Về một lớp các MD đại số tổng quát và lớp các MD 5 kc phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ANH TUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC MD(5,kC)-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ANH TUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC MD(5,kC)-PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Anh Vũ TS Nguyễn Hà Thanh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 i LỜI CAM ĐOAN Đây cơng trình nghiên cứu cá nhân tơi hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ TS Nguyễn Hà Thanh Các kết thực chung với tác giả khác nhận đồng thuận đồng tác giả đưa vào luận án Các kết đạt luận án mà khơng trích dẫn kết tơi nghiên cứu Người cam đoan Nguyễn Anh Tuấn ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỞ ĐẦU Chương – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 1.1 1.2 1.3 1.4 Lớp MD phương pháp quỹ đạo Kirillov 13 1.1.1 Lớp MD 13 1.1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 16 Tôpô phân 18 1.2.1 Phân 18 1.2.2 Phân đo 21 1.2.3 Phân đa tạp Riemann .22 C*-đại số liên kết với phân 25 1.3.1 Phạm trù C*-đại số .25 1.3.2 C*-đại số liên kết với phân .29 K-lý thuyết C*-đại số 33 1.4.1 Hàm tử K hàm tử K1 33 1.4.2 Tính chất K-hàm tử 34 Chương – LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n-1) 36 2.1 Các ví dụ phản ví dụ điển hình 37 2.1.1 Đại số Lie affine thực 37 2.1.2 Lớp MD(4,1) lớp MD(4,3) 37 2.1.3 Lớp MD(5,1) lớp MD(5,4) 38 2.1.4 Đại số Lie Heisenberg thực 40 2.1.5 Đại số Lie Kim cương thực 41 2.1.6 Các MD-đại số với MD-nhóm đơn liên tương ứng có quỹ đạo đối phụ hợp 0-chiều 2-chiều 42 2.2 2.3 Lớp MD(n,1) lớp MD(n,n–1) 43 2.2.1 Phân loại lớp MD(n,1) 43 2.2.2 Phân loại lớp MD(n,n–1) 50 Một số nhận xét 56 Chương – LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ 60 3.1 Hình học MD(5,kC)-phân 61 iii 3.2 3.3 3.1.1 K-quỹ đạo MD(5,kC)-nhóm 61 3.1.2 Sự hình thành lớp MD(5,kC)-phân 66 3.1.3 Phân loại tôpô lớp MD(5,kC)-phân 70 3.1.4 Đặc trưng hình học MD(5,kC)-phân 73 C*-đại số liên kết với MD(5,kC)-phân 77 3.2.1 Đặc trưng C*-đại số phương pháp K-hàm tử 77 3.2.2 K-lý thuyết MD(5,kC)-phân 81 Một số nhận xét 88 KẾT LUẬN 90 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 PHỤ LỤC 102 Hình 3.1 Các 1 ¡ × ( ¡ \ {0} ) 102 , s s } 102 Hình 3.2 Các 1 3-phẳng = {t δ= , z 0} 103 Hình 3.3 Các 3,4 3-phẳng = { x α= t,s t δ s} 103 Hình 3.4 Các 3,4 3-phẳng= {δ z γ= Hình 3.5 Các 3,8(1,π 2) Hình 3.6 Các 3,8(1,π 2) 3-phẳng z= t = 104 3-phẳng { x − t = α − δ , s = 0} 104 t,s z γ s} 105 Hình 3.7 Các 4,5 3-phẳng= {δ z γ= t,δ z γ t} 105 Hình 3.8 Các 4,5 3-phẳng= {δ y β= Hình 3.9 Các 4,12(1,π 2) 3-phẳng y= z= 106 Hình 3.10 Các 4,12(1,π 2) 3-phẳng t= s= 106 Hình 3.11 Các 4,14(0,1,π 2) Hình 3.12 Các 4,14(0,1,π 2) 3-phẳng t= s= 107 3-phẳng y= z= 107 CHỈ MỤC 108 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) nghiên cứu số loại phép biến đổi hình học đặt móng cho lý thuyết đặc biệt sau gọi Lý thuyết Lie Ngày nay, Lý thuyết Lie, hiểu lý thuyết liên quan đến nhóm Lie đại số Lie, phát triển vượt bậc, ứng dụng mạnh mẽ khơng Tốn học mà Vật Lý đại (đặc biệt Thuyết tương đối) chứng minh “chìa khóa” để giải nhiều vấn đề liên quan đến Hình học Phương trình Vi phân, kết nối Toán học lý thuyết với giới thực [10, Mở đầu] Gần đây, Lý thuyết Lie thâm nhập vào lĩnh vực Xác suất & Thống kê, Phân tích định lượng kinh tế, Tốn tài [7, 34, 36, 60] Chính tầm ảnh hưởng mạnh mẽ đó, Lý thuyết Lie nhận quan tâm đặc biệt cộng đồng toán học Tuy nhiên, toán Lý thuyết Lie phân loại nhóm Lie đại số Lie lại tốn khó cịn toán mở Kết Lý thuyết Lie cho thấy hạn chế xét lớp nhóm Lie liên thơng đơn liên, có song ánh tập nhóm Lie liên thơng đơn liên tập đại số Lie Bởi vậy, phép phân loại lớp nhóm Lie liên thông đơn liên (tương ứng, đại số Lie) “phiên dịch”' thành phép phân loại lớp đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thông đơn liên) Trong luận án này, tác giả tiếp cận toán phân loại lớp đại số Lie Theo Định lý Levi [46] năm 1905 & Malcev [49] năm 1945, đại số Lie hữu hạn chiều trường có đặc số phân tích thành tổng trực tiếp đại số nửa đơn ideal giải Do đó, toán phân loại đại số Lie tổng quát quy phân loại đại số Lie nửa đơn đại số Lie giải Trong đó, toán phân loại đại số Lie nửa đơn giải triệt để Cartan [16] năm 1894 (trên £ ) Gantmacher [30] năm 1939 (trên ¡ ) Bởi vậy, phải xét toán phân loại đại số Lie giải Đối với lớp đại số Lie giải được, có vài phép phân loại trường hợp thấp chiều việc phân loại trường hợp số chiều tùy ý cịn tốn mở Cho đến nay, có hai cách tiếp cận toán này: phân loại theo số chiều phân loại theo cấu trúc Về hướng phân loại theo số chiều, tức phân loại đại số Lie giải có số chiều cố định đó, có số kết sau: • Năm 1893, Lie & Engel [47] phân loại đại số Lie phức giải thấp chiều • Đại số Lie giải 3-chiều, 4-chiều 5-chiều phân loại Bianchi [5] năm 1903, Kruchkovich [42] năm 1954 Mubarakzyanov [52] năm 1963 • Năm 1990, kết hợp với kết Mubarakzyanov [53] năm 1963, Turkowski [80] phân loại đại số Lie giải 6-chiều Cũng năm này, Patera & Zassenhaus [59] phân loại đại số Lie giải 4-chiều trường hoàn thiện • Một vài phân loại khơng đầy đủ đại số Lie lũy linh 7-chiều 8-chiều đưa Gong [33] năm 1998 Tsagas [78] năm 1999,… Dường cách tiếp cận theo số chiều khó vượt qua số chiều Tuy nhiên, tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức phân loại đại số Lie giải với hay vài tính chất bổ sung Về hướng cách tiếp cận này, có số kết đây: • Năm 1973, Gauger [31] đưa phân loại triệt để đại số Lie meta-abel không 7-chiều gần đạt kết triệt để 8-chiều • Năm 1995, Arnal & Cahen & Ludwig [3] liệt kê đại số Lie (không thiết giải được) mà K-quỹ đạo nhóm Lie liên thơng tương ứng có số chiều Bảng liệt kê sau bổ sung đầy đủ Shashkov [71] năm 2012 (trên £ ) Konyaev [41] năm 2014 (trên ¡ ) • Năm 1999, Galitski & Timashev [29] phân loại đại số Lie meta-abel 9- chiều • Năm 2000, Tsagas & Kobotis & Koukouvinos [79] phân loại đại số Lie lũy linh 9-chiều với ideal abel cực đại 7-chiều • Năm 2007, Campoamor-Stursberg [13] phân loại triệt để đại số Lie 9chiều với phân tích Levi khơng tầm thường, Kath [39] phân loại lớp đại số Lie toàn phương lũy linh 10-chiều Parry [58] phân loại đại số Lie thực, giải được, bất khả phân có lũy linh đối chiều • Năm 2010, Snobl & Karasek [72, 73] phân loại lớp đại số Lie với số điều kiện lũy linh cho trước • Năm 2012, Duong & Pinczon & Ushirobira [25] phân loại đại số Lie toàn phương kỳ dị giải Chen [17] phân loại lớp đại số Lie giải với phân tích tam giác Luận án tiếp cận việc phân loại đại số Lie giải theo cấu trúc Cụ thể hơn, tác giả xét toán phân loại đại số Lie cách bổ sung tính chất số chiều K-quỹ đạo nhóm Lie liên thơng, đơn liên tương ứng với đại số Lie Ý tưởng việc xét tính chất bổ sung gợi ý từ phương pháp quỹ đạo Kirillov [40] năm 1962 Cho đến nay, phương pháp quỹ đạo phương pháp quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Hai ví dụ cụ thể đáng ý K-quỹ đạo nhóm Lie Heisenberg ( 2m + 1) -chiều H m +1 nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều ¡ H , xét theo số chiều, có hai tầng: tầng 0-chiều tầng có chiều cực đại Từ đó, Diep [22] đề xuất việc khảo sát lớp nhóm Lie giải (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương tự mà gọi MD-nhóm MD-đại số Cụ thể hơn, MDnnhóm nhóm Lie thực giải n-chiều mà K-quỹ đạo có số chiều số chiều cực đại Đại số Lie MDn-nhóm gọi MDn-đại số Trong trường hợp đặc biệt số chiều cực đại n có SMDnhóm SMD-đại số Năm 1984, Son & Viet [74] phân loại triệt để lớp SMD Lớp bao gồm đại số Lie giao hoán n-chiều ¡ n ( n ≥ 1) , đại số Lie 2-chiều aff ( ¡ ) phép biến đổi affine đường thẳng thực đại số Lie 4-chiều aff ( £ ) phép biến đổi affine đường thẳng phức Tuy nhiên, toán phân loại lớp MD lại phức tạp nhiều Năm 1990, lớp MD4 phân loại đầy đủ Vu [2, 82] Nhiều năm tiếp sau, năm 2007, khơng có thêm kết đáng kể lớp MDn với n > Để giảm bớt tính phức tạp phân loại lớp MDn, xét thêm hạn chế số chiều ideal dẫn xuất thứ đại số Lie thuộc lớp MDn Cụ thể hơn, xét lớp MD ( n, k ) lớp MDn bao gồm MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ k-chiều phân loại lớp MDn dựa việc phân loại lớp MD ( n, k ) với ≤ k ≤ n − Theo ý tưởng này, gần đây, từ 2008 đến 2011, lớp MD5 phân loại triệt để [83, 85] Như vậy, kết phân loại lớp MD ( n, k ) trường hợp tổng quát hay trường hợp riêng đóng góp cho tốn phân loại đại số Lie thực giải theo hướng tiếp cận cấu trúc [10, tr 87] Trên K-quỹ đạo có cấu trúc symplectic tự nhiên đóng vai trị quan trọng lý thuyết hệ khả tích nhiều hệ học quan trọng biểu diễn quỹ đạo [26] Một điểm đặc biệt đáng ý khác là: từ phân tầng đơn giản K-quỹ đạo (tầng 0-chiều tầng có chiều cực đại), bỏ K-quỹ đạo 0-chiều K-quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm họ đa tạp liên thông, đôi rời nhau; nữa, họ tạo thành phân Từ việc nghiên cứu phân symplectic thúc đẩy Arnal & Cahen & Ludwig [3] quan tâm nghiên cứu lớp nhóm Lie mà Kquỹ đạo có số chiều mà sau hồn thiện Shashkov [71] Konyaev [41] Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân bắt đầu xuất cơng trình Reeb [61] năm 1952 nhanh chóng phát triển thành Tôpô phân – chuyên ngành 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Quang Hòa (2014), K-lý thuyết không gian lớp MD5-phân lá, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, Luận án PTS Toán-Lý, Viện Toán học Việt Nam Arnal D., Cahen M., Ludwig J (1995), “Lie groups whose coadjoint orbits are of dimension smaller or equal to two”, Lett Math Phys., 33 (2), 183–186 Atiyah M F (1976), K-theory, Benjamin, New York Bianchi L (1903), Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni, Pisa: E Spoerri Libraio-Editore Blackadar B (1986), K-theory for operator algebras, Springer-Verlag, New York Bordag L A (2015), Geometrical Properties of Differential Equations: Applications of the Lie Group Analysis in Financial Mathematics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd., Singapore Bordemann M (1997), “Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras”, Acta Math Uni Comenian., LXVI (2), 151–201 Bourbaki N (1989), Elements of Mathematics, Lie Groups and Lie Algebras, Part I: Chapters 1-3, Addison-Wesley, Great Britain 10 Boza L., Fedrian E M., Nunez J., Tenorio A F (2013), “A historical review of the classifications of Lie algebras”, Rev Un Mat Argentina, 54 (2), 75–99 11 Brown L G., Douglas R G., Fillmore P A (1977), “Extensions of C*-algebras and K-Homology”, Ann of Math., 105 (2), 265–324 12 Camacho C., Neto A L (1985), Geometric Theory of Foliations, Birkhauser, Boston 96 13 Campoamor-Stursberg R (2007), “A note on the Classification of Nine Dimensional Lie Algebras with Nontrivial Levi Decomposition”, Int Math Forum, (27), 1341–1344 14 Candel A., Conlon L (2000), Foliations I, AMS, USA 15 Candel A., Conlon L (2003), Foliations II, AMS, USA 16 Cartan M E (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, PhD Thesis, Nony, Paris 17 Chen L (2012), “A class of solvable Lie algebras with triangular decompositions”, Comm Algebra, 40 (7), 2285–2300 18 Connes A (1981), “An analogue of the Thom isomorphism for crossed products of a C*-algebra by an action of ¡ ”, Adv Math., 39 (1), 31–55 19 Connes A (1982), “A survey of foliations and operator algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38 (Part 1), 521–628 20 Davidson K R (1996), C*-algebras by example, AMS, USA 21 Diep D N (1975), “Structure of the group C*-algebra of the group of affine transformations of a straight line”, Funct Anal Appl., (1), 58–60 22 Diep D N (1999), Method of non-commutative geometry for group C*algebras, Chapman & Hall/CRC Press, Cambridge 23 Dixmier J (1957), “L’application exponentielle dans les groupes de Lie résolubles”, Bull Soc Math France, 85, 113–121 24 Dixmier J (1977), C*-algebras, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 25 Duong M T., Pinczon G., Ushirobira R (2012), “A New Invariant of Quadratic Lie Algebras”, Algebr Represent Theory, 15 (6), 1163–1203 26 Fomenko A T, Konyaev A Yu (2014), “Geometry, dynamics and different types of orbits”, J Fixed Point Theory Appl., 15 (1), 49–66 27 Friedlander E M., Grayson D R (2005), Handbook of K-Theory, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 28 Fuks D B (1982), “Foliations”, J Soviet Math., 18 (2), 255–291 97 29 Galitski L Yu., Timashev D A (1999), “On classification of metabelian Lie algebras”, J Lie Theory, 9, 25–156 30 Gantmacher F R (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb Math., (2), 217–250 31 Gauger M A (1973), “On the classification of metabelian Lie algebras”, Trans Amer Math Soc., 179, 293–329 32 Gelfand I., Neumark M (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Sb Math., 12 (2), 197–213 33 Gong M P (1998), Classification of Nilpotent Lie algebras of Dimension (Over Algebraically Closed Fields and ¡ ), Ph.D Thesis, Waterloo, Ontario, Canada 34 Grebenev V N., Oberlack M., Grishkov A N (2008), “Lie algebra methods for the applications to the statistical theory of turbulence”, J Nonlinear Math Phys., 15 (2), 227–251 35 Halmos P R (1950), Measure Theory, Springer-Verlag, New York 36 Hernandez I., Mateos C., Nunez J., Tenorio A F (2009), “Lie Theory: Applications to problems in Mathematical Finance and Economics”, Appl Math Comput., 208 (2), 446–452 37 Karoubi M (1978), K-Theory: An Introduction, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg 38 Kasparov G G (1980), “The operator K-functor and extensions of C*algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., 44 (3), 571–636 39 Kath I (2007), “Nilpotent metric Lie algebras of small dimension”, J Lie Theory, 17 (1), 41–61 40 Kirillov A A (1976), Elements of the theory of representations, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 41 Konyaev A Yu (2014), “Classification of Lie algebras with generic orbits of dimension in the coadjoint representation”, Sb Math., 205 (1), 45–62 98 42 Kruchkovich G I (1954), “Classification of three-dimensional Riemannian spaces according to groups of motions”, Uspekhi Mat Nauk, (1), 3–40 43 Lawson H B., Jr (1974), “Foliations”, Bull Amer Math Soc., 80 (3), 369–418 44 Lee J M (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag, New York 45 Lee J M (2013), Introduction to smooth manifolds, Springer-Verlag, New York 46 Levi E E (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Natur., 40, 551–565 47 Lie S M., Engel F (1893), Theorie der Transformationsgruppen III, B G Teubner, Leipzig 48 MacLane S (1963), Homology, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 49 Malcev A I (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., (5), 329–356 50 Moerdijk I., Mrcun J (2003), Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge University Press, UK 51 Molino P (1988), Riemannian foliations, Birkhauser, Boston, Basel 52 Mubarakzyanov G M (1963), “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (34), 99–106 53 Mubarakzyanov G M (1963), “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with a non-nilpotent basis element”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., 4, 104–116 54 Murphy G J (1990), C*-algebras and operator theory, Academic Press, USA 55 Narmanov A Ya., Kaypnazarova G (2011), “Foliation theory and its applications”, TWMS J Pure Appl Math., (1), 112–126 56 O'Neill B (1983), Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, USA 57 Ovando G P (2015), “Lie algebras with ad-invariant metrics A survey”, Preprint 99 58 Parry A R (2007), A classification of real indecomposable solvable Lie algebras of small dimension with codimension one nilradicals, Master Thesis, Utah State University, Logan, Utah, USA 59 Patera J., Zassenhaus H (1990), “Solvable Lie algebras of dimension ≤ over perfect fields”, Linear Algebra Appl., 142 (1), 1–17 60 Patrangenaru V., Ellingson L (2015), Nonparametric Statistics on Manifolds and Their Applications to Object Data Analysis, Chapman & Hall Book, CRC Press, Boca Raton, London, New York 61 Reeb G (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci Indust 1183, Hermann, Paris 62 Reinhart B L (1959), “Foliated Manifolds with Bundle-Like Metrics”, Ann of Math., 69 (1), 119–132 63 Reinhart B L (1983), Differential Geometry of foliations: The fundamental integrability problem, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 64 Rordam M., Larsen F., Laustsen N (2000), An Introduction to K-theory for C*algebras, Cambridge University Press, UK 65 Rosenberg J (1976), “The C*-algebras of some real p -adic solvable groups”, Pacific J Math., 65 (1), 175–192 66 Rosenberg J (1982), “Homological invariants of extensions of C*-algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38 (Part 1), 35–75 67 Rovenskii V Y (1998), Foliations on Riemannian manifolds and submanifolds, Birkhauser, Boston 68 Rudin W (1976), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill Inc., USA 69 Saito M (1957), “Sur certains groupes de Lie résolubles (II)”, Sci Papers Coll Gen Ed Univ Tokyo, 7, 1–11 (157–168) 70 Sakai S (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg 71 Shashkov S A (2012), “Commutative homogeneous spaces with onedimensional stabilizer”, Izv Math., 76 (4), 820–839 100 72 Snobl L (2010), “On the structure of maximal solvable extensions and of Levi extensions of nilpotent Lie algebras”, J Phys A, 43 (50), 1–17 73 Snobl L., Karasek D (2010), “Classification of solvable Lie algebras with a given nilradical by means of solvable extensions of its subalgebras”, Linear Algebra Appl., 432 (7), 1836–1850 74 Son V M., Viet H H (1984), “Sur la structure des C*-algebres d’une classe de groupes de Lie”, J Operator Theory, 11 (1), 77–90 75 Sternberg S (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, New Jersey 76 Tamura I (1992), Topology of foliations: An introduction, AMS, USA 77 Torpe A M (1985), “K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components”, J Funct Anal., 61 (1), 15–71 78 Tsagas G (1999), “Classification of nilpotent Lie algebras of dimension 8”, J Inst Math Comput Sci Math Ser., 12 (3), 179–183 79 Tsagas G., Kobotis A., Koukouvinos T (2000), “Classification of nilpotent Lie algebras of dimension nine whose maximum Abelian ideal is of the dimension seven”, Int J Comput Math., 74 (1), 5–28 80 Turkowski P (1990), “Solvable Lie algebras of dimension six”, J Math Phys., 31 (6), 1344–1350 81 Vaisman I (1979), “Conformal foliations”, Kodai Math J., (1), 26–37 82 Vu L A (1990), “On the foliations formed by the generic K-orbits of the MD4groups”, Acta Math Vietnam., 15 (2), 39–55 83 Vu L A., Shum K P (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, World Scientific, Singapore, 353–371 84 Vu L A., Thanh D M (2006), “The geometry of K-orbits of a subclass of MD5-groups and foliations formed by their generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications: East-West J Math., Special Volume, 169–184 101 85 Vu L A., Hieu H V., Nghia T T H (2011), “Classification of 5-dimensional MD-algebras having non-commutative derived ideals”, East-West J Math., 13 (2), 115–129 86 Vu L A., Hoa D Q., Tuan N A (2014), “K-theory for the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of a class of solvable real Lie groups”, Southeast Asian Bull Math., 38 (5), 751–770 87 Wegge-Olsen N E (1993), K-theory and C*-algebras: A friendly approach, Oxford University Press Inc., New York 88 Williams D P (2007), Crossed products of C*-algebras, AMS, USA 89 Yorozu S (1983), “Behavior of geodesics in foliated manifolds with bundlelike metrics”, J Math Soc Japan, 35 (2), 251–272 102 PHỤ LỤC Trong hình minh họa (cho mơ tả hình học Mục 3.1.4, Chương 3) đây, phần màu đỏ (nếu có) tập K-quỹ đạo 0-chiều Hình 3.1 Các 1 ¡ × ( ¡ \ {0}) ,s s } Hình 3.2 Các 1 3-phẳng = {t δ= 103 , z 0} Hình 3.3 Các 3,4 3-phẳng = { x α= t,s t δ s} Hình 3.4 Các 3,4 3-phẳng= {δ z γ= 104 Hình 3.5 Các 3,8(1,π 2) 3-phẳng z= t = Hình 3.6 Các 3,8(1,π 2) 3-phẳng { x − t = α − δ , s = 0} 105 t,s z γ s} Hình 3.7 Các 4,5 3-phẳng= {δ z γ= t,δ z γ t} Hình 3.8 Các 4,5 3-phẳng= {δ y β= 106 Hình 3.9 Các 4,12(1,π 2) 3-phẳng y= z= Hình 3.10 Các 4,12(1,π 2) 3-phẳng t= s= 107 Hình 3.11 Các 4,14(0,1,π 2) 3-phẳng t= s= Hình 3.12 Các 4,14(0,1,π 2) 3-phẳng y= z= 108 CHỈ MỤC *-đại số, 25 * -đồng cấu, 25 Đẳng cấu Thom-Connes, 33 Đầy đủ hóa, 27 Độ đo hồnh, 21 Ad, 14 Độ đo X-bất biến, 22 Ánh xạ mũ, 16 Đồng cấu nối, 35 Aut, 13 Đồng cấu, đẳng cấu, 14 Đồng thức Jacobi, 13 B(H), K(H), 26 Đơn vị hóa, 26 B F , 14 Biểu diễn đối phụ hợp, 14 End, 14 C*-đại số, 25 G-đẳng biến, 29 C*-đại số liên kết với phân lá, 31 GL n , 13 Dãy khớp tuần hoàn 6-thành phần, 35 Hạch, 27 Đa tạp trắc địa hoàn toàn, 22 Ideal dẫn xuất thứ n, 14 Đa tạp phân lá, 18 Index, 79, 80 Đại số Banach, 25 Đại số Lie, 13 KK-nhóm Kasparov, 77 Đại số Lie, 13 K-quỹ đạo, 14 Đại số Lie affine, 37 Không gian đối ngẫu, 14 Đại số Lie giải được, 14 Không gian lá, 20 Đại số Lie giao hoán, 13 Đại số Lie Heisenberg, 40 Lá, 18 Đại số Lie Kim cương, 41 Lá holonomy, 30 Lie (G), 13 109 Lớp MD, 15 Lớp MD(n,k), MD(n,kC) MD(n,kNC), 15 Lớp SMD, 15 Phân cho tác động nhóm Lie, 19 Phân đo được, 21 Phân đối ngẫu, 24 Phân đường tròn, 19 Ma trận cấu trúc, 45 Phân khả trắc địa, 23 Mat n , 13 Phân Riemann, 23 MD(5,kC)-phân lá, 66 Phân tia, 19 Mêtric kiểu phân thớ, 24 Phân tuyến tính, 20 Phân tương đương (cùng kiểu), 21 Nhóm amenable, 28 Phân trắc địa hồn tồn, 23 Nhóm Lie, 13 Phép chiếu phần tử unita, 25 Phép ngập Riemann, 24 Phân bố, 18 Phỏng nhóm holonomy (Đồ thị), 30 Phân bố khả tích, 18 Phương pháp K-hàm tử, 77 Phân bố tiếp xúc của, 19 Phân bố trắc địa, 23 Tấm, 18 Phân bố trực giao (chuẩn tắc), 23 Tích xiên, 29 Phân lá, 18, 19 Tổng nửa trực tiếp, 56 Phân cho phân thớ, 19 ... Những kỹ thuật Vu [82] lớp MD( 4,1) -đại số lớp MD( 4,3) -đại số, Vu & Shum [83] lớp MD( 5, 1) -đại số lớp MD( 5, 4) -đại số phát triển để nghiên cứu lớp MD- đại số tổng quát lớp MD- đại số có ideal dẫn xuất... bao gồm: • Lớp MD ( n,1) lớp MD ( n, n − 1) tổng quát với số chiều hữu hạn tùy ý • Lớp MD( 5, kC) -phân liên kết với MD( 5, kC) -nhóm bất khả phân lớp C* -đại số Connes liên kết với MD( 5, kC) -phân Phương...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ANH TUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD- ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC MD( 5, kC) -PHÂN LÁ Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN