Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Hoàng Phúc Huấn người hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thiện đề tài, người dành cho em giúp đỡ ưu thời gian học tập, nghiên cứu q trình hồn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Vật lí lý thuyết tạo điều kiện đóng góp ý kiến để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Tuy nhiên thời gian khn khổ khơng cho phép, đề tài hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp tiếp tục xây dựng đề tài bạn đọc quan tâm Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan nội dung nghiên cứu trình bày khóa luận “Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử” riêng em hướng dẫn tận tình Th.S Hoàng Phúc Huấn Nội dung nghiên cứu chưa cơng bố khóa luận khác Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nội dung nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đoàn Thị Thu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Các tiên đề học lượng tử 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển 1.1.1 Bức xạ vật đen 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử 1.1.3 Hiệu ứng quang điện 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng 1.2.2 Thuyết lượng tử Anhxtanh (Thuyết photon) 1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr) 1.3 Hệ tiên đề học lượng tử 10 1.3.1 Tiên đề 10 1.3.2 Tiên đề 10 1.3.3 Tiên đề 11 Bài tập vận dụng 12 Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử 17 2.1 Các toán tử tọa độ 17 2.2 Các toán tử xung lượng .18 2.3 Các toán tử moment xung lượng 19 2.4 Toán tử lượng .20 2.5 Toán tử spin electron 21 Bài tập vận dụng .24 Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử 27 3.1 Tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa 27 3.1.1 Phương trình Schodinger 28 3.1.2 Hàm sóng .28 3.1.3 Năng lượng 32 3.2 Chuyển toán tử: tọa độ, xung lượng lượng dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt 33 3.2.1iểu diễn số hạt toán tử tọa độ xung lượng 33 3.2.2 Biểu diễn số hạt toán tử lượng 34 3.2.3 Các vectơ riêng trị riêng toán tử Hamintonian 35 Bài tập vận dụng .41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào cuối kỷ 19 nhà Vật lí phát nhiều tượng hiệu ứng mà Vật lí học cổ điển khơng thể giải thích là: hiệu ứng quang điện, quy luật xạ vật đen,… Và để giải thích tượng này, nhà Vật lí lỗi lạc kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein Niels Bohr đề xuất giả thuyết lượng tử khác mà tất thừa nhận tính chất gián đoạn lượng số loại hệ vi mô Và vậy, hạt vật chất vi mơ vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, mà đại lượng động lực khơng xác định đồng thời Trong học cổ điển, để đặc trưng cho chuyển động hạt, ta dùng đại lượng động lực như: tọa độ, xung lượng, moment động lượng hạt… Các đại lượng gọi chung biến số động lực (như tọa độ xung lượng…) có giá trị xác định Vấn đề chủ yếu việc mơ tả chuyển động tìm phụ thuộc chúng vào thời gian Trong học lượng tử vấn đề lại khác, hạt khơng hình dung chất điểm chuyển động theo quỹ đạo, mà bó sóng định xứ miền khơng gian thời điểm bó sóng thay đổi theo thời gian Tại thời điểm ta nói xác suất để tìm thấy hạt phần tử thể tích khơng gian Hay nói cách khác xác suất để tọa độ hạt có giá trị nằm khoảng Nói chung biến số động lực vậy, ta nói xác suất để biến số động lực có giá trị nằm khoảng khơng thể nói giá trị xác định biến số động lực thời điểm học cổ điển Và để giải tốn cho chuyển động hạt vi mơ ta phải giải phương trình Schodinger tức ta tìm phương trình hàm riêng, trị riêng cho tốn tử lượng Việc làm dẫn đến tích phân phức tạp việc giải tốn khó khăn Để đơn giản việc giải phương trình hàm riêng, trị riêng ta chuyển việc giải phương trình tích phân thành việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu cách biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử - Tìm hiểu sở toán học lượng tử Giả thuyết khoa học - Tìm cách giải phương trình Schodinger phương pháp đơn giản phương pháp đại số Đối tượng nghiên cứu - Thế giới hạt vi mô - Nghiên cứu đại lượng động lực học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Biểu diễn toán tử lượng, toán tử xung lượng toán tử tọa độ hạt vi mơ qua tốn tử sinh hủy - Giải phương trình vi phân học lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Dùng phương pháp toán cho Vật lí Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có chương: Chương 1: Các tiên đề học lượng tử Chương 2: Các đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ điển Vật lí học khơng kể đến thuyết tương đối thuyết lượng tử Theo quan niệm cổ điển loại xạ (tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rơnghen, tia Gamma) sóng điện từ lan truyền khơng gian Năng lượng sóng tỷ lệ với bình phương biên độ biến đổi liên tục Như vật phát (dưới dạng xạ) hay hấp thụ (của xạ chiếu tới) lượng tùy ý, tức lượng có giá trị liên tục Sau ta xét số tượng khơng thể giải thích lý thuyết cổ điển như: tính bền vững nguyên tử, quy luật xạ vật đen,… Từ dẫn đến việc phải xây dựng khái niệm lượng tử giải thích chúng, bước đầu việc hình thành học lượng tử 1.1.1 Bức xạ vật đen Thực nghiệm chứng tỏ vật đen nhiệt độ T phát xạ điện từ có phổ liên tục, lượng xạ phát phụ thuộc vào nhiệt độ vật Vật phát xạ đồng thời hấp thụ lượng xạ chiếu tới Khi lượng mà vật hấp thụ lượng vật xạ thời gian nhiệt độ vật giữ không đổi Nếu thực cân lượng hệ thống vật xạ xạ gọi xạ cân Xét xạ cân có tần số góc từ m đến m + dm Năng lượng xạ chứa đơn vị thể tích khơng gian tỷ lệ với dm có biểu thức là: q(m, T)dm Hệ số tỷ lệ q(m, T): gọi mật độ lượng phổ, hàm số đặc trưng cho xạ cân Từ giáo trình vật lý thống kê dẫn tới công thức cho mật độ lượng xạ gọi công thức Rêlây:   , T    (1.1) kT  2c Với c vận tốc ánh sáng chân không, k số Bônzơman, T nhiệt độ xạ cân Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm phạm vi tần số góc m nhỏ nhiệt độ T tương đối lớn Nhưng tần số lớn cơng thức cho kết phi lý Ta thấy điều tính lượng tồn phần q xạ (tức lượng xạ toàn phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số cao) chứa đơn vị thể tích khơng gian:       ,T  d  kT    (1.2) c Năng lượng q vơ cực Đó điều khơng thể thừa nhận Sự thất bại việc vận dụng công thức Rêlây (1.1) vào miền tần số lớn gọi “tai biến miền tử ngoại” 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử Nếu áp dụng định luật vật lí cổ điển cho electron chuyển động xung quanh nguyên tử dẫn đến kết sau đây: Nguyên tử luôn xạ, tần số xạ có giá trị liên tục, nói cách khác phổ xạ nguyên tử liên tục Vì nguyên tử phát xạ nên lượng nguyên tử giảm liên tục, bán kính quỹ đạo electron giảm Sau thời gian ngắn vào khoảng 10–10 giây, electron rơi vào hạt nhân nguyên tử bị biến đổi Các kết mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường ngun tử khơng phát xạ, bị kích thích ngun tử phát xạ mà tần số có giá trị xác định (phổ gián đoạn), ngun tử bền vững khơng có tượng electron rơi vào hạt nhân 1.1.3 Hiệu ứng quang điện Nếu ta chiếu ánh sáng thích hợp vào bề mặt kim loại làm bật electron mặt kim loại ngoài, tượng phát lần vào năm 1887 Các kết thực nghiệm thu là: Có hiệu ứng ngưỡng: dòng quang điện xuất tần số v ánh sáng không nhỏ giá trị ngưỡng v0 giá trị v0 phụ thuộc vào chất bị chiếu sáng Vận tốc điện tử độ lớn hãm không phụ thuộc vào cường độ mà phụ thuộc vào tần số ánh sáng chất bị chiếu sáng Với ν> v0 cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ thuận với cường độ ánh sáng gây hiệu ứng quang điện Khơng thể giải thích phát quan niệm cho ánh sáng túy sóng, lượng sóng thay đổi liên tục, chiếu sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số ánh sáng bao nhiêu, điện tử nhận lượng lượng lớn cơng tối thiểu (còn gọi cơng thốt) kim loại để ngồi chuyển động nhanh cường độ chiếu sáng lớn, điều hoàn toàn trái ngược với kết thực nghiệm 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng Để giải điều phi lý tượng xạ vật đen nói trên, năm 1900 Plăng đưa giả thuyết sau: dao động tử điều hòa có tần số (góc) riêng m có lượng gián đoạn, giá trị ... việc giải phương trình đại số Muốn ta phải biểu diễn toán tử lượng đại lượng động lực biểu diễn số hạt Đó lí mà em chọn đề tài “ Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử ” làm khóa luận tốt... đại lượng động lực học lượng tử Chương 3: Biểu diễn số hạt đại lượng động lực học lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vật lí học cổ... biến số động lực ta thu giá trị số trị riêng toán tử biểu diễn biến số động lực Vì giá trị số biến số động lực thực nên trị riêng toán tử biểu diễn biến số động lực phải thực, muốn toán tử phải