Siêu nón và siêu trụ trong không gian afin

Lời nói đầu Khi nghiên cứu hình học afin chúng ta gặp khái niệm siêu nón và siêu trụ, đây là các loại siêu mặt bậc hai quan trọng. Trong chơng trình toán phổ thông, học sinh đợc học ba đờng cônic, đó là các đờng bậc hai đợc sinh ra khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng. Nhìn chung vì những lý do nào đó hai khái niệm trên cha đợc đề cập nhiều trong các giáo trình toán ở Đại học. Vì tầm quan trọng đó nên chúng tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là: "Siêu nón và siêu trụ trong không gian afin" nhằm mục đích hệ thống hoá các khái niệm cơ bản và các tính chất của siêu nón và siêu trụ. Khoá luận này gồm 2 mục chính: Đ1: Một số kiến thức cơ bản. Trong mục này chúng tôi trình bày hai phần I. Phép biến đổi afin - bất biến afin II. Siêu mặt bậc hai trong không gian afin. Đ2: Siêu nón và siêu trụ. Trong mục này cũng bao gồm 2 phần: I. Siêu nón. II. Siêu trụ. Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS.Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Đồng thời cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - trờng, các bạn lớp 40A 1 - Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này và trong suốt quá trình học tập. Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực của bản thân nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong đợc sự đánh giá phê bình và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh 16 tháng 4 năm 2003. Sinh viên Trần Thị Thuỷ. 1 Đ1. Một số kiến thức cơ bản I. Phép biến đổi Afin - bất biến Afin. 1.1. Định nghĩa. Cho không gian afin A n có không gian vectơ liên kết n A , ánh xạ f: A n A n đợc gọi là phép biến đổi afin nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính f : n A n A sao cho với mọi cặp điểm M,N A n và ảnh M' = f(M), N' = f(N) ta có '' NM = f . )(MN . Khi đó f đợc gọi là nền của f và phép afin f đợc gọi là liên kết với phép biến đổi tuyến tính f 1.2. Tính chất. a. Cho không gian afin A n có không gian vectơ liên kết là n A khi đó đối với mỗi phép biến đổi tuyến tính f : n A n A và mỗi cặp điểm M, M' A n , có một phép afin f: A n A n nhận f làm nền và f(M) = M' b. Cho { } n i i M 1 = và { } n i i M 1 ' = là hai hệ n + 1 điểm độc lập của không gian afin n chiều A n , khi đó có một phép afin duy nhất f: A n A n sao cho f(M i ) = M' i ; i = 1, 2, n. c. Tích của hai phép afin là một phép afin có nền là tích các nền của hai phép afin đã cho. Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin với nền là nghịch đảo nền của phép afin đã cho. 1.3. Phơng trình của phép biến đổi afin. Cho phép afin f: A n A n của không gian afin A n , ta chọn mục tiêu {O; 1 e ,, n e }(*) trong đó { 1 e , 2 e ,, n e } là một cơ sở của n A . Với mỗi điểm X, gọi (x 1 ,,x n ) là toạ độ của điểm X, (x' 1 ,,x' n ) là toạ độ của điểm X' = f(X); (b 1 ,, b n ) là toạ độ của điểm O' = f(O) đối với mục tiêu (*); B = (b ij ) là ma trận mà cột thứ j là toạ độ của vectơ f (e j ) đối với cơ sở { 1 e ,, n e } Ký hiệu: [x] = [x 1 ,, x n ]*, [x'] = [x 1 ,, x n ]* khi đó biểu thức toạ độ đối với mục tiêu đã chọn là [x'] = B[x] + [b] (1) 2 Nh vậy đối với mục tiêu đã chọn mọi phép biến đổi afin đều có phơng trình dạng (1) trong đó det(B) 0. Ngợc lại đối với mục tiêu đã chọn mỗi ph- ơng trình dạng (1) với điều kiện det B 0 đều là phơng trình của một phép biến đổi afin. 1.4. Bất biến afin. a. Định nghĩa. Một tính chất nào đó của hình H đợc gọi là tính chất afin nếu f(H) cũng có tính chất , với mọi f thuộc tập các phép biến đổi afin Af(A n ) b. Một số tính chất afin. - Tính chất độc lập hay không độc lập của một hệ m điểm (m < n + 1) là tính chất afin. - Tính chất song song, chéo nhau, cắt nhau giữa các phẳng là tính chất afin. II. Siêu mặt bậc hai trong không gian Afin. 1.1. Định nghĩa siêu mặt bậc hai. Trong không gian afin n chiều A n trên trờng số thực chọn mục tiêu afin { 1 e , 2 e ,, n e }. Cho phơng trình bậc hai: = n ji jiij xxa 1, + 2. = n ji ii xa 1, + a 0 = 0 (2) Trong đó các hệ số a ij , a i , a 0 đều là số thực, các a ij không đồng thời bằng 0 và a ij = a ij ; Tập hợp tất cả những điểm X thuộc A n sao cho toạ độ (x 1 , x 2 , , x n ) của nó thoả mãn phơng trình (2) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình đó. Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình (2) thì (2) đợc gọi là phơng trình của (S). 1.2. Chú ý. Ký hiệu 3 A 0 = nn nn n n aaa aaa aaa . . . 21 22221 11211 ; A = 01 1 1111 . . . aaa aaa aaa n nnn n n [x] = n x x 1 ; [a] = n a a 1 Khi đó phơng trình (2) có thể viết dới dạng ma trận [x]*A 0 [x] + 2.[a]*[x] + a 0 = 0 (3) Ma trận A 0 , A theo thứ tự gọi là ma trận bé và ma trận lớn ứng với các phơng trình nói trên. Với n = 2, n = 3 các siêu mặt bậc hai đợc gọi lần lợt là đờng bậc hai và mặt bậc hai. 1.3. Định lý. Qua biến đổi afin một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt bậc hai. Chứng minh. Giả sử một siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (3) và một phép biến đổi afin có phơng trình: [x] = B[x'] + [b]. (det B 0) (4) Thay (4) vào (3) ta có: (B[x'] + [b])*A 0 (B[x'] + [b]) + 2.[a]*(B[x'] +[b]) + a 0 = 0 Khai triển phơng trình trên với chú ý: [x']*B*A 0 [b] = [b]*A 0 B[x'] 4 Ta sẽ có [x']*A' 0 [x'] + 2.[a'][x'] + a' 0 = 0 (5) Trong đó A' 0 = B*A 0 B; [a'] = B*(A 0 [b] + [a]) a' 0 = [b]* A 0 [b] +2.[a]*[b] + a 0 Rõ ràng A' = [A']* và rank A' = rank B*A 0 B = rank A 0 1. (do det B 0) Vì vậy (5) là phơng trình của siêu mặt bậc hai (S') đó chính là ảnh của (S) qua phép biến đổi afin đã cho. 1.4. Nhận xét. Qua một phép đổi toạ độ thì một phơng trình dạng (3) lại chuyển thành một phơng trình dạng (3) với ma trận bé đối xứng và khác 0. Nh vậy khái niệm siêu mặt bậc hai không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ. Cũng qua phép biến đổi toạ độ thì hạng của ma trận bé và hạng của ma trận lớn không thay đổi ta gọi chúng tơng ứng là hạng bé và hạng lớn của siêu mặt bậc hai. Một siêu mặt bậc hai gọi là không suy biến nếu hạng lớn bằng n + 1 (Tức là A 0). Nếu hạng lớn nhỏ hơn n +1 (tức là A = 0) thì ta gọi siêu mặt bậc hai đã cho là siêu mặt bậc hai suy biến. 1.5. Giao của một siêu mặt bậc hai và một đờng thẳng. Giả sử ta có một đờng thẳng đi qua điểm B = (b 1 , b 2 ,, b n ) và có phơng là vec tơ c = (c 1 , c 2 , , c n ). Khi đó phơng trình tham biến của đờng thẳng đó là: x i = b i + c i t i = 1, 2, n hay viết dới dạng ma trận [x] = [b] + [c]t (6) Ta sẽ tìm giao điểm của đờng thẳng này với siêu mặt bậc hai có phơng trình (3). Các giao điểm sẽ có toạ độ thoả mãn (6) và (3). Nên để tìm ta phải giải hai phơng trình (6) và (3). Thay (6) vào (3) ta đợc : ([c]*t + [b]*) A 0 ([c] t + [b]) + 2 [a]* ([c]t + [b]) + a 0 = 0 Khai triển đẳng thức này ta sẽ có: [c]*A 0 [c]t 2 + 2Pt + Q = 0 (7) 5 trong đó P = [b]*A 0 [c]+ [a]* [c] (8) Q = f([b]) = [b]* A 0 [b] + 2[a]* [b] + a 0 (9) Nếu t là nghiệm của (7) thì bằng cách thay t vào (6) ta tìm đợc toạ độ giao điểm. Ta có các trờng hợp sau: - Nếu [c]*A 0 [c] 0 thì (7) là một phơng trình bậc hai ẩn t, bởi vậy nó có thể có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Nh vậy đờng thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại hai điểm phân biệt, một điểm hoặc không cắt. - Nếu [c]*A 0 [c] = 0 và P 0 thì (7) có nghiệm duy nhất, tức là đờng thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một điểm. - Nếu [c]*A 0 [c] = 0 và P = 0 và Q 0 thì phơng trình (7) vô nghiệm đờng thẳng không cắt siêu mặt bậc hai. - Nếu [c]*A 0 [c] = P = Q = 0 thì mọi giá trị của t đều là nghiệm của (7). Do đó toàn bộ đờng thẳng nằm trên siêu mặt bậc hai. 1.6. Định lý. Trong không gian afin A n cho m- phẳng và siêu mặt bậc hai(S) cắt nhau. Khi đó giao của và (S). a) Hoặc là siêu mặt bậc hai trong . b) Hoặc là siêu phẳng trong c) Hoặc là . Chứng minh. Chọn hệ toạ độ afin {0; n ee , ., 1 }(*) của A n trong đó 0 . { m ee , ., 1 } là cơ sở của . Nh vậy, {0; m ee ,, . 1 }(**) là một hệ toạ độ afin của - đó là không gian con m- chiều của A n . Đối với (*) phơng trình của là: x m+ 1 = x m+ 2 = = x n = 0 còn phơng trình của (S) là: == =++ n k kk n ji jiij axayxa 11, 0.2 (a ij = a ji ; rank (a ij ) > 0) 6 Trong A n thì điểm M có toạ độ (x 1 , , x n ) đối với (*) thuộc khi và chỉ khi x m+1 = = x n = 0 M có toạ độ (x 1 ,, x m ) đối với (**) Ta có = S = (*) ), .,( 1 dốivới n n AxxM (10) === =++ + = = 0 . 02 1 1, 1 n m n ji n k kk jiij xx axaxxa = (**) )x,,M(x m1 vớidối = = =++ m ji m k kk jiij axaxxa 1, 1 02 } Có các khả năng sau: a) a ij (i,j = 1 m) không đồng thời bằng 0. Suy ra: là siêu mặt bậc hai trong . b) a ij (i,j = 1 m)= 0 ; a k (k = 1m) không đồng thời bằng 0. Suy ra là siêu phẳng trong tức là (m-1)- phẳng trong A n . c) a ij (i,j = 1m)= 0; a k (k = 1m)= 0 a = 0 vì S . Hệ (10) tơng đơng với x m+1 = x m+2 = .= x n = 0. Vậy . Định lý đã đợc chứng minh 1.7. Siêu mặt bậc hai và bất biến afin. Cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình: [x]A 0 [x] + 2[a]*[x] + a 0 = 0 và phép afin f có phơng trình: [x]= B[x'] + [b] Định lý. Cho siêu mặt bậc hai (S) và đờng thẳng d. Gọi (S') và d' lần lợt là ảnh của (S) và d qua phép afin f. Nếu d nằm trên (S) thì d' nằm trên (S'). Nếu d cắt (S) tại 1 (hoặc 2) điểm thì d' cắt (S') tại 1 (hoặc 2) điểm. Nếu d không cắt (S) thì d' cũng không cắt (S'). Chứng minh. 7 Giả sử S có phơng trình (3); đờng thẳng d có phơng trình [x] = t[c]+ [d]; c là phơng của d; c = [c 1 ,, c n ]* khi đó giao điểm của (S) và d là số nghiệm của phơng trình. ([c]*A 0 [c])t 2 +2Pt + Q = 0. Với P = [d]*A 0 [c] + [a]*[c]; Q = [d]*A 0 [d] + 2[a]*[d] + a 0 . Giả sử phép afin có phơng trình [x] = B [x'] + [b]. Khi đó (S') có phơng trình [x']*A' 0 [x'] + 2[a']*[x'] + a' 0 = 0. Trong đó A' 0 = B*A 0 B; [a']= B*(A[b] + a) a' 0 = [b]*A 0 [b] + 2[a]*[b] + a' 0 d' có phơng trình [x'] = t [c'] + d'. với [c'] = B -1 [c.] d' = B -1 [d - b] số giao điểm của (S') và d' là nghiệm của phơng trình: [c']* A' 0 [c']t 2 + 2P't + Q' = 0 Có các khả năng sau đây: a) [c']* A' 0 [c'] = [c]* (B -1 )*B*A 0 B.B -1 [c] = [c]* A 0 [c] b) P' = [d']*A' 0 [c'] + [a']*[c'] = ([d]* - [b]*)(B -1 )*.B*A 0 BB -1 [c] + ([b]*A + [a]*)BB -1 [c] = ([b]* - [b]*)A 0 [c] + ([b]*A + [a]*)[c] = [d]*A 0 [c] + [a]*[c] = P c) Q' = [d']*A' 0 [d'] + 2[a']*[d'] + a' 0 = ([d]* - [b]*)(.B -1 )*B*A 0 BB -1 ([d] - [b]) +2([b]*A 0 + + [a]*)BB -1 ([d]-[b]) + [b]*A 0 [b] + 2[a]*[b] + a 0 = ([d]* - [b]*)A 0 ([d] - [b]) + 2([b]*A 0 + [a]*)([d] - [b]) + + [b]*A 0 [b] + [a]*A 0 b + a 0 = [d]* A 0 [d] + 2[a]* [d] + a 0 = Q Mặt khác ta thấy Đờng thẳng d nằm trên (S) khi và chỉ khi: 8 = = = = = = 0' 0' 0]'[*]'[ 0 0 0][*][ ' 00 Q P cAc Q P cAc d' nằm trên (S') d giao (S) tại một điểm thì: = = 0' 0]'[*]'[ 0 0][*][ ' 0 0 P cAc P cAc d' giao (S') tại một điểm. d giao với (S) tại hai điểm thì P 2 - [c]*A 0 [c].Q > 0 P' 2 - [c']*A' 0 [c'] Q' > 0 hay d' giao (S') tại hai điểm. Nếu d giao (S) là tập rỗng thì: P 2 - [c]*A 0 [c] Q < 0 hoặc = = = 0 0][*][ 0 0 Q cAc P P' 2 - [c]*A 0 [c'] Q' < 0 hoặc = = 0' 0]'['*]'[ 0' 0 Q cAc P Nghĩa là d' giao (S') là tập rỗng Định lý đã đợc chứng minh. 1.8. Một số khái niệm liên quan đến siêu mặt bậc hai. 1.8.1. Tâm của siêu mặt bậc hai. 9 a. Định nghĩa. Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn nó làm gốc mục tiêu thì phơng trình của (S) có dạng [x]*A 0 [x] + [a] = 0 với A 0 = (a ij ). b. Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm M thuộc siêu mặt bậc hai (S) và (S') có tâm I thì điểm M' đối xứng với M qua I cũng thuộc (S). Vậy nếu (S) thì tâm của nó chính là tâm đối xứng của (S) và tâm này là một điểm. c. Định lý. Trong không gian afin A n với mục tiêu đã chọn cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình: [x]*A 0 [x] + 2[a]* [x] + a 0 = 0. Điều kiện cần và đủ để (S) có tâm duy nhất là det A 0 0 (hay hạng của ma trận vuông A 0 bằng n). Nếu det A 0 = 0 (hay hạng của A 0 < n) thì (S) không có tâm hoặc có vô số tâm. Chứng minh. Giả sử O có toạ độ là ( 00 1 , ., n xx ) đối với với mục tiêu đã chọn, ta dùng công thức đổi mục tiêu: [x] = [x'] + [x 0 ] (11) Trong đó [x 0 ] ma trận cột toạ độ của điểm O đối với mục tiêu đã chọn {E 0 , E i }. Thay (11) vào phơng trình của (S) ta có: ([x'] + [x 0 ])* A 0 ([x'] + [x 0 ]) + 2[a]*( [x'] + [x 0 ]) + a 0 = 0 hay [x'] A 0 [x'] + 2(A 0 [x 0 ] + [a]) [x'] + a' 0 = 0 điểm O ( 00 1 ,, . n xx ) là tâm của (S) khi và chỉ khi A[x 0 ] + [a] = 0 Nh vậy toạ độ tâm của siêu mặt bậc hai (S) là nghiệm của hệ phơng trình tổng quát gồm n phơng trình và có dạng: A 0 [x] + [a] = 0 (12) Trong đó A 0 là ma trận vuông cấp n với A 0 = (a ij ) và [a] là ma trận cột toạ độ có trong phơng trình của (S). Ta suy ra. 10