Khảo sát độ cong gauss độ cong trung bình và đường khắc địa của lớp các mặt thông dụng mặt cực tiểu

LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần Hình học vi phân phát triển mạnh, đối tượng nghiên cứu hình học đa tạp khả vi mà sở ban đầu lý thuyết đường, mặt E Việc nắm vững kiến thức bước tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài đặc biệt quan tâm đến vấn đề Luận văn gồm chương - Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số phép tính liên quan chứng minh sách hình vi phân Đây công cụ thiếu cho việc nghiên cứu phần sau - Chương 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc địa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, Catenoid, xuyến - Chương 3: Trong lớp mặt đa tạp ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = mà ta gọi mặt tối tiểu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến só giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn Thầy Cô khoa nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học bạn bè lớp tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương dành cho việc nhắc lại kiến thức lý thuyết đường mặt với kết có nhằm làm sở cho việc tính toán khảo sát chương lại §1.ĐƯỜNG TRONG En ( n = 2,3 ) 1.1 Cung En 1.1.1 Định nghóa cung tham số: Mỗi ánh xạ  : J → En từ khoảng J  R vào En gọi cung tham số (hay quỷ đạo) trongEn Hai cung tham soá  : J →En t   (t ) vaø r: I → En t  r (t ) (I , J khoảng R;  r khả vi ) gọi tương đương có vi phoâi : J →En t   (t ) cho ro  =  Dễ thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ gọi cung En ; cung tham số lớp tương đương gọi tham số hóa cung ; vi phôi  gọi phép biến đổi tham số cung 1.1.2 Điểm quy điểm kỳ dị Cho cung  xác định  : J →En t   (t ) Điểm to  mà ’ (t0)  gọi điểm quy  ’ (t0) = gọi điểm kỳ dị  Cung mà điểm quy gọi cung quy 1.1.3 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy a/- Độ dài cung : Cho cung tham số  : [ a ,b ] → En xác định đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử  liên tục Với phép chia a = t0 < t1 - Cung  En gọi song quy điểm  điểm song quy - Một cung song quy cung quy - Cung quy cung song quy  độ cong khác điểm Thật tsh tự nhiên s → r(s)  , T (s) = r’(s), độc lập tuyến tính -Xét trường vectơ Dr' DT T = neân { r’ , } ds ds Dr ' DT = 0 ds ds Dt dọc cung song quy  E'' ds Đặt N = DT/ds DT / ds trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc  viết Từ (1) ta DT = k.N (2) ds 1.2.3 Trường mục tiêu Fénet dọc cung song quy định hướng E độ xoắn a/- Định nghóa :  cung song quy định hướng En có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T trường vectơ pháp tuyến đơn vị N dọc  Nếu n = E3 có hướng xác định trường Vectơ đơn vị B = T  N dọc  gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc  Vậy cho cung song quy định hướng  E3, có trường mục tiêu trực chuẩn { T , N , B } dọc  gọi trường mục tiêu Frénet dọc  Khi : B.B = nên Do BT = neân DB B=0 ds DT DB T + B =0 ds ds Maø DT DB = K.N vaø B.N = nên T=0 ds ds Vậy DB trực giao với T B ds  DB phương với N điểm ds Từ có hàm số T dọc  gọi (hàm) độ xoắn  để DB = - T N ds - Công thức Frénet DT =K.N ds (a) DN = - K T + T B ds (b) DB = -TN ds (c) Chứng minh công thức (b) Vì N.N =  DN N=0 ds  DN khai triển theo T vaø B ds T.N =  T N.B =  DT DN =.N=-K ds ds DN DB B = -N = T ds ds DN = - KT + T B ds Vaäy b Lưu ý Lấy tham số hóa tự nhiên s → r (s)  Giả sử lân cận mở U ảnh  E3 có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } maø U1or = T U2or = N, U3or = B từ phương trình DUi =  wij Uj ( wij = - wji ) wij(r) ( Uj or) i = 1,3 j −1  D (U i o r ) ds =  j =1 So sánh với công thức Frénet, ta K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 1.2.4 Công thức tính độ cong độ xoắn Cho cung song quy định hướng  E3 xác định tham số hóa  :J → E3 Lấy tham số hóa tự nhiên t   (t ) r :I → E3 s  r ( s) Của  có phép đổi tham số  : J → I để  = ro (’ > ) Goïi { T , N , B } trường mục tiêu Frénet dọc  Từ công thức Frénet cho : T = r’ ; D r' DT DN DB = = KN ; = - KT + T B, =-TN ds ds ds ds  ' = ’ ) Ta coù :  ’ = ’ ( r’0  ) = ’ (T0  ) ( nên rõ ràng ’’ = ’’ ( To ) + ’2 ( DT o ) ds = ’’( To ) + ’2 ( Ko) ( No ) Từ : ’  ’’ = ’3 ( Ko  ) (To)  ( No ) =  ' neân ( Ko  ) = ( Ko  ) ( Bo  )  ' ' ' ' Tức K ( (t) ) mà ta viết tắt : K (t) =  ' (t )   ' ' (t )  ' (t ) Tính độ xoắn T Do ’  ’’ phương với B0  nên để tính (’  ’’) ’’’ , cần xét thành phần chứa B0  khai trieån ’’’ theo { T0  ; No ; Bo } Từ ’’ = ’’ (T0  ) + ’2 ( Ko  ) (No)  thaønh phần chứa Bo ’’’ ’3 ( Ko  ) (T o ) (Bo ) vaäy (’  ’’) ’’’ =  ' Do T o = ( Ko  )2 (T o ) (  ' ' ' )  ' ' '  ' ' ' Tức T (t) = (  ' (t )   ' ' (t ) )  ' ' ' (t )  ' (t )   ' ' (t ) 1.2.5 Định lý lý thuyết đường E3 Cho hai hàm số K T ( Khả vi lớp C ,   ) Trên khoảng J  R K có giá trị dương Khi + Có tham số hóa tự nhiên r : J → E3 (khả vi lớp C+2 ) cung song quy định hướng E3 nhận K T làm độ cong độ xoắn + Nếu có hai tham số hóa r  cung có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức phép dời hình f E3 mà r = fo 1.2.6 Cung E2 (cung phaúng ) Cung quy định hứơng E2 độ cong Gọi T trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung quy định hướng  E2 Giả sử E2 có hướng xác định trường véctơ dọc  cho { T , N } trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  gọi trường mục tiêu Frénet dọc  gọi trường véctơ pháp tuyến đơn vị dọc  Với tham số hóa tự nhiên s → r (s) , trường vectơ số TT = , DT DT = neân =KN ds ds K hàm số dọc  gọi độ cong  Từ T.N =  Vậy DT DT DN N + T = hay = - KT ds ds ds DT = KN ds DN = -KT ds Lưu ý : ;N DT không phụ thuộc tham ds  cung quy định hướng E2 ( có hướng) xác định tham số hóa  : J → E2 Lấy tham số hóa tự nhiên T   (t) r : I → E2  có phép biến đổi tham số  : J → I để  = ro  r(s) S (’ >0 ) Goïi { T , N } trường mục tiêu Frénet dọc  , coi trường mục tiêu dọc cung tham số r coi độ cong K  hàm số dọc  công thức Frénet cho T = r’ , N Ta coù ’ = ’ ( r’o ) = ’ ( To ) ( nên rõ ràng  ' = ’ ) ’’ = ’’ ( To )  Ko  = + ’2 ( Ko ) (No )  ' ' ( N  ) ' Giả sử toạ độ Descarter vuông góc thuận (x,y ) E2  (t) = ( x (t) , y (t) ) Khi → → T ( (t) ) = T (t) = → x'(t ) + y ' (t ) → N ( (t) ) = N (t) = x' (t ) + y ' (t ) ’’(t) = ( x’’(t) , y’’(t) ) neân Ko = x' y ' ' − x' ' y ' ( x' + y ' ) 2 ( x’ (t) , y’(t) ) ( - y’(t) , x’(t) ) DT Dr' = = K ds ds ez cosx = cosy ( cosx cosy >0 ) Mặt Scherk viết lại f(x , y ) = ( x, y , ln cos y ) cos x f1 = ( , , tgx ) f2 = ( , , - tgy ) ( − tgx , tgy ,1 ) f1  f = f1  f n= + tg x + tg y ▪ Khảo sát đường trắc địa * x → f (x , y ) f11 = ( , , cos x ) Kg(x) = cos x (1 + tg x) 2 (1 + tg x + tg y ) 2 0 Không có đường trắc địa * y → f (x,y ) f22 = ( , , - ) cos y tgx Kg(y) = cos2 y (1 + tg y ) Đường trắc địa có phương trình (1 + tg x + tg y ) ez = cosy   y  (- , ) + k2  2 ez = - cosy y  (-  3 , ) + k2  2 Maët Enneper  x x xy y y3 x2 y x2 y2   , − + − , − f(x, y ) =  − + 2 2  2  x2 y2 − + , − xy , 2 2 f1 =   x    f2 =  xy , −   y2 x2 + − , − y  2  f1  f = f1  f n= 3 2    xy + x − xy + x , x y + y − x y + y , ( y − x ) − + x y    2 2 2 2  = f1  f 1+ x + y x + y −1 (x , y , ) 2 = 1+ x + y x + y −1 2 x +y + ( ) 2 = ( x, y , x + y −1 ) 2 ( x + y + 1) f11 = ( -x , -y , ) f12 = ( y , -x , ) f22 = ( x , y , -1 ) E= 1 ( + y2 – x2 )2 + x2y2x2 = ( + x2 + y2 ) 4 F= xy xy ( – x2 + y2 ) ( -1 + y2 – x2 ) - xy = 2 G= 1 ( -1 + y2 – x2)2 + x2y2 + y2 = ( + x2 + y2 )2 4 L = < n , f11 > = x + y −1 = −1 2 ( x + y + 1) − x2 − y2 + M = < n , f12 > = xy – xy = x + y −1 x +y − = +1 N= < n , f22 ) = 2 ( x + y + 1) 2 H= EN − MF + GL 2( EG − F ) = (1 + x + y ) ▪ Khảo sát đường trắc địa =0  x x xy y y3 x2 y x2 y   − + , − + − , − f(x , y ) = 2 2 2   f1  x2  y  + , − xy , x = − 2  2   y2 x2 − f2 = ( xy , - + 2 , -y )    x , y , ( x + y − 1)   n=  ( x + y + 1) * x → f (x , y ) f11 = ( -x , -y f1  f11 = ( , - , ) 1 ( + x2 +y2 ) , - y ( + x2 +y2 )) 2 y ( x + y + 1) Kg(x) = 1   (1 − x + y ) + x y + x  4  Kg(x) =  y = x x3 x2 Phương trình đường trắc ñòa f(x) = ( − , , ) * y →f(x,y) f22 = ( x , y , -1) f2  f22 = (1 + x2 + y2 ) ( , , x )   (1 + x + y )  x + x ( x + y − 1) 2   = x ( x + y + 1) Kg(y) = 3 f2 f ( x y + 1) Kg(y) =  x = y y3 − y , Phương trình đường trắc địa ( , - + ) Các hình vẽ sau cho thấy cách phát sinh mặt Enneper từ mặt yên ngựa: Mặt Enneper KẾT LUẬN Bằng cách dựa vào kiến thức lý thuyết đường, mặt chương 1, chương luận văn dành cho việc khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt thông dụng gồm: mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đừơng cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay Như biết mặt cụ thể có tham số hóa r (u,v); lưới đường tọa độ u - tham số , v tham số đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu mặt Vì việc khảo sát đường đường trắc địa cần thiết Luận văn độ cong Gauss, độ cong trung bình đường tọa độ mặt cụ thể đường trắc địa Lý thuyết đường trắc địa giải tổng quát, nhiên việc tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể chưa đề cập tài liệu hình học vi phân Vì việc tìm độ cong Gauss K, độ cong trung bình , luận văn tập trung tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể : mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đường cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay việc nghiên cứu giúp ta giải số toán cụ thể vật lý thực tế Như biết mặt có độ cong H = khảo sát đầu tiê n Meusnier, ta có: mặt có diện tích cực tiểu tất mặt có biên có H = Vì mặt có H = gọi mặt cực tiểu Lớp mặt có độ cong H = quan tâm nhà toán học Đây đề tài mang tính chất thời Luận văn số mặt có độ cong H = chứng minh mặt kẻ cực tiểu liên thông phần mặt phẳng helicoid Như biết mặt tròn xoay cực tiểu liên thông mặt phẳng Catenoid; phép đẳng cự biến helicoid thành Catenoid ta khảo sát thêm mặt có độ cong H=0 Sherk Enneper KẾT LUẬN Bằng cách dựa vào kiến thức lý thuyết đường, mặt chương 1, chương luận văn dành cho việc khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt thông dụng gồm: mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đừơng cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay Như biết mặt cụ thể có tham số hóa r (u,v); lưới đường tọa độ u - tham số , v tham số đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu mặt Vì việc khảo sát đường đường trắc địa cần thiết Luận văn độ cong Gauss, độ cong trung bình đường tọa độ mặt cụ thể đường trắc địa Lý thuyết đường trắc địa giải tổng quát, nhiên việc tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể chưa đề cập tài liệu hình học vi phân Vì việc tìm độ cong Gauss K, độ cong trung bình , luận văn tập trung tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể : mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đường cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay việc nghiên cứu giúp ta giải số toán cụ thể vật lý thực tế Như biết mặt có độ cong H = khảo sát Meusnier, ta có: mặt có diện tích cực tiểu tất mặt có biên có H = Vì mặt có H = gọi mặt cực tiểu Lớp mặt có độ cong H = quan tâm nhà toán học Đây đề tài mang tính chất thời Luận văn số mặt có độ cong H = chứng minh mặt kẻ cực tiểu liên thông phần mặt phẳng helicoid Như biết mặt tròn xoay cực tiểu liên thông mặt phẳng Catenoid; phép đẳng cự biến helicoid thành Catenoid ta khảo sát thêm mặt có độ cong H=0 Sherk Enneper TÀI LIỆU THAM KHAÛO Alekseevskij – Vinberg – Solodovnilov, Geometry of space of constant curvature, Springer – Verlag 1993 Borisovich – Bliznyakov – Izrailevich, Introduction to topology, Mir Publishers Moscow 1985 Detlef Laugwitz, Differential and Riemannian geometry, Academic Press Inc 1965 Eisenhart, An introduction to differential geometry, Princeùton, 1947 Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 Martin Lipschultz, Differential geometry, M Graw-Hill, 1969 Postnikov , Smooth manifold, Mir Publishers Moscow 1987 Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 2000 Struik, D.J, Lectures on classical differential geometry, Second edition, A ddison – wesley, Reading, Mass, 1961 10 Su Buchin, Lectures on differential geometry world Scientific Singapore 1980 BẢNG TÓM TẮT ĐỘ CONG GAUSS – ĐỘ CONG TRUNG BÌNHĐƯỜNG TỌA ĐỘ LÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA CỦA MẶT MẶT Phương trình tắc tham số Độ cong Gauss – độ cong TB Đường tọa độ đường trắc địa Đường tròn tâm o ▪ Mặt cầu x2 + y2 +z2 = R2 K= R f(u,v) = (R cosucosv , R sinucosv, R sinu) ▪ Elipsoid MẶT BẬC HAI x a2 + y b2 + K= z c2 =1 f(u ,v) = ( a cosu cosv , b sinu cosv , c sinu) H= ; bán kính R R x2  x2 y2 z2  a 2b 2c  + +   a b c  z2 ( H= c a + b2 )+ y2 ( + a x2 )+ x2 ( b4 a2 c2 a4 b2 x y z 32 2( + + ) a4 b4 c4 + c2 a2 + y2 b + z2 c2 =1 =1 ) y2 b2 + z2 c2 =1 ▪ Hyperboloid eliptic x2 a2 + y2 z2 - b2 c2 K= −1  x2 y2 z2  a b c  + +  4 b c   a =1 x2 f(u,v) = H= a ( b − c b c  a ( v + ) cos u , ( v + ) sin u , ( v + )  v v v  Hyperboid ( hai taàng) ▪ x a2 + y b2 - z c2 = -1 x2 2 K= )+ 2( y2 b x2 a4 ( + a y2 b4 a2 − + c z2 c4 )+ z2 c ) ( a + b ) b2 x2 a2 x2 a ▪ f(u,v) x2 H= a b c  a  (v − v) cos u, (v − v ) sin u, (v − v ) ( b − c )+ 2( y2 b x2 a ( + a y2 b − + - b2 z2 c2 z2 c2 = 1, =1 =1 y2 z2 = -1 , b2 c2  x2 y2 z2  a 2b 2c  + +   a b c  y2 + y2 c z2 c )+ z2 c ) ( a + b ) - z2 c = -1 Paraloid eliptic ▪ Z= x a2 + K= y b2 ▪ f(x,y) = ( x , y , x2 a2 + y2 b2 ▪ Z= x a2 - y b2 a2 − y2 b2 Z= 4z + + 2 a b a 2b H= 4x y ( + + 1) a4 b4 K= x2 Z= ▪ f(x,y) = ( x , y ,  4x y  a 2b  + + 1 4 b  a  ) Paraboloid hyperbolic ) −4  4y2  2 4x a b  + + 1 b4  a  − − 4z b a 2b H= a 4x y ( + + 1) a4 b4 Z= Z= x2 a2 y2 b2 x2 a2 − y2 b2 MẶT Tổng quát : KẺ f (s, t) = C (s) + t  (s) ▪ Mặt kẻ K=K= s s f(,t) = (coss+tcos coss, sins + tcoss sins, 2 s t sin )   ' ( s)     det  c' ( s)      ( s)   f(s) = ( EG − F ) 2 ( −1 s  1 4 t + (1 + tsos )  4 + cos s , cos s + sin s , cos s + − sin s ) cos s + f(t)= ( cosS0 + tcos S0 sosS0 , SinSo +tcos tsin S0 SinSo , S0 ) Helicoid f(s,t) = ( tcoss, tsins, bs ) b 0 K= − b2 ( t + b2 )2 , f(s) = ( , 0, bs) H=0 f(t) = ( t cosS0 , t sinSo, bSo ) MẶT Tổng quát TRÒN f(s,t) = ( C1(s)cost,C1(s)sint,C2(s) ) XOAY ▪ Torus f(s,t) = ( a+bcoss)cost, (a+bcoss ) sint, bsins) K= K=  C 2' ( s ) C1' ( s ).C 2'' ( s ) − C1'' ( s ).C 2' ( s )  C1 ( s ) C1'2 ( s ) + C 2'2 ( s ) cos s b(a + b cos s)   f(s)=((a+bcoss)cost0, (a+bcoss ) sinto, bsins) f(t) = ((a+b) cost , (a+b)sint, ) f(t) =((a-b) cost , (a-b )sint, ) ▪ Catenoid f(s,t) = (ach s s cost , ach sint, S ) a a f(s) = (ach K= −1 2 s  a  Sh +1 a   H=0 ach s cost0 , a s sint0, S ) a f(t) = (a cost, a sint,0) MẶT ▪ Mặt Scherk CỰC ez cosx – cosy = TIEÅU H=0 ez = cosy (cosy > ) ez = - cosy (cosy ) x ( −  , )+k2 2 ez cosx = -1 x ( , ,  3 , )+k2 2 f(x) = ▪ Maët Enneper f(x,y) = H =0 ( x x3 x2 − ,0, ) f(y)= x x xy + ( − − y y3 x2 y + − , x2 y2 − , ) 2 y y3 − y2 , (0, - + ) ...  wi =0 CHƯƠNG KHẢO SÁT ĐỘ CONG TRUNG BÌNH VÀ ĐỘ CONG GAUSS CỦA MẶT ĐỘ CONG TRẮC ĐỊA - CUNG TRẮC ĐỊA  Mặt bậc hai I Mặt cầu : x2 + y2 + z2 = R2 ▪ Độ cong Gauss, độ cong trung bình w (x, y ,... cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài... 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc địa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid,