Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II" hoàn thành nhận thức thân tác giả Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian C[a,b] tính chất 1.2 Một số kiến thức Giải tích 1.2.1 Chuỗi lũy thừa 1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số tính chất 1.3 Một số kiến thức giải tích số 9 10 11 1.3.1 Phương pháp cầu phương 11 1.3.2 Sai phân tính chất 12 Chương Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 14 2.1 Định lý tồn nghiệm phương trình 15 2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 16 2.3 Phương pháp lặp biến phân 23 2.4 Phương pháp chuỗi 31 Chương Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 37 3.1 Sự kết hợp phương pháp cầu phương phương pháp sai phân giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 37 3.2 Các ví dụ minh họa ứng dụng Maple tính toán 40 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại phương trình xuất toán học ngành khoa học ứng dụng từ lâu nhà toán học quan tâm nghiên cứu Việc tìm nghiệm xác phương trình nói gặp nhiều khó khăn Vì người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II giải phương pháp khác Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dạng biểu thức giải tích phương pháp số cho nghiệm thu dạng bảng số Trong trình giải, ta kết hợp sử dụng phần mềm Maple tính toán Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề này, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II ứng dụng Maple tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II; • Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II ứng dụng phương pháp vào giải phương trình cụ thể Áp dụng phần mềm Maple tính toán Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nêu lại số kết Giải tích, Giải tích số Giải tích hàm sử dụng chương sau Các kết trích dẫn chủ yếu tài liệu [1]-[6] 1.1 Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Metric Cho X tập tùy ý Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) d(x, y) = ⇔ x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Một không gian metric tập hợp với metric tập hợp Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian Số d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn ), n = 1, 2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d(a, xn ) = n→∞ Khi ta kí hiệu lim xn = a xn → a n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn ) gọi dãy không gian metric X với > cho trước, tồn số n0 cho với n ≥ n0 m ≥ n0 ta có d (xn , xm ) < ε Nói cách khác ta có lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ co tồn số α với ≤ α < cho với x, x ∈ X ta có d (f (x) , f (x )) ≤ αd (x, x ) α gọi hệ số co ánh xạ f Hiển nhiên ánh xạ co ánh xạ liên tục Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X metric đầy đủ f : X → X ánh xạ co X vào Khi tồn 38 tích phân phi tuyến dạng bảng số Ta giả thiết phương trình cho có nghiệm Trong chương bước đâu trình bày nội dung phương pháp số ví dụ minh họa Phần đánh giá sai số chưa đề cập đến Ta chia đoạn [a, b] thành k đoạn a = t0 < t1 < < tk = b Khi tương ứng ta có x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, , xk = b với h = b−a Thay x = xi phương trình (3.1) trở thành k b u(n) (xi ) = f (xi ) + K(xi , t)F (u(t))dt (3.2) a Đặt g(t) = K(xi , t)F (u(t)) Khi phương trình tương đương với b u(n) (xi ) = f (xi ) + g(t)dt a b g(t)dt Áp dụng công thức hình thang công thức parabol để tính a Theo công thức hình thang ta tính b g(t)dt = h [g0 + gk + 2(g1 + g2 + + gk−1 )] , a với gj ≈ g(tj ), j = 0, k, gj = K(xi , tj )F (uj ), uj ≈ u(tj ) Xấp xỉ u(xi ) ≈ ui , (3.2) trở thành (ui )(n) = f (xi ) + g(j), i = 0, k, j = 0, k (3.3) Thay u , u , , u(n) xấp xỉ bẳng tỉ sai phân cấp 1, cấp 2, , 39 cấp n (tương ứng), ui+1 − ui h ∆ [∆ui ] ui+2 − 2ui+1 + ui ui = = h2 h2 n (−1)m Cnm ui+n−m n−1 ∆ ∆ ui (n) ui = = m=0 n h hn ui = vào phương trình (3.3), với i = 0, k ta thu hệ phương trình đại số phi tuyến có dạng  n ∆ u0 h   = f (x ) + [g0 + gk + 2(g1 + g2 + + gk−1 )]  n  h  n    ∆ u1 = f (x ) + h [g + g + 2(g + g + + g )] k k−1 hn      n    ∆ uk = f (xk ) + h [g0 + gk + 2(g1 + g2 + + gk−1 )] hn Hay                  n m=0 (−1)m Cnm un−m hn n m=0 = f (x0 ) + k−1 h K(x0 , t0 )F (u0 ) + K(x0 , tk )F (uk ) + K(x0 , tm )F (um ) m=1 (−1)m Cnm u1+n−m = f (x1 ) + k−1 h K(x1 , t0 )F (u0 ) + K(x1 , tk )F (uk ) + K(x1 , tm )F (um ) m=1 hn         n    (−1)m Cnm uk+n−m   k−1 h    m=0 = f (x ) + K(x , t )F (u ) + K(x , t )F (u ) + K(xk , tm )F (um ) 0 k k k k k hn m=1 Biến đổi hai vế hệ phương trình sử dụng điều kiện ban đầu ta thu hệ phương trình đại số k phương trình, k ẩn số u0 , u1 , , uk Ứng dụng Maple để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìm nghiệm gần u0 , u1 , , uk dạng bảng số sau 40 i xi ui Nghiệm xác ∆ui = |ui − u(xi )| a u0 u(x0 ) ∆u0 = |u0 − u(x0 )| a+h u1 u(x1 ) ∆u1 = |u1 − u(x1 )| a + 2h u2 u(x2 ) ∆u2 = |u2 − u(x2 )| k b uk u(xk ) ∆uk = |uk − u(xk )| Bảng 3.1: * 3.2 Các ví dụ minh họa ứng dụng Maple tính toán Phương pháp giải số minh họa ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredlolm sau u (x) = − 17 x+ 24 xtu2 (t)dt, u(0) = (3.4) Bài giải Ta chia đoạn [0, 1] thành 10 phần ta t0 = 0; t1 = 0, 1; ; t10 = tương ứng x0 = 0; x1 = 0, 1; ; x10 = Cho x = xi phương trình có dạng 1 17 u (xi ) = − xi + 24 xi tu2 (t)dt Đặt g(t) = tu2 (t) Khi phương trình tương đương với 17 u (xi ) = − xi + xi 24 g(t)dt (3.5) 41 Áp dụng công thức hình thang ta tính g(t)dt = [g0 + g10 + 2(g1 + + g9 )] , 20 với gj ≈ g(tj ) = tj u2 (tj ) ≈ tj u2j Khi g(t)dt = t0 u20 + t10 u210 + 2(t1 u21 + + t9 u29 ) 20 Mặt khác ta có u (xi ) = ui+1 − ui Từ đưa phương trình (3.5) h phương trình sau 17 ui+1 − ui = − xi + xi t0 u20 + t10 u210 + 2(t1 u21 + + t9 u29 ) (3.6) h 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u1 − u0 = − + 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u2 − u1 17 = − 0.1 + 0.1 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có 17 u3 − u2 = − 0.2 + 0.2 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u4 − u3 17 = − 0.3 + 0.3 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u5 − u4 17 = − 0.4 + 0.4 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 42 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u6 − u5 17 = − 0.5 + 0.5 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u7 − u6 17 = − 0.6 + 0.6 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u8 − u7 17 = − 0.7 + 0.7 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có 17 u9 − u8 = − 0.8 + 0.8 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u10 − u9 17 = − 0.9 + 0.9 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 24 40 Khi ta thu hệ phương trình    10u1 − 10u0 =      10u2 − 10u1 − 0.1u11       10u3 − 10u2 − 0.2u11       10u4 − 10u3 − 0.3u11         10u5 − 10u4 − 0.4u11                            223 240 103 = 120 63 = 80 43 = 60 31 10u6 − 10u5 − 0.5u11 = 48 23 10u7 − 10u6 − 0.6u11 = 40 121 10u8 − 10u7 − 0.7u11 = 240 13 10u9 − 10u8 − 0.8u11 = 30 10u10 − 10u9 − 0.9u11 = 29 80 u11 = 40 u210 + 2(0.1u21 + = + 0.9u29 ) 43 Từ điều kiện ban đầu ta xác định u0 = u(0) = Dùng phần mềm Maple ta giải hệ phương trình với bước sau [>eqn1:=10*a-11-0.1*q=223/240; eqn1 := 10 a - 10 - q = [> eqn2:=10*b-10*a-0.2*q=103/120; eqn2 := 10 b - 10 a - q = [> eqn3:=10*c-10*b-0.3*q=63/80; eqn3 := 10 c - 10 b - q = [> eqn4:=10*d-10*c-0.4*q=43/60; eqn4 := 10 d - 10 c - q = [> eqn5:=10*e-10*d-0.5*q=31/48; eqn5 := 10 e - 10 d - q = [> eqn6:=10*f-10*e-0.6*q=23/40; eqn6 := 10 f - 10 e - q = [> eqn7:=10*g-10*f-0.7*q=121/240; eqn7 := 10 g - 10 f - q = [> eqn8:=10*h-10*g-0.8*q=13/30; eqn8 := 10 h - 10 g - q = [> eqn9:=10*t-10*h-0.9*q=29/80; eqn9 := 10 t - 10 h - q = [>eqn10:=q=(1/40)*(t^2+2*(0.1+0.2*a^2+0.3*b^2+0.4*c^2 +0.5*d^2+0.6*e^2+0.7*f^2+0.8*g^2+0.9*h^2)); [>eqn10 := q = 1/40 t2 + 005000000000 + 01000000000 a2 + 01500000000 b2 + 02000000000 c2 + 03000000000 e2 + 03500000000 f + 04000000000 g2 + 04500000000 h2 + 02500000000 d2 44 [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10}, {a,b,c,d,e,f,g,h,t,q}); {h = 1.901310208, q = 7119727992, g = 1.801019050, f = 1.700764288, t = 2.001637760, e = 1.600545920, d = 1.500363947, c = 1.400218368, b = 1.300109184, a = 1.200036395}, {h = 18.49494556, q = 49.02762655, g = 15.02940210, f = 11.84705158, t = 22.54368195, e = 8.847893982, d = 6.331929322, c = 4.299157593, b = 2.749578796, a = 1.683192932} Với a = u2 , b = u3 , c = u4 , d = u5 , e = u6 , f = u7 , g = u8 , h = u9 , t = u10 , q = u11 Vậy ta thu hai nghiệm dạng bảng số sau u(x) = + x ∆ui = |ui − u(xi )| i xi ui 0 1 0.1 1.1 1.1 0.2 1.200036395 1.2 0.000036395 0.3 1.300109184 1.3 0.000109184 0.4 1.400218368 1.4 0.000218368 0.5 1.500363947 1.5 0.000363947 0.6 1.600545920 1.6 0.000545920 0.7 1.700764288 1.7 0.000764288 0.8 1.801019050 1.8 0.001019050 0.9 1.901310208 1.9 0.001310208 0.001637760 10 2.001637760 Bảng 3.2: 45 ∆ui = |ui − u(xi )| xi ui 0 1 0.1 1.1 1.296 0.196 0.2 1.683192932 1.984 0.300807068 0.3 2.749578796 3.064 0.314421204 0.4 4.299157593 4.536 0.236842407 0.5 6.331929322 6.4 0.068070679 0.6 8.847893982 8.656 0.191893982 0.7 11.84705158 11.304 0.54305158 0.8 15.02940210 14.344 0.68540210 0.9 18.49494556 17.776 0.71894556 21.6 0.94368195 10 22.54368195 u(x) = + x + 98 x i Bảng 3.3: Ví dụ 3.2.2 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredlolm sau 149 x + u (x) = + 2x − 240 x2 tu2 (t)dt, u(0) = (3.7) Bài giải Ta chia đoạn [0, 1] thành 10 phần ta t0 = 0; t1 = 0, 1; ; t10 = tương ứng x0 = 0; x1 = 0, 1; ; x10 = Cho x = xi phương trình có dạng 149 u (xi ) = + 2xi − xi + 240 xi tu2 (t)dt Đặt g(t) = tu2 (t) Khi phương trình tương đương với 149 2 u (xi ) = + 2xi − xi + xi 240 g(t)dt (3.8) 46 Áp dụng công thức hình thang ta tính g(t)dt = [g0 + g10 + 2(g1 + + g9 )] , 20 với gj ≈ g(tj ) = tj u2 (tj ) ≈ tj u2j Khi g(t)dt = t0 u20 + t10 u210 + 2(t1 u21 + + t9 u29 ) 20 Mặt khác ta có ui+1 − ui h Từ đưa phương trình (3.8) phương trình sau u (xi ) = ui+1 − ui 149 2 = 1+2xi − xi + xi t0 u20 + t10 u210 + 2(t1 u21 + + t9 u29 ) h 240 80 (3.9) Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u1 − u0 149 = + 2.0 − + 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u2 − u1 149 = 1+2.0.1− 0.1 + 0.12 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u3 − u2 149 = 1+2.0.2− 0.2 + 0.22 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u4 − u3 149 = 1+2.0.3− 0.3 + 0.32 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u5 − u4 149 = 1+2.0.4− 0.4 + 0.42 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 47 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u6 − u5 149 = 1+2.0.5− 0.5 + 0.52 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u7 − u6 149 = 1+2.0.6− 0.6 + 0.62 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u8 − u7 149 = 1+2.0.7− 0.7 + 0.72 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u9 − u8 149 = 1+2.0.8− 0.8 + 0.82 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Với i = thay vào phương trình (3.9) ta có u10 − u9 149 = 1+2.0.9− 0.9 + 0.92 0u20 + 1u210 + 2(0.1u21 + + 0.9u29 ) 0.1 240 80 Khi ta thu hệ phương trình   10u1 − 10u0 =       10u2 − 10u1 − 0.01u11 = 1.193791667       10u3 − 10u2 − 0.04u11 = 1.375166667       10u4 − 10u3 − 0.09u11 = 1.544125      10u5 − 10u4 − 0.16u11 = 1.700666667    10u6 − 10u5 − 0.25u11 = 1.844791667     10u7 − 10u6 − 0.36u11 = 1.9765       10u8 − 10u7 − 0.49u11 = 2.095791667       10u9 − 10u8 − 0.64u11 = 2.202666667       10u10 − 10u9 − 0.81u11 = 2.297125      u = u2 + 2(0.1u2 + + 0.9u2 ) 11 80 10 48 Từ điều kiện ban đầu ta xác định u0 = u(0) = Dùng phần mềm Maple ta giải hệ phương trình với bước sau [> eqn1:=10*a-10*1.1-0.01*q=1.193791667; eqn1 := 10 a - 11.0 - 01 q = 1.193791667 [> eqn2:=10*b-10*a-0.04*q=1.375166667; eqn2 := 10 b - 10 a - 04 q = 1.375166667 [> eqn3:=10*c-10*b-0.09*q=1.544125; eqn3 := 10 c - 10 b - 09 q = 1.544125 [> eqn4:=10*d-10*c-0.16*q=1.700666667; eqn4 := 10 d - 10 c - 16 q = 1.700666667 [> eqn5:=10*e-10*d-0.25*q=1.844791667; eqn5 := 10 e - 10 d - 25 q = 1.844791667 [> eqn6:=10*f-10*e-0.36*q=1.9765; eqn6 := 10 f - 10 e - 36 q = 1.9765 [> eqn7:=10*g-10*f-0.49*q=2.095791667; eqn7 := 10 g - 10 f - 49 q = 2.095791667 [> eqn8:=10*h-10*g-0.64*q=2.202666667; eqn8 := 10 h - 10 g - 64 q = 2.202666667 [> eqn9:=10*t-10*h-0.81*q=2.297125; eqn9 := 10 t - 10 h - 81 q = 2.297125 [>eqn10:=q=(1/80)*(t^2+2*(0.1*1.1^2+0.2*a^2+0.3*b^2 +0.4*c^2+0.5*d^2+0.6*e^2+0.7*f^2+0.8*g^2+0.9*h^2)); eqn10 := q = 1/80 t + 002500000000 + 005000000000 a2 + 007500000000 b2 + 01500000000 e2 + 01000000000 c2 + 01750000000 f2 + 01250000000 d2 + 02000000000 g2 49 + 02250000000 h2 [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10}, {a,b,c,d,e,f,g,h,t,q}); {d = 1.698919975, f = 2.116723923, c = 1.519495988, t = 2.889739759, b = 1.359819996, a = 1.219963999, g = 2.354959882, q = 5848324871, e = 1.898019954, h = 2.612655828}, {d = 12.65789603, f = 32.55895130, g = 47.79684815, h = 67.13369302, q = 365.8840344, e = 21.08947606, b = 3.186316005, a = 1.585263201, c = 6.633684815, t = 91.0000123} Với a = u2 , b = u3 , c = u4 , d = u5 , e = u6 , f = u7 , g = u8 , h = u9 , t = u10 , q = u11 Vậy ta thu hai nghiệm dạng bảng số sau 50 i xi ui u(x) = + x + x2 ∆ui = |ui − u(xi )| 0 1 0.1 1.1 1.11 0.01 0.2 1.219963999 1.24 0.020036001 0.3 1.359819996 1.39 0.030180004 0.4 1.519495988 1.56 0.040504012 0.5 1.698919975 1.75 0.051080025 0.6 1.898019954 1.96 0.061980046 0.7 2.116723923 2.19 0.073276077 0.8 2.354959882 2.44 0.085040118 0.9 2.612655828 2.71 0.097344172 0.110260241 10 2.889739759 Bảng 3.4: u(x) = + x + x2 + 9224 x 105 ∆ui = |ui − u(xi )| i xi ui 0 1 0.1 1.1 1.197848 0.097848 0.2 1.585263201 1.942781 0.357517799 0.3 3.186316005 3.761886 0.581569995 0.4 6.633684815 7.182248 0.548563185 0.5 12.65789603 12.730952 0.073055970 0.6 21.08947606 20.935086 0.154390060 0.7 32.55895130 32.321733 0.237218300 0.8 47.79684815 47.417981 0.378867150 0.9 67.13369302 66.750914 0.382779020 90.847619 0.152393300 10 91.0000123 Bảng 3.5: 51 Kết luận Luận văn trình bày số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II Luận văn gồm ba chương: • Chương I trình bày kiến thức chuẩn bị • Chương II trình bày số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II Đó Phương pháp tính toán trực tiếp, Phương pháp lặp biến phân; Phương pháp chuỗi Trong phương pháp có ví dụ minh họa • Chương III trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II số ví dụ Trên luận văn với đề tài: “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II” Em mong thầy cô nhận xét, hướng dẫn để luận văn em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học & kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học & kỹ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng anh [7] S Ahmad, A Ambrosetti (2014), A Texbook on Ordinary Differential Equations, Springer [8] A.F Verlan, V.C.Sizikov (1986), Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev [9] A.M Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer 52 ... nghiên cứu • Phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II; • Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng... Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II để thực luận văn 4 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi- tích. .. i=0 (vi) f (n) ∆n f (x) (x) ≈ hn 14 Chương Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi- tích phân phi tuyến Fredholm loại II Trong chương trình bày số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương