Độ cong trung bình của mặt trong e3

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ------------- *****-------------- HỒ TRỌNG TÚ ĐỘ CONG TRUNG BÌNH CỦA MẶT TRONG E 3 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN Vinh,05 – 2009 ******* 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ------------- *****-------------- ĐỘ CONG TRUNG BÌNH CỦA MẶT TRONG E 3 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN Giáo viên hướng dẫn : PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Sinh viên thực hiện : Hồ Trọng Tú Lớp : 46B1- TOÁN Vinh,05 – 2009 ******* 3 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 §1 Ánh xạ weigarten . 2 §2 Độ cong trung bình mặt trong E 3 . 8 §3 Mặt cực tiểu trong E 3 20 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo . 28 4 Lời nói đầu Lý thuyết về độ cong trung bình của mặt trong E 3 đã được trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân, chẳng hạn như : [ ] 1 , [ ] 2 , [ ] 5 , [ ] 6 . Độ cong trung bình có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý vào việc tìm kiếm các mặt cực tiểu trong E 3 . Trong luận văn này chúng tôi đã tập hợp và chứng minh chi tiết các tính chất về độ cong trung bình của mặt trong E3 và các tính chất của mặt cực tiểu . Luận văn này được trình bày với bố cục sau : §1: Ánh xạ Weigarten Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa mặt trong E 3 , ánh xạ weigarten và một số định nghĩa liên quan nhằm làm cơ sở cho mục 2 và mục 3. § 2: Độ cong trung bình của mặt trong E 3 Ở mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của độ cong trung bình của mặt và một số quan hệ của độ cong trung bình với các độ cong khác của mặt trong E 3 . §3 : Mặt cực tiểu trong E 3 Trong mục này chúng tôi xét một số mặt cực tiểu cụ thể và chỉ ra một số tính chất đối với mặt cực tiểu . Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS – TS Nguyễn Hữu Quang . Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy ,đồng thời cảm ơn các Thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh , ngày tháng 4 năm 2009 Tác giả 5 §1 Ánh xạ Weigarten I . Mặt trong E 3 Như chúng ta đã biết ( xem [ ] 1 , [ ] 2 ): với • U là một tập mở trong 2 R , ánh xạ khả vi r : U →E 3 được gọi là mảnh tham số trong E 3 và ánh xạ : v → r ( ) , o u v được gọi là đường toạ độ u =u o ( hay đường toạ độ v), ánh xạ : ( ) , o u r u v→ được gọi là đường toạ độ v =v o ( hay đường toạ độ u) Ví dụ : Ánh xạ r : R 2 →E 3 (u,v) a ( u +v ,uv,u) . Dễ thấy r : là mảnh tham số và Với ( u ,v )=( 1,2 ) ∈ R 2 thì các đường toạ độ qua (1,2 là ) Đường toạ độ u = 1 ( hay đường toạ độ v) : v → r ( ) 1, (1 , ,1)v v v= + Đưòng toạ độ v=2 ( hay đường toạ độ u ) : u → r ( ) ( ) ,2 2,2 ,u u u u= + • Trường mục tiêu ( ) ( ) { } , , , , , u v r u v r u v được gọi là trường véc tơ tiếp xúc dọc mảnh tham số 3 :r U E→ Điểm ( ) , o o P u v được gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r ⇔ ( ) ( ) { } , , , , , u o o v o o r u v r u v độc lập tuyến tính Nếu ( ) , o o P u v không là điểm chính quy thì ta nói nó là điểm kỳ dị Nếu ∀ ( ) ,P u v U⊂ đều là điểm chính quy thì r là mảnh tham số chính quy 6 Ví dụ : 2 3 :r R E→ ( ) ( ) , , ,u v u v uv u v+ −a ( ) ( ) , , 1, ,1 u r u v v= ( ) ( ) , , 1, , 1 v r u v u= − Ta có ( ) , , 1 2 0,0,0 u v r r λ λ + = ⇔ 1 2 1 2 1 2 0 0 0 v u λ λ λ λ λ λ + =   + =   − =  ⇔ 1 2 0 λ λ = = ,u v∀ vậy { } , , , u v r r độc lập tuyến tính ⇒ r là mảnh tham số chính quy • Giả sử 3 0,S S E≠ ⊂ , S được gọi là mảnh hình học khi và chỉ khi S là ảnh của mảnh tham số r 2 3 :r U R E⊂ → trong đó r là dìm r đồng phôi lên ảnh Ví dụ : Trong E 3 với hệ toạ afin { } , ,x y z lấy ( ) ( ) ( ) 3 : , , , , r U E u v u v u v ϕ → a trong đó ( ) ( ) : , , U R U V U V ϕ ϕ → a khi đó ( ) S r U= là mảnh hình học Thật vậy r khả vi vì các hàm toạ độ khả vi ( ) ( ) ( ) , , , 1,0, , u u r u v u v ϕ = ( ) ( ) ( ) , , , 0,1, , v v r u v u v ϕ = Mặt khác ( ) ( ) , , 1 0 , 0 1 , u v u v u v ϕ ϕ có hạng = 2 7 Vì có A = 1 0 1 0 0 1 = ≠ Do đó ( ) ( ) { } , , , , , u v r u v r u v độc lập tuyến tính Hay r là dìm Hơn nữa ( ) :r U r U→ là đơn ánh vì nếu ( ) ( ) , , , ,u v u v≠ thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , . , , , , , , , ,u v u v u v u v ϕ ϕ ≠ Như vậy ( ) S r U= là mảnh hình học 1.1 Định nghĩa Giả sử 3 ,S E S⊂ đựơc gọi là mặt trong 3 E khi và chỉ khi với mỗi ,p S∈ ∃ lân cận P U của p thoả mãn điều kiện P U là mảnh hình học Bây giờ ta xét ,r r α β là 2 mảnh hình học .Ta kí hiệu 1 r r J β α − là Jacôbi của 1 r r β α − ,nếu 1 . 0, , r r J S β α α β − 〉 ∀ ∈ thì ta nói S là mặt định hướng Ta nhận thấy rằng mặt S định hướng khi và chỉ khi S có trường véc tơ pháp tuyến n của S khac 0 tại mọi điểm . Trong luận văn này, ta luôn giả thiết mặt S trong E 3 liên thông định hướng . c, Các phương trình cơ bản của mặt trong 3 E * Giả sử trong R 3 với toạ độ ( ) , ,x y z cho U mở ⊂ E 3 và hàm ( ) ( ) : , , , , F U R x y z F x y z → a Kí hiệu ( ) ( ) { } , , / , , 0S x y z U F x y z= ∈ = Khi đó S là mặt xác định bởi phương trình ( ) , , 0F x y z = ,nếu rank ; ; 1 F F F x x x ∂ ∂ ∂   =  ÷ ∂ ∂ ∂   8 * Giả sử S là một mặt định hưóng trong 3 E bởi trường véc tơ pháp tuyến đơn vị n ; { } 1 2 ,U U là trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trên tập mở V trong S ; { } 1 2 , θ θ là trường đổi mục tiêu của { } 1 2 ,U U Ta gọi { } 1 2 3 , ,U U U là trường mục tiêu trực chuẩn dọc V tương thích với S (nghĩa là 3 /U n V= ) ;và { } 1 2 3 , , θ θ θ là trường mục tiêu của { } 1 2 3 , ,U U U . Các dạng vi phân bậc một ( ) , 1,2,3 l k k l ω = xác định dưới đây được gọi là các dạng liên kết của S trong { } 1 2 3 , ,U U U ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 2 1 D U U p n p α ω α ω α = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 2 D U U p n p α ω α ω α = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 1 3 2 D U U p U p α ω α ω α = + với mọi , P T S p V α ∈ ∈ từ đó ta có l k k l ω ω = − Các phương trình cơ bản của mặt ( ứng với { } 1 2 3 , ,U U U trên V S ⊂ 1 1 2 2 2 1 2 1 ,d d θ ω θ θ ω θ = − ∧ = − ∧ 3 1 3 2 1 2 0 ω θ ω θ ∧ + ∧ = 1 1 3 2 3 2 d ω ω ω = − ∧ 1 1 2 3 2 3 d ω ω ω = − ∧ 2 1 1 3 2 3 d ω ω ω = − ∧ II. Ánh xạ Weigarten trong E 3 Cho S là mặt định hướng trong E 3 , hướng của S xác định bởi trường véc tơ pháp tuyến đơn vị n Ta có . 1 P n n n T S =   ⊥  α ∀ ∈ P T S thì D n α .n =0 9 ⇒ D n α ∈ P T S 1.3 Định nghĩa Ánh xạ p h : P T S → P T S α → - D n α được gọi là ánh xạ weigarten của S tại P ( ) 0 . / , P D X D X t dt α ρ   =  ÷   trong đó ρ là cung tham số thoả mãn điều kiện ( ) , 0 p t ρ α = 1.4 Mệnh đề • p h là ánh xạ tuyến tính , α β ∀ ∈ P T S ta có . ( ) p h α β + = ( ) p h α + ( ) p h β . ( ) . p h a a α = p h α Chứng minh : Được suy ra từ tính chất của đạo hàm trường véc tơ theo véc tơ tiếp xúc [ ] [ ] [ ] P P P D X Y D X D Y α α α + = + [ ] [ ] P P D kX kD X α α = • p h có tính đối xứng , tức là ( ) p h α . β = α . ( ) p h β , α β ∀ ∈ P T S Chứng minh : Ở đây ta chỉ chứng minh tính đối xứng của p h Do p h là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh với α = ( ) , , u r u v , β = ( ) , , v r u v Ta có ( ) ( ) , , . p u h r u v ( ) , , v r u v = - ( ) , , u r u v D n . ( ) , , v r u v =- ( ) ( ) , . , .n r u v ( ) , , v r u v ( ) 1 Từ , . 0 v n r = 10 ⇒ ( ) ( ) , . , u n r u v . ( ) , , v r u v + ( ) ( ) . ,n r u v . ( ) ,, , 0 vu r u v = ⇒ - ( ) ( ) , . , u n r u v . ( ) , , v r u v = ( ) ( ) . ,n r u v . ( ) ,, , vu r u v ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 ⇒ ( ) ( ) ( ) , , , . , p u v h r u v r u v = ( ) ( ) . ,n r u v . ( ) ,, , vu r u v ( ) 3 Tưong tự ta có ( ) ( ) ( ) , , , . , p v u h r u v r u v = ( ) ( ) . ,n r u v . ( ) ,, , uv r u v ( ) 4 từ ( ) 3 và ( ) 4 ⇒ ( ) ( ) ( ) , , , . , p u v h r u v r u v = ( ) ( ) ( ) , , , . , p v u h r u v r u v Vậy p h có tính đối xứng 1.5 Hệ quả 1. Hệ quả 1 Nếu { } 1 2 ,e e ur uur là cơ sở trực chuẩn của P T S thì ma trận của ánh xạ p h là ma trận đối xứng Thật vậy Giả sử ( ) 1p h e ur = , 1 e ur = a . 1 e ur + b . 2 e uur ( ) 2p h e uur = , 2 e uur = c . 1 e ur + d . 2 e uur P A = a b c d       Theo tính chất 2 ta có ( ) 1p h e ur . 2 e uur = 1 e ur . ( ) 2p h e uur ⇒ ( a . 1 e ur + b . 2 e uur ). 2 e uur = 1 e ur ( c . 1 e ur + d . 2 e uur ) Vì 1 e ur . 2 e uur = 0 , 1 e ur . 1 e ur = 1 , 2 e uur . 2 e uur = 1 ⇒ b = c ⇒ P A = a c c d       là ma trận đối xứng W