hệ phương trình hàm phương pháp lặp cấp hai và triển khai tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1. 01. 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy Khoa Toán- tin học, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê-Toán- tin học, Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trường Cao đẳng Giao thông khu vực 3. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2003 Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 LÔØI CAÛM ÔN MỤC LỤC Mục lục:…………………………………….………………………………………trang 0 Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………….…… ….…trang 1 Chương 2: Các ký hiệu và không gian hàm…………………………… ….… …trang 4 Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………….…………………………… ….trang 6 Bổ đề 3.1………… ……………………….………………………… ….trang 6 Bổ đề 3.2……… ……………………………….…………………… ….trang 6 Đònh lý 3.1……….……………………………………….…………… … trang 9 Chú thích 3.1………………………………… ……………………… trang 10 Chú thích 3.2………………………………………………………………trang 10 Chương 4: Thuật giải hội tụ cấp hai…………………………………… ….……trang 11 4.1. Thuật giải lặpï cấp hai………………….…………….…………… …….trang 11 Đònh lý 4.1……………………………… …………………… … …….trang 12 Đònh lý 4.2………………… …………………………………………….trang 13 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặpï cấp hai………………………… …….……trang 16 Đònh lý 4.3……………………………… …………………………… ….trang16 Chú thích 4.1……………………….………………………………… ….trang 19 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé……………………… trang 20 Bổ đề 5.1……………………………………………… …………………trang 21 Bổ đề 5.2……………………………………………………… …………trang 22 Bổ đề 5.3…………………………………… ……………………………trang 23 Đònh lý 5.1……………………………………………… ……………… trang 25 Chú thích 5.1…….………………………………………………… …….trang 26 Đònh lý 5.2……………………… ……………………………………….trang 26 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể……………… …………………trang 28 6.1. Khảo sát thuật giải lặp cấp hai………………………………………… trang 28 6.2. Khai triển tiệm cận của nghiệm……………………………… …… trang 33 Phần kết luận. ………………………………… ………………………… ….trang 39 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….…… trang 40 1 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây () ∑∑ == Φ= m k n j ijkjijki xRfaxf 11 ))(()( ε ),())(( 11 xgxSfb i m k n j ijkjijk ++ ∑∑ == (1.1) ,, ,1; nix =Ω∈∀ trong đó ],[ ba = Ω hoặc Ω là một khoảng không bò chận của ,IR ijkijk ba , là các hằng số thực cho trước; ,: IRg i → Ω ,:, Ω →Ω ijkijk SR và IRIR →Φ : là các hàm số liên tục cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ rõ sau đó. Các hàm IRf i →Ω: là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Trong trường hợp riêng ,)( 2 yy =Φ ijkijk SR = , hệ (1.1) được nghiên cứu bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Diễm[6]; L.T. Vân [11]. Trong [12], các tác giả C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với ],,[ bb−=Ω ,2 = = nm 0 = ijk a và ijk S là các nhò thức bậc nhất. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++ +++= +++ +++= ),()( )()()( ),()( )()()( 22323223 222222221211212 11313113 121221211111111 xgcxbfa cxbfacxbfaxf xgcxbfa cxbfacxbfaxf (1.2) với mọi ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó, các hằng số bcba ijijij ,,, cho trước thỏa các điều kiện: ,1)(max], 1 [max,1 3 1 , < − ≥< ∑ =j ij i ij ij ji ij a b c bb (1.3) các hàm số 21 , gg liên tục cho trước và 21 , ff là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các i g . Trong [9], các tác giả Nghóa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++++++= +++++++= ),() 4 3 4 ( 200 1 ) 2 ( 100 1 ) 3 1 2 ( 200 1 ) 4 ( 100 1 )( ),() 4 1 3 ( 100 1 ) 4 1 4 ( 100 1 ) 2 1 3 ( 200 1 ) 2 ( 100 1 )( 222112 122111 xg x f x f x f x fxf xg x f x f x f x fxf (1.4) với mọi ]1,1[−∈x , trong đó 21 , gg được chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết trước. Trong [3], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với 0= ijk a và ],[ bb − = Ω hay Ω là khoảng không bò chận của .IR Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, trong [3] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm i g . Trong trường hợp 0= ijk a và ijk S là các nhò thức bậc nhất, );( nr IRCg Ω∈ và ],,[ bb−=Ω trong [3] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp . r Hơn nữa, nếu i g là các đa thức bậc , r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc . r Kế đó, nếu i g là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long, Nghóa[4] cho miền ⊂Ω p I R nhiều chiều và ijk S là các hàm affine. Hơn nữa, trong [4] cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Nghóa, Diễm [6] và Long [8]. Gần đây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân-hàm ),()()()( 2 1 0 xgdttfcxbfaxf i j x jijijijjiji ijij + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∑ ∫ = + γβ α ,2,1 = i ].,[ bbx −∈ (1.7) Sau đó P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long[1] đã xét hệ ),()()()( 11 0 xgdttfcxbfaxf i m k n j x jikjijkijkjijki ijkijk + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∑∑ ∫ == + γβ α (1.8) ,, ,2,1 ni = ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó IRg i → Ω : là các hàm liên tục cho trước, Rcba ijkijkijkijkijkijk ∈ γ β α ,,,,, là các hằng số thực cho trước thỏa thêm một số điều kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5] đã thiết lập nghiệm ), ,( 1 n fff = bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. 3 Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, là phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chương sau. Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều nầy cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co. Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé . ε Chúng tôi thu được trong chương nầy một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp 1 + N theo , ε với ε đủ nhỏ theo nghóa )( 1 0 ][ + = += ∑ N N r rr Off εε ε tức là ,)()(sup 1 10 ][ + == Ω∈ ≤− ∑∑ N n i N r r i r i x Cxfxf εε trong đó C là một hằng số độc lập với . ε Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với ,2,1 = = nm ],1,1[ − = Ω ,2,)( ≥=Φ pyy p ở đó một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ được khảo sát. Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 4 CHƯƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. 2.1. Các ký hiệu Ta ký hiệu ],[ ba=Ω hay Ω là khoảng không bò chặn trong .IR Với ],[ ba=Ω , ta ký hiệu );( n IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số ), ,( 1 n fff = n IR→Ω: liên tục trên Ω đối với chuẩn ∑ = Ω∈ = n i i x X xff 1 )(sup . (2.1) Khi Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu );( n b IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số n IRf →Ω: liên tục, bò chận trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tương tự, với số nguyên không âm ,m ta đặt }.1,0),;(:);(), ,({);( )( 1 nimkIRCfIRCfffIRC k i n n nm ≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω Với Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu }.1,0),;(:);(), ,({);( )( 1 nimkIRCfIRCfffIRC b k i n bn nm b ≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω Mặt khác, );( nm IRC Ω và );( nm b IRC Ω cũng là các không gian Banach đối với chuẩn .)(supmax 1 )( 1 ∑ = Ω∈ ≤≤ = n i k i x mk m xff (2.2) 2.2. Đònh lý điểm bất động Banach Đònh lý điểm bất động sau đây được sử dụng nhiều lần trong các chương sau. Đònh lý 2.1.( Đònh lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn XK ⊂⋅ , là tập đóng. Cho KKT →: là ánh xạ thỏa mãn: Tồn tại số thực 10, <≤ σ σ sao cho 5 ,gfTgTf −≤− σ ., Kgf ∈ ∀ (2.3) Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất Kf ∈ sao cho .Tff = (ii) Với mỗi , )0( Kf ∈ xét dãy }{ )( ν f cho bởi , 2,1, )1()( == − νTff νν ta có (j) ,0lim )( =− ∞→ ff ν ν (jj) , 1 )0()0()( σ σ ν ν − −≤− Tffff , 2,1 = ν (jjj) )1()()( 1 − − − ≤− ννν σ σ ffff , , 2,1 = ν Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích. [...]... trong đó các hàm f [ r ] , r = 0,1, , N là các nghiệm của các hệ (5.1)-(5.6), lần lượt 28 CHƯƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần nầy chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số hệ phương trình hàm cụ thể Qua đó chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp hai liên kết với hệ phương trình hàm nầy Vẫn trong phần nầy chúng tôi cũng tính toán một số khai triển tiệm cận đến một cấp cho trước... 4.1 và 4.2 đã khẳng đònh sự tồn tại của một dãy lặp cấp hai trong K M xác đònh bởi (4.3)−(4.5) Kết quả sau đây cho ta kết luận dãy nầy là dãy lặp cấp hai và cho một điều kiện đủ để thuật giải nầy hội tụ Đònh lý 4.3 Giả sử ( H 1 ), ( H 2 ), ( H 3 ) đúng Cho aijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0 và ε , sao cho: Với f (0) ∈ K M cho trước, dãy { f (ν ) } xác đònh bởi hệ (4.3)−(4.5) là dãy lặp cấp hai. .. một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau 4.1 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Xét hệ phương trình hàm m n ( ) m n f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x), k =1 j =1 k =1 j =1 (1.1) ∀x ∈ Ω; i = 1, , n, Ta giả sử rằng Φ ∈ C 1 ( IR; IR) Dựa vào xấp xỉ sau đây:... các giả thiết trên các hàm S ijk , g và các số thực aijk , bijk , ε 0 , M chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ theo nghóa N f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 ) r =0 tức là N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 ≤Cε N +1 , X trong đó C là một hằng số độc lập với ε Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm S ijk , g và các số thực aijk ,... sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ε Đònh lý 5.1 Giả sử ( H 1 ) − ( H 6 ) Khi đó, tồn tại một hằng số ε 1 > 0 sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ε ∈ K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 như sau: N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 ( ≤ 2 L−1 C N1) ε N +1 , (5.21) X các hàm f [ r ] , r = 0,1, , N là các nghiệm của các hệ (5.1)-(5.5), lần lượt... ∈ R và g = ( g1 , , g n ) ∈ X cho trước, giả thiết [bijk ] < 1 dẫn đến sự tồn tại của hai số dương ε 0 , M thỏa các giả thiết ( H 4 ) và ( H 5 ), lần lượt Khi đó, ta có kết quả sau: Đònh lý 5.2 Giả sử ( H 1 ) − ( H 3 ) đúng Cho trước aijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0, ε 1 > 0, sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm 27 f ε ∈ K M có một khai triển tiệm cận đến cấp. .. (1.1) và ta có một đánh giá sai số f − z (η ) X ≤ z ( 0 ) − Tz ( 0) X với σ= 2ε M [aijk ] 1 − [bijk ] × ση , 1−σ ∀η = 1,2, (4.32) (4.33) < 1 - Từ (4.32), (4.33), ta chọn η 0 ∈ N đủ lớn sao cho: β M f − z (η 0) X ≤ βM z ( 0) − Tz ( 0) Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f ( 0) = z (η0 ) X × ση 1−σ 0 < 1 (4.34) 20 CHƯƠNG 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm. .. (3.6) f (ν ) → f trong X khi ν → +∞ (3.7) Và f với (ν ) σ= −f X ≤ f ( 0) − Tf 1−σ ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] (0) X σ ν , ∀ν = 1,2, , (3.8) < 1 Chú thích 3.2 Trong trường hợp riêng Φ ( y ) = y 2 , Rijk = S ijk , hệ (1.1) được chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T Long, N.H Nghóa, T.N Diễm [6]; L.T Vân [11] 11 CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong đònh lý 3.1 đã cho một thuật...6 CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương nầy, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong X ≡ C (Ω; IR n ) ( hoặc trong X = C b (Ω; IR n ) ) như sau (3.1) f = ε Af + Bf + g trong đó... ≤ 2 (6.3) Các hàm Rij ( x) = rij x, S ij ( x) = sij x, g i (x) thỏa các giả thiết ( H 1 ), ( H 2 ) Nghiệm chính xác của hệ (6.1) là f i ( x) = x i , i = 1,2 (6.4) Như trong chương 4, dựa vào xấp xỉ sau đây: f j(ν ) p ≅ f j(ν −1) p = p f j(ν −1) + p f j(ν −1) p−2 p −2 f j(ν −1) ( f j(ν ) − f j(ν −1) ) f j(ν −1) f j(ν ) − ( p − 1) f j(ν −1) p (6.5) ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) như sau: . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN. 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN Luận văn Thạc. hệ phương trình hàm cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với ,2,1 = = nm ],1,1[ − = Ω ,2,)( ≥=Φ pyy p ở đó một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp