Một số bài toán về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn

Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn là việc nghiên cứu về lý thuyết vùng năng lượng của chất rắn chuyển động của electron trong trường toàn hoàn của tinh thể, mô

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến nay luận văn của em đã hoàn thành Trong thời gian nghiên cứu em đã được sự giúp đỡ tận tình của giảng viên – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp hướng dẫn em làm khóa luận này cùng các thầy cô trong khoa Vật lí đặc biệt là tổ Vật lí lý thuyết trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và các bạn sinh viên khoa Vật lí

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt là cô giáo – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn

và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Phương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 3

1.1 Mô hình electron liên kết yếu 3

1.2 Mô hình electron liên kết mạnh 11

1.3 Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng lượng 18 1.4 Tính chất của electon theo lý thuyết vùng năng lượng 20

1.4.1 Phương trình chuyển động của electron 20

1.4.2 phương trình chuyển động của lỗ trống 22

1.4.3 Tenxơ khối lượng hiệu dụng 26

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG 29 KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn là việc nghiên cứu về lý thuyết vùng năng lượng của chất rắn (chuyển động của electron trong trường toàn hoàn của tinh thể, mô hình electron liên kết yếu,

mô hình electron liên kết mạnh, tính chất của electron theo lý thuyết vùng năng lượng…) Vì nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng cho ta một bức tranh đầy đủ về vật rắn Sau khi xác định được năng lượng, hàm sóng, ta sẽ xác định được các tính chất vật lí của hệ như: năng lượng tự do; các hệ số nén đẳng nhiệt, đoạn nhiệt; các môđun đàn hồi, …

Nhằm củng cố và tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết trên cũng như trau dồi

kỹ năng thực hành tốt thì việc giải và làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lí

Tuy hiện nay ở nước ta có khá nhiều tài liệu về vật lí chất rắn nhưng tài liệu về bài tập vật lí chất rắn chưa nhiều và việc làm bài tập của môn này chưa được coi trọng Muốn hiểu được lý thuyết một cách chặt chẽ thì một việc làm rất cần thiết đối với sinh viên các trường đại học nói chung và sinh viên sư

phạm nói riêng là giải bài tập Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số bài toán về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn” nhằm bước đầu làm quen với việc

làm bài tập vật lí chất rắn để cụ thể hơn những vấn đề trong lý thuyết, rèn kỹ năng tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau

 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết về vùng năng lượng trong vật rắn để giải được bài tập về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn

 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Bài tập về lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn

 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giải bài tập để nắm vững và củng cố thêm về kiến thức đã học

- Áp dụng các phép gần đúng và hàm Bloch để giải bài tập nhanh hơn

 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

- Thống kê, lập luận, diễn giải

 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

 Chương 1: Lý thuyết về vùng năng lượng trong vật rắn

Chương này trình bày một số vấn đề về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn:

1.1 Mô hình electron liên kết yếu

1.2 Mô hình electron liên kết mạnh

1.3 Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng lượng

1.4 Tính chất của elctron theo lý thuyết vùng năng lượng

 Chương 2: Một số bài toán về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn

Chương này trình bày về một số bài tập về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn

3

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG

CỦA VẬT RẮN

1.1: Mô hình electron liên kết yếu

Bài toán: Xét electron chuyển động trong trường thế tuần hoàn

( ⃗) = ( ⃗ + ⃗) với thế năng ( ⃗) trong trường tinh thể là yếu Hay nói cách khác đi là electron liên kết yếu với ion ở nút mạng và chuyển động gần giống với electron tự do Bài toán được giả thiết theo phương pháp gần đúng

electron liên kết yếu hay electron gần tự do Mô hình electron gần tự do áp

dụng tốt cho electron ở lớp ngoài của nguyên tử (electron hóa trị) vì electron chịu tác dụng rất yếu của lõi nguyên tử Vì ⃗ yếu nên ta có thể coi ⃗ như là thế nhiễu loạn và ⃗ được coi là đại lượng bé bậc nhất Và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử để giải bài toán này Trên cơ sở mô hình này, ta có thể giải thích được nhiều tính chất chung của vùng năng lượng trong vật rắn Mô hình này còn giúp ta giải quyết nhiều bài toán về electron trong kim loại

Xuất phát từ phương trình Schrödinger gần tự do có dạng:

+ ( ⃗) Ѱ ( ⃗) = ⃗ Ѱ ( ⃗), (1.1) trong đó (⃗) là thế năng tương tác; là toán tử động năng:

= − ћ ∇ ; ( ⃗) ≪ Đặt:

Ѱ ( ⃗) = Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + ⋯, (1.2)

⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⋯, (1.3) với: Ѱ ( ⃗) là hàm sóng trong gần đúng bậc 0 của lý thuyết nhiễu loạn;

Ѱ ( ⃗) là hàm sóng trong gần đúng bậc 1 của lý thuyết nhiễu loạn; Ѱ ( ⃗) là hàm sóng trong gần đúng bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn; …

⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 0 của lý thuyết nhiễu loạn; ⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 1 của lý thuyết nhiễu loạn; ⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn; …

Như vậy để tìm được năng lượng, hàm sóng dừng lại ở gần đúng bậc nhất, thay (1.2) và (1.3) vào (1.1) ta có phương trình Schrödinger:

+ ( ⃗) Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + ⋯ =

= ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⋯ Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗( ⃗) + ⋯ Cho bằng nhau những đại lượng bé cùng bậc ta được hệ phương trình:

= 1

√ Hàm sóng của electron chuyển động trong trường tuần hoàn của tinh thể có dạng là hàm Block: Ѱ( ⃗) = ⃗ ⃗ ( ⃗) với ( ⃗ + ⃗) = ( ⃗) Vì

5

( ⃗ + ⃗) = ( ⃗) là hàm tuần hoàn trong không gian của mạng thuận nên

nó đáp ứng đầy đủ điều kiện để hoàn thành chuỗi Furie Phân tích chuỗi Furie:

So sánh (1.2) và (1.8) ta được:

Ѱ⃗( ⃗) = ⃗ ⃗ Ѱ⃗ ⃗( ⃗);

Ѱ⃗( ⃗) = ⃗ ⃗ Ѱ⃗ ⃗( ⃗);

… Tính ⃗ , ⃗ , Ѱ⃗( ⃗), Ѱ⃗( ⃗)

Chú ý:

a) ∫ Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ = 0 ; ∫ Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ = 0 ;

Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗ ⃗( ⃗)d ⃗ = 0 ℎ ⃗ ≠ 0 b) Vì là Hermite mà ⃗ là thực nên:

= ⃗ Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ ( = 1,2,3, … ) (1.11)

Tính ⃗ :

Nhân Ѱ⃗∗( ⃗) từ trái lên 2 vế của phương trình (1.4_b):

7

Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗( ⃗) =

= Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗( ⃗) + Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗( ⃗) Tích phân theo r theo toàn không gian, ta có:

Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗) ⃗ + Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗( ⃗) ⃗ =

= Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗( ⃗) ⃗ + Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗( ⃗) ⃗, Suy ra:

Chú ý: Trong biểu thức Ѱ⃗( ⃗) ở phương trình (1.14) và biểu thức ⃗

ở biểu thức (1.15) vừa tìm được ta thấy rằng có thể xảy ra trường hợp V⃗ ≠ 0 Nhưng ⃗ = ⃗ + ⃗ khi đó các số hạng bổ chính là Ѱ⃗( ⃗) và ⃗

do nhiễu loạn gây ra không thể coi là nhỏ được Nghĩa là khi ⃗ =

= ⃗ + ⃗ thì lý thuyết nhiễu loạn tìm ⃗ , ⃗ ở trên là không tìm được Trong trường hợp này có sự suy biến ở mức năng lượng không nhiễu loạn: Nghĩa là ứng với một mức năng lượng ⃗ = ⃗ + ⃗ có tới 2 trạng thái khác nhau của hàm sóng Ѱ⃗( ⃗) và Ѱ⃗ ⃗( ⃗) Vì vậy để tính năng lượng và hàm sóng trong trường hợp này chúng ta phải dùng phương pháp nhiễu loạn khi có suy biến để tính [6]

Trong gần đúng bậc 0, hàm sóng của trạng thái nhiễu loạn là chồng chất các hàm sóng không nhiễu loạn ( , là các hệ số):

Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ + Ѱ⃗∗( ⃗) ⃗ Ѱ⃗ ⃗( ⃗)d ⃗ +

+ Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ + Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗ ⃗( ⃗)d ⃗ =

= Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ + Ѱ⃗∗( ⃗) Ѱ⃗ ⃗( ⃗)d ⃗,

 ⃗ + ∫ Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗( ⃗)d ⃗ + ∫ Ѱ⃗∗( ⃗) ( ⃗)Ѱ⃗ ⃗( ⃗)d ⃗ = ,

 ⃗ + + ⃗∗ = (1.18-1) Nhân 2 vế của (1.17) với Ѱ⃗ ⃗∗( ⃗) từ trái rồi tích phân 2 vế theo d ⃗:

Đối với những trạng thái của electron mà vectơ sóng ⃗ thỏa mãn điều kiện ⃗ = ⃗ + ⃗ thì khi đó vectơ sóng ⃗ thỏa mãn: = ( + ) Do: ⃗ =ћ và ⃗ + ⃗ =ћ ( )

Như vậy 2 giá trị của ± tương ứng với giá trị của hàm sóng Ѱ± (1.16)

1.2: Mô hình electron liên kết mạnh

Bài toán: Xét trong trường hợp tinh thể trong đó electron liên kết chặt

chẽ với lõi nguyên tử, mặc dù vẫn chịu tác dụng của thế của trường tinh thể Trong trường hợp này trạng thái của electron gần với trạng thái của nó trong nguyên tử hơn là trạng thái của electron tự do Phương pháp gần đúng electron gần tự do không áp dụng được một cách tiện lợi (vì phải xét tổ hợp của rất nhiều sóng phẳng) Ta phải áp dụng phương pháp gần đúng elctron liên kết mạnh Phương pháp này thích hợp cho việc nghiên cứu tính chất của các electron ở những lớp bên trong của nguyên tử

Giả sử biết hàm sóng và năng lượng của electron trong nguyên tử tự do, chúng ta tìm hàm sóng và năng lượng của electron trong gần đúng electron liên kết mạnh với nguyên tử trong tinh thể

Trước hết xét 1 electron trong nguyên tử tự do Khi đó toán tử của Hamilton của electron trong nguyên tử tự do có dạng:

= −ћ ∇

2 + ( ⃗), (1.24) trong đó: (⃗) là thế năng tương tác của electron do hạt nhân và các electron khác của nguyên tử gây ra; |⃗| là khoảng cách từ electron đến tâm nguyên tử

Khi đó ta viết được phương trình Schrödinger của electron trong nguyên tử tự do:

Φ( ⃗) = Φ( ⃗), (1.25) với: là năng lượng trong nguyên tử tự do; Φ( ⃗) là hàm sóng của electron trong nguyên tử tự do; N là số lượng tử

Toán tử Hamilton của electron trong tinh thể kí hiệu :

= −ћ ∇

2 + ( ⃗), ( ⃗) là thế tuần hoàn: ( ⃗) = ( ⃗ + ⃗) trong không gian mạng thuận nên ta

có thể phân tích thành chuỗi Fourier với ⃗ là các hệ số phân tích:

⃗

Khi đó ta viết được phương trình Schrödinger trong tinh thể:

Ѱ( ⃗) = −ћ ∇

2 + ( ⃗) Ѱ( ⃗) = Ѱ( ⃗), (1.26) trong đó: Ѱ( ⃗)và E tương ứng là hàm sóng và năng lượng của electron trong tinh thể

Coi đã biết: Φ( ⃗) và tìm Ѱ( ⃗) và E

Trong tinh thể, vị trí của nguyên tmạng được xác định bằng vectơ:

ể vị trí của electron được xác định bằng bán kính vectơ

ối với hạt nhân bằng bán kính vectơ: ⃗ −Khi đó hàm sóng của electron của nguyên tử đặt ở nút n s

năng tương tác của electron với nguyên tử: U( ⃗ −

n đúng liên kết mạnh, hàm sóng của electron trong tinh th

i dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng nguyên tѰ( ⃗) = ⃗Φ( ⃗ − ⃗)

là hàm Block thì ⃗ = ⃗ ⃗ : ⃗ = ⃗ ⃗

Ѱ( ⃗ + ⃗) = ⃗ ⃗Ѱ( ⃗)

Vậy Ѱ( ⃗) thỏa mãn tính chất đặc trưng của hàm Block

Thay Ѱ( ⃗) = ∑⃗ ⃗Φ( ⃗ − ⃗) vào phương trình Schrödinger của electron trong tinh thể:

15

Vì các hàm sóng của electron trong nguyên tử Φ định xứ mạnh quanh khu vực các nguyên tử nên Φ( ⃗ − ⃗) và Φ( ⃗ − ⃗) phủ nhau rất ít khi ⃗ ≠ ⃗ Khi đó, ta có thể sử dụng điều kiện trực chuẩn sau:

Brillouin), ở đó năng lư

(1.31) là năng lượng electron trong gđúng liên kết mạnh;

[6]

Để hiểu thêm về ý nghquả vừa thu được, ta áp d(1.31) cho trường hợp mphương giản đơn một chitinh thể này, mỗi nguyên t

n nó nhất, do đó 6 vectơ ℎ⃗ có tọa độ là: (a,

a, 0); (0, a, 0); (0, 0, a); (0, 0, -a) (hình 1.2)

t các hàm sóng nguyên tử có tính đối x

ng thái s chẳng hạn), đối với chúng không có phương ưu tiên

a electron trong tinh thể, theo (1.31) là:

= cos + sin ta sẽ được:

c này ta có thể rút ra một số kết luận quan trthuộc vào vectơ sóng ⃗ Để cho ⃗ được xác đ

n các giá trị của chúng trong vùng Brillouin, v.v… Vậy vùng Brillouin thứ nhất là mtrong không gian ⃗

≤ 1, nên các giá trị của năng lượng theo (1.32ng: ∆ = 12 ( )

a vùng ứng với các giá trị cos = 1, tức là ⃗

đó năng lượng có giá trị: = − − 6 (

t là một lập phương có

ng theo (1.32) nằm

⃗ = 0 (tâm của vùng ( )

Từ (1.32) với các giá trị k bé, khi mà ≪ 1 ta có thể phân tích cos thành các chuỗi theo : cos = 1 − ( ) Tương tự cho cos ; cos Khi đó, từ (1.32), ta có ở gần tâm vùng Brillouin:

= − − 6 ( ) + ( ) (1.33) Nghĩa là quy luật tán sắc có dạng Parabol nên ta có thể viết lại (1.33) như sau:

2 ∗ ; (1.34)

ở đây ∗ đóng vai trò như khối lượng m của electron tự do và được gọi là

khối lượng hiệu dụng của electron trong tinh thể Trong trường hợp này biểu

thức của nó là:

( ) (1.35) Nhận xét (1.35), ta thấy khi ( ) càng bé thì ∗ càng lớn, nghĩa là bề rộng của vùng năng lượng càng nhỏ thì khối lượng hiệu dụng càng lớn [7]

Từ (1.33), ta có:

= 2 ( ), (1.36) nên có thể viết lại (1.36) như sau:

1

ћ (1.37)

1.3: Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng lượng.

Mỗi vùng năng lượng có một số giới hạn các mức năng lượng Theo

nguyên lí Pauli: Trên mỗi mức có thể chứa không quá hai điện tử với spin ngược nhau Trong vùng Brillouin thứ nhất, có N vectơ sóng ⃗ khác nhau có

thể có hai hình chiếu spin, nên trong mỗi vùng năng lượng có 2N trạng thái

Do đó, theo nguyên lí Pauli, trong một vùng năng lượng có thể có đến 2N electron

Electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy (trên mỗi mức đều có 2 electron có spin đối song) không tham gia vào quá trình dẫn điện trong tinh thể Đó là vì trong vùng đầy, không còn trạng thái tự do Khi có điện trường ngoài đặt vào tinh thể, muốn có sự dẫn điện, phải có sự chuyển động có hướng của electron tức là vectơ sóng ⃗ của các electron phải định hướng ưu tiên theo một phương Vì mỗi mức năng lượng (ứng với mỗi giá trị của ⃗) đều

có hai electron, nên không còn mức năng lượng trống, nghĩa là electron không thay đổi được giá trị của ⃗ và không thể tham gia vào quá trình dẫn điện

Vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn gọi vùng hóa trị Nếu vùng năng

lượng có nhiều mức năng lượng còn trống, mà electron trong vùng có thể chuyển lên được dưới tác dụng của điện trường ngoài thì vùng đó được gọi là

vùng dẫn Nếu vùng mà không chứa một mức năng lượng nào để electron chiếm chỗ gọi là vùng cấm Với một số nhất định các điện tử trong chất rắn

chỉ một số vùng năng lượng thấp nhất bị lấp đầy Tùy theo mức độ lấp đầy

của vùng năng lượng mà ta chia vật rắn thành 2 nhóm (Hình 1.3):

Nhóm 1: Là nhóm bao gồm những vật mà ở trên vùng năng lượng bị

lấp đầy hoàn toàn, là vùng năng lượng chỉ bị lấp đầy đến mức

Nhóm 2: Bao gồm các vật phía trên ở vùng năng lượng bị lấp đầy hoàn

toàn là vùng bị trống hoàn toàn

ng vùng cấm là ∆ là khoảng cách giữa hai vùng là vùng hóa tr

n điện của tinh thể được quyết định bởi s

t tương đối của các vùng [7]

i nhóm 1: Khi có một điện trường yếu, điện tử ở

c kích thích tăng tốc và nhảy lên mức còn trống K

i tác dụng của điện trường và tạo thành dòng

n trong kim loại

Tùy thuộc vào bề rộng vùng cấm ∆

năng 1: Nếu bề rộng vùng cấm tương đối rộ

là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuykhông làm phá vỡ cấu trúc Như vậy, đivùng lấp đầy (vùng hóa trị) qua vùng cấm đ Do năng lượng mà điện trường cung cấp còn nh

ng nhiệt k T của hạt mang điện nên không thhạt mang điện có thể nhảy qua vùng c

n Kết quả là không có dòng điện Đó là trưa)

mà có 2 khả năng

ộng nghĩa là ∆ ≫tuyệt đối thì khi có , điện tử sẽ không thể

m để lên vùng trống

p còn nhỏ hơn cả năng

n nên không thể thắng được bề

y qua vùng cấm lên mức năng

Đó là trường hợp của

- Khả năng 2: Nếu bề rộng vùng cấm hẹp hay ∆ ≪ k T(≈ 3eV), khi

ở nhiệt độ phòng (3000 K) chuyển động nhiệt có thể chuyển một số electron

từ vùng hóa trị lên vùng dẫn Khi đó tạo ở vùng hóa trị (vùng lấp đầy) lỗ trống Khi đặt vào trong điện trường yếu, những electron được chuyển lên vùng dẫn có thể dễ dàng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn trong vùng

và tham gia dẫn điện Chúng được gọi là các electron tự do hay các electron dẫn Ngoài ra, các trạng thái ở vùng hóa trị bị trống hay chính là lỗ trống cũng tham gia dẫn điện Chúng có tính chất giống như các hạt mang điện tích dương Như vậy, tinh thể dẫn điện nhờ hai loại hạt mang điện: electron tự do

mang điện âm và lỗ trống mang điện dương Vật rắn như thế gọi là bán dẫn

Sự dẫn điện như vừa mô tả là sự dẫn điện riêng của bán dẫn (Hình 1.3 b) [6]

So sánh sự khác nhau giữa kim loại, chất bán dẫn và điện môi: Sự dẫn điện trong kim loại là sự chuyển dời có hướng của electron Với chất bán dẫn

là sự chuyển dời của electron và lỗ trống Còn với điện môi thì không có sự chuyển dời (không dẫn điện)

1.4: Tính chất của electron theo lý thuyết vùng năng lượng

1.4.1: Phương trình chuyển động của electron

Để giải bài toán đơn giản hơn, ta xét electron chuyển động trong mạng tinh thể đơn giản một chiều Trạng thái của electron trong tinh thể được xác định bởi hàm sóng Block: Ѱ( ⃗) = ⃗ ⃗ ( ⃗) với ( ⃗ + ⃗) = ( ⃗); ứng với vectơ sóng ⃗ Vận tốc chuyển động của electron liên hệ với tần số góc ω của sóng electron:

v =dω

dk; trong đó: ω là tần số góc của sóng và liên hệ với năng lượng E của electron theo hệ thức: ω =

ћ Do đó:

v = 1dE; (1.38)

Trong trường hợp 3 chiều, biểu thức cho vận tốc electron trở thành:

v⃗ =1

ћgrad⃗ =

1

ћ∇⃗⃗E (1.39) Khi có trường ngoài, chẳng hạn điện trường ⃗, tác dụng vào electron trong tinh thể và giả sử lúc đầu electron ở trong trạng thái k Công E mà điện trường thực hiện trên electron trong khoảng thời gian t là: E = −e v t

Vì rằng: E = k = ћv δk [dựa vào (1.38)] Vậy:

δk = −e

ћ t hay ћ

dk

dt = −e ,

ở đây −e = F là ngoại lực tác dụng lên electron

Vì vậy, phương trình chuyển động của electron trong trường hợp tổng quát là:

ћdk⃗

dt = F⃗ (1.40) Kết quả này cho thấy trong tinh thể ћ ⃗ bằng ngoại lực tác dụng lên electron Còn với electron tự do thì ngoại lực bằng ( ⃗) Điều đó không có nghĩa là trong tinh thể định luật II Newton bị vi phạm Vấn đề là electron trong tinh thể vừa chịu tác dụng lực của mạng tinh thể, vừa chịu tác dụng của trường lực ngoài Nếu ta cố ý biểu thị chuyển động tổng hợp của electron chỉ