Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành Toán Giải tích Mã số : 01 01 Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức hỗ trợ khác tinh thần tư liệu cho suốt thời gian học tập làm việc Chân thành cảm ơn Thầy, Cô ban chủ nhiệm Khoa Toán –tin học, Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành cho suốt trình học tập Chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Hoàn Hoá, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Minh Thuyết đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Chúng cám ơn chân thành đến Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Khoa học Cơ trường Đại học Kiến Trúc, tạo nhiều điều kiện thuận lợi mặt để yên tâm học tập làm việc, đặc biệt hai thầy Ninh Quang Thăng thầy Bùi Tiến Dũng với lời biết ơn chân thành Xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp Bạn lớp cao học giải tích khóa 12 động viên quan tâm giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn, không quên cám ơn người em Nguyễn Văn Hản giúp nhiều công việc in ấn luận văn Vì kiến thức thân nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2004 Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 47 MỤC LỤC Lời cảm ơn -trang Chương 1: Phần Tổng Quan trang Chương 2: Các kí hiệu vềà không gian haøm -trang 2.1.Các kí hiệu: trang 2.2 Định lí điểm bất động Banach trang Định lí 2.1 trang Chương 3: Định lí tồn nghiệm - trang Bổ đề 3.1. -trang Bổ đề 3.2. - trang Định lí 3.1 - trang 10 Chuù thích 3.1 trang 10 Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai - trang 12 Định lí 4.1 trang 14 Định lí 4.2 trang 15 Định lí 4.3 trang 19 Chú thích 4.1 trang 22 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm - trang 24 Bổ đề 5.1. trang 26 Bổ đề 5.2. trang 29 Định lí 5.1 trang 30 Chú thích 5.1 - trang 32 Định lí 5.2 trang 32 Chương 6: Tính khả vi nghiệm trang 33 Bổ đề 6.1. trang 34 Boå ñeà 6.2. trang 43 Kết luận: - trang 45 Taøi liệu tham khảo - trang 46 Muïc luïc: - trang 47 Trang Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến CHƯƠNG TOÅNG QUAN -o0o -Trong luận văn này, nghiên cứu hệ phương trình hàm – tích phân sau: f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x) ))+ ∑∑ bijk f j (Sijk ( x) ) m n m k =1 j =1 m n k =1 j =1 n + ∑∑ cijk k =1 j =1 (1.1) X ijk ( x ) ∫ f j (t )dt + g i ( x), ∀x ∈ Ω ; i = 1, , n, Ω = [a, b] Ω khoảng không bị chận IR, a ijk , bijk , cijk số thực cho trước; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω, Φ : Ω × IR → IR hàm số liên tục cho trước thỏa số điều kiện mà ta đặt sau Các hàm f i : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trong [9], tác giả C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau ứng với Ω = [−b, b], m = n = 2, aijk = S ijk nhị thức bậc  f (x ) = a11 f ( b11 x + c11 ) + a12 f ( b12 x + c12 ) + a13 f ( b13 x + c13 ) + g (x ),    f (x ) = a f ( b x + c ) + a f ( b x + c ) + a f ( b x + c ) + g (x ), 21 21 21 22 22 22 23 23 23  (1.2) với x ∈ Ω = [−b, b], đó, số a ij , bij , cij , b cho trước thỏa điều kiện:  cij   , max bij , ε > , cho, với ε , với ε ≤ ε , hệ (5.1) có nghiệm f ε ∈ K M có khai triển tiệm cận đến cấp N + (5.35), đó, hàm f [ r ] , r = 0,1, , N nghiệm hệ (5.2) – (5.6), Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 33 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến CHƯƠNG TÍNH KHẢ VI CỦA NGHIỆM o0o -Trong chương này, dựa vào định lí điểm bất động Banach kết chương 3, chứng minh tồn tại, nghiệm khả vi hệ phương trình hàm– tích phân phi tuyến sau m ∑ f i ( x) = ε k =1 m +∑ k =1 ∑ aijk Φ(x, f j ( Rijk ( x))) + ∑ n m j =1 k =1 j =1 ∑b j =1 ijk f j ( S ijk ( x)) (1.1) X ijk ( x ) n ∑c n ∫ f (t )dt + g ( x), ijk i ∀x ∈ Ω = [−b, b], i = 1,2, , n, aijk , bijk , cijk số thực cho trước, g i : Ω → IR, Rijk , , S ijk , X ijk : Ω → Ω, Φ : Ω × IR → IR hàm số khả vi cho trước thoả số điều kiện phụ Các hàm f i : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trước hết ta tăng cường thêm giả thieát sau ( H (1) ) g ∈ C (Ω; IR n ), Rijk , , S ijk , X ijk ∈ C (Ω; Ω) ∩ C (Ω; IR) Φ ∈ C (Ω × IR; IR) Giả sử f ∈ C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1) Đạo hàm hai vế hệ (1.1), ta thu [ ] f i / ( x) = ε ∑∑ aijk Φ /x ( x, f j ( Rijk ( x)) ) + Φ /y (x, f j ( Rijk ( x))) Rijk/ ( x) f j/ ( Rijk ( x)) m n k =1 j =1 m n m n + ∑∑ bijk S ijk/ ( x) f j/ ( S ijk ( x)) + ∑∑ cijk X ijk/ ( x) f j ( X ijk ( x)) + g i/ ( x) k =1 j =1 =ε m k =1 j =1 n ∑∑ a k =1 j =1 m ijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )Rijk/ ( x) f j/ ( Rijk ( x)) n + ∑∑ bijk S ijk/ ( x) f j/ (S ijk ( x)) k =1 j =1 + g i/ ( x) + ε Luận văn thạc sỹ Toán học m n ∑∑ a k =1 j =1 ijk Φ /x ( x, f j ( Rijk ( x)) ) Huyønh Thị Hoàng Dung Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến m Trang 34 n + ∑∑ cijk X ijk/ ( x) f j ( X ijk ( x)) (6.1) k =1 j =1 hay f i / ( x) = ε m n ( x) f j/ (Rijk ( x) ) ∑∑ A [1] ijk k =1 j =1 (6.2) + ∑∑ bijk S ( x) f (S ijk ( x) ) + G ( x), m n / ijk k =1 j =1 / j [1] i [1] Aijk ( x ) = aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )Rijk/ ( x), Gi[1] ( x) = g i/ ( x) + ε m m n ∑∑ a k =1 j =1 n ijk (6.3) Φ /x (x, f j ( Rijk ( x)) ) (6.4) + ∑∑ cijk X ( x) f j ( X ijk ( x)) / ijk k =1 j =1 Như vậy, f ∈ C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1), F = ( F1 , , Fn ) = ( f 1/ , , f n/ ) nghiệm hệ Fi ( x) = ε m n ∑∑ A k =1 j =1 [1] ijk ( x) F j (Rijk ( x) ) (6.5) + ∑∑ bijk S ( x) F j (S ijk ( x) ) + G ( x), m n / ijk k =1 j =1 [1] i [1] ( x), Gi[1] ( x) cho (6.3), (6.4) ∀x ∈ Ω = [−b, b], i = 1,2, , n, Aijk n m Với Aijk ∈ C (Ω; IR), ta ñaët [ Aijk ] = ∑∑ max sup Aijk (x ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω Giả sử ε [1] [ Aijk ] + [bijk S ijk/ ] = ε n n m ∑∑ max sup 1≤ j ≤ n x ∈Ω i =1 k =1 m aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) ) Rijk/ ( x) + ∑∑ max sup bijk S ( x) < i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω (6.6) / ijk Khi đó, ta có Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 35 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Bổ đề 6.1 Cho f ∈ X = C (Ω; IR n ) Aijk[1] ( x), Gi[1] ( x) cho (6.3), (6.4) Giả sử (6.6) Khi đó, có hệ (6.5) có nghiệm F [1] = ( F1[1] , , Fn[1] ) ∈ X Chứng minh bổ đề 6.1 Ta viết hệ (6.5) theo dạng phương trình toán tử F = T [1] F X = C (Ω; IR n ), (6.7) ñoù (T [1] F ) i ( x) = ε m n ∑∑ A k =1 j =1 [1] ijk ( x) F j (Rijk ( x) ) (6.8) + ∑∑ bijk S ( x) F j (S ijk ( x) ) + G ( x), (1 ≤ i ≤ n) m n / ijk k =1 j =1 [1] i Hiển nhiên T [1] : X → X thoûa ~ T [1] F − T [1] F X ( ≤ ε [1] [ Aijk ] + [bijk S ijk/ ] ) ~ F−F X ~ , với F , F ∈ X Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có hàm F [1] ∈ X cho F = T [1] F Vậy với giả thiết ( H (1) ) (6.6), f ∈ C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1), F = ( f1/ , , f n/ ) nghiệm hệ (6.5) Theo bổ đề 6.1, hệ (6.5) có nghiệm F [1] = (F1[1] , , Fn[1] )∈ X Vaäy F [1] = f / = ( f1/ , , f n/ ) Đảo lại, với giả thiết ( H (1) ) (6.6) Gọi f ∈ X = C (Ω; IR n ) laø nghiệm hệ (1.1) Khi Gi[1] ( x) cho (6.4) hoàn toàn xác định Ta ý hệ (6.5) có nghiệm F [1] = ( F1[1] , , Fn[1] ) ∈ X Ta chứng minh f ∈ C (Ω; IR n ) vaø F [1] = f / = ( f1/ , , f n/ ) Ta viết hệ (1.1) theo dạng phương trình toán tử f = Uf X ≡ C (Ω; IR n ), (Uf ) i ( x) = ε m n ∑ ∑a k =1 j =1 m n +∑ k =1 ∑c j =1 Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) + ∑ m ijk k =1 n ∑b j =1 ijk f j ( S ijk ( x)) X ijk ( x ) ijk ∫f j (6.9) (t )dt + g i ( x), ∀x ∈ Ω = [−b, b], i = 1,2, , n Do đẳng thức (6.9), ta có Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 36 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến [ ] (Uf ) i/ ( x) = ε ∑∑ aijk Φ /x ( x, f j (Rijk ( x)) ) + Φ /y (x, f j ( Rijk ( x))) Rijk/ ( x) f j/ ( Rijk ( x)) m n k =1 j =1 m n + ∑∑ bijk S ijk/ ( x) f j/ ( S ijk ( x)) k =1 j =1 m n + ∑∑ cijk X ijk/ ( x) f j ( X ijk ( x)) + g i/ ( x), (6.10) k =1 j =1 ∀x ∈ Ω = [−b, b], i = 1,2, , n, ta suy từ (6.9) (6.10) U : X → X Bây giờ, với M > 0, ta đặt C1 ( M ) = sup{ Φ /x ( x, y ) + Φ /y ( x, y ) : x ∈ Ω, y ≤ M }, C ( M ) = sup{ Φ //xy ( x, y ) + Φ //yy ( x, y ) : x ∈ Ω, y ≤ M }, K M1 = { f ∈ C (Ω; IR n ) : f f = f X + f / , X f ≤ M }, X = sup n ∑ f i ( x) x∈Ω i = Ta ý ký hiệu C1 ( M ) định nghóa thỏa hai bất đẳng thức i) ii) bổ đề 3.2 Ta chứng minh với cách chọn M , ε thích hợp ta có U : K → K M1 ánh xạ co i/ Nghiệm lại U : K M1 → K M1 M Cho f ∈ K M1 , với x ∈ Ω, ta có từ (6.9) n ∑ i =1 (Uf ) i ( x) ≤ ε n m n i =1 k =1 j =1 ∑ ∑ ∑a n +∑ i =1 n +∑ i =1 ≤ε + ijk [ Φ(x, f ( R j ijk ( x)) ) − Φ ( x,0) + Φ ( x,0) m n k =1 j =1 m n X ijk ( x ) n j =1 i =1 ∑ ∑b ∑ ijk ∑ cijk k =1 ] f j ( S ijk ( x)) ∫ f j (t )dt + ∑ g i ( x) [aijk ]  MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0)  x∈Ω   ( [b ijk ) ] + b [cijk ] M + g X Do Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 37 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Uf X [aijk ]  MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0)  x∈Ω   ≤ε ( [b + ijk ) ] + b [cijk ] M + g X (6.11) Mặt khác từ đẳng thức (6.10), ∀x ∈ Ω = [−b, b], ta suy [ n ∑ ] (Uf ) i/ ( x) ≤ ε C1 (M ) [aijk ] + M [aijk Rijk/ ] i =1 [ + M [bijk Sijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ]+ g / X Vậy ta có (Uf ) / X [ ≤ ε C1 (M ) [aijk ] + M [aijk Rijk/ ] [ ] ]+ g + M [bijk Sijk/ ] + [cijk X ijk/ ] (6.12) / X Do từ (6.11) (6.12) ta Uf = Uf ≤ε + + (Uf ) / X X [aijk ]  MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0)  x∈Ω   ( [b ijk ) ] + b [cijk ] M + g X [ ] + ε C1 ( M ) [aijk ] + M [aijk Rijk/ ] +M =nε [ [b ijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ]+ g / [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω [ + ε C1 ( M ) (1 + M ) [aijk ] + M [aijk Rijk/ ] +M [ [b ijk Luận văn thạc sỹ Toán học ] ] + b [cijk ] + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ]+ g (6.13) Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 38 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Từ (6.13), với cách chọn M , ε thích hợp ta có U : K M1 → K M1 Muốn ta cần chọn M , ε cho nε [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω [ ] + ε C1 ( M ) (1 + M ) [aijk ] + M [aijk Rijk/ ] [ [b +M ijk ]+ g ] + b [cijk ] + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ≤M hay nε M [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω   + ε C1 ( M )  (1 + ) [aijk ] + [aijk Rijk/ ]  M   [ + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ~ ~ ii/ Chứng minh ∃ρ ∈ [0,1) : Uf − Uf ≤ ρ f − f 1 (6.14) ]+ g ≤ ~ ∀f , f ∈ K M1 ~ ~ ∀f , f ∈ K M1 , h = f − f , với x ∈ Ω, ta có n ∑ i =1 n ~ (Uf − Uf ) i ( x) ≤ ε m n ∑ ∑ ∑a i =1 n +∑ i =1 n +∑ i =1 k =1 j =1 m n k =1 j =1 m n k =1 j =1 ijk ∑ ∑b ∑ ∑c ijk ( ~ Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) − Φ x, f j ( Rijk ( x)) ) h j ( S ijk ( x)) X ijk ( x ) ijk ∫ h (t )dt j [ ] h [ ] h ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + [bijk ] + b [cijk ] ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + [bijk ] + b [cijk ] X Vaäy Luaän văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 39 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến ~ Uf − Uf X [ ] ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + [bijk ] + b [cijk ] (6.15) h Maët khác từ (6.10), ta suy n ∑ i =1 ~ (Uf − Uf ) i/ ( x) ≤ ε n m n ∑ ∑∑ a i =1 ijk k =1 j =1 n m n ∑ ∑∑ a +ε i =1 k =1 j =1 ijk ( ) ~ Φ /x ( x, f j (Rijk ( x)) ) − Φ /x x, f j (Rijk ( x)) Rijk/ ( x) ( ) ~ × Φ /y (x, f j (Rijk ( x))) − Φ /y x, f j (Rijk ( x)) f j/ (Rijk ( x)) n m n ∑ ∑∑ a +ε i =1 n +∑ i =1 n +∑ i =1 k =1 j =1 m n ∑∑ b k =1 j =1 m ijk n ∑∑ c k =1 j =1 ijk ijk ( Sijk/ ( x) h /j (Rijk ( x)) X ijk/ ( x) h j ( X ijk ( x)) ≤ ε C ( M ) [aijk ] h X + ε MC ( M ) [aijk Rijk/ ] h + ε C1 ( M ) [aijk Rijk/ ] h / + [bijk S ijk/ ] h / ≤ε [ C ( M ) [a [ ijk ) ~ Rijk/ ( x) Φ /y x, f j (Rijk ( x)) h /j ( Rijk ( x)) X X + [cijk X ijk/ ] h X ] + ((MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk/ ] + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ] X ] h h Do Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 40 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến ~ (Uf − Uf ) / X [ C ( M ) [a ≤ε ijk ] ] + (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk/ ] [ + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ] h (6.16) h Do từ (6.15) (6.16) ta ~ ~ Uf − Uf = Uf − Uf [ ≤ ε X ~ + (Uf − Uf ) / (C1 ( M ) + C (M ) ) X [aijk ] + ( MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk/ ] (6.17) + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk/ ] + [cijk X ijk/ ] ] h hay ~ ~ Uf − Uf ≤ ρ f − f 1 ~ ∀f , f ∈ K M1 , với ρ=ε [ (C (M ) + C (M )) [a ijk ] + ( MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk/ ] ] (6.18) + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ] + [cijk X ] / ijk / ijk Choïn M , ε thỏa (6.14) ρ=ε [(C (M ) + C (M )) [a ijk ] + ( MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk/ ] ] (6.19) + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ] + [cijk X ] < 1, / ijk / ijk ta coù U : K M1 → K M1 ánh xạ co Vậy tồn f ∈ K M1 cho f = Uf Điều nầy có nghóa hệ phương trình (1.1) có nghiệm f ∈ C (Ω; IR n ) vaø f / = ( f1/ , , f n/ ) ≡ F [1] Tương tự, với giả thiết sau đây: ( H ( ) ) g ∈ C (Ω; IR n ), Rijk , , S ijk , X ijk ∈ C (Ω; Ω) ∩ C (Ω; IR) Φ ∈ C (Ω × IR; IR) Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 41 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Giả sử f ∈ C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1) Đạo hàm hai vế hệ (6.2), ta thu f i // ( x) = ε m n ∑∑ A [1] ijk k =1 j =1 m ( x) Rijk/ ( x) f j// ( Rijk ( x)) + ε m n ∑∑ A [1] / ijk k =1 j =1 ( x) f j/ ( Rijk ( x)) n + ∑∑ bijk ( S ijk/ ( x)) f j// ( S ijk ( x)) (6.20) k =1 j =1 m n + ∑∑ bijk S ijk// ( x) f j/ ( S ijk ( x)) + Gi[1] / ( x), k =1 j =1 hay m n ∑∑ A f i // ( x) = ε [ 2] ijk k =1 j =1 m n ( x) Rijk/ ( x) f j// ( Rijk ( x)) (6.21) + ∑∑ bijk ( S ( x)) f ( S ijk ( x)) + G ( x), / ijk k =1 j =1 với // j [ 2] i [ 2] [1] Aijk ( x) = Aijk ( x) Rijk/ ( x) = aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )( Rijk/ ( x)) , Gi[ 2] ( x) = Gi[1] / ( x) + ε m n m n ∑∑ A [1] / ijk k =1 j =1 ( x) f j/ ( Rijk ( x)) (6.23) + ∑∑ bijk S ( x) f ( S ijk ( x)) // ijk k =1 j =1 (6.22) / j Như vậy, f ∈ C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1), F = f // = ( f1// , , f n// ) nghiệm hệ Fi ( x) = ε m n ∑∑ A k =1 j =1 m [ 2] ijk n ( x) Rijk/ ( x) F j ( Rijk ( x)) (6.24) + ∑∑ bijk ( S ( x)) F j ( S ijk ( x)) + G ( x), k =1 j =1 / ijk [ 2] i [ 2] ∀x ∈ [−b, b], i = 1,2, , n, Aijk ( x), Gi[ 2] ( x) cho (6.11)và (6.12) Giả sử ε [ 2] [ Aijk ] + [bijk ( S ijk/ ) =ε n m ∑∑ max sup 1≤ j ≤ n x∈Ω i =1 k =1 n aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )( Rijk/ ( x)) (6.25) m + ∑∑ max sup bijk ( S ijk/ ( x)) < i =1 k =1 Luận văn thạc sỹ Toán học 1≤ j ≤ n x∈Ω Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 42 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Khi đó, áp dụng định lý ánh xạ co liên kết với hệ (6.24), ta thu hệ nầy có nghiệm F [2 ] = ( F1[ 2] , , Fn[ 2] ) ∈ X tính nghiệm hệ (6.25) ta suy F [ 2] = f // Tương tự cho nghiệm khả vi cấp cao, ta thành lập giả thiết sau ( H ( p ) ) g ∈ C p (Ω; IR n ), Rijk , , S ijk , X ijk ∈ C (Ω; Ω) ∩ C p (Ω; IR) Φ ∈ C p (Ω × IR; IR) Giả sử f ∈ C p (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1) Đạo hàm hai vế hệ (6.2) đến cấp p − 1, ta thu m n ∑∑ A f i ( p ) ( x) = ε [ p] ijk k =1 j =1 m n ( x) f j( p ) ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk ( S ( x)) f / ijk k =1 j =1 p ( p) j (6.26) ( S ijk ( x)) + G [ p] i ( x), [ p] [ p −1] Aijk ( x) = Aijk ( x) Rijk/ ( x) = aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )( Rijk/ ( x)) p , (6.27) vaø Gi[ p ] ( x) xác định công thức qui nạp sau m n [ p −1] Gi[ p ] ( x) = Gi[ p −1] ( x) + ε ∑∑ Aijk ( x) f j( p −1) ( Rijk ( x)) / / k =1 j =1 m n + ( p − 1)∑∑ bijk (S ( x)) k =1 j =1 / ijk p−2 // ijk S ( x) f ( p −1) j (6.28) (S ijk ( x)), với p = 2,3, Gi[1] ( x) = g i/ ( x) + ε m n m n ∑∑ a k =1 j =1 ijk Φ /x (x, f j ( Rijk ( x)) ) + ∑∑ cijk X ( x) f j ( X ijk ( x)) k =1 j =1 (6.29) / ijk Như vậy, f ∈ C p (Ω; IR n ) nghịêm hệ (1.1), F = f ( p ) = ( f 1( p ) , , f n( p ) ) nghiệm hệ Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 43 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến m n ∑∑ A Fi ( x) = ε [ p] ijk k =1 j =1 m ( x) F j ( Rijk ( x)) n + ∑∑ bijk ( S ( x)) F j ( S ijk ( x)) + G / ijk k =1 j =1 p (6.30) [ p] i ( x), [ p] ∀x ∈ [−b, b], i = 1,2, , n, Aijk ( x), Gi[ p ] ( x) cho (6.27), (6.28) Giả sử ε [ p] [ Aijk ] + [bijk ( S ijk/ ) p n m ∑∑ max sup = ε 1≤ j ≤ n x ∈Ω i =1 k =1 n aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)) )( Rijk/ ( x)) p (6.31) m + ∑∑ max sup bijk ( S ijk/ ( x)) p < i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω Khi đó, hệ (6.19) có nghiệm F [ p ] = ( F1[ p ] , , Fn[ p ] ) ∈ X Theo tính nghiệm hệ (6.30) ta có F [ p ] = f ( p ) Bổ đề 6.3 Giả sử ( H ( p ) ) Cho f ∈ C p (Ω; IR n ) vaø Aijk[ p ] ( x), Gi[ p ] ( x) cho (6.27), (6.28) thỏa điều kiện (6.31) Khi hệ (6.30) có nghiệm F [ p ] = ( F1[ p ] , , Fn[ p ] ) ∈ X Chứng minh Ta viết lại hệ (6.30) dạng phương trình toán tử F = U [ p] F X = C (Ω; IR n ), (6.32) (U [ p ] F ) i ( x) = ε m n ∑∑ A k =1 j =1 m n [ p] ijk ( x) F j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk ( S ( x)) F j ( S ijk ( x)) + G k =1 j =1 / ijk p (6.33) [ p] i ( x), ∀x ∈ [−b, b], i = 1,2, , n Lập luận tương tự ta dễ dàng kiễm tra U [ p ] : X → X thoûa ~ U [ p] F − U [ p] F X ~ ≤β F−F X ~ ∀F , F ∈ X , (6.34) β= ε Luận văn thạc sỹ Toán học [ p] [ Aijk ] + [bijk ( S ijk/ ) p ] < Huỳnh Thị Hoàng Dung Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 44 Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có hàm F [ p ] ∈ X cho F [ p ] = U [ p ] F [ p ] Hơn f ∈ X = C (Ω; IR n ) nghiệm hệ (1.1), ta có f ∈ C p (Ω; IR n ) vaø f ( p ) = F [ p ] Luaän văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 45 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến KẾT LUẬN Trong luận văn này, khảo sát hệ phương trình hàm – tích phân phi tuyến khoảng Ω bị chận hoặêc không bị chận IR, gồm tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé ε tính khả vi nghiệm Cụ thể hơn, chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình hàm nhờ vào định lí điểm bất động Banach ( chương3 ), sau nghiên cứu điều kiện đủ để thu thuật giải cấp hai hội tụ Kế đó, nghiên cứu hệ phương trình tích phân bị nhiễu tham số bé ε Khi thu khai triển tiệm cận nghiệm đến cấp N + theo ε đủ nhỏ Cuối tính khả vi nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi hàm Φ, g i , Rijk , S ijk , X ijk nghiên cứu Một số kết chương tồn nghiệm chương thuật giải lặp cấp hai công bố [1, 2] Qua luận văn này, tác giả học tập làm quen với số công việc khởi đầu nghiên cứu Biết phương pháp nghiên cứu vấn đề nhiều góc độ khác Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế tác thời gian ngắn khoá học, tác giả mong nhận đóng góp bảo Quý Thầy hội đồng Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang 46 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Xấp xỉ tuyến tính liên kết với hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Tập 6, số 12, (2003), 15 – 25 [2] Huỳnh Thị Hoàng Dung, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Tập 34, No.3(2003), 38 – 48 [3] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghóa, Giải số hệ phương trình hàm, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol.3, No.7&8, (2000), 25 – 31 [4] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kim Khôi, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình tích phân dãy đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Tập 30, No.2 (2002) , 36 – 43 [5] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghóa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math 31 (1998), 313 – 324 [6] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghóa, On a system of functional equations in a Multi-dimensional domain, Z Anal Anw 19 (2000), 1017 – 1034 [7] Nguyễn Thành Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math 37, No.1, (2004), 121- 132 [8] Nguyễn Thành Long, Linear approximation and asymptotic expansipon associated with the system of functional equations, Demonstratio Math 37, No.2, (2004), 349-362 [9] C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA Bull Math 15 (1991), 109-115 Luaän văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung ... Trang 46 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm ? ?tích phân phi tuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Xấp xỉ tuyến tính liên kết với hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, ... Danh, Khôi(2002) nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung Trang Khảo sát lớp hệ phương trình hàm ? ?tích phân phi tuyến 2 X ij ( x ) j =1 j =1... Hoàng Dung Trang 24 Khảo sát lớp hệ phương trình hàm ? ?tích phân phi tuyến CHƯƠNG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM o0o -Trong chương này, nghiên cứu hệ phương trình hàm sau bị nhiễu tham