Việc nghiên cứu phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (3.5), trong đó các toán tử ˆa và aˆthỏa mãn hệ thức giao hoán (3.4). Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới nhƣ sau:
Nˆ a aˆ ˆ (3.6) Và có hệ thức giao hoán giữa toán tử này với các toán tử ˆa và aˆ:
N aˆ ˆ, aˆ hay Naˆˆ a Nˆ ˆ 1 , (3.7) N aˆ ˆ, aˆhay Naˆˆ aˆNˆ 1 .
(3.8) Thật vậy, theo định nghĩa (3.6) và sử dụng hệ thức giao hoán (3.4), ta có: ˆ,ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, N a Na aN a aa aa a aa a a a a chính là hệ thức (3.7), và ˆ,ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , N a Na a N a aa a a a a aa a a a chính là hệ thức (3.8).
Ký hiệu n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n
N nˆ n n . (3.9) Từ phƣơng trình (3.9) ta suy ra ngay
ˆ ˆ ˆ 0, n N n n a a n n n n n n (3.10) Vì 2 0 n n n r dr Và
2
ˆ ˆ ˆ n 0.
n a a n a r dr
Do đó, các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm.
Thật vậy, xét vector trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử ˆ
alên n . Đó là vector trạng thái ˆa n . Tác dụng lên vector trạng thái này toán tử ˆNvà sử dụng công thức (3.7), ta có:
ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ .
Na n a N n a n n n a n
Hệ thức vừa thu đƣợc có nghĩa là ˆa n cũng là một vector riêng của
ˆ
Nnhƣng ứng với trị riêng n1. Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng minh đƣợc rằng a n a nˆ2 ,ˆ3 ,... cũng là các vector riêng của Nˆ ứng với các trị
riêng n2,n3,...
Tiếp theo ta xét vector trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử
ˆ
alên n . Đó là vetor trạng thái a nˆ . Tác dụng lên vector trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức (3.8), ta có:
ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ .
Na n a N n a n n n a n
Hệ thức trên có nghĩa a nˆ cũng là một vector riêng của Nˆ nhƣng
ứng với trị riêng n1. Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng minh đƣợc rằng
2 3
ˆ ,ˆ ,...
a n a n cũng là các vector riêng của ˆN ứng với các trị riêng
2, 3,...
n n do đó ta có thể tổng quát hóa nhƣ sau:
Nếu n là một vector riêng của toán tử ˆN ứng với trị riêng n thì, với
ˆ 1, 2, 3,..., p
p a n cũng là một vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng
n p và ˆ p
a n cũng là một vector riêng của toán tử ˆN ứng với trị riêng
Kết hợp hai tính chất trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của ˆN thì chuỗi các số không âm n1,n2,n3,...cũng là các trị riêng của Nˆ . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin. Xét vector trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin. Rõ ràng là:
a nˆ min 0, (3.11) Vì, nếu a nˆ min 0 thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng min 1 min,
n n trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ đẳng thức (3.11) ta suy ra:
min ˆ min
ˆ ˆ 0.
a a n N n Mặt khác, theo định nghĩa của nmin thì
min min min
ˆ .
N n n n
So sánh hai phƣơng trình trên ta có: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là
min 0.
n
Khi đó, vector trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ đƣợc ký hiệu là 0 . Vector trạng thái này thỏa mãn điều kiện:
ˆ 0 0.
a Khi đó
ˆ 0
a
Tỷ lệ với vector riêng 1 của Nˆ
ứng với trị riêng n1,
2
ˆ 0
a
Tỷ lệ với vector riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n2,...,
ˆ n 0
a
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 2 H a a N
Nên 0 là vector riêng của Hˆ ứng với trị riêng
0 1
, 2
E
1 là vector riêng của Hˆ ứng với trị riêng
1 1 1 1 ,..., 2 E
n là vector riêng của Hˆ ứng với trị riêng
1 . 2 n E n