Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu

Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu tập trung tìm hiểu về đường cong En, mặt trong E3, khảo sát độ cong trung bình và độ cong Gauss của mặt - độ cong trắc địa - cung trắc địa; mặt cực tiểu.

Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình đường trắc đòa lớp mặt thông dụng - mặt cực tiểu Hoàng Công Phúc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG Các khái niệm đường – mặt E3 Đường En 1.1 Cung En 1.2 Cung song quy E3 – Độ congĐộ xoắn Mặt E 2.1 Mảnh tham số – Các đònh nghóa 2.2 Ánh xạ Weingarten 2.3 Các dạng I II mặt S – Độ cong pháp dạng Công thức Meusnier công thức Euler 2.4 Những đường đáng ý mặt S E3 2.5 Tóm tắt sơ lược mặt- công thức tính toán Trang 3 12 12 14 16 18 25 CHƯƠNG Khảo sát độ cong trung bình độ cong Gauss Của mặt - Độ cong trắc đòa – Cung trắc đòa I Mặt bậc hai II Mặt sinh đường tiếp tuyến đường cong R3 III Mặt kẻ IV Mặt tròn xoay 52 61 CHƯƠNG Mặt cực tiểu Mặt Scherk 2.Mặt Enneper 68 72 75 - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình Độ cong trắc đòa mặt KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 33 51 80 86 LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần Hình học vi phân phát triển mạnh, đối tượng nghiên cứu hình học đa tạp khả vi mà sở ban đầu lý thuyết đường, mặt E3 Việc nắm vững kiến thức bước tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc đòa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài đặc biệt quan tâm đến vấn đề Luận văn gồm chương - Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số phép tính liên quan chứng minh sách hình vi phân Đây công cụ thiếu cho việc nghiên cứu phần sau - Chương 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc đòa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, Catenoid, xuyến - Chương 3: Trong lớp mặt đa tạp ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = mà ta gọi mặt tối tiểu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến só giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn Thầy Cô khoa nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học bạn bè lớp tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương dành cho việc nhắc lại kiến thức lý thuyết đường mặt với kết có nhằm làm sở cho việc tính toán khảo sát chương lại §1.ĐƯỜNG TRONG En ( n = 2,3 ) 1.1 Cung En 1.1.1 Đònh nghóa cung tham số: Mỗi ánh xạ γ : J → En từ khoảng J ⊂ R vào En gọi cung tham số (hay quỷ đạo) trongEn Hai cung tham soá γ : J →En t γ (t ) vaø r: I → En t r (t ) (I , J khoảng R; γ r khả vi ) gọi tương đương có vi phôi λ: J →En t λ (t ) cho ro λ = γ Deã thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ gọi cung En ; cung tham số lớp tương đương gọi tham số hóa cung ; vi phôi λ gọi phép biến đổi tham số cung 1.1.2 Điểm quy điểm kỳ dò Cho cung Γ xác đònh γ : J →En t γ (t ) Điểm to Γ mà γ’ (t0) ≠ gọi điểm quy Γ γ’ (t0) = gọi điểm kỳ dò Γ Cung mà điểm quy gọi cung quy 1.1.3 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy a/- Độ dài cung : Cho cung tham soá γ : [ a ,b ] → En xác đònh đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử γ liên tục Với phép chia a = t0 < t1 - Cung Γ En gọi song quy điểm Γ điểm song quy - Một cung song quy cung quy - Cung quy cung song quy ⇔ độ cong khác điểm Thật tsh tự nhiên s → r(s) Γ , T (s) = r’(s), nên { r’ , DT T=0 ds Dr' Dr ' DT = ≠0 } độc lập tuyến tính ds ds ds -Xét trường vectơ Dt dọc cung song quy Γ E'' ds Đặt N = DT/ds DT / ds trường vectơ pháp tuyến đơn vò dọc Γ Từ (1) ta viết DT = k.N (2) ds 1.2.3 Trường mục tiêu Fénet dọc cung song quy đònh hướng E3 độ xoắn Γ cung song quy đònh hướng En a/- Đònh nghóa : có trường vectơ tiếp xúc đơn vò T trường vectơ pháp tuyến đơn vò N dọc Γ Nếu n = E3 có hướng xác đònh trường Vectơ đơn vò B = T ∧ N dọc Γ gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vò dọc Γ Vậy cho cung song quy đònh hướng Γ E3, có trường mục tiêu trực chuẩn { T , N , B } dọc Γ gọi trường mục tiêu Frénet dọc Γ Khi : B.B = nên Do BT = neân DB B=0 ds DB DT T + B =0 ds ds Maø DT DB = K.N B.N = nên T=0 ds ds Vậy DB trực giao với T B ds ⇒ DB phương với N điểm ds Từ có hàm số T dọc Γ gọi (hàm) độ xoắn Γ để DB = - T N ds - Công thức Frénet DT =K.N ds (a) DN = - K T + T B ds (b) DB = -TN ds (c) Chứng minh công thức (b) Vì N.N = ⇒ DN N=0 ds DN khai trieån theo T B ds ⇒ T.N = ⇒ T N.B = ⇒ DN DT =.N=-K ds ds DN DB B = -N = T ds ds DN = - KT + T B ds Vậy b Lưu ý Lấy tham số hóa tự nhiên s → r (s) Γ Giả sử lân cận mở U ảnh Γ E3 có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } maø U1or = T U2or = N, U3or = B từ phương trình DUi = ∑ wij Uj ( wij = - wji ) wij(r) ( Uj or) i = 1,3 j −1 ⇒ D (U i o r ) ds = ∑ j =1 So sánh với công thức Frénet, ta K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 1.2.4 Công thức tính độ cong độ xoắn Cho cung song quy đònh hướng Γ E3 xác đònh tham số hóa γ :J → E3 Lấy tham số hóa tự nhiên t γ (t ) r :I → E3 s r ( s) Cuûa Γ có phép đổi tham số λ : J → I để γ = roλ (λ’ > ) Gọi { T , N , B } trường mục tiêu Frénet dọc Γ Từ công thức Frénet cho : T = r’ ; D r' DT DN DB = = KN ; = - KT + T B, =-TN ds ds ds ds γ ' = λ’ ) Ta coù : γ ’ = λ’ ( r’0 λ ) = λ’ (T0 λ ) ( nên rõ raøng γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( DT oλ ) ds = λ’’( Toλ ) + λ’2 ( Koλ) ( Noλ ) Từ : γ’ ∧ γ’’ = λ’3 ( Ko λ ) (Toλ) ∧ ( Noλ ) = γ ' neân ( Ko λ ) = ( Ko λ ) ( B o λ ) γ '∧γ ' ' γ' Tức K (λ (t) ) mà ta viết tắt : K (t) = γ ' (t ) ∧ γ ' ' (t ) γ ' (t ) Tính độ xoắn T Do γ’ ∧ γ’’ phương với B0 λ nên để tính (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ , cần xét thành phần chứa B0 λ khai triển γ’’’ theo { T0 λ ; Noλ ; Boλ } Từ γ’’ = λ’’ (T0 λ ) + λ’2 ( Ko λ ) (Noλ) ⇒ thành phần chứa Boλ λ’’’ λ’3 ( Ko λ ) (T oλ ) (Boλ ) (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ = γ ' Do T oλ = ( Ko λ )2 (T oλ ) ( γ '∧γ ' ' ) γ ' ' ' γ '∧γ ' ' -78- ⎛ ⎞ ⎜ x , y , ( x + y − 1) ⎟ ⎠ n= ⎝ ( x + y + 1) * x → f (x , y ) f11 = ( -x , -y , ) f1 ∧ f11 = ( , - 1 ( + x2 +y2 ) , - y ( + x2 +y2 )) 2 y ( x + y + 1) Kg(x) = ⎡1 ⎤ ⎢ (1 − x + y ) + x y + x ⎥ ⎣4 ⎦ Kg(x) = ⇔ y = x x3 x2 ) Phương trình đường trắc đòa f(x) = ( − , , * y →f(x,y) f22 = ( x , y , -1) f2 ∧ f22 = (1 + x2 + y2 ) ( , , x ) ⎡ ⎤ (1 + x + y ) ⎢ x + x ( x + y − 1) ⎥ x ( x + y + 1) 2 ⎣ ⎦ Kg(y) = = 3 2 f2 f ( x y + 1) Kg(y) = ⇔ x = Phương trình đường trắc đòa ( , - y y3 − y ) , + Các hình vẽ sau cho thấy cách phát sinh mặt Enneper từ mặt yên ngựa: -79- Mặt Enneper -80- KẾT LUẬN Bằng cách dựa vào kiến thức lý thuyết đường, mặt chương 1, chương luận văn dành cho việc khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt thông dụng gồm: mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đừơng cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay Như biết mặt cụ thể có tham số hóa r (u,v); lưới đường tọa độ u - tham số , v - tham số đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu mặt Vì việc khảo sát đường đường trắc đòa cần thiết Luận văn độ cong Gauss, độ cong trung bình đường tọa độ mặt cụ thể đường trắc đòa Lý thuyết đường trắc đòa giải tổng quát, nhiên việc tìm đường tọa độ đường trắc đòa mặt cụ thể chưa đề cập tài liệu hình học vi phân Vì việc tìm độ cong Gauss K, độ cong trung bình , luận văn tập trung tìm đường tọa độ đường trắc đòa mặt cụ thể : mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đường cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay việc nghiên cứu giúp ta giải số toán cụ thể vật lý thực tế Như biết mặt có độ cong H = khảo sát Meusnier, ta có: mặt có diện tích cực tiểu tất mặt có biên có H = Vì mặt có H = gọi mặt cực tiểu Lớp mặt có độ cong H = quan tâm nhà toán học Đây đề tài mang tính chất thời Luận văn số mặt có độ cong H = chứng minh -81- mặt kẻ cực tiểu liên thông phần mặt phẳng helicoid Như biết mặt tròn xoay cực tiểu liên thông mặt phẳng Catenoid; phép đẳng cự biến helicoid thành Catenoid ta khảo sát thêm mặt có độ cong H=0 Sherk Enneper -82- TÀI LIỆU THAM KHẢO Alekseevskij – Vinberg – Solodovnilov, Geometry of space of constant curvature, Springer – Verlag 1993 Borisovich – Bliznyakov – Izrailevich, Introduction to topology, Mir Publishers Moscow 1985 Detlef Laugwitz, Differential and Riemannian geometry, Academic Press Inc 1965 Eisenhart, An introduction to differential geometry, Princéton, 1947 Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 Martin Lipschultz, Differential geometry, M Graw-Hill, 1969 Postnikov , Smooth manifold, Mir Publishers Moscow 1987 Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 2000 Struik, D.J, Lectures on classical differential geometry, Second edition, A ddison – wesley, Reading, Mass, 1961 10 Su Buchin, Lectures on differential geometry world Scientific Singapore 1980 -68- BẢNG TÓM TẮT ĐỘ CONG GAUSS – ĐỘ CONG TRUNG BÌNHĐƯỜNG TỌA ĐỘ LÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA CỦA MẶT MẶT Phương trình tắc tham số Độ cong Gauss – độ cong TB Đường tọa độ đường trắc đòa Đường tròn tâm o ƒ Mặt cầu x2 + y2 +z2 = R2 MẶT BẬC HAI K= R f(u,v) = (R cosucosv , R sinucosv, R sinu) ƒ Elipsoid x a + y b + K= z c2 =1 f(u ,v) = ( a cosu cosv , b sinu cosv , c sinu) H= ; bán kính R R x2 ⎡ y2 z2 ⎤ 2 x a b c ⎢ + + ⎥ ⎢⎣ a b c ⎥⎦ z ( H= c a + b2 )+ y ( + a2 x2 )+ x ( b4 a2 c2 a4 b2 x y z 32 2( + + ) a4 b4 c4 + c2 a2 + + y2 b2 z2 c2 =1 =1 ) y2 b + z2 c =1 -69- ƒ Hyperboloid eliptic x a2 + y z - b2 c2 K= =1 −1 ⎡ x2 y2 z2 ⎤ a 2b 2c ⎢ + + ⎥ 4 a b c ⎥⎦ ⎣⎢ x2 y2 x2 a2 z2 1 ( − )+ ( − )+ ( + ) 2 2 a b c b a c c a b2 f(u,v) = H= x y z 32 b c 2( + + ) ⎡a 4 + + + ( v ) cos u , ( v ) sin u , ( v ) a b c4 ⎢ ⎣2 v v v Hyperboid ( hai taàng) ƒ x a2 + y b2 - z c2 = -1 K= b2 x2 a2 x2 a ƒ f(u,v) x2 ( H= a b b c ⎤ ⎡a ⎢⎣ (v − v) cos u, (v − v ) sin u, (v − v )⎥⎦ − c2 )+ y2 ( − - b2 z2 c2 z2 c2 = 1, =1 =1 y2 z2 = -1 , 2 b c ⎡ x2 y2 z2 ⎤ a 2b 2c ⎢ + + ⎥ ⎢⎣ a b c ⎥⎦ y2 + y2 )+ z2 ( b4 a2 c2 c4 a2 x y z 32 2( + + ) a4 b4 c4 + b2 ) - z2 c = -1 -70- Paraloid eliptic ƒ Z= x a2 + K= y b2 ƒ f(x,y) = ( x , y , x2 a2 + y2 b2 ƒ Z= x a - y b2 a2 − y2 b2 4z + + 2 a b a 2b H= 4x y ( + + 1) a4 b4 K= x2 Z= Z= ƒ f(x,y) = ( x , y , ⎡ 4x y ⎤ a 2b ⎢ + + 1⎥ 4 a b ⎥⎦ ⎣⎢ ) Paraboloid hyperbolic ) −4 ⎡ 4y2 ⎤ 2 4x a b ⎢ + + 1⎥ b4 ⎥⎦ ⎢⎣ a − − 4z b a 2b H= a 4x y ( + + 1) a4 b4 Z= Z= x2 a2 y2 b2 x2 a2 − y2 b2 -71- MẶT Tổng quát : KEÛ f (s, t) = C (s) + t δ (s) ƒ Mặt kẻ K=K= s s f(δ,t) = (coss+tcos coss, sins + tcoss sins, 2 s t sin ) ⎡ ⎡δ ' ( s ) ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥⎥ ⎢det ⎢ c ' ( s ) ⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ δ ( s ) ⎥⎦ ⎥⎦ f(s) = ( EG − F ) 2 ( −1 s ⎤ ⎡1 4⎢ t + (1 + tsos )⎥ ⎦ ⎣4 + cos s , cos s + sin s , cos s + − sin s ) cos s + f(t)= ( cosS0 + tcos S0 sosS0 , SinSo +tcos tsin S0 SinSo , S0 ) -72- Helicoid f(s,t) = ( tcoss, tsins, bs ) b ≠0 K= − b2 ( t + b2 )2 , f(s) = ( , 0, bs) H=0 f(t) = ( t cosS0 , t sinSo, bSo ) MẶT Tổng quát TRÒN f(s,t) = ( C1(s)cost,C1(s)sint,C2(s) ) XOAY ƒ Torus f(s,t) = ( a+bcoss)cost, (a+bcoss ) sint, bsins) K= K= [ C 2' ( s ) C1' ( s ).C 2'' ( s ) − C1'' ( s ).C 2' ( s ) [ C1 ( s ) C1'2 ( s ) + C 2'2 ( s ) cos s b(a + b cos s ) ] ] f(s)=((a+bcoss)cost0, (a+bcoss ) sinto, bsins) f(t) = ((a+b) cost , (a+b)sint, ) f(t) =((a-b) cost , (a-b )sint, ) -73- ƒ Catenoid s s f(s,t) = (ach cost , ach sint, S ) a a K= s f(s) = (ach cost0 , a −1 2⎡ s ⎤ +1 a ⎢ Sh a ⎥⎦ ⎣ H=0 2 ach s sint0, S ) a f(t) = (a cost, a sint,0) MẶT ƒ Mặt Scherk CỰC ez cosx – cosy = TIEÅU ( cosx cosy > ) H=0 ez = cosy (cosy > ) ez = - cosy (cosy