tài liệu ôn thi toán cao cấp - hệ phương trình tuyến tính

HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 1 2 n 1 m m 2 n m1 nm2 n a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + + =   + + + =     + + + =  K K M K m phương trình – n ẩn Nghiệm của hệ là 1 bộ gồm n số ( ) 1 2 , , , n δ δ δK thỏa m phương trình trên. HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 1 2 n 1 m m 2 n m1 nm2 n a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + + =   + + + =     + + + =  K K M K 11 12 1n 21 22 2n 1m m m2 n a a a a a a A a a a       =       K K M M M K 1 2 n X x x x       =       M m 1 2 b b B b       =       M A X B× = HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 1 21 22 2 m m m n 2 2 2 n n m1 a a a b a a a b a a a b x x x                   × =                   K K M M M M M K A X B× = 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 1 1 2 2 nm m nm m a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + +         + + +     =         + + +     K K M M K HỆ CRAMER Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 1 2 n 1 n n 2 n n1 nn2 n a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + + =   + + + =     + + + =  K K M K n phương trình – n ẩn và det(A) ≠ 0 HỆ CRAMER Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công Hệ Cramer có duy nhất 1 nghiệm 11 1 1n 21 2 2n n n nn j 1 j j a a a a a a A a a a       =       K K K K M M M K K 11 1 1n 21 2 2 j j j n n nj n 1 n a a a a a a A a a a       =       K K K K M M M K K 1 2 n b b b M với:Nghiệm của hệ Cramer là 1 bộ gồm n số ( ) 1 2 , , , n x x xK j j det A det A x = HỆ CRAMER Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công Ví dụ: 2 3 5 10 3 7 4 3 2 2 3 x y z x y z x y z + + =   + + =   + + =  2 3 5 A 3 7 4 1 2 2     =       10 B 3 3     =       3 5 A 7 4 2 2 10 3 3 x     =       10 3 3 2 5 A 3 4 1 2 y     =       2 3 A 3 7 1 2 10 3 3 y     =       det A 3 x = det A 2 y = − det A 2 z = 0det A 1 = ≠ det A 3 det A x x = = det A 2 det A y y = = − det A 2 det A z z = = Vậy, nghiệm của hệ là bộ: ( ) ( ) , , 3, 2,2x y z = − HỆ CRAMER Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công Khối lượng tính toán Số lượng (x,÷) cho 1 đt cấp n ( ) 1 1 1 1 ! 1! 2! 3! 1 ! n n   + + + +   −   K Số lượng (+,−) cho 1 đt cấp n ! 1n − Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ! 1! 2! 3! 1 ! n n n   + + + + + +   −   K Số lượng (+,−) cho 1 hệ cấp n ( ) ( ) 1 ! 1n n+ − + ( ) 3 1 ! 2 n≥ + HỆ CRAMER Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công Khối lượng tính toán n n (+, (+, − − ) ) (x, (x, ÷ ÷ ) ) 2 3 9 3 20 36 4 115 180 5 714 1080 10 39916789 59875200 30 ≈ 2,7x10 32 ≈ 123,3x10 32 10 9 phép tính/s 32 17 9 126 10 4 10 10 365 24 3600 × × × × × ≈ ( ( năm năm ) ) 3 bất lợi PP KHỬ GAUSS Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 1 2 n 1 m m 2 n m1 nm2 n a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + + =   + + + =     + + + =  K K M K 11 12 1n 21 22 m m m 2n 1 2 n a a a a a a a a a             K K M M M K 2 m 1 b b b       M B A = (ma trận các hệ số mở rộng) PP KHỬ GAUSS Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 1 2 n 1 m m 2 n m1 nm2 n a a a b a a a b a a a b x x x x x x x x x + + + =   + + + =     + + + =  K K M K Đổi chỗ hai phương trình. Nhân hai vế của 1 phương trình với 1 số ≠ 0. Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau. Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho. Nhận xét: Nhận xét: chỉ có các hệ số thay đổi m m 11 12 1n 1 21 22 2n 2 1 2 mn m a a a b a a a b a a a b             K K M M M M K Đổi chỗ hai hàng. Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0. Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0 đồng thời cộng vào hàng khác. Các PBĐSC trên hàng [...]... −2 −1 → 0 0 0 0  Hệ vô nghiệm ⇔ rank(A) < rank(AB) ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = −2 1   m −1  4m − 1  1   m −1 m + 2  Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS Khối lượng tính toán Số lượng (+,−) cho 1 hệ cấp n Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n n 2 3 4 5 10 30 n ( 2n2 + 3n − 5) 6 n 2 ( n + 3n − 1) 3 (+,− ) (x,÷ ) 3 11 26 50 375 9425 6 17 36 65 430 9890 ... →h3 −h2  3  0 0 −1 1  0 0 −1 → → 0 0 −1 1 0 0 0 5     z = −1 x + 2y + z =1 x + 2y = 2 ( α ∈ R) Đặt y = α x = 2 − 2α Vậy hệ có vô số nghiệm  Tập nghiệm của hệ là:  ( 2 − 2α , α , −1)   α∈R   1  1 0  Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS Ví dụ 3: 1 2 1  2 4 1 4 8 3   x + 2y + z =1   2x + 4 y + z = 3  4 x + 8 y + 3z = 6  1  h →h − 2 h  1 2 1  h32... →h3 −h2   1   0 0 −1 1 → 0 0 0 1 2    !!! Vậy hệ vô nghiệm Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS VD 1 1 2 2  0 1 −2 0 0 −1  VD 2 1 2 1 1 3  Định lý1 2 1 –Capelli Cronecker 1      −6  0 0 −1 1  0 0 −1 1    0 0 −2vô nghiệm 0 0 0 0  rank(A) < rank(A )0 1      B rank(A) = rank(AB) = n Hệ VD 3 rank(A) = rank(AB) < n có nghiệm duy nhất có vô số nghiệm... của A và AB ? Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS Ví dụ:  x1 − 2 x2 + x3 + 2 x4 = 1   x1 + x2 − x3 + x4 = m  x + 7 x − 5 x − x = 4m 2 3 4  1 1 −2 1 2  1 1 −1 1 1 7 −5 −1  Tìm m để hệ vô nghiệm 1  h →h −h 1 −2 1 2  h32→h32−h11  m   0 3 −2 −1 → 0 9 −6 −3 4m     1 −2 1 2  h3 →h3 −3 h2  0 3 −2 −1 → 0 0 0 0  Hệ vô nghiệm ⇔ rank(A) < rank(AB) ⇔ m + 2 = 0 ⇔...Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS Phương pháp Gauss các PBĐSC trên hàng AB      A   CẨN THẬN KHI THỰC HiỆN  PBĐSC TRÊN CỘT   B rank(A) = rank(C) rank(AB) = rank(CD ) MT bậc thang      C      D Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS 2 x + 3 y + 5 z = 10  3x + 7 y + 4 z = 3  x + 2 y + 2z = 3  Ví... = −2 x = 3 − 2 y − 2z = 3 3  h → h −3 h  1  h32 →h32−2 h11  3   0 → 0 10    1  h3 →h3 + h2  0 → 0  Vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm: 2 2 1 −2 −1 1 2 2 1 −2 0 −1 ( x, y, z ) = ( 3, −2, 2 ) 3  −6  4  3  −6  −2   Trường ĐHNL TP.HCM – GV Hoàng Quốc Công PP KHỬ GAUSS  x + 2y + z =1   2x + 4 y + z = 3  4 x + 8 y + 3z = 5  Ví dụ 2: 1 2 1  2 4 1 4 8 3  1 2 1 1  h →h . =  K K M K m phương trình – n ẩn Nghiệm của hệ là 1 bộ gồm n số ( ) 1 2 , , , n δ δ δK thỏa m phương trình trên. HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công 11 12 1n. hai phương trình. Nhân hai vế của 1 phương trình với 1 số ≠ 0. Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau. Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho. Nhận xét: Nhận xét: chỉ có các hệ. KHỬ GAUSS Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công Khối lượng tính toán Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n ( ) 2 3 1 3 n n n+ − Số lượng (+,−) cho 1 hệ cấp n ( ) 2 2 3 5 6 n n n+ − n n (+, (+, − − ) ) (x, (x, ÷ ÷ ) ) 2