aˆ  aˆ      Nˆ    , 2 2   Nên vector riêng Hˆ ứng với trị riêng E0   , vector riêng Hˆ ứng với trị riêng  1 E1  1    , , 2  n vector riêng Hˆ ứng với trị riêng 1  En   n    2  3.3 Biểu diễn số hạt toán tử lượng Dao động tử điều hòa trạng thái có lƣợng thấp E0 Trạng thái với lƣợng E0   đƣợc xem kết việc thêm lƣợng tử lƣợng  vào trạng thái Trạng thái với lƣợng: E1    E0  2, Có thể đƣợc xem kết việc thêm lƣợng tử lƣợng  vào trạng thái , có nghĩa thêm hai lƣợng tử lƣợng  vào trạng thái , Nếu ta lấy gốc tính lƣợng E0 coi trạng thái không chứa lƣợng tử nào, trạng thái chứa lƣợng tử, trạng thái chứa hai lƣợng tử,…, n trạng thái chứa n lƣợng tử Toán tử Nˆ có trị nguyên không âm cách đơn vị đƣợc đoán nhận toán tử số lƣợng tử lƣợng Toán tử aˆ tác dụng lên n 28 cho trạng thái tỷ lệ với n  đƣợc đoán nhận toán tử hủy lƣợng tử lƣợng Toán tử aˆ  tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n  đƣợc đoán nhận toán tử sinh lƣợng tử lƣợng Nếu ta tƣởng tƣợng lƣợng tử lƣợng hạt Nˆ toán tử số hạt, aˆ toán tử hủy hạt aˆ  toán tử sinh hạt Khi trạng thái n với lƣợng: En  n Sẽ trạng thái chứa n hạt Đó biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa Bây ta tính hệ số tỷ lệ  n , n  n hệ thức aˆ n   n n  , aˆ  n   n n  , n   n aˆ  n (3.12) Để cho vector trạng thái trực giao chuẩn hóa: m n   mn Từ biểu thức (3.10): n Nˆ n n aˆ  aˆ n n   0, nn nn Và (3.12) sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa viết, ta có: n  n aˆ  aˆ n   aˆ n   aˆ n    * n n  n   n Coi  n số thực, ta có:  n  n Do n  n aˆ  aˆ n Và aˆ, aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   Nên ta có: 29 ˆ ˆ   n  n aa ˆ ˆ n  n  n n  n aˆ  aˆ n  n aa n   aˆ  n   aˆ *  n   (1) n n   n n  n     n  Coi  n thực, ta suy  n  n  Tiếp theo, xét trạng thái aˆ  n  aˆ  ( n1) aˆ    aˆ  ( n1)   aˆ  ( n2) aˆ    1aˆ  ( n2)   1aˆ  ( n3) aˆ    1 aˆ  ( n3) aˆ  n  0 1 n1 n  n! n , Và 1 n n  n aˆ n aˆ  n   n n!, Khi đó, coi  n thực ta có: n  n! Vì ta thiết lập đƣợc công thức quan trọng sau: Nˆ n  nn , aˆ  0, aˆ n  aˆ  n n   n n  (n  0), n  n  (n  0), n aˆ n! 3.4 Phổ lượng dao động tử điều hòa Năng lƣợng dao động tử điều hòa trạng thái n đƣợc xác định theo biểu thức: 30 1  En   n    2  Do đó, trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lƣợng gián đoạn với giá trị cách nhau: hiệu số lƣợng hai trạng thái kề luôn lƣợng tử lƣợng  Trạng thái dừng có lƣợng thấp E0    (khác với lý thuyết cổ điển) Phổ lƣợng dao động tử điều hòa gián đoạn Trong học lƣợng tử, trạng thái dừng dao động tử điều hòa coi tập hợp nhiều hạt, hạt có lƣợng  Khái niệm “hạt” đƣa vào tiện, thực chất “giả hạt” Trong thực tế ta hạt thật mà có trạng thái dao động khác hạt dao động nhỏ xung quanh vị trí cân đƣợc mô tả giống nhƣ hệ hạt 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 3, ta xác định đƣợc vector riêng trị riêng toán tử Hamilton qua toán tử tọa độ xung lƣợng tắc Viết đƣợc toán tử lƣợng dao động tử điều hòa qua toán tử sinh hủy dao động biểu diễn số hạt, tính phổ lƣợng dao động tử điều hòa phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng cho lƣợng dao động tử điều hòa mức thấp theo quan điểm lƣợng tử 32 KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt ra: - Viết đƣợc phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển - Viết đƣợc phƣơng trình Schrodinger, hàm sóng lƣợng hạt học lƣợng tử - Biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử - Xác định đƣợc vector riêng trị riêng toán tử Hamilton qua toán tử tọa độ xung lƣợng tắc - Viết đƣợc toán tử lƣợng dao động tử điều hòa qua toán tử sinh hủy dao động biểu diễn số hạt Qua việc nghiên cứu đề tài, thấy rằng: Với việc nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt đơn giản nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn tọa độ Phổ lƣợng dao động tử điều hòa tìm đƣợc phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng cho lƣợng dao động tử điều hòa mức thấp theo quan điểm lƣợng tử Tuy nhiên, lần làm khóa luận tốt nghiệp kiến thức nhƣ thời gian nghiên cứu hạn hẹp, khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đƣợc đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học sƣ phạm [3] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống Kê, Hà Nội [5] Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lƣợng tử, NXB Giáo dục 34 35 [...]... nhận là toán tử hủy lƣợng tử năng lƣợng Toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n  1 và do đó đƣợc đoán nhận là toán tử sinh lƣợng tử năng lƣợng Nếu ta tƣởng tƣợng lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt và aˆ  sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái n với năng lƣợng: En  n Sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của... của hạt theo lý thuyết lƣợng tử - Xác định đƣợc các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton qua các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới - Viết đƣợc toán tử năng lƣợng của dao động tử điều hòa qua các toán tử sinh hủy dao động trong biểu diễn số hạt Qua việc nghiên cứu đề tài, chúng tôi thấy rằng: Với việc nghiên cứu toán tử năng lƣợng trong biểu diễn số hạt đơn giản hơn khi nghiên cứu toán. .. nhƣ một hệ hạt 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 Trong chƣơng 3, ta đã xác định đƣợc các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton qua các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới Viết đƣợc toán tử năng lƣợng của dao động tử điều hòa qua các toán tử sinh hủy dao động trong biểu diễn số hạt, tính phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa bằng phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm riêng và trị riêng cho năng lƣợng... lƣợng là liên tục Trong cơ học lƣợng tử, do tính chất của các hàm sóng của dao động tử điều hòa, số điểm mà tại đó không thể tìm thấy hạt với năng lƣợng En chính bằng n nên phổ năng lƣợng là gián đoạn 22 CHƢƠNG 3 TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT 3.1 Các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm đƣợc bằng phƣơng pháp đại số, sử dụng các... một mức năng lƣợng nào đó, giả sử mức E2 với n  2 Theo cơ học cổ điển, hạt có năng lƣợng E2 chỉ có thể chuyển động trong phạm vi AB mà thôi Thật vậy, nếu hạt nằm ngoài đoạn AB thì thế năng V của hạt sẽ lớn hơn năng lƣợng toàn phần E  E2 , do đó động năng của hạt T  E  V sẽ nhỏ hơn không, điều này là vô lý 2.2 Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết lượng tử Theo lý thuyết lƣợng tử, xác... có nghĩa là thêm hai lƣợng tử năng lƣợng  vào trạng thái 0 , Nếu ta lấy gốc tính năng lƣợng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lƣợng tử nào, 1 là trạng thái chứa một lƣợng tử, 2 là trạng thái chứa hai lƣợng tử, …, n là trạng thái chứa n lƣợng tử Toán tử Nˆ có các trị nguyên không âm cách nhau một đơn vị đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng Toán tử aˆ khi tác dụng lên n... En   n    2  3.3 Biểu diễn số hạt của toán tử năng lượng Dao động tử điều hòa ở trạng thái 0 có năng lƣợng thấp nhất là E0 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lƣợng E0   có thể đƣợc xem là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lƣợng: E1    E0  2, Có thể đƣợc xem là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng  vào trạng thái... động tử điều hòa ở mức thấp nhất theo quan điểm lƣợng tử 32 KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài đã cơ bản hoàn thành các nhiệm vụ đặt ra: - Viết đƣợc phƣơng trình Newton cho chuyển động của hạt trong cơ học cổ điển - Viết đƣợc phƣơng trình Schrodinger, hàm sóng và năng lƣợng của hạt trong cơ học lƣợng tử - Biểu diễn đƣợc năng lƣợng của hạt theo lý thuyết cổ điển và biểu diễn đƣợc năng. .. hạt với năng lƣợng En chính bằng n (xem hình 2.2) Hình 2.2: Xác suất tìm thấy hạt có năng lƣợng En nhƣ là hàm của  x cho trƣờng hợp a) n  1, b) n  5 và c) n  8, tính theo lý thuyết cổ điển W    và lý thuyết lƣợng tử W    CD LT n 21 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Trong chƣơng 2, ta đã biểu diễn đƣợc năng lƣợng của hạt theo lý thuyết cổ điển và biểu diễn đƣợc năng lƣợng của hạt theo lý thuyết lƣợng tử. .. hòa Qua đó ta thấy năng lƣợng của dao động tử điều hòa trong cơ học lƣợng tử chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn, giá trị nhỏ nhất 1 là E0   còn trong cơ học cổ điển thì năng lƣợng của hạt có giá trị liên 2 tục, giá trị nhỏ nhất là E  0 18 CHƢƠNG 2 PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1 Đồ thị biểu diễn năng lƣợng của hạt theo lý thuyết cổ điển Theo lý thuyết cổ điển, hạt thực hiện dao động ... nên chọn đề tài Toán tử lượng biểu diễn số hạt Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt Mục đích nghiên cứu Viết đƣợc toán tử lƣợng hệ dao động qua toán tử sinh hủy dao... động tử điều hòa 2.1 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển 2.2 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Toán tử lƣợng biểu diễn số hạt 3.1 Các toán tử. .. nhận toán tử hủy lƣợng tử lƣợng Toán tử aˆ  tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n  đƣợc đoán nhận toán tử sinh lƣợng tử lƣợng Nếu ta tƣởng tƣợng lƣợng tử lƣợng hạt Nˆ toán tử số hạt, aˆ toán