Mẫu 04/ĐTCS oa häc tù nhiªn ĐẠI HỌC QUỐC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN đại häc kh BÁO CÁO TỔNG KẾT KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu Mã số đề tài: TN.18.01 Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Anh Tuấn Hà Nội, tháng 06 năm 2019 Mẫu 04/ĐTCS PHẦN I THÔNG TIN CHUNG Tên đề tài: Giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu Mã số: TN.18.01 Danh sách cán thực đề tài: TT Học vị, họ tên Đơn vị công tác Ngô Anh Tuấn Khoa Tốn-Cơ-Tin học, ĐHKTN Vai trị thực đề tài (Chủ nhiệm/Tham gia) Chủ nhiệm Đơn vị chủ trì thực hiện: Khoa Toán-Cơ-Tin học Thời gian thực hiện: 5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 06 năm 2019 5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm… 5.3 Thực thực tế: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 06 năm 2019 Tổng kinh phí đƣợc phê duyệt đề tài: 30 triệu đồng Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): Khơng PHẦN II TỔNG QUAN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Viết theo cấu trúc báo khoa học tổng quan từ 6-15 trang, nội dung gồm phần: Đặt vấn đề Giả sử X CW-phức có điểm gốc Gọi Q0X thành phần liên thơng điểm gốc không gian QX=limn nSnX Một tốn cổ điển chưa giải tìm ảnh đồng cấu Hurewicz H: *s(X) ≅ * (Q0X) H*(Q0X) Ở sau này, đồng điều đối đồng điều lấy với hệ số Z/2, trường có hai phần tử Trong trường hợp X=S0, giả thuyết tồn từ lâu lớp cầu nói lớp với bất biến Hopf bất biến Kervaire tất phần tử H*(Q0S0) nằm ảnh đồng cấu Hurewicz (Xem Curtis [Curtis], Snaith Tornehave [ST], Wellington [Wellington].) Nguyễn H V Hưng phát biểu giả thuyết tổng quát lớp cầu sau (xem [HT]) Mẫu 04/ĐTCS Giả thuyết Đồng cấu Hurewicz H: *s(X) ≅ * (Q0X) H*(Q0X) triệt tiêu lớp * (Q0X) lọc Adams lớn Trong cơng trình [LZ87], Lannes Zarati xây dựng đồng cấu sM: ExtAs,s+d(M, Z/2) (Z/2 A RsM)d* tương ứng với phân bậc liên kết đồng cấu Hurewicz Chứng minh khẳng định chưa cơng bố, tóm lược Lannes [Lannes] Goerss [Goerss] Các lớp với bất biến Hopf bất biến Kervaire biểu diễn tương ứng chu trình vĩnh cửu ExtA1,*(Z/2, Z/2) ExtA2,*(Z/2, Z/2), chúng 1 and 2 khác không (xem Adams [Adams60], Browder [Browder], Lannes-Zarati [LZ87]) Do đó, Nguyễn H V Hưng phát biểu dạng đại số giả thuyết lớp cầu sau (xem Hưng-Tuấn [HT]) Giả thuyết (Dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu) sM = gốc (stem) dương, với s>2 A-môđun không ổn định M Trong trường hợp M đối đồng điều rút gọn S0, Giả thuyết phát biểu [Hung97] Giả thuyết chứng minh trường hợp M đối đồng điều rút gọn S0 với s=3,4, tương ứng [Hung97], [Hung03], [HQT] Cũng trường hợp M đối đồng điều rút gọn S0, đồng cấu Lannes-Zarati triệt tiêu với s >2 phần tử phân tích ExtAs(Z/2, Z/2) ảnh đồng cấu chuyển Singer chứng minh cơng trình [HP98] [HN01] tương ứng Gần đây, Hưng Powell [HPowell] đưa chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati triệt tiêu với s >2 ảnh đồng cấu chuyển Singer với Amôđun không ổn định M Giả thuyết chứng minh trường hợp M đối đồng điều rút gọn không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều với s=3 [HT] Đề tài tập trung nghiên cứu Giả thuyết 2, chúng tơi hi vọng chứng minh tồn dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu trường hợp riêng giả thuyết khác với trường hợp chứng minh nêu Mục tiêu phạm vi nghiên cứu Mục tiêu đề tài đưa hiểu biết sâu sắc dạng đại số giả thuyết lớp cầu việc sử dụng lý thuyết bất biến modular Trên sở hiểu biết đó, chúng tơi hy vọng chứng minh hồn tồn phần giả thuyết Mẫu 04/ĐTCS Tổng quan tài liệu Nội dung nghiên cứu đề tài chứng minh triệt tiêu đồng cấu LannesZarati A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn, M, phần tử phân tích số dạng Với M=Z/2, thu kết chứng lần đầu Hưng-Peterson (xem [HP]) Với M= RP∞, đồng cấu Lannes-Zarati thứ triệt tiêu phần tử phân tích Trước phát biểu kết đề tài, phát biểu lại kết dùng chứng minh kết bao gồm: biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati, điều kiện đủ để đơn thức Dickson A-phân tích Cách tiếp cận phƣơng pháp nghiên cứu Chúng khai thác lý thuyết bất biến modular nhằm công dạng đại số giả thuyết lớp cầu Nội dung kết nghiên cứu Trước phát biểu kết đề tài, phát biểu Định lý 3, Định lý Bổ đề Đây kết quan trọng sử dụng chứng minh kết đề tài Định lý (xem [HT]) Cho M A-môđun không ổn định Khi đó, với s ≥ 0, ánh xạ (sM)~: RsM Γs+ M, qSts (z) qQs,0|z| z với q thuộc Ds, phần tử z bậc |z| M, biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati (sM)*: (Z/2 A RsM )i Tors,s+iA(Z/2, M) Ánh xạ tự nhiên A-đồng cấu A-môđun không ổn định Một phần tử Ds gọi A-phân tích viết dạng ∑Sqiqi với i > qi thuộc Ds Giambalvo and Peterson [GP] điều kiện đủ cho đơn thức Ds A-phân tích sau Mẫu 04/ĐTCS Định lý (xem [GP]) Cho s≥ giả sử I = (i0,…, is-1) gồm s số nguyên không âm QI = Qs, 0i_0… Qs, s-1i_{s-1} thuộc Ds với i0 > s-2 Khi QI Aphân tích Ta nhắc lại bổ đề sau, bổ đề lần đầu chứng minh [HP] Ta đưa chứng minh cho bổ đề để tiện cho việc theo dõi luận án Bổ đề (xem [HP]) Cho c=Qm, 0i_0… Qm, m-1i_{m-1} thuộc Dm với i0 > Nếu ik ≡ mod với k > đó, c A-phân tích Một kết đề tài định lý sau Định lý Cho M A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn Khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho M sM: ExtAs,s+d(M, Z/2) (Z/2 A RsM)d* triệt tiêu phần tử có dạng αβ gốc dương, α thuộc ExtAp(Z/2, Z/2), β thuộc ExtAq(M, Z/2) với p ≥ 2, q > p+q=s p=s ≥ 2, q=0 stem(β) > s-2 Định lý cung cấp chứng ủng hộ Giả thuyết 2, đặc biệt cung cấp kết cho A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn Áp dụng định lý với M=Z/2, ta thu định lý sau chứng minh lần đầu bới Hưng-Peterson (xem [HP]) Định lý (xem [HP]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho Z/2 sZ/2: ExtAs,s+i(Z/2, Z/2) (Z/2 A Ds)i* triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương i với s ≥ Trong [HP], Hưng Peterson chứng minh Định lý cách * (tổng trức tiếp sZ/2 với s) đồng cấu đại số quan trọng tích đại số tổng trực tiếp (Z/2 A Ds)* với s > 0, tầm thường, ngoại trừ trường hợp (Z/2 A D1)* (Z/2 A D1)* (Z/2 A D2)* Phương pháp chứng minh Định lý khác với phương pháp Hưng Peterson Thành tố cấu thành mới, quan trọng việc sử dụng biểu diễn dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Ngồi ra, lợi ích việc sử dựng biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati làm cho chứng minh Định lý ngắn sơ cấp Mẫu 04/ĐTCS Hưng Tuấn [HT] thiết lập mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho H*(RP∞) cho H*(S0) Mối quan hệ đến từ dạng đại số Định lý KahnPriddy (xem [Định lý 1.1, Lin 1981]) Bằng cách sử dụng dạng đại số định lý Kahn-Priddy, Hưng Tuấn chứng minh đồng cầu Lannes-Zarati thứ s1 cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho S^0 triệt tiêu gốc dương, với s ≥ (xem [Mệnh đề 10.2, HT]) Vì vậy, Giả thuyết với M = H*(RP∞) thú vị Trong đề tài này, cách sử dụng Định lý kết nói đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho S0 đồng cầu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ triệt tiêu gốc dương (xem [Định lý 1.4, HQT] [Định lý 1.8, HT]), ta thu mệnh đề sau Mệnh đề Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H*(RP∞) 5: ExtA5,5+d(H*(RP∞), Z/2) (Z/2 A R5 H*(RP∞))d* triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương d Đánh giá kết nghiên cứu đạt đƣợc Những kết thu đề tài hồn tồn xác Các kết viết thành báo nhận đăng tạp chí Algebraic and Geometric Topology, tạp chí thuộc danh mục ISI, Q1-Scimago Các kết báo cáo Hội nghị Toán học Việt Mỹ tổ chức Quy Nhơn 06/2019 Kết luận kiến nghị Mặc dù kết đề tài Giả thuyết chưa giải trọn vẹn Chúng hi vọng Giả thuyết giải thời gian tới Tài liệu tham khảo [Adams60] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann Math 72 (1960), 20-104 [Browder] W Browder, The Kervaire invariant of a framed manifold and its generalization, Ann Math 90 (1969), 157-186 [Curtis] E B Curtis, The Dyer Lashof algebra and the Lambda algebra, Illinois Jour Math 18 (1975), 231-246 [GP] V Giambalvo, F P Peterson, A-generators for the ideals in the Dickson algebra, J Pure Appl Algebra 158 (2001), 161-182 [Goerss] P G Goerss, Unstable projectives and stable Ext: with applications, Proc London Math Soc 53 (1986), 539-561 Mẫu 04/ĐTCS [Hung97] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 3893-3910 [Hung99] Nguyễn H V Hưng, The weak conjecture on spherical classes, Math Zeit 231 (1999), 727-743 [Hung03] Nguyễn H V Hưng, On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra, Math Proc Camb Phil Soc 134 (2003), 103-113 [HN01] Nguyễn H V Hưng and Trần N Nam, The hit problem for the Dickson algebra, Trans Amer Math Soc 353 (2001), 5029-5040 [HP98] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the Dickson algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124 (1998), 253-264 [HPowell] Nguyễn H V Hưng and G Powell, The A-decomposability of the Singer construction, Journal of Algebra 517 (2019), 186-206 [HQT] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuấn, On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism, C R Acad Sci Paris, Serie I, 352 (2014), 251254 [HT] Nguyễn H V Hưng and Ngô A Tuấn, The generalized algebraic conjecture on spherical classes, Manuscripta Mathematica, 25 pages (2019) https://doi.org/10.1007/s00229-019-01117-w [Lannes] J Lannes, Sur le n-dual du n-ème spectre de Brown-Gitler, Math Zeit 199 (1988), 29-42 [LZ87] J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation, Math Zeit 194 (1987), 25-59 [Lin81] W H Lin, Algebraic Kahn-Priddy theorem, Pacific J Math 96 (1981), 435455 [ST] V Snaith and J Tornehave, On *s(BO) and the Arf invariant of framed manifolds, Amer Math Soc Contemporary Math {\bf 12} (1982), 299-313 [Wellington] R J Wellington, The unstable Adams spectral sequence of free iterated loop spaces, Memoirs Amer Math Soc 258 (1982) Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Nghiên cứu triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati cho A-mơđun khơng ổn định M có kiểu hữu hạn phần tử phân tích Khi M = Z/2, thu kết chứng minh Hưng Peterson năm 1998 Chúng đồng Mẫu 04/ĐTCS cấu Lannes-Zarati thứ cho H*(RP∞) triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương We study the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism on decomposable elements for any unstable A-module M of finite type When M = Z/2, we obtain a result which was first proved by Hung and Peterson in 1998 We also prove that the fifth Lannes-Zarati homomorphism for H*(RP∞) vanishes on decomposable elements PHẦN III SẢN PHẨM CỦA ĐỀ TÀI Các cơng trình khoa học công bố: Ghi địa Đánh giá cảm ơn tài chung Sản phẩm Tình trạng (Đạt, TT trợ (Đã in/chấp nhận in,…) không ĐHQGHN / đạt) ĐHKHTN Cơng trình cơng bố tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus (ISI) Ngơ A Tuấn (2019), “The Đã in Có Đạt Lannes-Zarati homomorphism and decomposable elements”, Alg Geo Topol.19-3, pp 15251539 Bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus Bài báo tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia Báo cáo khoa học đăng kỷ yếu hội nghị quốc tế Báo cáo khoa học đăng kỷ yếu hội nghị quốc gia Sản phẩm khác - Đối với cơng trình cơng bố cần ghi rõ: Tên tác giả; Tên công trình; Tên tạp chí, tập, số, năm, trang (đối với báo), tên kỷ yếu hội nghị, nơi tổ chức, thời gian tổ chức (đối với báo cáo hội nghị); - Các ấn phẩm khoa học chấp nhận có ghi nhận/cảm ơn tài trợ Trường ĐHKHTN in có xác nhận chấp nhận xuất - Bản photocopy toàn văn ấn phẩm cần đưa vào phần phụ lục minh chứng báo cáo Mẫu 04/ĐTCS Sản phẩm đào tạo: Thời gian kinh phí tham gia đề tài (số tháng/số tiền) Tiến sỹ / Nghiên cứu sinh Thạc sỹ / Học viên cao học Cử nhân TT Họ tên Cơng trình cơng bố liên quan (Sản phẩm KHCN, luận án, luận văn) Đã bảo vệ Minh chứng phần phụ lục photocopy trang bìa luận án/ luận văn/ khóa luận giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn Các sản phẩm khác (phương pháp, quy trình cơng nghệ, phần mềm máy tính, vẽ thiết kế, sơ đồ, đồ, sở liệu, báo cáo phân tích, model, maket, vật liệu, thiết bị, máy móc,…) Tổng hợp sản phẩm đăng ký hoàn thành đề tài: STT Sản phẩm Bài báo / báo cáo khoa học Đào tạo / hỗ trợ đào tạo Phương pháp, quy trình cơng nghệ, phần mềm máy tính, vẽ thiết kế, sơ đồ, đồ, sở liệu, báo cáo phân tích, Sản phẩm công nghệ (model, maket, vật liệu, thiết bị, máy móc) Kết khác minh chứng áp dụng Số lƣợng đăng ký Số lƣợng hoàn thành Tự đánh giá số lƣợng, chất lƣợng 01 01 Xuất sắc PHẦN IV TÌNH HÌNH SỬ DỤNG KINH PHÍ Vật tư văn phịng Kinh phí đƣợc duyệt (triệu đồng) 0,125 Hội nghị 2,7 Thuê mướn Nội dung chi STT 25,675 Chi phí quản lý chung nhiệm vụ 1,5 Kinh phí thực (triệu đồng) 0,330 2,7 Ghi 25,675 1,5 KH&CN Tổng số: 30 30,205 Mẫu 04/ĐTCS PHẦN V KIẾN NGHỊ Dạng đại số giả thuyết lớp cầu tốn mở, chúng tơi hi vọng giải trọn vẹn giả thuyết tương lại gần Hà Nội, ngày tháng 06 năm 2019 ĐƠN VỊ CHỦ TRÌ THỰC HIỆN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI (Họ tên, chữ ký Thủ trưởng đơn vị) (Họ tên, chữ ký) TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN