Tâm tỉ cự và sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong không gian afin và ơclit

Lời nói đầu Trong hình học afin khái niệm tâm tỉ cự khái niệm có nhiều ứng dụng, đà sử dụng tâm tỉ cự nh công cụ đầy hiệu lực để giải nhiều toán nhờ tính chất đặc biệt tâm tỉ cự không gian Afin Đặc biệt hình học sơ cấp nhiều toán giải đợc cách khác nhờ biểu diễn tỉ cự hình qua điểm đặc biệt Và khái niệm quen thuộc không gian afin nh phẳng, siêu mặt bậc hai, tập lồi, đơn hình, hộp biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự Qua ta giải đợc toán có liên quan theo cách khác có dựa vào tâm tỉ cự Từ nhận xét đà thực đề tài tâm tỉ cự biễu diễn tỉ cự hình không gian Afin, Ơclít với mục đích hệ thống lại khái niệm tâm tỉ cự không gian Afin, tính chất phép biến đổi tâm tỉ cự mặt phẳng không gian Nêu số biểu diễn tỉ cự hình không gian Afin, không gian Ơclít ứng dụng giải toán Nội dung trình bày khoá luận gồm hai phần: -Phần I: Tâm tỉ cự biểu diễn hình không gian Afin, Ơclit Đ1.Tâm tỉ cự toạ độ tỉ cự Trình bày hệ thống khái niệm tính chất tâm tỉ cự đa khái niệm toạ độ tỉ cự không gian Afin Đ2 Sự biểu diễn tỉ cự hình không gian Afin, Ơclít Trong mục đà chứng minh đợc số tính chất tỉ cự điểm đặc biệt hình nh tam giác, tứ giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp Từ ta có biểu diễn tỉ cự điểm đặc biệt đó, mục đà biểu diễn đợc khái niệm quen thuộc hình học Afin nh phẳng, siêu mặt bậc hai, tập lồi, đơn hình, hộp qua tâm tỉ cự tọa độ tỉ cự -Phần II: Các ví dụ áp dụng Phần gồm toán hình sơ cấp đợc giải theo phơng pháp dùng tính chất tâm tỉ cự biễu diễn tâm tỉ cự số hình, toán quen thuộc hình học Afin đợc giải theo phơng pháp tỉ cự Trong thời gian thực đề tài nổ lực cố gắng thân nhận đợc giúp đỡ thầy cô giáo trờng nói chung, thầy cô khoa toán nói riêng đặc biệt hớng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo - tiến sĩ Phạm Ngọc Bội quan tâm giúp đỡ ngời thân bạn bè Nhân xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành cảm ơn ngời đà giúp đỡ hoàn thành đề tài Phần I TÂM Tỉ Cự biểu diễn tỉ cự hình không gian afin, Ơclit Trong phần trình bày hệ thống khái niệm, tính chất tâm tỉ cự hình học afin Từ xây dựng khái niệm toạ độ tỉ cự biểu diễn tỉ cự hình không gian Afin không gian Ơclít Đ1 Tâm tỉ cự tọa độ tỉ cự 1.1 Định lí Cho k điểm P1, P2, , Pk không gian afin An k số thuéc trêng K: λ1, λ2,…, λk cho k ∑ λ GP i =1 i i k ∑λ i =1 i Khi tồn điểm G cho =0 Chøng minh: LÊy mét ®iĨm O tuỳ ý An điểm G đợc xác ®Þnh bëi: k ∑ λ i GPi = i =1 k ∑ λ (OP − OG ⇔ i =1 i i ) =0 k ⇔ k ∑ λ OP i =1 i i k = (∑ λ i )OG ⇔ = OG i =1 ∑ λ OP i i =1 i k ∑λ i =1 i VËy G lu«n tồn 1.2 Định nghĩa Điểm G nói định lý đợc gọi tâm tỉ cự hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi Ta ký hiÖu  P1 G=  λ1 P2 Pk  hay λ λ k   VËy ta cã  P1 G = λ1 P2 Pk  ⇔ λ λ k    Pi  λ   i  i≤≤ k k ∑ λ GP i =1 i i =0 Chó ý: a NÕu c¸c λi ( 1≤ i k) điểm G đợc gọi trọng tâm hệ điểm Pi b c b Khi k = điểm G đợc gọi trung điểm cặp điểm (P1, P2) 1.3 Các tính chất 1.3.1 Tính chất Nếu G tâm tỉ cự hệ điểm Pi ( i=1, k ) gắn víi hä hƯ sè λi(i=1, k ) th× G cịng tâm tỉ cự hệ điểm với họ hƯ sè αλi (víi ∀ α ≠ 0) ( T©m tỉ cự không thay đổi thay số i bëi αλi , α ≠ 0) Tøc lµ:  P1 G=  λ  P2 Pk   P1  = αλ λ λ k   1  P1 Chøng minh G =  λ  k k P2 Pk  ⇔ ∑ λi GPi = λ λ k  i =1   P1 k ⇔ α ∑ λ i GPi = ⇔ ∑ αλ i GPi = i =1 P2 Pk  αλ αλ k   P2 Pk  ⇔ G = αλ αλ αλ   k i =1 1.3.2 TÝnh chÊt T©m tØ cù sÏ không thay đổi ta thêm vào (hoặc bớt ) điểm với hệ số P1 NghÜa lµ:  λ  P2 Pk   P1  = λ λ λ k   1  P1 Chøng minh G=  λ  P2 Pk Pk +1 λ λ k P2 Pk  ⇔ λ λ k   k ∑ i =1 Pk +l    GPi = k ⇔ ∑ λ i GPi + GP k +1 + … + GP k +l = i =1 ⇔ G =  P1 λ  P2 Pk Pk +1 λ λ k Pk +l    1.3.3 Tính chất Khi ta đổi chỗ điểm nhng giữ nguyên hệ số kèm theo chúng tâm tỉ cự không thay đổi Nghĩa {i1, i2,, ik} hoán P1 vị {1,2,, k} th× λ  P2 Pk   Pi1 = λ λ k   λ i   Pi Pi k  λ i λ i k    P1 Chøng minh Ta cã G =  λ1 k ⇔ ∑ λij GPij = k P2 Pk  ⇔ ∑ λi GPi = λ λ k  i =1   Pi Pi Pi k  G = λ i1 λ i λ i k    ⇔ j =1 1.3.4 TÝnh chÊt NÕu G tâm tỉ cự hệ điểm {Pi} gắn với hä hƯ sè λi (i = 1,…,n) vµ {I1, I2,…, Ik} phân hoạch tập {1,2,, n} cho =1,2,…,k th× ∑λi ≠ i∈I j  P1 Khi ®ã ta cã  λ  P2 Pn  = λ λ n   P1 Chứng minh Đặt G =  Pi Pi      λ ii∈I1 λ ii∈Ik ∑ λi ∑ λi  i∈I1 i∈Ik  P2 Pn  λ λ n    Pi  ,G = λ  ,  i  i∈ Ij j ∀j  G1 G = ∑ λ i i∈I  G ∑ λ i ’ i∈I Gk  ∑ λi   i∈I k  Khi ®ã theo chứng minh định lý ta có: k GG ' ∑ (∑λ )GG j=1 =   i i∈I j     k ∑ (∑ λ ) j=1 ⇒ GG ' = i∈I j k j=1 n ∑ λi GG j i∈I j   ∑(∑λi ) j =  i∈ j I  i i =1  P1 λ  ∑λ i GG ' = n = k ∑ (∑ λ ) j=1 ∑ λi ⋅ ∑ λ i GPi = i =1 i =1 P2 Pn  = λ λ n    Pi Pi     λ ii∈I λ ii∈I k ∑ λi ∑ λi  i∈I1 i∈Ik  1.3.5 NhËn xÐt Víi ∀A ta cã A = k i∈I j i ⋅ ∑∑ λ i GPi j=1 i∈I j n ⇒ i   ∑λi GPi  ∑λi i∈I j  i∈ j I  n ⋅ ∑ λ i GPi i =1 hay = i i∈I j i∈I j k ∑(∑λ ) vµ ∑λ GP i = j A  λ1  A  A  λ1 λ k   ⇒ G ≡ G' k ∑λ víi ∀λi tho· m·n i =1 Chøng minh ∀A ta cã ≠0 i AA = ∑ λ AA = ⇔  P1 1.3.6 NhËn xÐt Víi ∀λ ta cã G = λ   P1 G=  λ  k ∑ λ GP ⇔ i i =1 i A  λ1   P1 1.3.7 NhËn xÐt NÕu G =  λ   P1 l tho· m·n ∑µ = th× ta cã j =1 G=  λ j   P1 Chøng minh G =  λ  ⇔ k ∑ λ GP i =1 i i 1 i ≠ 0) A  A  λ1 λ k   k ∑ λ GP i i =1 = i  P1 P2 Pk G  λ λ λ λ  1 k   P1 P2 Pk G G=  λ λ λ λ  1 k  ⇔ ∑λ i =1 P2 Pk  ⇔ λ λ k   P2 Pk  ⇔ λ λ k   + λ GG = (V× i i =1 ⇔A= Chøng minh k k P2 Pk  vµ mét bé hƯ sè µ1, µ2, …, µl λ λ k   P2 Pk P P  λ λ k µ1 µ l   P2 Pk  ⇔ λ λ k   + GP = ⇔ k ∑ λ GP i i =1 i k ∑ λ GP i =1 i i l +( ∑µ j ) GP = l P λ i GPi + ( ∑µ j ) GP ⇔ G =  ⇔∑ j =1 i =1 λ k =0 j =1 P2 Pk P P  λ λ k µ1 µ l   1.3.8 Định lí Tập hợp tất tâm tỉ cự họ điểm {P0,P1,,Pk} gắn với tất họ hệ số phẳng bé chứa điểm Chứng minh Gọi phẳng bé nhÊt chøa Pi ( i = 0,1,…,k) ®ã vÐc t¬ ( i= 1,2,…,k) ∈ α( ph¬ng cđa α) hÖ { P P0 Pi Pi }i=1,2,…,k lÊy hÖ véc tơ độc lập tuyến tính tối đại Giả sử (s k) Khi ta có dim = s §iĨm G ∈α ⇔ ⇔ GPi ∈α P0 G s P0 G s = ∑ λ i P0 Pi ⇔ P0 G i =1 = s = ∑ λ i (GPi - GP0 i =1 s ) ⇔ (1 −∑λi ) GP + ∑ λ i i =1 i =1 s ∑ λ ) GP ⇔(1- i =1  P0 ⇔ G = λ  i s + ∑λ i =1 GPi i + 0GP s +l +…+ P1 Ps Ps +1 Pk  víi λ0 = λ1 λ s   = 0GPk s ∑λ i =1 i Vậy G tâm tỉ cự họ {Pi}i=0,1,2,,k Ngợc lại tâm tỉ cự họ {P0, P1,,Pk} gắn với họ hệ số k k ∑ λ i GPi = ⇒ ∑ λ (GP + P P ) i =1 i =1 k ⇒ ( ∑ λ i )GP0 + i =1 i 0 i ∑ λ i P0 Pi = ⇒ =0 k P0 G i =1 λ0 , λ1 ,…, λ k = k λPP ∑λ ∑ k i i =0 i =0 i i ⇒ P0 G ∈ α ⇒ G ∈ α 1.3.9 HÖ Cho m-phẳng qua m+1 điểm độc lập P0 ,P1,,Pm tập hợp tất tâm tỉ cự hệ điểm (gắn với tất họ hệ số) 1.3.10 Định lý Cho m-phẳng α ®i qua m+1 ®iĨm ®éc lËp P0 , P1 ,, Pm điểm O tuỳ ý Điều kiện cần đủ để M thuộc là: OM = m ∑ λ OP i =0 i i ®ã m ∑λ i =0 i = §iĨm M thuộc M tâm tØ cù cña hä Chøng minh α0 P0 ,P1 ,…, Pm g¾n víi hä hƯ sè m ⇔ ∑ α i MPi = i =0 m ∑ α (OP ⇔ i i =0 m ∑α i =0 i =0 i i OPi ⇔ i =0 OM ) = nµo ®ã = ta cã: OM = i m m α OP ∑α ∑ m i =0 m ∑α - OM i Đặt i = ,, m m ⇔ ( ∑ α i ) OM = , i i i =0 m ∑ λ i OPi vµ ®ã i =0 (V× i ∑α i=0 m ∑λ i =0 i i ≠0) = 1.3.11 HƯ qu¶ Khi cho hƯ ®iĨm ®éc lËp P0 , P1 ,…, Pm M tâm tỉ cự , ,…, λm hƯ víi hä hƯ sè = OM m ∑ λ OP i i =0 i tho¶ m·n m i i =0 = với điểm O tuỳ ý ta cã: m  P0 Pm  λ i ∈ R , ∑ λ i ≠ 0) Chøng minh Khi M =   (víi i=0 λ λ m  m ⇔ ∑ λi MPi = i =0 ⇔ ⇔ m ∑ λ i (OPi − OM) = i =0 m OM m = ∑ λ i OPi ( V× i =0 m ∑λ i =0 i ⇔ ( ∑ λ i )OM = i =0 m ∑ λ OP i i =0 i = ) 1.3.12 NhËn xÐt T©m tØ cù kÌm theo hä hƯ sè lµ mét bÊt biến afin Tức f ánh xạ afin An , hệ điểm P1 , P2, ., Pk thuộc An Khi An G =  P1 λ  f ( P1 )  λ  P2 Pk  th× f(G) = λ λ k    P1 Chøng minh ThËt vËy nÕu G =  λ  k ®ã ta xÐt ∑ λ i f (G )f (Pi ) = i =1 f (P2 ) f (Pk ) λ λk   P2 Pk  ⇔ λ λ k   k i =1 i =1 i i =0 k i =1 k ∑ λ GP ∑ λ i f (GPi ) = f( ∑ λ i GPi ) = f( ) = G f ( P1 )  λ  ⇒ f(G) = f (P2 ) f ( Pk ) λ λk   1.3.13.HƯ qu¶ + PhÐp chiếu song song bảo toàn tâm tỉ cự P1 NghÜa lµ nÕu G =  λ  P2 Pk  vµ phÐp chiÕu song song biÕn Pi thµnh λ λ k   P i (i=1,2,,k) biến G thành G P1 ' G=  λ1 ’ ' ' P2 Pk   λ λ k  + Các phép biến hình (trừ phép nghịch đảo) bảo toàn tâm tỉ cự P1 Nghĩa G =  λ  P1 ' (i= 1,2,…,k ) th× G =  λ1 ’ P2 Pk  λ k phép biến hình B : Pi → Pi’ , G →G’ ' ' P2 Pk   λ λ k 1.3.14 Nhận xét Cho M tâm tỉ cự cđa hƯ Pi ( i = 1,2,…,k ) víi hä hƯ sè λ1 , λ2 ,…, λ k ®ã hƯ sè µ1 , µ2 ,…, µm vµ k ∑λ i =1 i =1, N tâm tỉ cự hƯ Qj ( j = 1,2,…,m) víi hä j =1, G tâm tỉ cự (M,N) với họ hệ số t1 ,t2 thoả m j =1 mÃn t1+t2 = Khi ta có G tâm tØ cù cđa hƯ { P1 , P2 , , Pk , Q , Q , , Q m } víi hä hƯ sè λ1 t1, λ2 t1 ,…, λ k t1, µ1 t2, µ2 t2,…, µm t2 Chøng minh Theo bµi ta cã:  P1 M=  λ1 P2 Pk  ⇒ λ λ k   Q N=   µ1 Q Q k  ⇒ µ µ k   k ∑λ i =1 i MPi = j NQ j = m ∑µ j=1 10 0 (1) (2) vµ X =  A B C − α α α    suy A1 = X ( tam giác ABC ®Ịu) B C γ β  =   A B C B C      − α α α    α β γ   A B C B C  A = − α α α β γ  =    α B C γ+  α β+ α  suy A1 = Một cách tơng tự ta có : B1 =  A B C   A B C  α β+ β− γ+β   α γ+ γ+β γ−      C1= 21 A B C  α− α β+ α γ+    Tõ ®ã ta cã : =  A1 B1 C1   α γ+β+ α γ+β+ α γ+β+     A B C   A B C   A B C      − α α + γ+αβ   α + β − β β γ+   γ+α β γ−γ+      α + β γ+ α + β γ+ α + β γ+       A1 B1 C1   A B  A B C  =  α + β + γ α + β + γ α + β + γ  Ta suy :  1  =  1      22 C  1 2.1.8 Cho tam giác ABC , điểm M nằm tam giác ABC A , B , C lần lợt giao điểm AM, BM , CM với cạnh tam giác ABC Khi ta có : M = A B 1  C 1  A B C     1 1 ' ' ' ⇔ M= Chøng minh NÕu M = A B 1  C 1  Khi ®ã phÐp chiÕu song song theo ph¬ng BC xuèng ®êng th¼ng AA’ ta cã : A → A, B → A’ , A A  1 A  1 A’ → A’, C → A’, M → M ' ' Suy M = T¬ng tù ta cã : M = B  1 = A  1 A'   2 A C’ B’ M B A’ B'   2 23 C vµ M = C  1 C'   2 M M Ta suy M = 3    A A'  M     =   3   ' A B C A B C  '' A B C      =  1  2 2    1 2 2   ''' = 24 B  1 B'   2 C  1 C'    2  M A B C    3 2 2 ' ' ' =  A ' B' M=  2 suy A B C  M =  = 1 1 ' ' Ngợc lại A B Giả sử M = x y   A A' AA th× M =  x y ’ A = z '   A ' B' C  = 2 1 '  A ' B' C ' M    2 3 C  1 ' C Khi qua phép chiếu song song phơng BC xuèng z ' A  x A'   y + z B T¬ng tù ta cịng cã M =  y  B'   x + z =  A A ' B B' C C'  Suy M =    x y + z y z + x z x + y 25 C  z ⇒ C'   x + y x +y = y +z = z +x = x +y +z ⇒ x = y = z Suy A B M= x x  C  A B  =1 x  2.1.9 ABMC hình bình hành C A B C M=  − 1 1 Chứng minh ABMC hình bình hành MB + MC = M B MA ⇔ - MA + MB + MC = A ⇔ C  A B C M=  − 1 1  2.2 Sự biểu diễn tỉ cự hình R3 2.2.1 Cho tứ diện ABCD M,N,P,Q,R,S lần lợt trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD Khi ta có MN, PQ, RS, đòng quy điểm I trung điểm ®êng vµ I =  A B C D  1 1   26 Chøng minh Giả sử I trung điểm MN ta chứng minh I trung điểm PQ RS ThËt vËy ta cã = =  A B  C D      1  1   2   A C  B D      1  1   2  M I= 1  N  A Q = =  A B C D  1 1    R S  1   M D B (*) N P C (**) Tõ (**) suy I trung điểm RS Tơng tự ta có I trung điểm PQ 27 Nên suy MN, PQ, RS đồng quy I trung điểm đờng từ (*) ta có I trọng tâm tứ diện hay I = A B C D  1 1   2.2.2 Cho tø diƯn ABCD vµ G1, G2, G3, G4 theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Khi ta cã AG , BG2 , CG3 , DG4 ®ång quy A G trọng tâm tứ diện Chứng minh Giả sử G trọng tâm tø diÖn tøc G =  A B C D  1 1   ThËt vËy: G = G B G1 Ta chøng minh C G ∈ AG1 , G ∈ BG2 , G ∈ CG3 , G ∈ DG4  A B C D  1 1   G3 =  A C B D  1 1   28 D = A C B D      1    1   A C M = 1 2 =    A  1  C M      = A G !  Suy G         ∈ AG1 T¬ng tù ta chứng minh đợc G BG2 , G CG3 G DG4 2.2.3 Cho hình lập phơng ABCDABCD Đờng chéo AC cắt mặt phẳng (BDA) M , cắt mặt phẳng (BDC) N Khi ta có M,N trọng tâm tam giác BDA tam giác BDC AM = MN = NC ' Chứng minh B D A' Đặt G =  1   3 D trọng tâm A B M D’ tam gi¸c BDA’, ta chøng minh M ≡ = AG = AG = AB + A ' B' AC ' AD + A’ + ' ' BC AA ' + AA ' suy G ∈ AC’ 29 N C’ G ThËt vËy, theo hÖ 1.3.11 ta có: AG C B Mặt khác G trọng tâm tam giác BDA nên suy G ∈ AC’ ( BDA) hay M ≡ G AM = AG = Vậy M trọng tâm tam giác BDA Tơng tự ta có N trọng tâm tam giác BDC Suy nên ta suy NC ' = AC ' MN = AC ' - Tõ (1) ,(2) vµ (3) ta suy AC C' N (1) = ' C A (2) Lại A, M ,N, C thẳng hàng theo thứ tự AM - NC ' AM = = MN AC ' = AC ' - NC ' - AC ' = AC ' (3) 2.3 Ph¬ng trình phẳng An theo tọa độ tỉ cự Trong không gian afin cho mục tiêu tỉ cự {P0 , P1 , , Pn } 2.3.1.Phơng trình tham số: Trong không gian afin n-chiều cho mục tiêu {P0 , P1 , , Pn } (I), U m-phẳng vµ  P0 P1 Pn  víi A = i    ai0 a i1 ain  ∀ =0, m i ( x , x , , x n ) Khi ®ã A , A1 , A m lµ m + ®iĨm ®éc lËp U §iĨm X ∈ A n có toạ độ tỉ cự mục tiêu (I) lµ X ∈ U ⇔ ∃t , t , , t m ∈ R 30 tho¶ m·n m ∑t i =0 i = vµ m ∑ t XA i =0 i i =0  A A m Theo công thức đổi mục tiêu toạ độ I.5 ta có t t m  hay X ∈ U ⇔ X =  m   x j = ∑ a ij t i  (*) m i= hay ta viÕt  ∑ t.i =  i=0  t0  x     X = A *T t  x   m T =   , X =   , A = (a ji ) ( n +1)×( n +1)  t ®ã      ∑ i      i=0 t x m  n Và (*) đợc gọi phơng trình tham số U 2.3.2 Phơng trình tổng quát: Khử m + tham số từ hệ (*) ta đợc n  ∑ b ij x i = ( *) i= 0n gọi phơng trình tổng quát cña U   ∑ xi =  i= Chú ý: 1) Nếu U siêu phẳng phơng trình tổng quát U a x + a x + + a n x n =  n ( a , a , , a )  ∑0 x j = , ∃ a i ≠ Khi n gọi toạ độ tỉ cự siêu j= phẳng mục tiêu đà cho 2) U m-phẳng không gian afin An có phơng trình tổng n quát theo toạ độ afin b x j= ij j + bi = (i = 1, n − m ) quát U theo toạ độ tỉ cự lµ ( n  ∑ b ij x j = i = 1, n − m  j=  n  ∑0 x j =  j=  ) b i0 = b ∀i = 1, n − m b ij = a ij + b i 2.4 Siêu mặt bậc hai 31 phơng trình tổng Trong không gian afin cho mục tiêu { P0 , P1 , , Pn } } (I) vµ siêu mặt bậc n n i , j=1 i =1 hai có phơng trình a ij x i x j +2∑ a i x i + a o = Trong ®ã a ij , a i , a R , a ij (1) không ®ång thêi b»ng vµ a ij = a ji vµ ( x , , x n ) lµ täa ®é afin cđa ®iĨm X ∈ A n ®èivíi (I) Khi ®ã theo I.4 ta cã X cã täa ®é tØ cù ®èi víi (I) lµ ( x , x , , x n ) víi (1) ⇔ n i =1 n i , j=1 n x = − ∑ x i Suy ra: i =1 ∑ a ij x i x j + 2∑ a i x i + a o ( x + x + + x n ) = n n i , j=1 i =1 ⇔ ∑ a ij x i x j +∑ b i x i + a o = víi b = a , b i = 2a i + a , ∀i ≠ ⇔ ⇔ ⇔ n ∑a i , j=1 n n ij ∑a i , j=1 x i x j + ∑ b i x i ( x + x + + x n ) = i =0 n ij x i x j +∑c ij x i x j = víi c ij = i =0 n ∑d i , j=0 Ta cã: ij c ij = Vµ ta cã bi + b j ∀i = 1, n víi   d ij = c ij = b j + bi = c ji VËy i, j ≠ i, j = d ij = d ji , ∀, j = 0, n i không đồng thời 0, d ij d 00 = ⇒ c 00 = ⇒ a = ⇒ bi =  d ij = a ij + c ij xix j = bi + b j vµ d 0i = ∀ i = 1, n ⇒ c 0i = ⇒ b i +b j = ⇒ c ij = ⇒ a ij = d ij − c ij = ⇒ a ij = ∀i, j = 1, n d ij = víi ∀ j =0, n i, b0 + bi a + bi bi = = =0 2 ∀i, j = 0, n điều mâu thuẫn với giả thiết a ij Vì ta định nghĩa siêu mặt bậc hai theo toạ độ tỉ cự nh sau: 32 Định nghĩa Trong không gian afin cho mơc tiªu tØ cù { P0 , P1 , , Pn } } phn a ơng trình Tập i , j=0 ij xix j = (1) víi   S = M( x , x , , x n ) ∈ A n   §Ỉt A = ( a ij ) , x  [ X] =      x n    n ∑a i , j=0 ij a ij = a ji , ∀ , j = 0, n , i   x i x j = a ij không đồng thời siêu mặt bậc hai phơng trình (1) tơng đơng với [ X] t A[ X] = 2.5 TËp låi kh«ng gian afin thực 2.5.1.Đoạn thẳng Định nghĩa đoạn thẳng không gian afin thực (xem [1] ) Ta có M thuộc đoạn th¼ng PQ OM = λ OP +(1 −λ)OQ ( ) với với điểm O R ,0 ≤ λ ≤ ( ) ⇔OM = λ OM + MP + (1 − λ) OM + MQ ⇔λMP + (1 − λ) MQ = hay Q  P M =  λ − λ Từ ta có định nghĩa tơng đơng sau Định nghĩa Cho hai điểm P Q không gian afin thực An đoạn thẳng PQ (kí hiệu [P, Q] ) tập hợp điểm M thoả m·n Q  P M =  λ − λ víi ≤ λ ≤ 2.5.2 TËp lồi a Định nghĩa Tập X không gian afin thực đợc gọi lồi P, Q X th× [ P, Q] ⊂ X b VÝ dơ Trong không gian afin thực An đoạn thẳng tËp låi ThËt vËy, kh«ng gian afin An cho đoạn thẳng P0 , Q [ P, Q] P P0 = Q  víi ≤ λ0 ≤ 1 − λ0   , P Q0 =  µ 33 Q à0 PQ Giả sö ≤ λ ≤ , ≤ µ0 ≤ víi P M ∈ [ P0 , Q ] ⇒ M =  λ  P λ    P Q  P Q     µ − µ    P Q  =  =  λ − λ   1− λ      λ − λ λ      P =  λ 0λ 1 − λ  Q  P µ − µ     (1 − λ ) λ   1− λ  P   λλ = + µ0  1 − λ P = x (v× Q (*) y  Q  Q  P Q0  ⇒ M =   λ − λ  µ − µ       − λ  Q 1− λ   Q  P µ − µ     1− λ   λ  P Q P Q  =  λ 0λ ( − λ ) λ µ 1− µ   1− λ  1− λ  Q   P Q  = (1 − λ ) ο + − µ  λλ + µ (1 − λ ) (1 − λ ) λ + (1 − µ )(1 − λ )   1− λ  víi x = λλ + µ (1 − λ ) > , y = (1 − λ ) λ + (1 − µ )(1 − λ ) > λ, λ , µ0 ∈ [ 0,1] ) ta có Từ (*) (**) ta suy x + y =1 M ∈[ P, Q ] (**) VËy [P, Q] lµ tËp låi Nhận xét: Trong không gian afin thực tập hợp 34   A B C   M M =   ,,, ≥γβα 0, ≠γ+β+α 0   α gọi hình tam giác ABC 2.5.3 Đơn hình Trong không gian afin thực cho m + điểm độc lập m điểm M cho với điểm O tuỳ ý OM = i OPi i= ợc gọi m-đơn hình với đỉnh Khi M S( P0 , P1 , , Pm ) ⇔ OM = m ⇔ OM = ∑ λ i (OM + MPi ) víi i =0 ⇔ m ∑ λ MP i=0 i i = víi P0 , P1 , , Pm m ∑λ  P Pm  M=  víi λ o λ m  i= i =1 m ∑λ i= i =1 m ∑λ i= i =1 m i=0 λ i ≥ 0, ∀i = 0, m λ i ≥ 0, ∀i = 0, m Từ ta có định nghĩa tơng đơng sau: 35 m ∑λ i=0 i =1 hỵp λ i ≥ 0∀ i đ- ký hiệu S( P0 , P1 , , Pm ) ∑ λ i OPi λ i ≥ 0, ∀i = 0, m P0 , P1 , , Pm TËp m ( ∑ λi = i= λ i ≥ 0∀ i = 0, m ) ... chất tâm tỉ cự hình học afin Từ xây dựng khái niệm toạ độ tỉ cự biểu diễn tỉ cự hình không gian Afin không gian Ơclít Đ1 Tâm tỉ cự tọa độ tỉ cự 1.1 Định lí Cho k điểm P1, P2, , Pk không gian afin. .. Đ2 Sự biểu diễn tỉ cự hình không gian afin không gian ơclít Trong mục dựa vào khái niệm tính chất tâm tỉ cự điểm đặc biệt hình không gian Afin không gian Oclít đà chứng minh đợc số tính chất tỉ. .. chất tâm tỉ cự xây dựng khái niệm tọa độ tỉ cự, tìm mối liên hệ tọa độ afin toạ độ tỉ cự Hi vọng từ khái niệm quen thuộc không gian afin không gian Ơclít biểu diễn đợc qua tâm tỉ cự toạ độ tỉ cự