Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh Lê Thị Hồng Hạnh Biểu diễn hữu hạn Của các nửa nhóm ngợc luận văn thạc sĩ Toán học Chuyên ngành : đại số và lý thuyết số Mã số : 60 . 46 . 05 Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs. ts. lê quốc hán Vinh - 2010 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh Lê Thị Hồng Hạnh Biểu diễn hữu hạn Của các nửa nhóm ngợc luận văn thạc sĩ Toán học Vinh - 2010 Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1 . Nửa nhóm ngợc tự do 3 1.1. Xây dựng nửa nhóm ngợc tự do từ nửa nhóm số tự do 3 1.2. Các P - nửa nhóm 8 1.3. Cấu trúc của nửa nhóm ngợc tự do FI X 10 Chơng 2 . Biểu diễn hữu hạn của các nửa nhóm ngợc 20 2.1. Biểu diễn các nửa nhóm .20 2.2. Biểu diễn hữu hạn của các nửa nhóm .24 2.3. Biểu diễn hữu hạn của các nửa nhóm ngợc 25 Kết luận .37 Tài liệu tham khảo 38 mở đầu Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó tồn tại một bảng chữ cái A và một tơng đẳng trên A * (trong đó A * là nửa nhóm tự do sinh bởi A ) sao cho A S . Giả sử R là quan hệ hai ngôi trên A * nhỏ nhất sao cho là tơng đẳng sinh bởi R . Khi đó cặp < A | R > đợc gọi là một biểu diễn của nửa nhóm S và ta viết S = < A | R >. Trong các biểu diễn của nửa nhóm S , biểu diễn tốt nhất là biểu diễn hữu hạn ( nghĩa là trong trờng hợp A và R đều là các tập hợp hữu hạn ). Tuy nhiên, đối với một nửa nhóm tuỳ ý, không phải bao giờ cũng tồn tại một biểu diễn hữu hạn nh vậy. Mục đích của Luận văn là dựa trên hai tài liệu [7] và [10] để mô tả lại một cách chi tiết một số điều kiện để một nửa nhóm hoặc nửa nhóm ngợc biểu diễn đợc hữu hạn. Luận văn gồm hai chơng. Chơng 1. Nửa nhóm ngợc tự do. Trong chơng này chúng tôi trình bày khái niệm về nửa nhóm ngợc tự do, xây dựng nửa nhóm ngợc tự do từ nửa nhóm tự do và từ khái niệm bộ ba Mc Alister. Từ đó cho thấy sự tồn tại và cấu trúc của nửa nhóm ngợc tự do trên một tập tùy ý. Chơng 2. Biểu diễn hữu hạn của các nửa nhóm ngợc tự do. Sau khi trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến biểu diễn và biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm tổng quát và nửa nhóm ngợc, chúng tôi chứng minh chi tiết một kết quả đáng quan tâm : Không có một nửa nhóm ngợc tự do nào đợc biểu diễn hữu hạn nh một nửa nhóm. Việc tìm điều kiện để một nửa nhóm ngợc biểu diễn đợc hữu hạn là vấn đề mà chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu trong thời gian tới. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán - Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn đã dành cho tác giả sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS. TS. Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học Trờng Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trờng THPT Hàm Rồng, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Lê thị hồng hạnh Chơng 1 Nửa nhóm ngợc tự do Theo M. Ptrich, nửa nhóm ngợc tự do hiện nay đóng vai trò quan trọng nhất trong các nửa nhóm ngợc. 1.1. Xây dựng nửa nhóm ngợc tự do từ nửa nhóm tự do Giả sử S là một nửa nhóm. Một phần tử a S đợc gọi là chính quy nếu tồn tại x S sao cho a axa= . Phần tử x đợc gọi là phần tử ngợc của a nếu a axa= và x xax= . Chú ý: Nếu x là phần tử ngợc của a , thì phần tử ax và xa là các luỹ đẳng trong S , nghĩa là ax axax= và xa xaxa= . Chúng ta nói rằng nửa nhóm S là nửa nhóm ngợc nếu phép toán 1 x x a đợc xác định trên S với các tính chất : ,x y S ( ) 1 1 x x = , 1 xx x x = , 1 1 1 1 xx yy yy xx = . Chú ý rằng 1 x là phần tử ngợc của x và ngợc lại. Hai kết quả sau đây chứa một số tính chất nửa nhóm sẽ giúp chúng ta đơn giản hoá việc trình bày của mình mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong [1]. 1.1.1. Mệnh đề. Giả sử S là nửa nhóm. Các phát biểu sau đây là tơng đơng: (i) S là một nửa nhóm ngợc. (ii) S là chính quy, và các luỹ đẳng của nó giao hoán. (iii) Mỗi L - lớp và mỗi R - lớp chứa đúng một luỹ đẳng, trong đó L và R là các quan hệ Green trên nửa nhóm S . (iv) Mỗi phần tử của S có một phần tử ngợc duy nhất. 1.1.2. Mệnh đề. Giả sử S là một nả nhóm ngợc. Thế thì (i) ( ) 1 1 1 2 11 21 . = aaaaaa nn với mọi Saaa n .,,, 21 . (ii) a L b bbaa 11 = , với Sba , . (iii) a R b 11 = bbaa , với Sba , . (iv) Nếu e là một luỹ đẳng trong S , thì với phần tử a tuỳ ý trong S các phần tử 1 aea và eaa 1 là những luỹ đẳng. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử C là một lớp các đại số, A là một phần tử của C , X là một tập hợp khác rỗng và là một ánh xạ từ X vào A . Cặp ( A , ) đợc gọi là một C - đại số tự do nếu đối với một phần tử C bất kỳ của C và một ánh xạ : X C tuỳ ý tồn tại một đồng cấu duy nhất , : A C sao cho , o = nghĩa là biểu đồ sau giao hoán Từ định nghĩa suy ra rằng một cấu trúc nh vậy nếu tồn tại sẽ duy nhất. Cấu trúc tự do trên tập khác rỗng X đã đợc biết rất rõ là nửa nhóm tự do, đó là tập hợp tất cả các từ khác rỗng với các chữ trong X dới phép toán ghép, chúng ta sẽ kí hiệu nó là X + . Nếu bổ sung thêm một phần tử đơn vị là 1 cho X + thì chúng ta nhận đợc vị nhóm tự X A C , ! do trên X mà ta sẽ ký hiệu là * X . Nhóm tự do là tập hợp tất cả các từ đợc rút gọn trong bảng chữ cái 1 X X , trong đó { } 1 1 :X x x X = là một tập hợp tơng ứng một - một với X và không giao với X , chúng ta ký hiệu nhóm tự do trên X bới x FG . Chúng ta nói rằng một từ là rút gọn đợc nếu với mỗi x X , trong từ đó không chứa sự xuất hiện của 1 xx hay 1 x x . 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi một nửa nhóm ngợc tự do trên X , một nửa nhóm ngợc F cùng với một ánh xạ :f X F sao cho với mọi ánh xạ :g X S từ X vào một nửa nhóm ngợc tùy ý, có một đồng cấu duy nhất :h F X sao cho h f g=o . 1.1.5. Xây dựng nửa nhóm ngợc tự do từ nửa nhóm tự do Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và { } 1 1 :X x x X = là một tập hợp tơng ứng một - một và không giao với X . Giả sử 1 Y X X = và Y + là nửa nhóm tự do trên Y . Chúng ta định nghĩa phần tử ngợc của các phần tử trên Y bởi các quy tắc : ( ) 1 1 x x = , với x X , ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 . . n n y y y y y y = , với 1 2 , , ., n y y y Y , Chú ý rằng đối với phần tử tuỳ ý w Y + có ( ) 1 1 w w = . Giả sử là tơng đẳng trên Y + đợc sinh bởi tập hợp ( ) { } ( ) { } 1 1 1 1 1 , : , : ,T ww w w w Y ww zz zz ww w z Y + + = , khi đó /Y + là một nửa nhóm dới phép nhân ( ) ( ) ( ) w z wz = , với mọi ,w z Y + . Theo định nghĩa của , với mọi w Y + ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ww w w w w w = = và ( ) ( ) 1 1 1 w w w w = , do đó 1 w là một phần tử ngợc của w trong /Y + . Nh vậy mỗi phần tử tuỳ ý của /Y + có ít nhất một phần tử ngợc, nên nửa nhóm /Y + là nửa nhóm chính quy. Tơng tự chúng ta có thể chứng minh rằng các luỹ đẳng của /Y + giao hoán đựơc với nhau, nếu sử dụng định nghĩa và dữ kiện rằng nếu |a Y + là một luỹ đẳng thì tồn tại một luỹ đẳng e Y + sao cho a e = . Nh vậy /Y + là một nửa nhóm ngợc. Tơng ứng : |X Y + xác định bởi ( ) x x = là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh rằng ( ) | ,Y + là nửa nhóm ngợc tự do trên X . Giả sử S là một nửa nhóm ngợc tuỳ ý và là một ánh xạ từ X vào S . Chúng ta mở rộng tới Y bằng cách định nghĩa : ( ) 1 1 x x = , với mọi x X , trong đó ( ) 1 x là phần tử ngợc của x trong S . Vì Y + là nửa nhóm tự do trên Y , nên ta có thể xác định một đồng cấu nửa nhóm : Y + S bằng quy tắc : ( ) 1 2 . . n y y y 1 2 . . n y y y = , với 1 2 , , ., n y y y Y . Vì S là nửa nhóm ngợc nên với mọi phần tử ^ w S tồn tại 1 x S ữ sao cho 1 w w w w = ữ ữ ữ và 1 1 1 ^ w w w w = ữ ữ ữ ữ . Giả sử ,w z Y + là các phần tử tuỳ ý đợc biểu diễn dới dạng 1 2 . . n w y y y= , 1 2 . . k z x x x= , với , j i y x Y , 1, .,i k= và 1, .,j n= . Thế thì 1 w w w w = ữ ữ ữ ( S là nửa nhóm ngợc) ( ) 1 ^ ^ ^ 1 2 . . . . n w y y y w = ữ ( ) ^ ^ 1 1 2 . . . . n w y y y w = (Định nghĩa ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^ ^ 1 1 1 2 1 . . . n w y y y w = ( S là nửa nhóm ngợc) ( ) ^ ^ 1 1 1 2 1 . . . . n w y y y w = (Định nghĩa ) ( ) ^ ^ ^ 1 1 1 2 1 . . . n w y y y w = ữ (Định nghĩa ) ( ) ^ ^ ^ 1 1 2 . . . . n w y y y w = ữ (Định nghĩa phần tử ngợc trong Y + ) ( ) ^ ^ ^ ^ 1 1 . .w w w ww w = = ữ ( là đồng cấu) từ đó chúng ta thấy rằng 1 ^ ^ 1 w w = ữ ,vì phần tử ngợc trong S là duy nhất. Ta l¹i cã ( ) ( ) ^ 1 ^^ 1 ^^ 11 . ψψψψψ −−−− = zzwwzzww (v× ψ ∧ lµ ®ång cÊu) 1 ^^ 1 ^^ −− = ψψψψ zzww (theo trªn) 1 ^^ 1 ^^ −− = ψψψψ wwzz (v× S lµ nöa nhãm ngîc) ( ) ^ 11 ψ −− = wwzz (v× ψ ∧ lµ ®ång cÊu) Chóng ta biÕt r»ng h¹t nh©n cña ®ång cÊu ψ ∧ lµ t¬ng ®¼ng ( ) =×∈= ++ ^^^ :, ψψψ baYYbaKer , vµ v× ^ ψ KerT ⊆ nªn ^ ψτ Ker ⊆ v× τ lµ t¬ng ®¼ng bÐ nhÊt chøa T . Do ®ã theo §Þnh lý ®ång cÊu nöa nhãm tån t¹i ®ång cÊu duy nhÊt , ψ : /Y τ + → S sao cho b τ , ψ = ^ ψ , trong ®ã + Y b : /Y + xác định bởi yy b = với mọi + Yy . Nh vậy tồn tại ánh xạ , : /Y + S sao cho , = , vì x , = ( ) x , = x = x , Xx . Giả thiết rằng tồn tại đồng cấu : /Y + S sao cho = , thế thì x = x ( ) x = x , Xx nhng là một đồng cấu nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 1 ==== xxxxx , Xx . Từ đó, với mỗi phần tử tuỳ ý + Yy , n yyyy . 21 = , với Yyyy n , .,, 21 , ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) nn yyyyyyw . 2121 == ( ) ^^ 2121 . wyyyyyy nn === , nên b = , điều này kéo theo , = , và do đó , là đồng cấu duy nhất từ /Y + vào S sao cho , = . Nh vậy /Y + là nửa nhóm ngợc tự do trên X . Chúng ta sẽ ký hiệu nó bởi X FI . Tổng hợp các kết quả trên ta có 1.1.6. Định Lý. Nửa nhóm ngợc X FI : = /Y + là nửa nhóm ngợc tự do trên X . 1. 2. Các P - Nửa nhóm Bây giờ ta trình bày một cách xây dựng nửa nhóm ngợc tự do khác do Mc Alister đề xuất ( 1995 ). Trớc hết ta xét các P - nửa nhóm. 1.2.1. Các định nghĩa. Cho một tập hợp khác rỗng X với quan hệ thứ tự bộ phận , một tập con khác rỗng Y của X đợc gọi là ideal của X nếu YabaX aYb , và đợc gọi là nửa dàn con của X nếu baYba , và Yba , trong đó ba biểu diễn giao của a và b , nghĩa là aba , bba và đối với mọi Yc sao cho ac và bc thì bac . . 2. Biểu diễn hữu hạn của các nửa nhóm ngợc tự do. Sau khi trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến biểu diễn và biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm. gọi là một biểu diễn của nửa nhóm S và ta viết S = < A | R >. Trong các biểu diễn của nửa nhóm S , biểu diễn tốt nhất là biểu diễn hữu hạn ( nghĩa