Luận văn một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M H À NỘI N G U Y Ễ N TH Ị T H U HÀ M ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI X A P x ỉ PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI - TÍCH P H Â N T U Y Ế N TÍN H FREDHOLM LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC H N ội, 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I N G U Y Ễ N TH Ị T H U H À M ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI X A P x ỉ PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI - TÍCH P H Â N T U Y Ế N TÍN H FREDHOLM L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC C huyên ngành: Toán giải tích M ã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học P G S T S K huất Văn N in h H À N Ộ I, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM Đ O A N Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà M ục lục M ỏ đầu K IẾ N TH Ứ C C H U Ẩ N BỊ 1.1 Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 Khống gian metric Không gian định chuẩn Không gian tính c h ấ t Môt, số kiến th ứ c v ề eũải t í c h 1.2.1 C h u ỗi líív t h a , 1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số tính chất C ị a b -ị 10 11 Một số kiến thức giải tích số 1.3.1 Phương pháp cầu phươnị 1.3.2 Sai phân tính chấ1 11 T 12 P H Ư Ờ N G P H Ấ P G ĨẲ Ĩ T ÍC H G IẢ I X Á P x ì P H Ư Ờ N G T R ÌN H V Ĩ-T ÍC H P H Â N T U Y Ế N t í n h FR E D H O L M 14 2.1 Định lý tồn nghiệm phương trình 14 2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 15 2.3 Phương pháp phân tích A d o m ia n 20 2.4 Phương pháp c h u ỗ i 28 P H Ư Ờ N G P H Ấ P G ĨẲ Ĩ SỐ P H Ư Ờ N G T R ÌN H V Ĩ-T ÍC H P H Ầ N T U Y Ế N T ÍN H FR ED H O L M 3.1 3.2 32 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính F re d h o lm l 32 Các ví dụ minh họa ứng dụng Maple tính toán 34 K ết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Lí chọn đ ề tà i Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm loại phương trình xuất toán học ngành khoa học ứng dụng từ lâu nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc tìm nghiệm xác phương trình nói gặp nhiều khó khăn Vì người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm giải phương pháp khác Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dạng biểu thức giải tích phương pháp số cho nghiệm thu dạng bảng số Trong trình giải, ta kết hợp sử dụng phần mềm Maple tính toán Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề này, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh nghiên cứu đề tầỉ“Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phẫn tuyến tính Fredholm” để thực luận văn M ụ c đích n gh iên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm ứng dụng Maple tính toán N h iệ m v ụ n gh iên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Đ ố i tư ợ n g p h ạm v i n gh iên cứu - Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm - Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm P h n g p h áp n gh iên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài D ự kiến đ ón g góp Hệ thống lại số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Predholm ứng dụng phương pháp vào giải phương trình cụ thể Áp dụng phần mềm Maple tính toán Chương K IẾN THỨC C H U Ẩ N BỊ 1.1 M ộ t số kiến th ứ c G iải tích hàm Mục nhắc lại số kết giải tích hàm, trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5] 1.1.1 K hông gian m etric Cho X tập tùy ý Đ ịnh nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d X X X —ỳ K, thỏa mãn điều kiện sau (i) d ( x ,y ) ^ 0,Vx,y e X; (ii) d(x,y) = X = y\ (hi) d(x,y) = d ( y ,x ) ,V x ,y e X ; (iv) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) , Vs , í / GX; Một không gian metric tập hợp với metric tập hợp Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian số d(x, y) gọi khoảng cách điểm X y Đ ịnh nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn) , n = 1,2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a € X lim d(a, x n) = ra— >oo Khi ta kí hiệu lim x n = a x n !-»■ a Ĩ Ỉ oo n— >00 Đ ịn h nghĩa 1.1.3 Dãy điểm gọi dãy không gian metric X với £ > cho trước, tồn số n cho với n > n0 m > n ta có d{xn, x m) < £ Nói cách khác ta có lim d(xn, x m) = n,m—>00 Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Đ ịnh nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Đ ịnh nghĩa 1.1.5 Cho X , Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ f x —>• Y gọi ánh xạ co tồn số a với < a < cho với x,x ' € X ta có d {f{x ),f{x ')) < a d ( x , x ’), a gọi hệ số co / Hiển nhiên ánh xạ co ánh xạ liên tục Đ ịnh lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X metric đầy đủ f : X —>• X ánh xạ co X vào Khi tồn Thay X = Xị phương trình (3.1) trở thành u (n ) (Xi) = f(xị) + í K(xi,t)u(t)dt Ja (3.2) Đặt g(t) = K ( x i ,t) u ( t) Khi phương trình tương đương với u {n)(xi) = f(xị) + í g{t)dt Ja Áp dụng công thức hình thang công thức parabol để tính f bg(t)dt Theo công thức hình thang ta tính h g(t)dt — —[ eqnl = 0.999 * a — 0.002 * —0.003 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 37 0.006 * / —0.007 * # —0.008 * h — 0.009 * t — 0.005 * q = 0.1; eqnl =0.999a - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 0.005e - 0.006/ - 0.007# - 0.008h - 0.009Í - 0.005g = 0.1 [> eqn2 = —1.001 * a + 0.998 * — 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 0.006 * / —0.007 * g — 0.008 * h — 0.009 * t — 0.005 * q = 0.11; eqn2 = - 1.001a + 0.9986 - 0.003c - 0.004d - 0.005e- 0.006/ - 0.007# - 0.008h - 0.009Í - 0.005g = 0.11 [> eqnS — —0.001 * a — 1.002 * 4- 0.997 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 0.006 * f — 0.007 * g — 0.008 * h — 0.009 * t — 0.005 * q = 0.12; egn3 = - 0.001a - 1.0026 + 0.997c - 0.004d - 0.005e- 0.006/ - 0.007# - 0.008h - 0.009Í - 0.005g = 0.12 [> egn4 = —0.001 * a — 0.002 * b — 1.003 * c + 0.996 * d — 0.005 * e — 0.006 * / —0.007 * g — 0.008 * h — 0.009 * t — 0.005 * g = 0.13; egn4 = - 0.001a - 0.0026 - 1.003c + 0.996d - 0.005e- 0.006/ - 0.007# - 0.008h - 0.009Í - 0.005g = 0.13 [> egn5 = —0.001 * a — 0.002 * b — 0.003 * c — 1.004 * d + 0.995 * e — 0.006 * f — 0.007 * g — 0.008 * h — 0.009 * t — 0.005 * q = 0.14; egn5 = - 0.001a - 0.0026 - 0.003c - 1.004d + 0.995e - 0.006/ -0.007# - 0.008/ [> eqnG = —0.001 * a — 0.002 * b — 0.003 * c — 0.004 * d — 1.005 * e + 0.994 * / - 0.007 * # - 0.008 * h - 0.009 * t - 0.005 * g = 0.15; eqnG = - 0.001a - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 1.005e+ 0.994/ - 0.007# - 0.008h - 0.009Í - 0.005g = 0.15 38 [> e q n = —0.001 * ữ — 0.002 * — 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 1.006 * / + 0.993 * g — 0.008 * —0.009 * t — 0.005 * q = 0.16; eqríĩ = -O.OOlo - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 0.005e - 1.006/ + 0.993# - 0.0086 [> eqn8 = —0.001 * a — 0.002 * b — 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 0.006 * / - 1.007 * # + 0.992 * - 0.009 * t - 0.005 * g = 0.17; eqn8 = - O.OOla - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 0.005e - 0.006/ - 1.0070 + 0.9926 - 0.0096 - 0.005# = 0.17 [> eqn9 — —0.001 * a — 0.002 * — 0.003 * c — 0.004 * d — 0.005 * e — 0.006 * f — 0.007 * g — 1.008 * h + 0.991 * t — 0.005 * q = 0.18; eqn9 = - O.OOla - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 0.005e - 0.006/ - 0.007# - 1.0086, + 0.991Í - 0.005g = 0.18 [> egnio = —0.001 * a —0.002 * —0.003 * c — 0.004 * d —0.005 * e — 0.006 * f — 0.007 * g — 0.008 * h — 1.009 * t + 0.995 * q = 0.19; eqnlũ = - O.OOla - 0.0026 - 0.003c - 0.004d - 0.005e - 0.006/ - 0.007# - 0.0086 - 1.0096 + 0.995# = 0.19 [> solve({eqnl, eqn2, eqn3, eqnA, eqnò, eợn6, eqnĩ, eợn8, e#n9, e#nlO} , {a,6, c, d, e, f , g , 6, t, #}); t = 1.861578947, ợ = 2.118421053, = 1.614736842, # = 1.377894737,/ = 1.151052632, e = 0.9342105263, d = 0.7273684211, c = 0.5305263158, a = 0.1668421053, = 0.3436842105 Với a = Ui,b = 1Í2,C = lí3, d = Ií4,e = IÍ5, / = lí6, # = IÍ7,6 = u$,t = lig, q = liio Vậy ta thu nghiệm dạng bảng số sau 39 Nghiệm xác u(x) = Y AUi Xi Ui = 1U i - lí(íE i)| 0 0 0.1 0.166842 0.17375 0.006908 0.2 0.343684 0.35750 0.013816 0.3 0.530526 0.55125 0.020724 0.4 0.727368 0.75500 0.027632 0.5 0.934211 0.96875 0.034539 0.6 1.151053 1.19250 0.041447 0.7 1.377895 1.42625 0.048355 0,8 1.614737 1.67000 0.055263 0.9 1.861579 1.92375 0.062171 10 2.118421 2.18750 0.069079 Bảng 3.2: * V í d ụ 3.2.2 Giải số phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm sau u"{x) = 2x — + / ( t — x ) u ( t ) d t , u ( 0) = ĩ/(0) = Bài giải Ta chia đoạn [0.1] thành 10 phần nhau, ta ¿0 = ;íi = ; ¿10 = tương ứng Cho X = Xị xữ = 0; X ị — 0.1; ; X \ ữ — phương trình có dạng u"(xi) = 2xị —1 + í (t —X i ) u ( t ) d t Đặt g ( t ) = (t — Xị)u{t ) Khi phương trình tương đương với u"(xi ) = 2xị — + í (3-7) g(t)dt ■¿0 Áp dụng công thức hình thang ta tính f1 J g{t)dt = ^ [ỡo + 9i ũ + 40 2([...]... bằng cách giản ước số hạng này chúng ta sẽ thu được nghiệm chính xác Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm sẽ được minh họa bằng những phương trình sau V í dụ 2.3.1 Sử dụng phương pháp phân tích Adomỉan để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm u (x) = —1 + 24a; + í u (t)d t,u (0) = 0 Bài giải Tích phân cả hai vế của phương trình từ 0 tới X và... g p h áp giải số phư ơng trìn h v i -tích p h ân tu y ế n tín h F redholm Xét phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm được cho bởi công thức (X) = f (x) + ị K (z, t ) u (t ) dt, Ja (a) = bk, 0 < k < n — 1 (3.1) ở đó vSn\ x ) là đạo hàm bậc n của hàm u ( x ) với biến số là X và bỵ là cho trước Trong chương này ta nghiên cứu về phương pháp số để giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm. .. e Giải hệ phương trình ta thu được ca1 0-2 98711 + 7440e 88511 65738 + 88561e 88511 Vậy nghiệm chính xác “(*) = t4 ,10260 T 7440e x t3 , 242760 T 50e “) 4" 2t2 T Í T íe4 88511 ^ 6 ^ 88511 19 2.3 P h ư ơ n g p h áp p h ân tích A d om ian Trong phương pháp này chúng ta thực hiện bằng cách chuyển đổi một phương trình vi- tích phân Fredholm về một phương trình tích phân Fredholm Sau đó ta giải phương trình. .. (—l ) ‘C i/ [z + (n - t)] ¿=0 13 Chương 2 PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI TÍCH GIẢI X Ấ P XỈ PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI- TÍCH P H Â N T U Y Ế N TÍNH FREDHOLM Xét phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm được cho bởi công thức (X) = / (x) + í K (x, t) u (t ) dt, u ^ (a) = Ja 0 < k < n — 1 (2.1) ở đó vSn\ x ) là đạo hàm bậc n của hàm u ( x ) với biến số là X và bk là cho trước Giả sử K ( x , t ) liên tục trên... tới nghiệm chính xác Để sử dụng tốt phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp phân tích cải biên Phương pháp phân tích A dom ian cải biên Theo phương pháp phân tích Adomian nghiệm được tìm dưới dạng chuỗi vô hạn u(x) oc u(x) = un(x) n=0 (2.14) Thay thế vào cả hai vế của phương trình tích phân Fredholm u(x) = f ( x ) + X í K (x,t)u(t)dt Ja Ta có công thức truy toán u0(x) = f ( x... vi- tích phân Fredholm về một phương trình tích phân Fredholm Sau đó ta giải phương trình tích phân đó bằng phương pháp phân tích Adomian Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể xét một phương trình vi- tích phân Fredholm bậc hai được cho bởi u (:r) = f ( x ) + / K ( x ,t)u ( t) d t,u (a ) = d0,u (a) = di •'a Tích phân cả hai vế của (2.10) từ a đến X hai lần được u{x) = a0 + diX + L~1(f(x)) + L~l {... đến hằng số a và biến X Nghĩa là chúng ta có thể vi t u (x) = V(x, a ) (2.5) Thay thế (2.5) vào vế phải của (2.3) Đánh giá tích phân và nghiệm của phương trình, chúng ta xác định được hằng số a Với cách làm này ta sẽ thu được nghiệm chính xác u(x) bằng cách thay giá trị a vào phương trình (2.5) Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau V í dụ 2.2.1 Tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân sau... Nghiệm là một dãy cho bởi công thức u(x) = - x + 12x + ^ x ( l + 2 + 4 + 8 + Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có dị — 1, công bội q = ị Ta thu được nghiệm chính xác 7 u{x) = —X + 12x2 + -X.2 = 12x2 + Qx 2 V í dụ 2.3.2 Sử dụng phương pháp phần tích Adomian để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm u (x) = —P —2cos2x + / u(t)dt: u(0) = 1, u (0) = 0 4 Jq Bài giải Tích phân cả... vào (2.18) Khi đó ta có nghiệm chính xác Phương pháp này sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau V í d ụ 2.4.1 Sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừa để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm u (X) = 4x + J (x — t)u(t)dt, ư(0) = 2 Bài giải Giả sử u(x) có dạng(|2T8|) Thay thế u(x) và u'(x) L\x) u 00 = ( X n =0 anx1l)\ vào cả hai vế của phương trình tích phân đã cho ta được / ix- t) 1 00 ,xn~x =... trình vi- tích phân (2.2) liên quan đến một tích phân hoàn toàn phụ thuộc vào biến t Điều này có nghĩa là tích phân xác định ở vế phải của (2.2) là bằng một hằng số a Nói cách khác, chúng ta đặt a = í h(t)u(t)dt **a 15 (2.3) Do đó, phương trình (2.2) trở thành u(n\ x ) = f ( x ) + ) (2.4) Tích phân cả hai vế của (2.4) n lần từ a tới X và sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể tìm được một biểu