khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ---o0o--- TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành Toán Giải tích Mã số : 1.. Học viên cao họ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-o0o -

HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG

TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngành: Toán Giải tích

Mã số : 1 01 01

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-o0o -

TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành Toán Giải tích

Mã số : 1 01 01

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán – tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM Học viên: Huỳnh Thi Hoàng Dung

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÀNH LONG

Khoa Toán-Tin học,

Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy,

Khoa Toán –Tin học,

Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2: TS Trần Minh Thuyết,

Khoa Toán –Tin học,

Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Huỳnh Thị Hoàng Dung

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Vào lúc …….giờ ……ngày… tháng … năm 2004

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc

Chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong ban chủ nhiệm Khoa Toán –tin học, các Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập

Chân thành cảm ơn các Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hoá, PGS TS Nguyễn Bích Huy, TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Minh Thuyết đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi

Chúng tôi cám ơn chân thành đến Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Khoa học Cơ bản trường Đại học Kiến Trúc, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc, đặc biệt là hai Thầy Ninh Quang Thăng và Thầy Bùi Tiến Dũng với lời biết ơn chân thành nhất

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các Bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 12 đã luôn động viên và quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian học tâp và làm luận văn, tôi cũng không quên cám ơn người em Nguyễn Văn Hản đã giúp tôi rất nhiều trong công việc in ấn luận văn

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp

Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2004

Huỳnh Thị Hoàng Dung

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN -o0o -

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm – tích phân sau:

),()

(

)()

((,)

(

1 1

) ( 0

1 1

1 1

x g dt t f c

x S f b x

R f x a x

f

i m

k

n

j

x X j ijk

k

n

j

ijk j ijk

i

ijk

++

+Φ

1

của IR, a ijk, b ijk, c ijk là các hằng số thực cho trước; g i : Ω →IR,

, :

,

, ijk ijk Ω → Ω

ijk S X

một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau Các hàm f i : Ω →IR là các ẩn hàm, ε là một tham số bé

Trong [9], các tác giả C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với Ω = [ −b,b],m=n= 2 , a ijk = 0 và S ijk là các nhị thức bậc nhất

+ +

+

=

+ + +

+ +

1 13 13 1 13 12 12 2 12 11 11 1 11 1

x g c x b f a c x b f a c x b f a x

f

x g c x b f a c x b f a c x b f a x

b

c b

b

1 max ,

Các hàm số g1, g2 liên tục cho trước và f1, f2 là các ẩn hàm Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các g i.

Trong [4], Long, Danh, Khôi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

0 2

1

x g dt t f x

S f a x

j

x X

j ij j

ij j ij i

, ,

2

,

không bị chận của IR. Các hàm g i: Ω → IR, S ij, X ij : Ω → Ω là các hàm số liên tục cho trước, a ij, αij∈IR là các hằng số và f1, f2 là các ẩn hàm

Trong [2], Danh, Dung, Long (2003) đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng với Φ ≡ 0 , S ijk(x), X ijk(x) là các nhị thức bậc nhất, mà cụ thể có dạng như sau

x g dt t f c

x b f a x

m

k n

j

x

j ijk

ijk ijk j ijk i

ijk ijk

= =

+ γ β

].

, [ ,

, ,

2

,

(1.5) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đó

IR c

i j n ijk

ijk

m k n j

; 1

max

1 , , 1 1

, ,

Φ

k

i n

j

ijk j ijk m

k n

j

ijk j ijk

, ,

không bị chận của IR. Các hàm g i: Ω →IR, R ijk,S ijk : Ω → Ω và Φ:IR→ IR là các hàm số liên tục cho trước; a ijk,b ijk ∈IR là các hằng số Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.6) theo một tham số béε cũng được xem xét trong bài báo [8]

Trong [3], các tác giả Nghĩa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra một thuật toán số

Trong [5], các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy (1998) đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với p= 1 và Ω = [ −b,b] hay Ω là khoảng không bị chận của IR.

Bằng cách sử dụng định lí điểm bất động Banach, các tác giả trong [5] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm g i

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

đa thức bậc r, thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Kế đó, nếu g i

là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [6] bởi

IR

⊂

Ω và S ijk là các hàm affine Hơn nữa, điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình hàm cũng được đề cập [6]

Một phần kết quả trong luận văn chúng tôi đã công bố trong [1, 2] Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của luận văn

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn

Trong chương 3, dựa vào định lí điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1)

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm– tích phân (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε Ở đây chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp N+ 1 theo ε ,

với ε đủ nhỏ

Trong chương 6, nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm Φ , g i, R ijk, S ijk, X ijk.

Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo

Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

Ta kí hiệu Ω =[ b a, ] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR.

Với Ω =[ b a, ], ta kí hiệu X =C( Ω ;IR n) là không gian Banach của các hàm số f = ( f1, f2, ,f n) n

IR

→ Ω

) ( sup

1

∑

= Ω

∈

i

i x

Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta kí hiệu X =C b( Ω ;IR n) là không gian

max

1

) (

= Ω

r k

trong đó

, ) , , (f1 f n

), ) ( , , ) (A f 1 A f n f

), ) ( , , ) (B f 1 B f n f

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

( , ( ( )), )

Af

, ) 1

( , ) ( )

( ( )

S f b x

Bf

m

k n

j

x X

j ijk m

k n

j

ijk j ijk i

ijk

≤

≤ +

= =

= =

Ω

∈

∀x

2.2 Định lí điểm bất động Banach

Định lí sau đây là một công cụ được sử dụng trong toàn bộ luận văn mang tên định lí điểm bất động Banach và được phát biểu dưới dạng:

Định lí 2.1: ChoX là không gian Banach với chuẩn , K ⊂ X là tập đóng và T :K →K. Giả sử tồn tại số thựcσ ∈ [ 0 , 1 )sao cho

,

g f Tg

Tf − ≤ σ − với mọi f,g∈K.

Khi đó ta có

(i) Tồn tại duy nhất f ∈K sao cho f =Tf.

(ii) Với mỗi ( ) 0 ,

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

i m

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 3.1 Giả sử [b ijk] +b [c ijk] < 1 và S ijk, X ijk : Ω → Ω liên tục Khi đó

i) Bf X ≤ ( [b ijk] +b [c ijk] ) f X ∀f ∈X. (3.1)

ii) Toán tử tuyến tính I− :B X →X là khả đảo và

] [ ]

[ 1

1 )

ijk

b B

i) Với mọi f ∈X, ta có

∑

= Ω

∈

i

i x

Bf

1

) ( ) ( sup

j

x X

j ijk ijk

j m

k n

j ijk x

ijk

dt t f c x

S f b

) ( )

( sup

∈

n

i m

k n

j

x X j ijk

n

i

ijk j m

k n

j

ijk x

ijk

dt t f c

x S f b

(

= Ω

∈

= = ≤ ≤

1 j

1 1

) ( sup

max b f j S ijk x

x n

i m

k

ijk n j

0 1

1 1

) ( sup

max

x X j n

j n

i m

ijk n j

ijk

dt t f c

( [b ijk] +b [c ijk] ) f X.

≤

ii) Trước hết, ta chứng minh toán tử

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

), ) ( , , ) ((

:

Bf Bf f

X X B

=

→ a

j

x X

j ijk m

k n

j

ijk j ijk i

ijk dt t f c x

S f b x

Bf

1 1

) (

0

1 1

) ( )

( )

( ) (

thỏa B < 1 Thật vậy, theo (i) ta có

f

c b b

f

Bf B

Tiếp theo, ta chứng minh rằng nếu B < 1 thì (I−B) khả nghịch, hay với mỗi g∈X, phương trình f = Bf +g có nghiệm duy nhất f ∈X. Đặt

g Bf f T f

X X T

+

=

→

~ :

~ a

thì T~ là một ánh xạ co Thật vậy, với mọi f,~f ∈X, ta có

.

~ )

~ (

~

~

~

X X

f T f

X g

B

g g

1 1

1 )

( sup )

(

1 0

1

ijk ijk

X

X X

g B I B

Bổ đề (3.1) đã được chứng minh

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.3) như sau:

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

Tf g

Af B

I

) (

, [ , )

( ) , ( ) ,

] [ ] [ 1 0

, ] [ ] [ 1

2

1 0

ijk x

ijk ijk

ijk ijk

X

a x

n M MC

c b b M

c b b

g M

Khi đó, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2 Giả sử (H1)-(H4)đúng Khi đó, ta có

i) Af ≤ [a ] ⎢⎣⎡C1(M) f +nsup ∈ ΩΦ(x, 0 ) ⎥⎦⎤

x X ijk

X ijk

f A

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

) 0 , ( sup )) ( ( ) (

) 0 , ( ) 0 , ( )) ( ( , ))

( (

,

C

x x

x R f x x

R f

x

x ijk

j

ijk j ijk

j

Φ +

≤

Φ + Φ

− Φ

≤ Φ

Ω

∈Suy ra

k n

j

ijk j ijk n

( )

k n

j

ijk j ijk C M f R x a

i m

k n

i m

k

n

j

ijk j x

ijk n

M C

i m

k n

= = ≤ ≤

i m

ijk n

j a f M

k n

x X ijk

Vậy

Af ≤ [a ] ⎢⎣⎡C1(M) f +nsup ∈ Ω Φ(x, 0 ) ⎥⎦⎤

x X ijk

≤

−

n

i m

k n

j

ijk j ijk

j ijk

n

i

i i

x R f x x

R f x a

x f A x Af

1

)) ( (

~ , ))

( ( ,

) ( )

~ ( ) ( ) (

i m

k

n

j

j j

y ijk n

M C

.

~ ] [ ) (

1

X ijk f f a

[ ) (

) ( )

~ ( ) ( ) ( sup

~

1 1

X ijk

n

i

i i

x X

f f a M C

x f A x Af f

A Af

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

Bổ đề 3.2 được chứng minh.„

Khi đó, ta có định lí sau đây

Định lí 3.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, với mỗi ε , với ε ≤ ε0, hệ (3.2)

có một nghiệm duy nhất f ∈K M.

Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈X, với mọi f ∈X. Xét f,~f ∈K M, ta dễ dàng suy ra từ do bổ đề 3.1 và 3.2 rằng

X X X

] [ ] [ 1

g x

n M MC a

c b

X X

] [ ) (

1 0

X ijk

ijk

ijk

f f c b b

a M C

(1 [ ] [ ])

) 0 , ( sup ) ( ]

[ ] [ 1

) 0 , ( sup ) ( ]

0

M c

b b

g x

n M MC a

ijk ijk

X x

1 ] [ ] [ 1

] [ ) (

1 0

a M C

ε

(3.6)

Ta suy từ (3.3), (3.5), rằng T :K M →K M và từ (3.4), (3.6) ta có T là ánh xạ

co Khi đó, sử dụng định lí điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm

M

K

được xấp xỉ bởi thuật giải sau:

f(ν) =Tf (ν −1) ≡ (I−B) −1( εAf (ν −1) +g), (3.7)

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

Khi đó

f( ν ) → f trong X khi ν → +∞ , (3.8) và

1

) 0 ( ) 0 ( )

σ

σ ν ν

] [ ) (

1 0

ijk

c b b

a M C

ε σ

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

-o0o -

Trong định lí 3.1 cho ta một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.7), theo nguyên tắc ánh xạ co (chú thích 3.1), sự hội tụ của dãy lặp {f(ν)} về nghiệm f của hệ (3.2) cũng là hội tụ cấp 1 Sự hội tụ nầy thể hiện qua đánh giá sai số

trong đó 0 ≤ σ < 1 ,C> 0 là các hằng số độc lập với ν

Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), tức là thiết lập một dãy lặp dãy lặp {f(ν)} thỏa bất đẳng thức

X v

X v

f f

Rõ ràng bất đẳng thức (4.4) cho sự hội tụ của dãy { }( )v

với dãy { }( )v

f thỏa bất đẳng thức (4.1)

Xét hệ phương trình hàm

), ( )

(

)) ( ( ))

( ( , )

(

1 1

) (

0

1 1

1 1

x g dt t f c

x S f b x

R f x a x

f

i m

k n

j

x X

j ijk

m

k n

j

ijk j ijk m

k n

j

ijk j ijk i

ijk

+ +

+ Φ

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

), )(

, ( ) , ( ) ,

( ( ) ( −1) ( −1) ( ) − ( −1)

∂

Φ

∂ + Φ

≅

j j j j

y f

x f

trong đó f j(ν) = f j(ν)(R ijk(x)), ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)

Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)

i) Cho trước ( ( 0 ) , , ( 0 ) )

1 ) 0

ii) Giả sử biết f(ν −1) = (f1(ν −1), ,f n(ν −1)) ∈X, ta xác định

X f

f

f(ν) = ( 1(ν), , nν)) ∈ bởi

j

ijk ijk

f

1 1

) ( )

(

)) ( ( )

ijk j

ijk j ijk

y a

1 1

) 1 ( )

( ) (

)) ( ( ))

( ( )) (

j

ijk j ijk f S x b

1 1

) (

)) ( (

ν

), ( ) (

1 1

)

0

) (

x g dt t f

m

k n

j

x X

j ijk

x R f x x

j

ijk j ijk ijk

y a x

f

1 1

) ( ) ( )

(

)) ( ( )) ( ( )

b

) (

)) ( (

j

x X

j ijk

ijk

dt t f c

1 1

)

0

) ) ( ν

ijk j

ijk

y a

1 1

) 1 ( ) ( ( )) ( ( ))

ε

), ( )) ( (

) (

x g x W

m k

n j

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

), ( )) ( (

) ( ))

( ( ) , ( )

(

)

1 1

) (

)

1 1

) ( )

( )

(

x g x S f b

dt t f c x

R f x x

f

i n

j m

k

ijk j ijk

m

k n

j

j ijk n

j m

k

ijk j ijk

i

ijk

ν ν

ν ν

ν

+ +

) (

x

g iν phụ thuộc vào f( − 1 ) như sau:

)), ( ( )

((

( )

( )

(

1 1

) 1 ( )

(

1 1

) )

+

j m

k

ijk j

ijk n

j m

k

ijk ijk i

,

2 , 1 , 1

, ≤ ≤ =

Ω

∈ i nν

x

Khi đó ta có định lí sau:

Định lí 4.1 Giả sử (H1) − (H3) là đúng Nếu f( ν− )1 ∈X thỏa

max sup ( , ) [ ] [ ] 1

1 1

) (

k

ijk x n

ν

ν T f

f = (4.11) với

), ( )) ( (

) ( ))

( ( ) , ( )

(

)

(

) (

x g x S f b

dt t f c x

R f x x

f

T

i n

j m

k

ijk j ijk

m

k n

j

x X

j ijk n

j m

k

ijk j ijk

1 ≤ ≤ =

Ω

x , f = (f1, , f n) ∈X. (4.12) Khi đó ta kiểm tra rằng Tν :X →X thỏa

,

X

h T f

Tν − ν ≤ γν − ∀f,h∈X. (4.13) Thật vậy

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

= Ω

=

i

i i

x

x h T x f T

1

) ( ) ( ) ( ) (

1 1 1

x R h x R f

n

j m

k

v ijk n

i x

−

= =

= Ω

j m

k

x X

v j v

j ijk

n

i x

ijk

dt t h t f c

1 1

) (

0 1

) ( ) (

sup

1 1 1

x S h x S f

n

j m

k ijk n

i x

−

= =

= Ω

∈

max sup

1 1 1

x

v ijk n

i m

k j n x

ε α

∑ ∑

= = ≤ ≤ Ω

j

ijk v j ijk

v j x

x R h x R f

1

) ( )

i m

k

x X

v j v

j n

j x ijk n j

ijk

dt t h t f c

)

0 1

v j x

ijk n

i m

k j n

x S h x S f b

1

1 1 1

) ( )

( sup

max

( )

X ijk

ijk v

ijk n

i m

k j n x

h f b

c b

1 1 1

ε α

.

X

v f −h

≡ γ

Sử dụng định lí điểm bất động Banach, định lí 4.1 được chứng minh.„

Định lí 4.2 Giả sử Φ ∈C2 ( Ω ×IR;IR), và (H1) − (H3) đúng Cho a ijk∈IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M,ε sao cho, nếu f( 0 ) ∈K M cho trước, hệ (4.7)− (4.9) tồn tại duy nhất nghiệm ( ν )

f thỏa điều kiện

,

) (

M

K

f ν ∈ ∀ν = 0 , 1 , 2 , (4.14) Chứng minh

Giả sử f(0)∈K M, với hai hằng số M, ε mà ta sẽ chọn sau

Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

.

) 1 (

M

K

f ν − ∈ (4.15)

Ta sẽ chứng minh rằng f(ν)∈K M.

Với mọi x∈ Ω , ta có từ (4.7) rằng:

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

+

≤

n

i i n

i n

j m

k

ijk j ijk

n

i n

j m

k

x X

j ijk

i j k

ijk j ijk

i

i

x g x

S f b

dt t f c

x R f x x

f

ijk

1 )

) (

) (

0

) (

) ( )

( 1

)

) ( ))

( (

) (

)) ( ( ) , ( )

(

ν ν

ν

ν ν

X n

i m

k

n

j

ijk j ijk

n j

n

i n

j m

k

ijk j j ijk ijk

n

i m

k

n

j

ijk j ijk

n j

g x S f b

x X t f x X c

x R f x

) (

) ( 1

) (

) ( )

( 1

)) ( ( max

)) ( ( ) (

)) ( ( )

, ( max

ν ν

ν

ν

ν ε α

+ +

i m

ijk n j

n

i n

ijk n j

n

i m

ijk n j

g f

b

f c b

f x

) (

1 1

) ( 1

1 1

) ( 1

1 1

) ( )

( 1

max max

) , ( max

ν ν

ν

ν

ν ε α

+ +

) ( )

)

1 1

) ( 1

X X

ijk ijk

X n

i m

k

ijk x n j

g f

b c

b

f x

ν ν

ν

ν ε α

+ +

) (

) (

1 1

) ( 1

) (

X

X ijk

ijk n

i m

k

ijk x n j X

g

f b c

b x f

ν

ν ν

Mặt khác, với mọi x∈ Ω , ta có từ (4.7), (4.15), rằng:

y a

, ( sup

1 1

) (

n

j m

k

ijk x n

j α ν ε x ≤ ε M a

∑∑

= = ≤ ≤ ∈Ω

(4.19)

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

+

j m

k

ijk j

ijk ijk

ijk i

y x W a

x g x

g

1 1

) 1 ( )

( )

( )

(

))]

( ( )) ((

( )) ((

( [ )

( )

Dùng công thức khai triển Taylor

, 1 0

, ) , ( 2

1 ) , ( ) 0 , ( )

=

y y y x y x

y

x

với (x,y) thay bởi W ijkν)(x) = (x, f j(ν−1)(R ijk(x))), ta có

)) ( ( )) ( ( ) 0 , ( )) ( ( ( ) W( ) x f( 1) R x

y x

j ijk

Từ đây ta suy ra

( ( ( ))) , 2

1 ) 0 , ( sup

)) ( ( )) ( ( )) ( (

2 )

1 ( 2

) 1 ( ) ( )

(

x R f M x

x R f x W y x W

ijk j

x

ijk j

ijk ijk

− Ω

∈

−

+ Φ

ν

ν ν

i

g

1 1

) (

) ( )

k n

k n

j

ijk j

a M

1 1 1

2 )

1 (

≤

n

j

ijk j

x ijk

x ijk X

x R f a

M

x a

n g

1

2 )

1 (

2 1

) 0 , ( sup ] [

ν ε

ε

2 ) 1 (

2

1 ) 0 , ( sup ] [

X ijk

x ijk

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

2

1 ) 0 , ( sup ]

g

x ijk

X ε

Vậy

2

1 ) 0 , ( sup ]

) (

g

x ijk X

2

1 ) 0 , ( sup ] [

ε

hay

2

1 ) 0 , ( sup ] [

] [ ] [ ] [ 1

2 2

) 1

X x

ijk

X ijk

ijk ijk

g M M x

n a

f b c

b a M

1 a ijk +b c ijk + b ijk <

[

1

2 2

ijk ijk

ijk

X x

ijk

b c

b a M M

g M M x

n a

[ ] [ ] [ 1

2

1 ) 0 , ( sup ] [

1

2 2 )

(

M b

c b a M

g M M x

n a f

ijk ijk

ijk

X x

Điều nầy khẳng định (4.14)

Ta chú ý rằng (4.25) dẫn đến (4.24), do đó (4.24) và (4.25) tương đương với (4.25) Như vậy, ta chỉ cần chọn M,ε thỏa (4.25) và định líù 4.2 được chứng minh hoàn tất.„

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

đó, tồn tại hai hằng số M,ε sao cho

(i) Với f( 0 ) ∈K M cho trước, dãy {f(ν)}xác định bởi hệ (4.7)−(4.9) là dãy lặp cấp hai Chính xác hơn, ta có

,

2 , 1

2 ) 1 ( )

X M

[ ] [ 1

] [ 2

ijk

ijk

M

a M c

b b

a M

j ijk

ijk

i i

i

x R e x R e x W y a

x W x

W a

x f x f x

e

) ( )

1 ( ) (

) (

) ( )

(

)) ( ( )) ( ( )) ( (

)) ( ( )) ( (

) ( )

( )

(

ν ν

ν

ν

ν ν

ε ε

= =

k n

j

x X

j ijk

ijk

dt t e c

1 1

)

0

) )]

b

) (

)) ( (

− Φ

=

m

k n

j

ijk j ijk ijk

m

k n

j

ijk j ijk ijk

ijk ijk

ijk

x R e x W y a

x R e x W y a x W x

W a

1 1

) ( ) (

1 1

) 1 ( ) ( )

(

)) ( ( )) ( (

)) ( ( ) ( ( ))

( ( )) ( (

ν ν

ν ν ν

ε ε

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

j

j ijk

ijk

dt t e c

) )]

b

) (

)) ( (

ν

).

( ) ( )) ( ( )) ( (

)) ( ( ) ( ( ))

( ( )) ( (

) (

1 1

) ) (

1 1

) 1 ( ) ( )

(

x Be x

R e x W y a

x R e x W y a x W x

W a

i m

k n

j

ijk j ijk ijk

m

k n

j

ijk j ijk ijk

ijk ijk

ijk

ν ν

ν

ν ν ν

− Φ

, ) (

)) (

, ( 2 1

) )(

, ( ) , ( ) , (

2 0 0

0 2 2

0 0

− Φ

θ

w x y

w w w x y w x w x

Thay (x,w) và (x,w0) lần lượt bởi W ijk (x) và W ijk(ν)(x) ta được

)) ( ( )) ( ( )) ( ( )) (

y x W x

∂

Φ

∂

− Φ

~ ( 2

1

x R e x W

(

ijk ijk

j ijk ijk

∂

Φ

∂ +

=

m

k n

j

ijk j ijk

ijk

m

k n

j

ijk j ijk ijk

i i

x R e x W y a

x R e x W y a x

Be x

e

1 1

2 )

1 ( ) 2 2

1 1

) ( ) ( )

( )

(

)) ( ( )) (

~ ( 2

)) ( ( )) ( ( )

( ) ( )

(

ν ν

ν ν ν

ν

ε ε

hay

), ( ))

( ( ) , ( )

( ) ( )

1 1

) ( ) ( )

j

ijk j ijk

i i

ν ν

ν ν

= =

(4.33)

Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thị Hoàng Dung

)), ( ( )

,

) (

x W y a

~ ( 2

) (

1 1

2 )

1 ( ) ( 2

2 )

j

ijk j ijk

ijk

y a x

n

j m

k

ijk x n

Ta suy ra một cách tương tự như trong chứng minh của định lí 4.2, như sau:

X X

ijk X

k n

j

ijk j ijk

ijk n

i

y a x

G

2 )

1 ( ) ( 2 2

1

2 )

k n

j

ijk j ijk e R x a

M

1 1 1

2 )

1 (

2

ν ε

2 ) 1 (

2 M a ijk e − X

Vậy

]

[ 2

2 ) 1 ( 2

) (

X ijk

Gν ≤ ε ν− (4.37) Từ (4.36) và (4.37), ta thu được

( ijk ijk ijk ) X

1 )

2

2 ) 1 (