Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HUYỀN TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức, ngƣời tận tình hƣớng dẫn em suốt q trình hồn thành khóa luận Đồng thời, em xin bày tỏ lời cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Vật lý-Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội bạn sinh viên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trình nghiên cứu, hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận: “Tốn tử lượng biểu diễn số hạt” kết nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn tận tình GS.TSKH Đào Vọng Đức Các số liệu đƣợc đƣa hồn tồn trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác Tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm kết nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chƣơng Dao động tử điều hòa 1.1 Phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển 1.2 Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động hạt học lƣợng tử 1.2.1 Phƣơng trình Schrodinger 1.2.2 Hàm sóng 1.2.3 Năng lƣợng KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Phổ lƣợng dao động tử điều hòa 2.1 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển 2.2 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Toán tử lƣợng biểu diễn số hạt 3.1 Các toán tử tọa độ xung lƣợng tắc 3.2 Các vector riêng trị riêng toán tử Hamilton 3.3 Biểu diễn số hạt toán tử lƣợng 3.4 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa KẾT LUẬN CHƢƠNG KẾT LUẬN TÀI LIÊU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên nghiên cứu qui luật từ đơn giản đến tổng quát tƣợng tự nhiên Vật lý học nghiên cứu tính chất, cấu trúc vật chất định luật vận động vật chất Cơ học phận vật lý học Nó nghiên cứu dịch chuyển vật, biến dạng chúng tƣơng tác diễn vật dịch chuyển biến dạng Một đại lƣợng dùng để mô tả trạng thái vật, mơ tả chuyển động hệ vật lƣợng Năng lƣợng ứng với hình thức chuyển động học gọi Định luật bảo toàn lƣợng định luật thiên nhiên Trong giai đoạn phát triển vật lý học, đại lƣợng lƣợng mô tả chuyển động hạt đƣợc nhìn nhận khía cạnh khác Càng sau lƣợng mơ tả chuyển động hạt đƣợc nhìn nhận hồn chỉnh với thực nghiệm Trong học cổ điển, đại lƣợng động lực lƣợng Đến học lƣợng tử, đại lƣợng động lực đƣợc thay tốn tử lƣợng mơ tả chuyển động hạt tƣơng ứng toán tử lƣợng Khi nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt, ta tìm đƣợc phổ lƣợng hệ dao động phƣơng pháp đại số Chính nên tơi chọn đề tài “Tốn tử lượng biểu diễn số hạt” Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt Mục đích nghiên cứu Viết đƣợc toán tử lƣợng hệ dao động qua toán tử sinh hủy dao động Nhiệm vụ nghiên cứu Đƣa đƣợc dạng toán tử lƣợng hệ dao động biểu diễn số hạt Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp toán cho vật lý, phƣơng pháp tốn tử, giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng toán tử NỘI DUNG CHƢƠNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Xét hạt có khối lƣợng m chuyển động chiều theo trục Ox dƣới tác dụng lực đàn hồi F = −Kx (trong K hệ số đàn hồi) 1.1 Phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển Theo học cổ điển, hạt dao động điều hòa xung quanh vị trí cân x = Áp dụng định luật II Newton ta có: F = mx d x ⇔ −Kx =2 m dt , d x K ⇔ + x= dt m Trong đó, K (1.1) số dƣơng, ta đặt: ω = m m K Nghiệm phƣơng trình có dạng: x = Asinωt + B cos ωt = asin (ωt + φ ) Động hạt là: p T = = mx = ma 2ω 2cos ( ωt + φ 2 m dV = − , Thế hạt là: dx F= −gradV x x 1 ) ⇒ V (x) = −∫ Fdx = Kxdx = Kx2 = ∫2 ma ω sin (ωt + φ ) 2 0 Khi đó, lƣợng tồn phần hạt đƣợc biểu diễn qua tọa độ x xung lƣợng p theo biểu thức: p2 + V (x) E = T + V (x) = 2m 1 2 2 2 E = ma ω cos (ωt + φ ) + ma ω sin (ωt + φ 2 Vì sin2 (ωt + φ (ωt + φ ) ) + cos2 = E= K= mω ) nên ta có: Ka Năng lƣợng hạt có giá trị liên tục tỷ lệ thuận với a Nhƣ vậy, hạt thực dao động điều hòa xung quanh vị trí cân K với pha φ , tần số góc ω m = asin (ωt + dao động nó: x = biên độ φ ) a= 2E m 1.2 Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động hạt học lƣợng tử 1.2.1 Phương trình Schrodinger Trong học lƣợng tử ta gọi hệ xét dao động tử điều hòa Khi chuyển từ học cổ điển sang học lƣợng tử, hệ thức liên hệ toán tử giống nhƣ hệ thức liên hệ đại lƣợng vật lý tƣơng ứng học cổ điển tốn tử lƣợng tồn phần (hay tốn tử Hamilton) tn theo biểu thức tƣơng tự đƣợc thay toán tử tƣơng ứng: Toán tử Hamilton : ˆ ˆ ˆ pˆ ˆ H = T + V (x) = 2m Trong đó, tốn tử hạt có dạng: + V (x) 1 2 Vˆ ( x ) = V ( xˆ ) = Kxˆ = Kx 2 + n aˆ aˆ n = ∫ aˆψ (r ) n dr ≥ Do số đó, trị khơng âm riêng toán tử Nˆ Thật vậy, xét vector trạng thái thu đƣợc cách tác dụng toán tử aˆ lên n Đó vector trạng thái aˆ n Tác dụng lên vector trạng thái toán tử Nˆ sử dụng cơng thức (3.7), ta có: Nˆ aˆ n =−= = (n a − 1) aˆ a ˆ ˆ n (n − N 1) ˆ n n ( ) Hệ thức vừa thu đƣợc có nghĩa Nˆ nhƣng aˆ n vector riêng ứng với trị riêng n − Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng minh đƣ ợc a n 3, , vector riêng rằn ˆ2 aˆ n Nˆ g ứng với trị r n − 2, n − 3, i ê Tiếp theo ta xét vector trạng thái n thu đƣợc cách tác dụng g toán tử + aˆ lên n Đó vetor trạng thái a Tác dụng lên ˆ vector trạng thái + n tố sử dụng cơng thức (3.8), ta n có: tử Nˆ + Nˆ aˆ n = + = = (n + aˆ + + 1) aˆ a + (n n ˆ + n )n Nˆ ( ) Hệ a thức ˆ vector riêng + Nˆ có n nghĩa nh ƣ ng ứng n + Tƣơng tự nhƣ với trị vậy, dễ dàng chứng minh riêng đƣợc aˆ +2 n , aˆ +3 n , ứng với trị riêng n thì, với c c ứn t ũ g o n với r g cá r i c l trị ê riê n g ng c c ủ c a N v ˆ e n + 2,n + 3, ta tổng quát hóa nhƣ sau: N ế u n m ộ v e c o r r ê n g c ủ t t N p = 1, 2, 3, , p aˆ n vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng nv − a + pˆ vector riêng toán tử Nˆ ứng với trị riêng p n nnếu chúng khác khơng + p Kết hợp hai tính chất ta thấy n trị riêng Nˆ c N hn ˆ u ỗ − i 1V c, ì án c s− ố k2 h, ôn n g− â m3 , c ũ n g l c c t r ị r i ê n g c ủ a chuỗi giảm dần nên phải tồn số không âm nhỏ vector trạng thái nmi n nmin Rõ ràng là: ứng với trị riêng nhỏ aˆ nmin ≠0 (3.11) vector trạng thái ứng với trị riêng nmin −1 < nmin , trái với nmi trị riêng nhỏ Từ đẳng thức n (3.11) giả thiết ta suy ra: + aˆ aˆ n Mặt khác, theo định nghĩa Nˆ n = Nˆ n = nmi n = nn min So sánh hai phƣơng trình ta có: Trị riêng nhỏ tốn tử Nˆ nmin = Khi đó, vector trạng thái ứng với trị riêng nhỏ Nˆ Vector trạng thái thỏa mãn điều kiện: đƣợc ký hiệu aˆ = Khi Tỷ lệ với vector riêng aˆ + Nˆ aˆ +2 Nˆ ứng với trị riêng Tỷ lệ với vector riêng n n, == 2, + aˆ nmin = 0, Vì, nmin Xét ứng với trị riêng aˆ n Tứn ve g ri V nvì cớ i t r ị r i ê n g  + Hˆ 1= aˆ aˆ +   ω = N ˆ + 1  ω,        2 Nên vector riêng ứng với trị riêng Hˆ =  ω, E0 ˆ H ứng với trị ve riêng ct or riê ng củ a  1 E = 1+ ω, ,   2  n Hˆ ứng với trị riêng ve ct or ri ên g củ a 1  E = n+ ω n     3.3 Biểu diễn số hạt toán tử lượng Dao động tử điều hòa trạng thái có lƣợng thấp E Trạng thái E0 + với lƣợng  đƣợc xem kết ω việc thêm lƣợng tử lƣợng ω vào trạng thái Trạng thái với lƣợng: E1 + ω = E0 + 2ω, Có thể đƣợc xem kết việc thêm lƣợng tử lƣợng ω vào trạng thái , có nghĩa o thêm hai lƣợng tử lƣợng ω trạng thái , E0 coi Nếu ta lấy gốc trạng thái tính lƣợng không chứa lƣợng tử nào, trạng thái chứa lƣợng tử, trạng thái chứa hai lƣợng tử,…, n trạng thái chứa n lƣợng tử To có trị ngun khơng âm cách án đơn vị đƣợc tử Nˆ đoán nhận toán tử số lƣợng tử lƣợng Toán tử aˆ tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n − đƣợc đoán nhận toán tử hủy lƣợng tử aˆ + tác dụng lên n lƣợng Toán tử cho trạng thái tỷ lệ v n đƣợc đoán nhận toán tử + sinh lƣợng tử lƣợng Nếu i ta tƣởng tƣợng lƣợng tử lƣợng hạt Nˆ toán tử số hạt, aˆ + aˆ tốn tử sinh tốn hạt Khi tử trạng thái n hủy với hạt Nˆ n aˆ aˆ n nn số thực, n nn nn = Cta có: αn o = ≥ n i Và (3 12) s d ng lƣợng điề En u : = n ki ω n tr Sẽ trạng thái chứa n c hạt Đó biểu diễn số hạt gia h dao động tử điều o ò ch a u n Bây hó ta tính hệ thức a hệ số v tỷ lệ αn a , βn vi γn t, ta aˆ n n n = (3.1 có: = α − 2) + ,+ γ n= n aˆ a+ a)) , ˆn n * n = (=− β n n a( n ˆaα Để cho vector nˆ n trạng thái trực giao n − chuẩn hóa: m n = δmn = Từ biểu thức (3.10): α n n α n D o n= + n aˆ aˆ2 n V + aˆ, aˆ  = aˆaˆ + N − aˆ aˆ ê = ⇒ aˆ + aˆ + n = aˆaˆ − t a c ó : + n= n + aˆ aˆ n = n aˆaˆ − 1n + = n + aˆaˆ n2 + n− 1n nn n = ) )+ (* (−1 ˆ( ) n n a = + ˆ β n− − +1 = n + n  β Co i thực, βn = ta βsuy n n Tiếp theo, xét trạng thái ++ n + ( n − ) +(n−1) a = a = β0 aˆ1 ˆ a ˆ +(n−2) + +(n−2) a = β0 β1aˆ ˆ = β0 aˆ +(n−3) + +(n−3) a = βˆ = β0 β1β2 a aˆ a n n! = β0β1 βn−1 n = n , Và 30 aˆ =+ n n= = n ≥ 0), + (n n!, γ aˆ n n n Kh i thực ta có: đó, coi γ γ 3.4 Phổ lượng dao động tử điều hòa Năn = g lƣợng dao động tử n n! Vì ta thiết lập đƣợc cơng thức quan trọng sau: Nˆ n aˆ =nn, n −1 (n > 0), = + n trạng thái n đƣợc xác định theo biểu thức: = 0, aˆ n aˆ điều hòa = n! n n 1 n = a ˆ + n 30 E =  n 1 n+ ω    2 Do đó, trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lƣợng gián đoạn với giá trị cách nhau: hiệu số lƣợng hai trạng thái kề luôn lƣợng tử lƣợng ω Trạng thái dừng có lƣợng thấp (khác với lý thuyết cổ điển) Phổ E0 = ω ≠ lƣợng dao động tử điều hòa gián đoạn Trong học lƣợng tử, trạng thái dừng dao động tử điều hòa coi tập hợp nhiều hạt, hạt có lƣợng ω Khái niệm “hạt” đƣa vào tiện, thực chất “giả hạt” Trong thực tế ta khơng có hạt thật mà có trạng thái dao động khác hạt dao động nhỏ xung quanh vị trí cân đƣợc mơ tả giống nhƣ hệ hạt 55 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 3, ta xác định đƣợc vector riêng trị riêng toán tử Hamilton qua tốn tử tọa độ xung lƣợng tắc Viết đƣợc toán tử lƣợng dao động tử điều hòa qua tốn tử sinh hủy dao động biểu diễn số hạt, tính phổ lƣợng dao động tử điều hòa phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng cho lƣợng dao động tử điều hòa mức thấp theo quan điểm lƣợng tử KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt ra: - Viết đƣợc phƣơng trình Newton cho chuyển động hạt học cổ điển - Viết đƣợc phƣơng trình Schrodinger, hàm sóng lƣợng hạt học lƣợng tử - Biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển biểu diễn đƣợc lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử - Xác định đƣợc vector riêng trị riêng toán tử Hamilton qua toán tử tọa độ xung lƣợng tắc - Viết đƣợc tốn tử lƣợng dao động tử điều hòa qua tốn tử sinh hủy dao động biểu diễn số hạt Qua việc nghiên cứu đề tài, thấy rằng: Với việc nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt đơn giản nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn tọa độ Phổ lƣợng dao động tử điều hòa tìm đƣợc phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm riêng trị riêng cho lƣợng dao động tử điều hòa mức thấp theo quan điểm lƣợng tử Tuy nhiên, lần tơi làm khóa luận tốt nghiệp kiến thức nhƣ thời gian nghiên cứu hạn hẹp, khố luận khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc đóng góp q báu q thầy bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học sƣ phạm [3] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống Kê, Hà Nội [5] Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lƣợng tử, NXB Giáo dục ... động tử điều hòa 2.1 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết cổ điển 2.2 Đồ thị biểu diễn lƣợng hạt theo lý thuyết lƣợng tử KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng Toán tử lƣợng biểu diễn số hạt 3.1 Các toán tử. .. tơi chọn đề tài “Tốn tử lượng biểu diễn số hạt Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt Mục đích nghiên cứu Viết đƣợc tốn tử lƣợng hệ dao động qua toán tử sinh hủy dao động... tử, đại lƣợng động lực đƣợc thay toán tử lƣợng mô tả chuyển động hạt tƣơng ứng toán tử lƣợng Khi nghiên cứu toán tử lƣợng biểu diễn số hạt, ta tìm đƣợc phổ lƣợng hệ dao động phƣơng pháp đại số