Khái niệm về lỗ trống là kết quả đặc biệt lí thú được rút ra từ lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn. Ta hãy xét một vùng hóa trị của điện môi, vốn bị chiếm hoàn toàn, nhưng vì một lí do gì đó, có một electron bị bứt ra (chẳng hạn do hiệu ứng quang điện). Ta xét bài toán gồm hệ 2N-1 electron và có thể coi hệ này như một hạt mà ta gọi là lỗ trống. Nói khác đi, trạng thái electron không bị chiếm ở trong vùng được phép gọi là lỗ trống. Có bao nhiêu trạng
thái không bị chiếm thì có b được sự tồn tại và các tính ch
Trước hết, ta hãy xét, vect rằng tổng vectơ sóng c
thì bằng không:
Kết quả này đư đó đã có trạng thái ứ (-k⃗).
Giả sử electron b có thể viết lại (1.42) như sau:
Tổng vectơ sóng
−k⃗ . Đó cũng chính l
Trên hình 1.4
tinh thể điện môi. M
Hình 1.4
23
m thì có bấy nhiêu lỗ trống. Nhiều thí nghi i và các tính chất vật lí của lỗ trống.
t, ta hãy xét, vectơ sóng của lỗ trống. Mu ng vectơ sóng của tất cả electron trong vùng năng lư
k⃗ = 0.
này được suy ra từ tính chất đối xứng của vùng ứng với vectơ sóng k⃗ thì cũng phải có tr
electron bị bứt ra từ trạng thái đặc trưng bởi vectơ sóng ) như sau: k⃗ + ∑ k⃗ − k⃗ = 0.
ng vectơ sóng k⃗ của hệ sau khi electron bị bứt ra là: ũng chính là vectơ sóng k⃗ của lỗ trống. Vì vậy:
k⃗ = −k⃗ ,
biểu diễn vùng hóa trị và vùng dẫn gần nó nh
n môi. Một electron bị bức ra khỏi trạng thái A trong vùng hóa tr đầy và chuy B, vectơ sóng c k⃗ . Tổng vectơ trong vùng hóa trị bây gi cũng chính là vectơ sóng c lỗ trống và nó gi vectơ sóng c trạng thái C (b Hình 1.4 u thí nghiệm đã xác định
ng. Muốn vậy, ta cần biết trong vùng năng lượng bị chiếm đầy
(1.42) a vùng Brillouin, do i có trạng thái ứng với i vectơ sóng k⃗ . Ta t ra là: ∑ k⃗ − k⃗ = (1.43) n nó nhất trong một ng thái A trong vùng hóa trị y và chuyển lên trạng thái B, vectơ sóng của nó vẫn là ng vectơ trong vùng bây giờ là −k⃗ . Đó h là vectơ sóng của ng và nó giống như vectơ sóng của elctron ở
Như vậy, nếu ta bỏ qua vectơ sóng của phôtôn tham gia vào quá trình quang điện thì sau khi xuất hiện một electron tự do và một lỗ trống, tổng vectơ sóng của hệ là:
k⃗ + k⃗ = k⃗ − k⃗ = 0.
Theo (1.40) ta có phương trình chuyển động của electron trong tinh thể có dạng: ћ ⃗ = F⃗ . Trong đó F⃗ là lực tác dụng lên electron.
Từ đó, theo (1.39) ta có:
ћdk⃗
dt = −ћ dk⃗
dt = −F⃗ .
Nếu F⃗ là lực điện trường và từ trường thì:
ћdk⃗
dt = e ⃗ + v⃗ ˄B⃗ . (1.44)
Đó là phương trình chuyển động của một hạt mang điện dương. Với v⃗
được xác định theo (1.39) trong đó E k⃗ là hàm chẵn của k⃗: E k⃗ = E −k⃗ . Do đó, v⃗ là hàm lẻ của k⃗:
v⃗ −k⃗ = −v⃗ k⃗ .
Do tính đối xứng của vùng Brillouin mà ứng với vectơ sóng k⃗, có vectơ
−k⃗; nên ứng với vectơ v⃗ cũng có vectơ −v⃗. Kết quả là tổng vận tốc trong vùng chiếm đầy triệt tiêu: ∑ v⃗ = 0. Nếu electron bị bứt khỏi vùng đầy từ trạng thái ứng với vectơ sóng k⃗ thì bằng cách lí luận tương tự, ta có vận tốc tổng cộng của hệ là −v⃗ k⃗ . Và đó cũng chính là vận tốc của lỗ trống ứng với vectơ sóng k⃗ : v⃗ k⃗ = −v⃗ k⃗ .
Thực ra, khi electron bứt khỏi trạng thái k⃗ thì lỗ trống tương ứng sẽ có vectơ sóng k⃗ = −k⃗ (theo (1.43)). Do đó, vận tốc lỗ trống xác định theo vectơ sóng k⃗ của lỗ trống là:
25
v⃗ k⃗ = v⃗ k⃗ . (1.45)
Để cho thuận tiện, người ta thường lấy gốc tính năng lượng của electron ở đỉnh của vùng hóa trị (bị chiếm đầy). Như vậy năng lượng E k⃗
của các electron trong vùng hóa trị đều có giá trị âm. Lỗ trống xuất hiện khi electron bứt khỏi trạng thái k⃗ có năng lượng E dương:
E = −E k⃗ . (1.46)
Vùng năng lượng đối xứng với phép nghịch đảo: k⃗ → −k⃗ nên:
E k⃗ = E −k⃗ .
Do đó năng lượng lỗ trống Eh có thể coi như E k⃗ và:
E k⃗ = −E k⃗ . (1.47)
Tức là năng lượng của lỗ trống trái dấu với năng lượng của electron bị bứt ra khỏi trạng thái tương ứng. Việc xác định dấu của năng lượng electron và lỗ trống như trên có ý nghĩa vật lí rõ ràng: quá trình bứt electron từ trạng thái năng lượng thấp đòi hỏi phải thực hiện một công lớn hơn so với quá trình bức electron từ trạng thái năng lượng cao trong cùng vùng năng lượng. Lỗ trống ở gần đỉnh vùng hóa trị có năng lượng thấp hơn lỗ trống ở xa đỉnh.
Từ (1.38) và (1.44), ta có:
v⃗ =1
ћ∇⃗ ⃗E k⃗ . (1.48)
Kết hợp với (1.43) và (1.44), ta viết được phương trình chuyển động của lỗ trống là:
ћdk⃗
dt = e ⃗ + v⃗ ˄B⃗ = F⃗ ; (1.49)
với F⃗ là lực tác dụng lên lỗ trống.
Để tìm hiểu về khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống, ta hãy xuất phát từ phương trình của định luật II Newton cho electron:
m∗dv⃗ dt = −e ⃗ , (1.50) và cho lỗ trống: m∗dv⃗ dt = e ⃗, (1.51) Theo (1.45) thì v⃗ = v⃗ nên: dv⃗ dt = dv⃗ dt.
So sánh (1.50) và (1.51) ta thấy khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống ở cùng một điểm trong vùng năng lượng trái dấu nhau [7]:
m∗ = −m∗ (1.52)