Siêu mặt trong không gian rn

Lời nói đầu Lý thuyết về các độ cong trên đa tạp đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân. Lý thuyết này đợc ứng dụng để miêu tả hình dạng hình học của các siêu mặt trong các không gian R 3 và R 4 . Một cách tơng tự nh lý thuyết siêu mặt trong R 3 , trong luận văn này bằng việc sử dụng tích của (n - 1 ) véc tơ trong không gian R n để khảo sát các độ cong của các siêu mặt trong R n . Luận văn này đợc chia làm 2 chơng: Chơng I. Không gian R n . Đ1. Không gian R n . Đ2. Véctơ tiếp xúc. Trờng véctơ trong R n . Đ3. ánh xạ khả vi trong R n . Trong hơng này, sau khi trình bày định nghĩa và một số tính chất của không gian R n , chúng tôi trình bày định nghĩa về véctơ tiếp xúc, trờng véctơ trong R n , ánh xạ khả vi trong R n , các tính chất và phép toán có liên quan. Những vấn đề này là những kiến thức chuẩn bị để chúng tôi trình bày những nội dung chính của luận văn ở chơng II. Chơng II. Siêu mặt trong không gian R n . Đ1. Tích ngoài của (n - 1) véctơ trong R n . Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa của (n - 1) véctơ trong R n và chứng minh một số tính chất của chúng. Đ2. ánh xạ kiểu weingarten. Trong mục này,chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về siêu mặt trong R n và sử dụng tích ngoài của (n - 1) véctơ trong R n để định nghĩa ánh xạ kiểu weingarten và xét một số tính chất của chúng. Đ3. Độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S. 1 Bằng việc sử dụng ánh xạ kiểu weingarten trên S chúng tôi trình bày độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong R n và xác định công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong R n . Trong mỗi phần ở các mục này chúng tôi đều có ví dụ minh hoạ. Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo. PGS. TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của thầy cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, gia đình và bạn bè trong lớp đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong suốt qúa trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Vinh, tháng 5 năm 2005 Tác giả 2 Chơng I Không gian R n Đ1. Không gian R n Nh ta đã biết, không gian R n là tập tất cả các dãy n phần tử (x 1 , , x n ) các số thực x i . Các phần tử của tập R n đợc gọi là các điểm và đợc viết x (x i ). Trong R n = {x = (x 1 , , x n )/ x i R, i = n,1 } đã đợc trang bị hai phép toán. Phép cộng: x = (x 1 , , x n ) R n . y = (y 1 , , y n ) R n . x + y = (x 1 , , x n ) + (y 1 , , y n ) = ( x 1 + y 1 , , x n + y n ) Phép nhân với một số: Với R, x = (x 1 , , x n ) R n thì x = (x 1 , , x n ) = ( x 1 , , x n ) 1.1. Mệnh đề: R n cùng với hai phép toán trên lập thành không gian véctơ n chiều. Trong không gian R n đa vào cấu trúc Afin nh sau: : R n x R n R n (x, y) xyyx = ),( 1.2. Mệnh đề: (R n , ) là một không gian ơclit với nền là không gian véctơ ơclit R n . Chú ý: Từ nay trở đi trong bài viết này, khi nói đến R n ta hiểu đó là không gian ơclit n chiều với nền là chính nó (hay R n E n ) Nh ta đã biết: + Hình cầu mở trong R n là tập hợp S (x, r) = {y/ d(x,y) < r} + Hình cầu đóng trong R n là tập hợp B[x,r] = { y/ d(x,y) r} + Một tập U R n đợc gọi là tập mở nếu U = hoặc nếu U thì với Ux đều S(x, r) U + Tập V R n đợc gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C V là mở. 3 1.3. Mệnh đề: (R n , T) là không gian tôpô với T = {U/U mở trong R n } Chứng minh: Ta cần kiểm tra các tiên đề về không gian tôpô. T1: * T (hiển nhiên) vì là tập mở trong R n * X = R n T Vì với x R n thì S(x,1) R n R n mở R n T. T2: Giả sử U i mở trong R n , i I. Khi đó Ii U i mở trong R n Thật vậy: x Ii U i x U j (j I) Do U j mở (gt) S(x,r) U j S(x,r) Ii U i Ii U i mở trong R n . T3. Lấy U 1 , U 2 mở trong R n , ta chứng minh U 1 U 2 = V mở trong R n . * V = V mở trong R n (hiển nhiên) * V Lấy x V x U 1 , x U 2 Do U 1 , U 2 mở (theo gt) ( ) ( ) { 11 22 , , UrxS UrxS Gọi r = min(r 1 , r 2 ) S(x,r) U 1 U 2 = V V mở trong R n Vậy (R n , T) là không gian tôpô. T đợc gọi là tôpô tự nhiên trong R n . 1.4. Nhận xét: R n là không gian tôpô Haussdoff Với bất kỳ x n Ry , ta có: d (x,y) = xy = r > 0 Ta xét hai hình cầu mở S 1 (x; 3 r ) và S 2 (y; 3 r ). Khi đó: S 1 (x, 3 r ) = 3 ; 2 r yS Nh vậy x và y có hai lân cận rời nhau S 1 và S 2 4 Đ2.Véctơ tiếp xúc. Trờng véctơ trong R n . Giả sử U là tập mở trong R n . Đặt TU = U x = nn RUppR ,, Nh ta đã biết ( xem [4]) mỗi phần tử của TU, ký hiệu ),( p p đợc gọi là một véctơ tiếp xúc với U tại p và T p U = { Ư} n p R là tập hợp tất cả các véctơ tiếp xúc tại p U T p R n = { Ư} n p R gọi là không gian tiếp xúc với R n tại p R n . 2.1. Định nghĩa: Trờng véctơ trên R n là ánh xạ: X: R n TR n = n p Rp RT n với pp TX R n . P ( ) p X + X đợc gọi là trờng véctơ song song nếu p X = a với n Rp + Do T p R n có cơ sở trực chuẩn {e 1 , ,e n } nên tồn tại RU n :, . 1 sao cho X(p) = ( ) = n i i i ex 1 . Ký hiệu X = ( n , ., 1 ), các hàm n , ., 1 đợc gọi là các hàm thành phần của trờng véctơ X đối với cơ sở trực chuẩn {e 1 , , e n } Trờng véctơ X đợc gọi là khả vi nếu mọi i ( i= 1,2, ,n) đều khả vi trên R n . 2.2. Các phép toán trên tập các trờng véctơ khả vi. 5 Cho X, Y là các trờng véctơ khả vi trên R n ; là hàm số liên tục trên R n . p R n . + Trờng véctơ X + Y đợc xác định bởi: (X+Y) (p) = X(p) + Y(p) + Trờng véctơ X trên R n đợc xác định bởi : ( X) (p) = (p)X(p) + Hàm số XY trên R n đợc xác định bởi: (XY) (p) = X(p). Y(p). + Trong E 3 (n=3) thì trờng véctơ XxY xác định bởi (XxY)(p) = X(p)xY(p) 2.3. Đạo hàm của trờng véctơ theo một véctơ tiếp xúc và dọc một trờng véctơ trong R n . 2.3.1. Đạo hàm của trờng véctơ theo một véctơ tiếp xúc trong R n Cho trờng véctơ X trong R n và pp T R n . a. Định nghĩa: Đạo hàm của trờng véctơ X theo véctơ tiếp xúc p là véctơ tiếp xúc tại p. Ký hiệu là p D X xác định bởi: p D X = (X o ) (t o ) trong đó là cung tham số trong R n thoả mãn (t o ) = Nhận xét: Nếu {E 1 , , E n } là trờng mục tiêu song song tơng ứng với hệ toạ độ Afin trong R n và X = 1 E 1 + n E ++ . 22 E n thì: p D X = [ ] 1 p E 1 (p) + + [ ] np E n (p) b. Tính chất: 1. D XDXDX pppp += + )( 2. XkDXD p p k = 3. p D (X+Y) = YDXD pp + 4. p D (fX) = [ ] XDpfpXf p p )()( + c. Ví dụ: Trong R 3 với mục tiêu Afin cho trớc Cho X = xy 2 E 1 - xyzE 2 + yz 2 E 3 và p(1,0,1), p =(2,1,1) Tính p D X 6 Giải: Ta có XD p = [ ] 2 xy p E 1 (p) - p [xyz]E 2 (p) + p [yz 2 ]E 3 (p) = ( 2 2 p y +1.2.x p .y p + 1.0)E 1 (p) - (2y p .z p +1.x p .z p + 1.x p .y p )E 2 (p) + + (2.0+1. 2 p z +1.2.y p .z p ). E 3 (p) = (2.0 +1.2.1.0+0)E 1 (p) - (2.0.1+1.1.1+1.1.0)E 2 (p) + +(0+1.1+1.2.0.1)E 3 (p) = 0E 1 (p) - E 2 (p) + E 3 (p) 2.3.2. Đạo hàm của trờng véctơ theo một trờng véctơ trong R n Cho X, Y là các trờng véctơ trong R n a. Định nghĩa: Đạo hàm của trờng véctơ Y dọc theo trờng véctơ X là trờng véctơ trên R n . Ký hiệu là D x Y xác định bởi: D x Y(p) = D x(p) Y p R n Nhận xét: Trong R n với hệ toạ độ Afin cho trớc với mục tiêu song song tơng ứng {E 1 , , E n }. Giả sử Y = f 1 E 1 + f 2 E 2 + + f n E n Ta có: D x Y = X[f 1 ]E 1 +X[f 2 ]E 2 + + X[f n ]E n . b. Tính chất: X, Y,Z là các trờng véctơ trên R n f là hàm số trên R n 1. D (X+Y) Z = D X Z + D Y Z 2. D fX Z = fD X Z 3. D X (Y+Z) = D X Y + D X Z 4. D X (fY) = X[f]Y + fD X Y 5. X[YZ] = D X Y.Z + Y.D X Z c. Ví dụ: Trong R 3 với mục tiêu Afin cho trớc Cho X = xE 1 - yzE 2 +x 2 E 3 Y = 2xyE 1 + xyzE 3 Tính D y X Giải: Ta có D y X =Y[x]E 1 - Y[yz]E 2 + Y[x 2 ]E 3 7 = (2xy.1 + 0.0+xyz.0)E 1 -(2xy.0+0.z+xyz.y)E 2 + (2xy.2x + 0.0 + xyz.0)E 3 = 2xyE 1 - xy 2 zE 2 + 4x 2 yE 3 . 8 Đ3. ánh xạ khả vi trong R n 3.1. ánh xạ khả vi: Cho ánh xạ f: R m R n p f(p) ánh xạ f đợc gọi là khả vi (lớp C k ) nếu với 0 E n hàm véctơ U n R ; p )( pof khả vi (lớp C k ) Lấy một hệ toạ độ Afin trong R n thì f(p) R n thì f(p) R n và f(p)=(f 1 (p), ,f n (p)) trong đó f i : U R(i=1,2, ,n) là hàm số trên U. Khi đó f khả vi (lớp C k ) khi và chỉ khi các hàm số f i (i=1,2, ,n) khả vi (lớp C k ) trên U. Từ nay ta đồng nhất f=(f 1 , , f n ) (f đợc đồng nhất với một bộ gồm n hàm số) Ví dụ: Cho ánh xạ f: R 2 R 3 U(u 1 ,u 2 ) f(U) = (u 1 +u 2 ; 2 2 2 1 uu + ; u 1 - u 2 ) Ta đặt: f 1 (u) = u 1 + u 2 ; f 2 (u) = 2 2 2 1 uu + ; f 3 (u) = u 1 - u 2 f(u) = (f 1 (u); f 2 (u) ; f 3 (u)) Ta có: f 1 : R 2 R (u 1 , u 2 ) u 1 + u 2 Ta xét: g 1 = 1 1 u f : ( ) 1, 2 21 uu RR ; g 2 = ( ) 1, 2 2 1 21 : uu RR u f g 1 , g 2 hoàn toàn xác định với (u 1 ,u 2 ) g 1 , g 2 là hàm hằng. Do đó g 1 , g 2 liên tục f 1 là ánh xạ khả vi Chứng minh hoàn toàn tơng tự đối với f 2 và f 3 ta cũng suy ra đợc f 2 và f 3 là những ánh xạ khả vi. Vậy f là ánh xạ khả vi. 3.2. ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi. 3.2.1. Định nghĩa: Cho ánh xạ khả vi f: R m R n . Với mỗi p R m có ánh xạ, ký hiệu là T p f: T p R m T p R n xác định bởi: Cho m pp RT , tồn tại cung tham số : J R m sao cho )( ' op t = . Khi đó (f o ): J R n thì T p f( ) p = (f o ) (t o ) 9 ánh xạ T p f gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f tại điểm p, còn đợc ký hiệu là f *p 3.2.2. Nhận xét. Định nghĩa trên là phù hợp, tức là (f o )(t o ) không phụ thuộc vào cung . Thật vậy: Trong R n xét mục tiêu Afin và {E 1 ,E 2 , , E n } là trờng mục tiêu song song tơng ứng, giả sử f = (f 1 , f 2 , , f n ) Ta có (f o )(t o ) = f( (t)) = (f 1 ( (t)), f 2 ( (t)), ,f n ( (t))) (f o ) (t o ) = (f 1 o ) (t o )E 1 (f(p)) + (f 2 o ) (t o )E 2 (f( ))+ +(f n o ) (t o )E n (f(p)) T p f( p ) = [ ] 1 f p E 1 (f(p)) + p [f 2 ]E 2 (f(p))+ + p [f n ]E n (f(p)) (*) Đẳng thức trên cho ta thấy (f o ) (t o ) không phụ thuộc vào 3.2.3.Mệnh đề: T p f là ánh xạ tuyến tính Chứng minh: Đợc suy ra từ công thức (*) và tính chất tuyến tính của đạo hàm hàm số theo một véctơ tiếp xúc. Trong R m xét hệ toạ độ Afin (u 1 ,u 2 , ,u m ) và {U 1 ,U 2 , , U m } là trờng mục tiêu song song tơng ứng. Trong R n xét hệ toạ độ Afin (x 1 ,x 2 , , x n ) và {E 1 , E 2 , , E n }là trờng mục tiêu song song tơng ứng. Khi đó ta có: {U 1 (p), U 2 (p), ,U m (p)} là cơ sở của T p R m và {E 1 (f(p)), ,E n (f(p)) là cơ sở của T f(p) R n Theo công thức (*) ta có: T p f(U i (p)) = U i (p)[f 1 ]E 1 (f(p)) + + U i (p) [f n ].E n (f(p)) = = n j p i j u f 1 E j (f(p)) (i= m,1 ) Khi đó ma trận J = p i j u f gọi là ma trận Jacobi của f tại p tơng ứng với các hệ toạ độ đã cho trong E m và E n . ánh xạ khả vi f: R m R n gọi là dìm tại p nếu hạng J = dim R m = m ánh xạ khả vi f: R m R n gọi là ngập tại p nếu hạng J = dim R n = n 10