Về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————— NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————— NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 9460101.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng HÀ NỘI - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án Các kết luận án viết chung với đồng nghiệp nhận đồng ý để viết luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Tác giả: Ngơ Anh Tuấn i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng, người thầy hướng dẫn, truyền đạt nhiều học quí báu công việc sống, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi cảm ơn chân thành tới Ban Giám đốc Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Ban Giám hiệu Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình hồn thiện thủ tục bảo vệ luận án Tôi cảm ơn chân thành thầy, cô đồng nghiệp Bộ mơn Đại số-Hình học-Tơpơ, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, nhiệt tình giúp đỡ học tập, nghiên cứu tạo điều kiện cho làm việc môi trường chuyên nghiệp Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi ln u thương tơi để tơi n tâm hồn thành cơng việc ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn i Bảng kí hiệu Mở đầu I Kiến thức chuẩn bị 12 I.1 Đại số Steenrod 12 I.2 Lý thuyết bất biến đại số lambda 14 II Đồng cấu Lannes-Zarati thứ khơng, thứ thứ hai 20 II.1 Nhìn lại đồng cấu Lannes-Zarati 20 II.2 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ bậc nhỏ 24 III Đồng cấu Lannes-Zarati: kết chung III.1 Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati III.2 Thương hóa đồng cấu Lannes-Zarati qua A-hệ sinh tối tiểu chu trình phức Singer III.3 Đồng cấu Lannes-Zarati toán tử squaring III.4 Đạo hàm riêng hình thức ứng dụng III.5 Tính hàm tử đồng cấu Lannes-Zarati III.6 Đồng cấu Lannes-Zarati phần tử phân tích 30 30 40 46 50 59 60 IV Về triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu S không gian xạ ảnh 67 IV.1 Đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu chiều: trường hợp cổ điển 68 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho RP∞ cho S Đồng cấu Lannes-Zarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều 72 75 80 82 Kết luận 83 Phụ lục 84 Tài liệu tham khảo 93 Bảng số kí hiệu F2 Trường với phần tử Sn Mặt cầu n-chiều GLs Nhóm ma trận cỡ s khả nghịch trường F2 RP∞ Không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều RPn Không gian xạ ảnh thực n-chiều H∗ (X) Đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 H∗ (X) Đồng điều rút gọn không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều rút gọn không gian tôpô X với hệ số F2 A Đại số Steenrod (modulo 2) Ext∗A (F2 , F2 ) Đối đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) TorA ∗ (F2 , F2 ) Đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) π∗S (X) Nhóm đồng ln ổn định khơng gian tơpơ X TorA ∗ (F2 , F2 ) Đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) ΣX treo không gian tơpơ X ΩX khơng gian đường khép kín không gian tôpô X QX QX = Ω∞ Σ∞ X = lim Ωn Σn X −→ n Mở đầu ∞ Cho X CW-phức có điểm gốc Gọi Q0 X = Ω∞ Σ X thành phần chứa điểm gốc QX = Ω∞ Σ∞ X Có tốn cổ điển chưa có lời giải xác định ảnh đồng cấu Hurewicz H : π∗S (X) = π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) Ở toàn luận án, đồng điều đối đồng điều lấy với hệ số F2 , trường với hai phần tử Giả thuyết cổ điển lớp cầu cho X = S khẳng định có lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire phần tử π∗S (S ) ∼ = π∗ (Q0 S ) phát đồng cấu Hurewicz Nguyễn H V Hưng phát biểu giả thuyết tổng quát lớp cầu sau (xem [21]): Giả thuyết (Giả thuyết tổng quát lớp cầu) Cho X CWphức có điểm gốc Khi đồng cấu Hurewicz H : π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) triệt tiêu lớp π∗ (Q0 X) có lọc Adams lớn (Xem Curtis [8], Snaith Tornehave [34] Wellington [38] để thấy thảo luận cho X = S ) Một phiên đại số toán trình bày sau Gọi Ps = F2 [x1 , , xs ] đại số đa thức s biến x1 , , xs , biến có bậc Cho nhóm tuyến tính tổng quát GLs = GL(s, F2 ) đại số Steenrod modulo 2, A, tác động Ps theo cách thông thường Đại số Dickson s biến, Ds , đại số bất biến Ds := F2 [x1 , , xs ]GLs Vì tác động A GLs Ps giao hoán với nên Ds đại số A Cho M A-môđun không ổn định Xây dựng Singer Rs M M Ds -môđun Ps ⊗ M sinh Sts M , Sts ký hiệu cho đồng cấu Steenrod định nghĩa sau Cho trước phần tử z ∈ M có bậc |z|, theo quy ước ta đặt St0 (z) = z , định nghĩa quy nạp |z| x|z|−i ⊗ Sq i (z), St1 (x; z) = i=0 Sts (x1 , , xs ; z) = St1 (x1 ; Sts−1 (x2 , , xs ; z)) Chú ý Rs M A-môđun Ds ⊗ M Rs M A-môđun không ổn định (Xem [42, Định nghĩa-Mệnh đề 2.4.1].) Ta dùng s,s+i (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ ϕM s : ExtA để kí hiệu đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho A-môđun không ổn định M , định nghĩa [42] Khi M = H ∗ (X), đồng cấu tương ứng với phân bậc liên kết ánh xạ Hurewicz Chứng minh khẳng định khơng cơng bố, phác họa Lannes [41, Tiết 2] Goerss [10] Trong trường hợp M = H ∗ (X), đối đồng điều rút gọn không gian ∗ (X) tôpô X , đồng cấu Lannes-Zarati ϕH ký hiệu ϕX s s cho gọn Các lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire đại 2,∗ diện tương ứng chu trình vĩnh cửu Ext1,∗ A (F2 , F2 ) ExtA (F2 , F2 ), mà đồng cấu Lannes-Zarati khác không (xem Adams [1], Browder [5], Lannes-Zarati [42]) Nguyễn H V Hưng phát biểu dạng đại số giả thuyết tổng quát lớp cầu cho M = H ∗ (S ) = F2 [13] cho A-môđun không ổn định M seminar VNU khoảng thời gian dài (xem [21]): Giả thuyết (Dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu) Đồng cấu Lannes-Zarati s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ s : ExtA triệt tiêu gốc dương i với s > 2, với A-môđun không ổn định M Giả thuyết chứng minh cho trường hợp M = H ∗ (S ) với s = 3, Nguyễn H V Hưng (xem [14], [16]), với s = ông đồng nghiệp (xem [22]) Sự kiện đồng cấu Lannes-Zarati cho M = H ∗ (S ) triệt tiêu với s > phần tử phân tích ExtsA (F2 , F2 ) ảnh đồng cấu chuyển Singer chứng minh tương ứng Nguyễn H V Hưng-F P Peterson (xem [19]), Nguyễn H V Hưng-Trần N Nam (xem [17]) Trong luận án này, nghiên cứu Giả thuyết Cụ thể, nghiên cứu số vấn đề xung quanh đồng cấu Lannes-Zarati, từ đưa chứng minh cho Giả thuyết số trường hợp riêng Luận án bao gồm chương phần Phụ lục với nội dung sau Trong Chương I, chúng tơi trình bày số kiến thức dùng phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda cơng trình Singer diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến Các kết luận án trình bày từ Chương II đến Chương IV Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M Xây dựng tường minh trình bày [13] cho M = F2 Tiết cuối chương II dành cho việc nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati thứ bậc nhỏ Nghiên cứu nhằm giải thích lý giả thuyết tổng qt lớp cầu cần tới giả thiết lớp đồng luân có lọc Adams lớn i (F2 , F2 ) để kí hiệu phần tử Adams thứ i với i ≥ Ta dùng hi ∈ Ext1,2 A 0,2j ∗ ∞ hj ∈ ExtA (H (RP ), F2 ) phần tử mà ảnh đồng cấu Kahns ∗ ∞ ∗ Priddy g∗ : Exts−1 A (H (RP ), F2 ) → ExtA (H (S ), F2 ) hj với j > (xem Lin [24]) Mệnh đề sau đánh số Mệnh đề II.2.4 Chương II Mệnh đề (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ∞ ϕRP , đẳng cấu Ext0A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) ∞ (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian xạ ảnh, ϕRP , đơn cấu Span{hi hj | i ≥ j} triệt tiêu Span{hi hj | i < j} ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP , triệt tiêu 2 gốc dương ExtA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian khác không mệnh đề sau Mệnh đề đánh số Mệnh đề II.2.6 Chương II Mệnh đề Cho X CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc Khi đồng cấu LannesZarati thứ X khác không gốc dương Bổ đề chứng minh việc kết hợp mũi tên dọc với đẳng A −s cấu Σs : TorA s,i (F2 , Σ F2 ) → Tors,s+i (F2 , F2 ) mũi tên dọc thứ hai với đẳng −(s−1) P ) → TorA cấu Σs−1 : TorA s−1,i (F2 , Σ s−1,s−1+i (F2 , P ) (Chi tiết xem Nhận xét II.1.4.) Mệnh đề sau đánh số Mệnh đề 16 ∞ S Mệnh đề IV.4.2 Nếu ϕRP s−1 triệt tiêu gốc dương, ϕs triệt gốc dương với s ≥ Chứng minh Mệnh đề suy trực tiếp từ Bổ đề IV.4.1 dạng đại số định lý Kahn-Priddy (xem [24]) Kết hợp Mệnh đề IV.4.2 với Mệnh đề II.2.4, Định lý IV.2.3 Định lý IV.3.3, ta thu hệ sau Đây nội dung Hệ 17 Hệ IV.4.3 (Hưng [13, 16], Hưng-Quỳnh-Tuấn [22]) Đồng cấu LannesZarati thứ s cho S 0 ϕSs : Exts,s+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )i ∗ A triệt tiêu gốc dương với s = 3, 4, IV.5 Đồng cấu Lannes-Zarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều Trong tiết này, chúng tơi trình bày triệt tiêu đồng cấu LannesZarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều Ta có H ∗ (RPn ) = H ∗ (RP∞ )/(un+1 ), u ký hiệu phần tử sinh có bậc H ∗ (RP∞ ) Vì vậy, cách kết hợp Mệnh đề III.5.2 với Mệnh đề II.2.4 (iii), Định lý IV.2.3, Định lý IV.3.3, ta thu mệnh đề sau Đây nội dung Mệnh đề 18 Mệnh đề IV.5.1 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho H ∗ (RPn ) ∗ n ϕsRP : ExtsA (H ∗ (RPn ), F2 ) → (F2 ⊗A Rs H ∗ (RPn )) triệt tiêu gốc dương với s = 2, 3, với số nguyên dương n 82 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuấn (2014), "On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism", C R Acad Sci Paris 352(3), pp 251-254 Ngô A Tuấn (2019), "The Lannes-Zarati homomorphism and decomposable elements", Algebr Geom Topol 19-3, pp 1525-1539 DOI: 10.2140/agt.2019.19.1525 Nguyễn H V Hưng and Ngô A Tuấn (2019), "The generalized algebraic conjecture on spherical classes", Manuscripta Mathematica, 25 pages DOI: 10.1007/s00229-019-01117-w Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị Khoa học Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, 09/2014 Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ Tồn quốc, Tuần Châu, 12/2014 Hội nghị Đông Á Tôpô Đại số, Daejeon, Hàn Quốc, 12/2015 Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ Tồn quốc, Đắc Lắc, 10/2016 Hội nghị Khoa học Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, 10/2016 Mini Conference khuôn khổ Hoạt động Tôpô Đại số Viasm, Tuần Châu, 12/2016 Mini Conference khuôn khổ Hoạt động Tôpô Đại số Viasm, Tuần Châu, 11/2017 83 Kết luận Trong luận án này, thu kết sau Chúng tơi đưa biểu diễn cấp độ dây chuyền cho đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Từ đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu của chu trình phức Singer Γ+ M Sự giao hoán đồng cấu Lannes-Zarati toán tử squaring nghiên cứu luận án Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 1, thứ cho H ∗ (RP∞ ) đề cập luận án Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zatati thứ cho CW-phức X có điểm gốc, với đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc, khác không gốc dương Chúng chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H ∗ (S ) triệt tiêu gốc dương Chúng chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati thứ thứ cho H ∗ (RP∞ ) triệt tiêu gốc dương Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati không gian khác nghiên cứu luận án Nghiên cứu triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M có kiểu hữu hạn phần tử phân tích Từ chúng tơi thu kết chứng minh Hưng Peterson Chúng đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H ∗ (RP∞ ) triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương 84 Phụ lục Mục đích phần Phụ lục bổ sung tính tốn chi tiết chứng minh Định lý IV.1.3 Định lý IV.3.3 Bổ sung chứng minh Định lý IV.1.3 Trường hợp a0 = P h1 gốc Ta kết hợp gốc P h1 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + = 25, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + = 21, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + = 17, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + = 17, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + = 24 , b = 2, c = 0, không thỏa mãn c > 0, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + = 24 , vô nghiệm c ≥ 1; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + = 14, vô nghiệm c > 2; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + = 14, vơ nghiệm c > 2; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + = 14, vơ nghiệm b ≥ Trường hợp a0 = P h2 gốc 11 Ta kết hợp gốc P h2 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 11 = 27, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 11 = 23, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 11 = 19, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 19, vô nghiệm; 85 (5) 2b+2 + 2c+6 = + 11 = + 24 , vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = + 24 , vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 24 , vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 11 = 24 , vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 11 = 24 , vô nghiệm Trường hợp a0 = n0 gốc 31 Ta kết hợp gốc n0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 31 = 47, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 31 = 43, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 31 = 39, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 39, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 31 = + 22 + 25 , vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = + 22 + 25 , vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 22 + 25 , vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 31 = 22 + 25 , vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 31 = 22 + 25 , vô nghiệm Trường hợp a0 = x0 gốc 37 Ta kết hợp gốc x0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 37 = 53, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 37 = 49, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 37 = 45, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 45, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 37 = 44, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 22 + 23 + 25 , vô nghiệm; 86 (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = + 23 + 25 , vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 37 = + 23 + 25 , vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 37 = + 23 + 25 , vô nghiệm Trường hợp a0 = D1 (0) gốc 52 Ta kết hợp gốc D1 (0) với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 52 = 68, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 52 = 26 , d = 0, c = 2, không thỏa mãn d > 0, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 52 = 60, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52 = 60, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 52 = 59, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52 = 59, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 141 = 27 + 24 + 2, vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, c = 1, b = 1, a = 0, không thỏa mãn b < c, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, vô nghiệm Trường hợp a0 = H1 (0) gốc 62 Ta kết hợp gốc H1 (0) với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 62 = 78, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 62 = 74, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 62 = 70, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 70, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 62 = 69, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 69, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 67, vô nghiệm; 87 (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 62 = 67, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 62 = 67, vô nghiệm Trường hợp a0 = Q3 (0) gốc 67 Ta kết hợp gốc Q3 (0) với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 67 = 83, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 67 = 79, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 67 = 75, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 75, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 67 = 74, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 74, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 72, vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 67 = 72, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 67 = 72, vô nghiệm Trường hợp a0 = K0 gốc 125 Ta kết hợp gốc K0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 125 = 141, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 125 = 137, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 125 = 133, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 133, vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 125 = 132 = 22 + 27 , b = 0, c = 1, không thỏa mãn b > 0, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 22 + 27 , vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = + 27 , vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 125 = + 27 , vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 125 = + 27 , vô nghiệm 88 Trường hợp a0 = J0 gốc 128 Ta kết hợp gốc J0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 128 = 144, vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 128 = 22 + 23 + 27 , vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 128 = 23 + 27 , b = c = 1, không thỏa mãn ≤ b ≤ c, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128 = 23 + 27 , vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 128, vô nghiệm Trường hợp a0 = V0 gốc 128 Ta kết hợp gốc J0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 156 = 27 + 25 + 23 + 22 , vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 156 = 27 + 25 + 23 , vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 128 = 23 + 27 , b = c = 1, không thỏa mãn ≤ b ≤ c, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128 = 23 + 27 , vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 128, vô nghiệm Trường hợp a0 = V0 gốc 252 Ta kết hợp gốc V0 với bậc phần tử sinh F2 ⊗ D5 : A 89 (1) 2d+4 = 16 + 252 = 28 + 23 + 22 , vô nghiệm; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 252 = 28 + 23 , d = 3, c = 0, không thỏa mãn c > 0, vô nghiệm; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 252 = 28 + 22 , c = 2, b = 0, không thỏa mãn b > 0, vô nghiệm; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252 = 28 + 22 , vô nghiệm; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 252, vô nghiệm; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vô nghiệm; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vô nghiệm; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 252, vô nghiệm; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 252, vô nghiệm Bổ sung chứng minh Định lý IV.3.3 Trường hợp 2c: a = hj−1 α16 (k), ≤ j < k − Ta có ∞ [qSt4 (un )], ϕRP (hj−1 α16 (k)) ∞ = (ϕRP )∗ ([qSt4 (un )]), hj−1 α16 (k) = [qQn4,0 ⊗ un ], hj−1 α16 (k) (theo Định lý III.1.1) = qQn4,0 ⊗ un , λ2j−1 −1 λ22k+3 −1 λ2k −1 e3.2k −1 + λ2j−1 −1 (λ22k+2 −1 λ10.2k −1 + λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 )e2k+1 −1 = qQn4,0 ⊗ un , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 e2k+1 −1 (theo Bổ đề IV.3.1) = un , e2k+1 −1 qQn4,0 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 Nếu n = 2k+1 − 1, ∞ (hj−1 α16 (k)) = [qSt4 (un )], ϕRP Nếu n = 2k+1 − 1, ∞ k+1 [qSt4 (un )], ϕRP (hj−1 α16 (k)) = qQ4,0 90 −1 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 Giả sử q = Qi4,0 Qi4,1 Qi4,2 Qi4,3 Rõ ràng ta có Q4,0 = v18 v24 v32 v4 , Q4,1 = v17 v24 v32 v4 + v18 v23 v32 v4 + v18 v24 v3 v4 + v18 v24 v32 , Q4,2 = v16 v23 v32 v4 + v16 v24 v3 v4 + v18 v22 v3 v4 + v16 v24 v32 + v18 v22 v32 + v18 v24 , Q4,3 = v14 v22 v3 v4 + v14 v22 v32 + v14 v24 + v18 Nếu i1 số chẵn, tất số mũ v1 số chẵn khai triển k+1 qQ24,0 −1 theo số hạng v1 , v2 , v3 , v4 Do đó, k+1 qQ24,0 −1 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 = k+1 −1 Nếu i1 > khai triển qQ4,0 theo số hạng v1 , v2 , v3 , v4 , k+3 tất số mũ v2 lớn − Vì k+1 qQ4,0 −1 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 = Bây giờ, ta cần xét trường hợp i0 = 0, i1 = 1, i2 = 0, i3 ≥ Dễ thấy trường hợp này, ta có k+1 Q4,1 Qi4,3 Q4,0 −1 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 = ∞ Do đó, ϕRP (hj−1 α16 (k)) = 0, ≤ j < k − Trường hợp 2d: a = hj+5 α16 (j), j ≥ Ta có ∞ [qSt4 (un )], ϕRP (hj+5 α16 (j)) ∞ = (ϕRP )∗ ([qSt4 (un )]), hj+5 α16 (j) = [qQn4,0 ⊗ un ], hj+5 α16 (j) (theo Định lý III.1.1) = qQn4,0 ⊗ un , λ2j+5 −1 λ22j+3 −1 λ2j −1 e3.2j −1 + λ2i −1 (λ22j+2 −1 λ10.2j −1 + λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 )e2j+1 −1 = qQn4,0 ⊗ un , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 e2j+1 −1 = un , e2j+1 −1 qQn4,0 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 Nếu n = 2j+1 − 1, ∞ [qSt4 (un )], ϕRP (hi α16 (j)) = 91 (theo Bổ đề IV.3.1) Nếu n = 2j+1 − 1, ∞ j+1 [qSt4 (un )], ϕRP (hj+5 α16 (j)) = qQ4,0 −1 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 Giả sử q = Qi4,0 Qi4,1 Qi4,2 Qi4,3 Rõ ràng ta có Q4,0 = v18 v24 v32 v4 , Q4,1 = v17 v24 v32 v4 + v18 v23 v32 v4 + v18 v24 v3 v4 + v18 v24 v32 , Q4,2 = v16 v23 v32 v4 + v16 v24 v3 v4 + v18 v22 v3 v4 + v16 v24 v32 + v18 v22 v32 + v18 v24 , Q4,3 = v14 v22 v3 v4 + v14 v22 v32 + v14 v24 + v18 Nếu i1 số chẵn, tất số mũ v1 số chẵn khai triển j+1 qQ24,0 −1 theo số hạng v1 , v2 , v3 , v4 Do đó, j+1 qQ24,0 −1 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 = j+1 −1 Nếu i1 > khai triển qQ4,0 theo số hạng v1 , v2 , v3 , v4 , tất số mũ v2 lớn 2j+3 − Vì j+1 qQ24,0 −1 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 = Bây giờ, ta cần xét trường hợp i0 = 0, i1 = 1, i2 = 0, i3 ≥ Dễ thấy trường hợp này, ta có j+1 Q4,1 Qi4,3 Q4,0 −1 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 = ∞ Do đó, ϕRP (hj+5 α16 (j)) = 0, j ≥ 92 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] J F Adams (1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one", Ann Math 72, pp 20-104 [2] J F Adams (1974), Operations of the n-th kind in K-theory and what we don’t know about P R∞ , New developments in topology, G.Segal (ed.), London Math Soc Lect Note Series 11, pp 1-9 [3] J Adams (1952), "The iteration of Steenrod squares in algebraic topology", Proc Nat Acad Sci USA 38, pp 720-726 [4] A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector and J W Schlesinger (1966), "The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence", Topology 5, pp 331-342 [5] W Browder (1969), "The Kervaire invariant of a framed manifold and its generalization", Ann Math 90, pp 157-186 [6] T W Chen (2011), "Determination of Ext5,∗ A (F2 , F2 )", Topo App 158(5), pp 660-689 [7] R L Cohen, W H Lin, M E Mahowald (1988), "The Adams spectral sequence of the real projective spaces", Pacific J Math 134, pp 27-55 [8] E B Curtis (1975), "The Dyer-Lashof algebra and the Lambda algebra", Illinois Jour Math 19, pp 231-246 [9] L E Dickson (1911), "A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem", Trans Amer Math Soc 12, pp 75-98 93 [10] P G Goerss (1986), "Unstable projectives and stable Ext: with applications", Proc London Math Soc 53, pp 539-561 [11] V Giambalvo, F P Peterson (2001), "A-generators for ideals in the Dickson algebra", J Pure Appl Algebra 158, pp 161-182 [12] Nguyễn H V Hưng (1991), "The action of the Steenrod squares on the modular invariants of linear groups", Proc Amer Math Soc 113, pp 1097-1104 [13] Nguyễn H V Hưng (1997), "Spherical classes and the algebraic transfer", Trans Amer Math Soc 349, pp 3893-3910 [14] Nguyễn H V Hưng (1999), "The weak conjecture on spherical classes", Math Zeit 31, pp 727-743 [15] Nguyễn H V Hưng (2001), "Spherical classes and the lambda algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 4447-4460 [16] Nguyễn H V Hưng (2003), "On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra", Math Proc Camb Phil Soc 34, pp 103-113 [17] Nguyễn H V Hưng and Trần N Nam (2001), "The hit problem for the Dickson algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 5029-5040 [18] Nguyễn H V Hưng and Trần N Nam (2001), "The hit problem for the modular invariants of linear groups", Jour Algebra 246(1), pp 367-384 [19] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson (1998), "Spherical classes and the Dickson algebraic", Math Proc Camb Phil Soc 124, pp 253-264 [20] Nguyễn H V Hưng and G Powell (2019), "The A-decomposability of the Singer construction", Jour Algebra 517, pp 186-206 [21] Nguyễn H V Hưng and Ngô A Tuấn (2019), "The generalized algebraic conjecture on spherical classes", Manuscripta Mathematica, 25 pages, https://doi.org/10.1007/s00229-019-01117-w [22] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuấn (2014), "On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism", C R Acad Sci Paris 352(3), pp 251-254 94 [23] L Kristensen (1965), "A Cartan formular for secondary cohomology operations", Math Scand 16, pp 97-115 [24] W H Lin (1981), "Algebraic Kahn-Priddy theorem", Pacific J Math 96, pp 435-455 5,∗ [25] W H Lin (2008), "Ext4,∗ A (F2 , F2 ), ExtA (F2 , F2 )", Topology and its Applications 115, pp 459-496 [26] A Liulevicius (1962), The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations, Mem Amer Math Soc 42 [27] J P May (1970) , A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture Notes in Math Vol 168, Springer-Verlag, pp 153-231 [28] J W Milnor (1958), "The Steenrod algebra and its dual", Ann of Math 67, pp 150-171 [29] Huỳnh Mùi (1975), "Modular invariant theory and the cohomology algebras of symmetric group", J Frac Sci Univ Tokyo Sect IA Math 22, pp 319-369 [30] Huỳnh Mùi (1983), Dickson invariants and Milnor basis of the Steenrod algebra, Eger Internat Colloq Topology, pp 345-355 [31] S B Priddy (1970), "Koszul resolutions", Trans Amer Math Soc 152, pp 36-60 [32] W M Singer (1983), "Invariant theory and the Lambda algebra", Trans Amer Math Soc 280, pp 673-693 [33] W M Singer (1989), "The transfer in homological Algebra", Math Zeit 202, pp 493-523 [34] V Snaith and J Tornehave (1982), "On π∗S (BO) and the Arf invariant of framed manifolds", Amer Math Soc Contemporary Math 12, pp 299-313 [35] N E Steenrod (1947), "Products of cocycles and extensions of mappings", Ann of Math 48, pp 290-320 [36] N E Steenrod and D B A Epstein (1962), Cohomology operarions, Ann of Math Stud., No 50, Princeton Univ Press, New Jersey 95 [37] Ngô A Tuấn (2019), "The Lannes-Zarati homomorphism and decomposable elements", Algebr Geom Topol 19-3, pp 1525-1539 DOI 10.2140/agt.2019.19.1525 [38] R J Wellington (1982), "The unstable Adams spectral sequence of free iterated loop spaces", Memoirs Amer Math Soc 258 [39] C Wilkerson (1977), "Classifying spaces, Steenrod operations and algebraic closure", Topology 16, pp 227-237 Tiếng Pháp [40] H Cartan (1950), "Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod", C R Acad Sci Paris, Ser I 230, pp 425-427 [41] J Lannes (1988), "Sur le n-dual du n-ème spectre de Brown-Gitler", Math Zeit 199, pp 29-42 [42] J Lannes and S Zarati (1987), "Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation", Math Zeit 194, pp 25-59 [43] J P Serre (1953), "Cohomologie des complexes d’Eilenberg-Mac Lane", Comment Math Helv 27, pp 198-232 96