Độ cong trung bình của siêu mặt trong không gian rn

Lời nói đầu Lý thuyết về độ cong nói chung và độ cong trung bình nói riêng đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân. Từ những khái niệm cơ bản của mặt trong R n , một cách tơng tự nh lý thuyết mặt trong R 3 . Trong luận văn này bằng việc sử dụng tích có hớng của (n-1) véctơ trong R n chúng tôi đã đi vào nghiên cứu một cách có hệ thống độ cong trung bình của siêu mặt trong R n . Luận văn đợc trình bày với bố cục sau: Đ1. Tích có hớng của (n-1) véctơ trong R n Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa tích có hớng của (n-1) véctơ trong R n và chứng minh một số tính chất của chúng Đ 2. ánh xạ Weingarten trên siêu mặt S trong R n Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đạo hàm của trờng véctơ và khái niệm cơ bản về siêu mặt trong R n . Sử dụng tích có hớng của (n-1) véctơ trong R n để định nghĩa ánh xạ Weingarten, định nghĩa độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt trong R n . Đ3. Các dạng cơ bản Bằng việc sử dụng ánh xạ Weingarten trên S trong R n chúng tôi trình bày khái niệm dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai và một số tính chất, đa ra công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong R n thông qua các dạng cơ bản, trong mỗi phần ở các mục đều có ví dụ minh hoạ. Đ4. Một số tính chất về độ cong trung bình Mục này đa ra một số tính chất của độ cong trung bình của một mặt bất kỳ trong R n nh: )1,1()( 1 == niHH i i (Mệnh đề 4.2) 1 )( ~ 1 1 )( 1 1 i n i k n pH = = (Mệnh đề 4.3) ) .( ) .( .) ( 1 . ) )(1( 1 121 22112 2 11 11 ++ = n XnnX n XXX ZDXXXXXZD Z XXn H n Đ5. Mặt cực tiểu trong R 3 Mục này đa ra khái niệm mặt cực tiểu và tính toán trên một số mặt cụ thể và đa ra một số tính chất. Luận văn này thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng đại học Vinh, dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, đồng thời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Vinh, tháng 5 năm 2007 Sinh viên Bùi Diệu Thuỷ 2 (Mệnh đề 4.4) Đ 1 Tích có hớng của )1( n vectơ trong R n 1.1. Định nghĩa: Tích có hớng của )1( n vectơ 1 ,21 , ,, n uuu là một vectơ trong n R . Ký hiệu là 121 = n uuuu và đợc xác định nh sau: = 111211 122221 111211 1 11211 22321 11311 11312 22322 11312 . )1(; .; . ; . nnnn n n n nnnn n n nnnn n n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu u 1.2. Các tính chất 1.2.1. Mệnh đề. Tích có hớng của )1( n vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng thành phần. Tức là: Giả sử ),1,1,1()( njniuu iji == và )(' iji uu ),1,1,1( njni == là các vectơ trong n R , R thì: i) ) ( 1 21 1 21 = n i n i uuuuuuuu . ii) ) ' () ( .)'( 1 1 1 1 1 1 +=+ n i n i n ii uuuuuuuuuu 3 Chøng minh: i) Theo ®Þnh nghÜa tÝch cã híng cña )1( − n , ta cã: 1 21 . − ∧∧∧∧∧ n i uuuu λ                   −−= −−−− − − + −−−−−− 111212 121 111211 1 11311 31 11311 11312 32 1312 . . . )1(;; . . . ; . . . nnnn inii n n nnnn inii n nnnn inii in uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu λλλλλλλλλ 4                   −−= −−−− − − + −−−−−− 111212 121 111211 1 11311 31 11311 11312 32 11312 . . . )1(; ; . . . . ; . . . . nnnn inii n n nnnn inii n nnnn inii n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu λ ) .( 1 1 − ∧∧∧∧= n i uuu λ . Hay 1 1 1 1 −− ∧∧∧∧=∧∧∧∧ n i n i uuuuuu λλ . ii) Theo ®Þnh nghÜa tÝch cã híng cña )1( − n vect¬ trong n R , ta cã: 1 1 )'( − ∧∧+∧∧ n ii uuuu 5                   +++−+++= −−−− −+ − + −−− 111211 112211 111211 1 11312 3322 11312 . ' .'' . . )1(;; . . .'' . nnnn ininiiii n n nnnn ininiiii n uuu uuuuuu uuu uuu uuuuuu uuu 6 ; ' '' . . . . )1(; .; . . 11312 32 11312 111211 121 111211 1 11312 32 11312          +                   −= −−−−−−− − − + −−− nnnn inii n nnnn inii n n nnnn inii n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu          − −−−− − − + 111211 121 111211 1 . ' '' . . )1( .; nnnn inii n n uuu uuu uuu 1 1 1 1 .' () ( −− ∧∧∧∧+∧∧∧∧= n i n i uuuuuu ). VËy: ( ) ) ' ( )'( 1 1 1 1 1 1 −−− ∧∧∧∧+∧∴∧∧∧=∧∧+∧∧ n i n i n ii uuuuuuuuuu . 7 1.2.2. Mệnh đề. Tích có hớng của )1( n vectơ trong n R có tính chất phản giao hoán, tức là: 1 21 . n j uuuu 1 21 . = n ij uuuuu , jinjiRuuu n n = ,1,1,,, .,, 121 . Chứng minh: Theo định nghĩa tích có hớng của )1( n vectơ ta có: 1 1 n ji uuuu = = + 111211 121 121 111211 1 11312 32 32 11312 . )1(; .; . nnnn jnjj inii n n nnnn jnjj inii n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu 8                         −−= −−−− − − − + −−− 111312 121 121 111211 2 11312 32 32 11312 . )1(; .; . nnnn inii jnjj n n nnnn inii jnjj n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu =                         −− −−−− − − − + −−− 111211 121 121 111211 1 11312 32 32 11312 . )1(; .; . nnnn inii jnjj n n nnnn inii jnjj n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu 9 ) .( 1 1 = n i uuuu j Vậy: ) ( . 11 11 = nnj uuuuuuuu iji 1.2.3. Mệnh đề. Giả sử 1 , ., 1 n uu là )1( n vectơ trong n R . Hệ vectơ }, .,{ 1 1 n uu phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi: 0 . 1 1 == n uuu . Chứng minh: * Điều kiện cần: giả sử ),1,1,1()( njniuu ij i == là )1( n vectơ trong n R mà }, ,{ 1 1 n uu là hệ phụ thuộc tuyến tính thì 0 = u . (Trong đó 1 . 1 = n uuu ) Thật vậy: Do }, ,{ 1 1 n uu là hệ phụ thuộc tuyến tính nên )1,2( = nkR k sao cho: 1 132 321 +++= n n uuuu Do đó 1 2 1 = n uuuu 11 132 .) .( 232 +++= nn n uuuuu 11 1 1 22 2 ++= nn n n uuuuu (1.1) Theo định nghĩa tích có hớng của )1( n vectơ trong n R ta có: = 1 . 22 n uuu 10 . nghĩa độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt trong R n . Đ3. Các dạng cơ bản Bằng việc sử dụng ánh xạ Weingarten trên S trong. trong S) là một mảnh hình học trong n R . 2.2.3. Ví dụ. 1) Đờng trong 2 R là siêu mặt 2) Mặt trong 3 R là siêu mặt 3) Siêu cầu, siêu trụ trong n R là siêu