Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Hoàng Phúc Huấn người hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thiện đề tài, người dành cho em giúp đỡ ưu thời gian học tập, nghiên cứu trình hoàn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Vật lí lý thuyết tạo điều kiện đóng góp ý kiến để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Tuy nhiên thời gian khuôn khổ không cho phép, đề tài hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp tiếp tục xây dựng đề tài bạn đọc quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan nội dung nghiên cứu trình bày khóa luận “Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử” riêng em hướng dẫn tận tình Th.S Hoàng Phúc Huấn Nội dung nghiên cứu chưa công bố khóa luận khác Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nội dung nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Các tiên đề học lượng tử 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển 1.1.1 Bức xạ vật đen 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử 1.1.3 Hiệu ứng quang điện 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng 1.2.2 Thuyết lượng tử Anhxtanh (Thuyết photon) 1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr) 1.3 Hệ tiên đề học lượng tử 10 1.3.1 Tiên đề 10 1.3.2 Tiên đề 10 1.3.3 Tiên đề 11 Bài tập vận dụng 12 Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử 17 2.1 Các toán tử tọa độ 17 2.2 Các toán tử xung lượng 18 2.3 Các toán tử moment xung lượng 19 2.4 Toán tử lượng 20 2.5 Toán tử spin electron 21 Bài tập vận dụng 24 Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử 27 3.1 Tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa 27 3.1.1 Phương trình Schodinger 28 3.1.2 Hàm sóng 28 3.1.3 Năng lượng 32 3.2 Chuyển toán tử: tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt 33 3.2.1Biểu diễn số hạt toán tử tọa độ xung lượng 33 3.2.2 Biểu diễn số hạt toán tử lượng 34 3.2.3 Các vectơ riêng trị riêng toán tử Hamintonian 35 Bài tập vận dụng 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào cuối kỷ 19 nhà Vật lí phát nhiều tượng hiệu ứng mà Vật lí học cổ điển giải thích là: hiệu ứng quang điện, quy luật xạ vật đen,… Và để giải thích tượng này, nhà Vật lí lỗi lạc kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein Niels Bohr đề xuất giả thuyết lượng tử khác mà tất thừa nhận tính chất gián đoạn lượng số loại hệ vi mô Và vậy, hạt vật chất vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, mà đại lượng động lực không xác định đồng thời Trong học cổ điển, để đặc trưng cho chuyển động hạt, ta dùng đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng, moment động lượng hạt… Các đại lượng gọi chung biến số động lực (như tọa độ xung lượng…) có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu việc mô tả chuyển động tìm phụ thuộc chúng vào thời gian Trong học lượng tử vấn đề lại khác, hạt không hình dung chất điểm chuyển động theo quỹ đạo, mà bó sóng định xứ miền không gian thời điểm bó sóng thay đổi theo thời gian Tại thời điểm ta nói xác suất để tìm thấy hạt phần tử thể tích không gian Hay nói cách khác xác suất để tọa độ hạt có giá trị nằm khoảng Nói chung biến số động lực vậy, ta nói xác suất để biến số động lực có giá trị nằm khoảng nói giá trị xác định biến số động lực thời điểm học cổ điển Và để giải toán cho chuyển động hạt vi mô ta phải giải phương trình Schodinger tức ta tìm phương trình hàm riêng, trị riêng cho toán tử lượng Việc làm dẫn đến tích phân phức tạp việc giải toán khó khăn Để đơn giản việc giải phương trình hàm riêng, trị riêng ta chuyển việc giải phương trình tích phân thành việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu cách biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử - Tìm hiểu sở toán học lượng tử Giả thuyết khoa học - Tìm cách giải phương trình Schodinger phương pháp đơn giản phương pháp đại số Đối tượng nghiên cứu - Thế giới hạt vi mô - Nghiên cứu đại lượng động lực học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Biểu diễn toán tử lượng, toán tử xung lượng toán tử tọa độ hạt vi mô qua toán tử sinh hủy - Giải phương trình vi phân học lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Dùng phương pháp toán cho Vật lí Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có chương: Chương 1: Các tiên đề học lượng tử Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ điển Vật lí học không kể đến thuyết tương đối thuyết lượng tử Theo quan niệm cổ điển loại xạ (tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rơnghen, tia Gamma) sóng điện từ lan truyền không gian Năng lượng sóng tỷ lệ với bình phương biên độ biến đổi liên tục Như vật phát (dưới dạng xạ) hay hấp thụ (của xạ chiếu tới) lượng tùy ý, tức lượng có giá trị liên tục Sau ta xét số tượng giải thích lý thuyết cổ điển như: tính bền vững nguyên tử, quy luật xạ vật đen,… Từ dẫn đến việc phải xây dựng khái niệm lượng tử giải thích chúng, bước đầu việc hình thành học lượng tử 1.1.1 Bức xạ vật đen Thực nghiệm chứng tỏ vật đen nhiệt độ T phát xạ điện từ có phổ liên tục, lượng xạ phát phụ thuộc vào nhiệt độ vật Vật phát xạ đồng thời hấp thụ lượng xạ chiếu tới Khi lượng mà vật hấp thụ lượng vật xạ thời gian nhiệt độ vật giữ không đổi Nếu thực cân lượng hệ thống vật xạ xạ gọi xạ cân Xét xạ cân có tần số góc từ đến + Năng lượng xạ chứa đơn vị thể tích không gian tỷ lệ với biểu thức là: ( , ) có Hệ số tỷ lệ ( , ): gọi mật độ lượng phổ, hàm số đặc trưng cho xạ cân Từ giáo trình vật lý thống kê dẫn tới công thức cho mật độ lượng xạ gọi công thức Rêlây: 2   , T   kT  c (1.1) Với c vận tốc ánh sáng chân không, k số Bônzơman, T nhiệt độ xạ cân Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm phạm vi tần số góc nhỏ nhiệt độ T tương đối lớn Nhưng tần số lớn công thức cho kết phi lý Ta thấy điều tính lượng toàn phần xạ (tức lượng xạ toàn phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số cao) chứa đơn vị thể tích không gian:  kT       , T  d   c Năng lượng  (1.2) vô cực Đó điều thừa nhận Sự thất bại việc vận dụng công thức Rêlây (1.1) vào miền tần số lớn gọi “tai biến miền tử ngoại” 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử Nếu áp dụng định luật vật lí cổ điển cho electron chuyển động xung quanh nguyên tử dẫn đến kết sau đây: Nguyên tử luôn xạ, tần số xạ có giá trị liên tục, nói cách khác phổ xạ nguyên tử liên tục Vì nguyên tử phát xạ nên lượng nguyên tử giảm liên tục, bán kính quỹ đạo electron giảm Sau thời gian ngắn vào khoảng 10 giây, electron rơi vào hạt nhân nguyên tử bị biến đổi Các kết mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường nguyên tử không phát xạ, bị kích thích nguyên tử phát xạ mà tần số có giá trị xác định (phổ gián đoạn), nguyên tử bền vững tượng electron rơi vào hạt nhân 1.1.3 Hiệu ứng quang điện Nếu ta chiếu ánh sáng thích hợp vào bề mặt kim loại làm bật electron mặt kim loại ngoài, tượng phát lần vào năm 1887 Các kết thực nghiệm thu là: Có hiệu ứng ngưỡng: dòng quang điện xuất tần số ánh sáng không nhỏ giá trị ngưỡng giá trị của phụ thuộc vào chất bị chiếu sáng Vận tốc điện tử độ lớn hãm không phụ thuộc vào cường độ mà phụ thuộc vào tần số ánh sáng chất bị chiếu sáng Với ν> cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ thuận với cường độ ánh sáng gây hiệu ứng quang điện Không thể giải thích phát quan niệm cho ánh sáng túy sóng, lượng sóng thay đổi liên tục, chiếu sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số ánh sáng bao nhiêu, điện tử nhận lượng lượng lớn công tối thiểu (còn gọi công thoát) kim loại để thoát chuyển động nhanh cường độ chiếu sáng lớn, điều hoàn toàn trái ngược với kết thực nghiệm 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng Để giải điều phi lý tượng xạ vật đen nói trên, năm 1900 Plăng đưa giả thuyết sau: dao động tử điều hòa có tần số (góc) riêng có lượng gián đoạn, giá trị Có thể quy ước chọn gốc tính lượng trùng với lượng 0: Khi dao động tử điều hòa có lượng bội lượng ℏ : = ℏ (3.37) Đó giả thuyết Plăng: lượng dao động tử điều hòa bội nguyên lượng tử lượng ℏ 3.2 Chuyển toán tử: tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt 3.2.1 Biểu diễn số hạt toán tử tọa độ xung lượng Phổ lượng dao động tử điều hòa tìm phương pháp đại số, sử dụng hệ thức giao hoán tắc biểu thức Hamintonian: =− ℏ + (3.38) Để thuận tiện viết công thức sau này, thay cho toán tử tọa độ x xung lượng − ℏ ⁄ ta dùng toán tử tọa độ xung lượng tắc mới: → −ℏ =√ , → ̂=− Hệ thức giao hoán ̂ (3.39) ℏ √ (3.40) là: [ ̂, ] = ̂ − ̂ (3.41) Xét : ̂ ̂ =− ⇒ ̂ ℏ =√ − √ √ ̂ − ℏ √ =( ̂ − =−ℏ + =−ℏ , (3.43) =−ℏ (3.44) ̂) , (3.42) Do đó: [ ̂, ] = ̂ − ̂ = − ℏ (3.45) Hamintonian (3.38) biểu diễn qua ̂ : ̂=− ℏ ⇒ ̂ =− √ = = ℏ , (3.46) (3.47) Do : = ( ̂ + ) (3.48) Ta lại đặt: ℏ ̂= ℏ = ( + ), (3.49) ( − ) (3.50) Công thức (3.49) biểu diễn số hạt toán tử xung lượng Công thức (3.50) biểu diễn số hạt toán tử tọa độ 3.2.2 Toán tử lượng biểu diễn số hạt Từ (3.49) (3.50) ta có: ̂ = = ℏ ( + ℏ [ + ℏ ( − ℏ [ =− =− )( + ) +( + )( − − − ) ], (3.51) ) +( ) ] − − (3.52) Hamintonian (3.48) viết thành : = ℏ [ 2 + +( + = ( Các toán tử ) ]− ℏ [ + )ℏ ) ] +( (3.53) xuất biểu diễn ngược lại qua ̂ + = ℏ ̂, (3.54) − ⇒ = ]= ̂ − (3.55) = ℏ ̂+ ℏ , ℏ ̂− ℏ = Vì: [ ̂ , =− = ℏ ( ̂− ), (3.56) ( ̂+ ) (3.57) √ ℏ √ ℏ ̂ = − ℏ (3.58) Ta có: ℏ ̂ = = ℏ [ ℏ ̂= = Nên: ℏ ( + − + ( − ) [ + [ ̂, ] = ̂ − ℏ ) −( ) ], ( + ) −( ) ] (3.60) )=−ℏ (3.61) − − [ , ( − − ̂ = − ℏ( ⇒ hay: ℏ ) (3.59) = 1, (3.62) ] = (3.63) Và Hamintonian (3.53) trở thành: = + ℏ (3.64) Công thức (3.64) biểu diễn số hạt toán tử lượng 3.2.3 Các vectơ riêng trị riêng toán tử Hamintonian Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy toán tìm vectơ riêng trị riêng Hamintonian (3.64), toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.63) Để làm điều ta định nghĩa toán tử sau: = Và có hệ thức giao hoán toán tử với toán tử (3.65) : , = − = = −( = hay: − ) =− , − (3.66) −1 (3.67) Ta lại có: , = − ( = = hay: = − )= − , (3.68) +1 (3.69) Ký hiệu | 〉 vectơ riêng chuẩn toán tử ứng với trị riêng n | 〉 = | 〉 (3.70) Từ phương trình (3.70) ta suy ra: = 〈 | | 〉 〈 | 〉 ⟨ | ⟩ = ∫| Vì: ⟨ | và: = | ⟩ ⟨ | ⟩ ( )| | ⟩ = ∫| Vậy : Các trị riêng toán tử ⟨ | ( )| ≥ (3.71) ≥ 0, (3.72) ≥ (3.73) số không âm Bây ta xét vectơ trạng thái thu cách tác dụng toán tử lên | 〉 Đó vectơ trạng thái | 〉 Tác dụng lên vectơ trạng thái toán tử sử dụng công thức (3.67), ta có: | 〉= − | 〉 = ( − 1)| 〉 = ( − 1) | 〉 (3.74) Hệ thức vừa thu có nghĩa | 〉 vectơ riêng toán tử ứng với trị riêng | 〉, − Tương tự vậy, dễ dàng chứng minh | 〉,…cũng véctơ riêng ứng với trị riêng − 2, − 3,… | 〉= | 〉= = | 〉− = − | 〉 − | 〉 | 〉− | 〉 | 〉−2 = = | 〉 | 〉−2 − | 〉−3 = | 〉 | 〉 ⋯⋯⋯ = | 〉− | 〉 = | 〉− | 〉 =( − ) ⇒ | 〉 vectơ riêng | 〉 − ứng với trị riêng Tiếp theo ta xét vectơ trạng thái thu cách tác dụng toán tử lên | 〉 Đó vectơ trạng thái tử | 〉 Tác dụng lên vectơ trạng thái toán sử dụng công thức (3.69), ta có: 〉= = +1 | 〉= ( + 1)| 〉 = ( + 1) ( + 1)| 〉 = ( + 1) (3.75) | 〉 (3.76) | 〉 vectơ riêng Hệ thức có nghĩa ứng với trị riêng | 〉 + | 〉= = = ( ) | 〉 + ( ) = | 〉+( ( + =( ) =( ) =( ) | 〉 ( ) ) ) | 〉+( | 〉 + 2( ( + ( ) | 〉 ) | 〉 + 3( ⋯⋯⋯ =( = ( ) | 〉+ ( ) | 〉 ) | 〉+ ( ) | 〉 = ( + )( ) | 〉 ) | 〉 ) | 〉 | 〉 + 2( ) | 〉 ) | 〉 ⇒( ) | 〉 vectơ riêng + ứng với trị riêng Tương tự vậy, dễ dàng chứng minh vectơ riêng ứng với trị riêng Nếu | 〉 vectơ riêng toán tử 1, 2, 3,…, | 〉, | 〉,… + 2, + 3,… ứng với trị riêng n với p = | 〉 vectơ riêng toán tử ứng với trị riêng | 〉 vectơ riêng toán tử ứng với trị riêng − + chúng khác không Kết hợp hai kết luận ta thấy chuỗi số không âm trị riêng − 1, − 2, − 3, … trị riêng Vì chuỗi giảm dần nên phải tồn số không âm nhỏ véctơ trạng thái | 〉 ứng với trị riêng nhỏ | Xét Rõ ràng là: 〉=0 (3.77) Vì nếu: | 〉 ≠ vectơ trạng thái ứng với trị riêng với giả thiết −1< , trái trị riêng nhỏ Từ đẳng thức (3.77) ta suy ra: 〉= Mặt khác theo định nghĩa | | 〉 = (3.78) , 〉= | 〉 (3.79) So sánh hai phương trình ta đến kết luận sau: Trị riêng nhỏ toán tử = Vectơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ ký hiệu |0〉 Vectơ trạng thái thỏa mãn điều kiện: |0〉 = Khi (3.80) |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |1〉 ứng với trị riêng = 1, |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |2〉 ứng với trị riêng = 2, … |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng | 〉 ứng với trị riêng = = Vì : nên + ℏ = + ℏ , (3.81) |0〉 vectơ riêng ứng với trị riêng: = ℏ , |1〉 vectơ riêng ứng với trị riêng: = 1+ ℏ ,… | 〉 vectơ riêng ứng với trị riêng: = ℏ + Vậy trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lượng gián đoạn với giá trị cách nhau: hiệu số lượng hai trạng thái kề luôn lượng tử lượng ℏ Trạng thái |0〉 có lượng thấp Trạng thái |1〉 với lượng +ℏ xem kết việc thêm lượng tử lượng ℏ vào trạng thái |0〉 Trạng thái |2〉 với lượng : +ℏ = + 2ℏ , xem kết việc thêm lượng tử lượng ℏ trạng thái |1〉, có nghĩa thêm lượng tử lượng ℏ |0〉,… Nếu ta lấy gốc tính lượng vào vào trạng thái coi |0〉 trạng thái không chứa lượng tử , |1〉 trạng thái chứa lượng tử, |2〉 trạng thái chứa lượng tử,…, | 〉 trạng thái chứa n lượng tử Toán tử có trị riêng nguyên không âm cách đơn vị đoán nhận toán tử số lượng tử lượng Toán tử tác dụng lên | 〉 cho trạng thái tỷ lệ với | − 1〉 đoán nhận toán tử hủy lượng tử lượng Toán tử tác dụng lên | 〉 cho trạng thái tỷ lệ với | + 1〉 đoán nhận toán tử sinh lượng tử lượng Nếu ta tưởng tưởng lượng tử lượng hạt hạt, toán tử số hạt, toán tử hủy toán tử sinh hạt Khi trạng thái | 〉 với lượng: = ℏ , trạng thái chứa n hạt Đó biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa Trong học lượng tử trạng thái dừng dao động tử điều hòa coi tập hợp nhiều hạt, hạt có lượng ℏ Khái niệm “hạt” đưa vào tiện Thực chất “giả hạt”, khái niệm quan trọng hữu hiệu nghiên cứu trạng thái kích thích Vật lí môi trường đông đặc Cuối ta tính hệ số tỷ lệ , , hệ thức: | 〉= | − 1〉, | 〉= | + 1〉, | 〉 = ( ) |0〉 (3.82) Để cho véc tơ trạng thái trực giao chuẩn hóa: ⟨ | ⟩= (3.83) Từ biểu thức (3.71), (3.82) sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa (3.83) vừa viết ta có: =⟨ | | ⟩=| =⟨ | | ⟩=⟨ | =| Coi , | ⟨ − 1| − 1⟩ = | | , (3.84) − 1| ⟩ | ⟨ + 1| + 1⟩ − ⟨ | ⟩ = | | − (3.85) số thực ta rút ra: =√ , = √ + (3.86) Ta có : ( ) |0〉 = ( ) |0〉 = ( = ) ( = ) ( ) |1〉 |1〉 = ( |2〉 = ) |2〉 ( ) |3〉 =⋯ = ⋯ | 〉 = √ ! | 〉, đó: = ⟨ | ⟩ = | | ⟨0| hay, coi ( ) |0⟩ = | | !, (3.87) thực ta rút ra: = √ ! (3.88) Tóm lại ta thiết lập công thức quan trọng sau đây: | 〉= | 〉 (3.89) |0〉 = (3.90) | 〉 = √ | − 1〉 ( > 0) (3.91) | 〉 = √ + 1| + 1〉 ( ≥ 0) | 〉= √ ! ( (3.92) ) |0〉 (3.93) Bài tập vận dụng Dùng hệ thức giao hoán x Tìm giá trị riêng toán tử Hamintonian dao động tử điều hòa chiều xác định phần tử ma xung lượng ̂ biểu diễn lượng trận tọa độ Lời giải Toán tử Hamintonian dao động tử điều hòa chiều có dạng: = + , ̂ =−ℏ (3.94) Giá trị trung bình lượng dao động tử điều hòa trạng thái ( ) là: ∗( =∫ ) ( ) Vì toán tử ̂ ∫ ∗( ) ̂ = ∗ ∫ ̂ + Vậy ∗( ) ( ) ( ) ≥ Nếu =∫ Ký hiệu =∫ ∗ (3.95) Hecmite nên ta có: =∫ ̂ ( ) ∗ ̂ ( ) = ∫| ̂ ( )| ∫ ∫ ∗ =∫ ( ) = ∫| ( )|∗ ≥ ( ) ≥ ( ) hàm riêng ∗ ∗( ) ⟨ | | ⟩ = ⟨ | ⟩ = , (3.96) (3.97) ta có: =∫ ∗ ( ) ≡ ⟨ | | ⟩ Khi = ≥ = (3.98) toán tử đơn vị Đặt: = √ ℏ √ − √ , (3.99) = + √ ℏ ( − ), (3.101) ℏ ( + ) (3.102) √ ℏ √ , (3.100) Dễ dàng thấy rằng: = ̂= Xác định phần tử ma trận ma trận ̂ Từ hệ thức giao hoán − = Toán tử = + Năng lượng + ̂ − ̂ = ℏ ta suy ra: ℏ ( sau: ) + (3.103) dao động tử điều hòa là: = = = = ta xác định phần tử biểu diễn qua = =ℏ Đặt ℏ ℏ +ℏ +ℏ ⟨ | ⟨ | | ⟩|⟨ | | ⟩| ≥ | ⟩⟨ | | ⟩ |⟨ | | ⟩| ≥ (3.104) (3.105) ta được: = ℏ +ℏ ≥ 0, (3.106) hay: ≥ − Dùng hệ thức giao hoán: (3.107) = 1, (3.108) ta có: − = = − − (1 + = − = − (1 + )− ) =− = (3.109) (3.110) Toán tử giao hoán với nên có chung hàm riêng hàm riêng Gọi tương ứng với trị riêng , ta có: = = hay ≥ Dễ dàng thấy rằng: − − = = (3.111) − = , (3.112) hay: ( ) = ( + 1)( ) (3.113) Tương tự: − =− − = (3.115) − = , (3.116) hay ( Vậy ) = ( − 1)( hàm riêng ) (3.117) ứng với trị riêng n ( ) ( ) tương ứng với trị riêng ( + 1) ( − 1) Các trị hàm riêng riêng liên tiếp n khác đơn vị Gọi hàm riêng tương ứng với trị riêng bé Ta có: ( Vì Vì )=( trị riêng bé − 1)( ) (3.118) − trị riêng bé Đẳng thức (3.118) xảy = = nên: ( Từ suy Năng lượng )= = = Các trị riêng = có là: (3.119) = 0, 1, 2, … dao động tử điều hòa chiều bằng: = ℏ + ℏ , = 0, 1, 2, … (3.120) ( ) xác định từ phương trình Hàm ( ) ta xác định Biết Ta xác định phần tử ma trận =( = ) ⟨ | | ⟩⟨ | | ⟩ Ta biết: =⟨ | = Chú ý | ⟩= hàm riêng (3.121) tương ứng với trị riêng + nên hai hàm riêng khác thừa số nhân đó: = Khi ta có: ⟨ | khác | ⟩= ⟨ | = + 1⟩ = Phần tử ma trận , − ,⟨ | | ⟩= = Tương tự | , Vậy ta có: =⟨ | | − 1⟩⟨ − 1| | ⟩ = |⟨ | | − 1⟩| , (3.122) hay: ⟨ | Trong | − 1⟩ = √ , ⟨ − 1| | ⟩ = √ (3.123) số thực Chú ý ⟨ | | − 1⟩ = ta tìm được: ⟨ | | − 1⟩ = ℏ = Nếu chọn = thì: | − 1⟩} ℏ =− ⟨ | ̂ | − 1⟩ = {⟨ | | − 1⟩ − ⟨ | ℏ ℏ (3.124) {⟨ | | − 1⟩ + ⟨ | | − 1⟩} (3.125) ⟨ | | − 1⟩ = ⟨ | ̂ | − 1⟩ = ℏ , ℏ (3.126) (3.127) KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu em hoàn thành đề tài : “Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử” Sau thực khóa luận em hoàn thành vấn đề sau đây: - Thiết lập lại nội dung tiên đề học lượng tử - Trình bày đại lượng động lực học lượng tử - Biết cách biểu diễn đại lượng động lực: tọa độ, xung lượng lượng học lượng tử thông qua biểu diễn số hạt Từ em có nhìn khái quát môn học lượng tử giúp ích thiết thực cho việc giảng dạy môn vật lí sau trường Trung học phổ thông Tuy nhiên thời gian điều kiện nghiên cứu hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung hình thức trình bày Chính em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đọc quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.S Davydov (1972), Đặng Quang Khang dịch, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn học lượng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm [5] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003),Cơ sở lý thuyết vật lí lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Hoàng Phương (1998), Nhập môn học lượng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục [...]... phương moment xung lượng của hạt tự do là đại lượng bảo toàn CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC TRONG CƠ LƯỢNG TỬ Trong chương này chúng ta sẽ tìm cách đưa ra biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng và năng lượng Và viết các đại lượng này theo biểu diễn số hạt Bài toán lý tưởng hóa là bài toán coi các dao động là điều hòa Chúng ta sẽ đi vào xét một bài... các giá trị bằng số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy Vì các giá trị bằng số của các biến số động lực là thực nên trị riêng của các toán tử biểu diễn biến số động lực phải là thực, muốn thế những toán tử ấy phải là Hecmite Xét một biến số động lực biểu diễn bằng một toán tử , toán tử này có các trị riêng , ,…, , … với các hàm riêng tương ứng là: , ,…, ,… Xét một hệ lượng tử. .. biến số động lực có giá trị nằm trong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử Những nghiên cứu về toán tử cho... c) Trong trường hợp T = 1 MeV ta phải dùng công thức tính bước sóng Đơ Brơi của electron tương đối tính: = Đặt T = 1 MeV = 1,6.10 thức của ta tìm được: J, = 8,17.10 = 8,19.10 m (1.46) J = 0,51 MeV vào biểu CHƯƠNG 2: CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của của một hạt, ta dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng của hạt, …... (2.18) Ba đại lượng trên là ba thành phần của toán tử vectơ ⃗ Còn toán tử bình phương moment xung lượng: = = + + (2.19) 2.4 Toán tử năng lượng Trong cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần được biểu diễn qua tọa độ x và xung lượng p theo biểu thức sau đây: = + ( , , ) (2.20) Trong đó m là khối lượng của hạt, ( , , ) là biểu thức của thế năng, = + + (2.21) Theo nguyên lý tương ứng thì toán tử năng lượng. .. Nếu gọi của bức và năng lượng của trạng thái là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có: ℏ = − (1.15) Giả thuyết Bo là bước đầu tiên dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu nguyên tử Với các tính toán dựa trên cơ sở cơ học cổ điển và mẫu nguyên tử Bo người ta thu nhận được các kết quả phù hợp với thực nghiệm 1.3 Hệ tiên đề của cơ học lượng tử 1.3.1 Tiên đề 1 Mỗi biến số động lực được biểu diễn bằng... là một số dương Ta đặt: = Và hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó: = sin( + ), (3.5) , (3.6) với pha , tần số góc = và biên độ dao động : = , (3.7) trong đó E là năng lượng toàn phần Trong cơ học lượng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa 3.1.1 Phương trình Schodinger Thế năng của hạt là: ( )= , (3.8) và do đó trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả... hóa đó là bài toán về dao động tử điều hòa Bài toán: Xét một hạt khối lượng m, chuyển động một chiều theo trục Ox dưới tác dụng của lực đàn hồi =− (k là hệ số đàn hồi) Tìm năng lượng của hạt 3.1 Tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động tử điều hòa Trong cơ học cổ điển, hạt sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng = 0 áp dụng định luật II Newton ta có: = ⇔ − ̈ = ⟺ trong đó: (3.1) + (3.2) =... mômen xung lượng của hạt, … Các đại lượng đó gọi chung là biến số động lực Hạt chuyển động theo một quỹ đạo và ở một thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực (chẳng hạn như tọa độ và xung lượng) đều có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu của việc mô tả chuyển động là tìm sự phụ thuộc giữa chúng và sự phụ thuộc của chúng vào thời gian Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác, hạt không được hình dung... là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng hay các photon chuyển động trong chân không với cùng một vận tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính Tính chất hạt của photon được thể hiện qua năng lượng E và xung lượng p liên hệ với tần số và vectơ sóng k bởi các công thức: =ℎ , = (1.7) Giữa năng lượng và xung lượng của photon có hệ thức: E = cp, (1.8) suy ra từ hệ thức giữa tần số và vectơ sóng của ánh ... DIỄN SỐ HẠT CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC TRONG CƠ LƯỢNG TỬ Trong chương tìm cách đưa biểu diễn số hạt đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng lượng Và viết đại lượng theo biểu diễn số hạt Bài... đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ... việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt