Các độ cong của mặt trong r3

Mục lục Trang Lời nói đầu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Đ1. Mặt trong R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Đ2. Độ cong chính của mặt trong R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Đ3. Độ cong chính của mặt tròn xoay trong R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Đ4. Biểu diễn độ cong trung bình, độ cong Gauss và độ cong chính của mặt S qua dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Lời nói đầu. 1 Lý thuyết về độ cong đa tạp đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân, chẳng hạn [1], [2], [3], [4] Lý thuyết về độ cong có nhiều ứng dụng trong các ngành vật lý, toán học. Có ba loại độ cong thờng gặp trên mặt, đó là: - Độ cong chính. - Độ cong Gauss. - Độ cong trung bình. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các khái niệm về độ cong, các tính chất cơ bản của các độ cong trên mặt S trong R 3 và chỉ ra các ví dụ của chúng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày độ cong chính trên mặt tròn xoay trong R 3 và biểu diễn mối liên hệ giữa độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trung bình qua các dạng vi phân. Luận văn này đợc trình bày trong 4 mục: + Đ 1. Mặt trong R 3 . Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của mảnh tham số, mảnh hình học trong R 3 . Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số tính chất Tôpô của mặt S trong R 3 ( Mệnh đề 1.8; 1.9; 1.10 ). + Đ 2. Độ cong chính của mặt trong R 3 . Trớc tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa ánh xạ Weigarten và tính chất của ánh xạ Weigarten ( Mệnh đề 2.2; 2.3; 2.4; Hệ quả 2.4 ). Sau đó dựa trên ánh xạ Weigarten chúng tôi trình bày một số tính chất về độ cong chính ( Mệnh đề 2.5; 2.6; 2.7; 2.8 ) và cách xác định các độ cong chính dựa vào độ cong Gauss và độ cong trung bình. Đồng thời, chúng tôi cũng đã đa ra các ví dụ về việc tính độ cong của mặt trụ và mặt cầu. Cuối cùng, chúng tôi trình bày định nghĩa các dạng cơ bản của mặt S trong R 3 , nêu ví dụ minh hoạ cách tính độ cong chính, độ cong Gauss, độ cong trung bình bằng cách sử dụng qua hệ số của các dạng cơ bản đó và nêu tính chất về mối liên hệ các dạng cơ bản ( Mệnh đề 2.10 ). + Đ3. độ cong chính của mặt tròn xoay trong R 3 2 Trong mục này, trớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa mặt tròn xoay và cách viết phơng trình mặt tròn xoay. Từ đó, xây dựng công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của nó và sẽ tính đợc độ cong chính của mặt tròn xoay trong R 3 . + Đ4. Biểu thị độ cong trung bình, độ cong Gauss, và độ cong trung bình của mặt S qua dạng vi phân . Đầu tiên, chúng tôi trình bày các khái niệm về các dạng liên kết, phơng trình cấu trúc. Sau đó trình bày một số tính chất về mối liên hệ giữa các dạng liên kết, phơng trình cấu trúc với độ cong chính, độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt S trong R 3 ( Mệnh đề 4.2; Định lý 4.3; 4.4 ). Luận văn đợc hoàn hành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Hữu Quang và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa toán - Đại học Vinh, cùng với bạn bè trong lớp. Nhân dịp này cho phép tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Các thầy giáo, cô giáo Khoa toán - Đại học Vinh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt hơn 4 năm qua. Cuốicùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè đã động viên tôi trong thời gian qua để tôi hoàn thành khoá luận của mình. Tác giả Đ1. Mặt trong R 3 3 Trong mục này chúng tôi trình bày các vấn đề về mặt trong R 3 ( R 3 với mục tiêu trực chuẩn { } 321 e;e;e;0 ). Nh ta đã biết : + Một ánh xạ khả vi r : UR 3 và r gọi là một tham số hoá của mảnh, trong đó U là tập mở trong R 2 , r ( U )đợc gọi là một mảnh tham số trong R 3 . + Với mỗi điểm A 0 (u 0 ,v 0 ) của U, xét đờng cong Vo đợc xác định bởi tham số u r(u,v 0 ) , ( trong đó u thuộc một khoảng JR nào đó ) , thì Vo gọi là đờng toạ độ u qua r (u 0 , v 0 ) . Tơng tự ta có: đờng cong u o đợc xác định bởi tham số v r(u 0 , v) gọi là đờng toạ độ v qua điểm r (u o ,v o ). + Điểm r(u 0 , v o ) gọi là điểm chính qui của mảnh tham số r nếu r dìm ( tức là {r u ( u 0 , v 0 ) , r v ( u 0 , v 0 ) } độc lập tuyến tính , trong đó r u ( u 0 , v 0 ) , r v (u 0 , v 0 ) thuộc trờng véctơ tiếp xúc dọc r , kí hiệu là Tr ( u 0 , v 0 )R 3 ). + Điểm (u 0 , v 0 ) không là điểm chính quy nếu {r u (u 0 , v 0 ), r v (u 0 , v 0 ),} phụ thuộc tuyến tính . + Mảnh tham số r gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy. Tại điểm chính quy (u 0 , v o ) của mảnh tham số r, 2 - phẳng trong R 3 đi qua r(u 0 , v 0 ) với véctơ chỉ phơng < ( ( ) ( ) 00 ' v00 ' u v,ur,v,ur > gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiết diện của r tại (u o , v o ). Đờng thẳng qua r(u o , v o ) thẳng góc với tiết diện (u o ,v o ) gọi là pháp tuyến của r tại (u 0 ,v o ) . Trong R 3 ta viết r(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ), trong đó x(u,v), y(u,v) và z(u,v) là những hàm số trên U, thì phơng trình tiếp xúc của r tại (u o , v o ) là : X- x(u o , v o ) Y- y(u o ,v o ) Z- z(u o ,v o ) x u (u o ,v o ) y u (u o ,v o ) z u (u o ,v o ) = O x v (u o ,v o ) y v (u o ,v 0 ) z v (u o ,v o ) 4 và phơng trình pháp tuyến của r tại (u o ,v o ) là: X- x(u o ,v o ) Y- y(u o ,v o ) Z- z(u o ,v o ) = = y u (u o ,v o ) z u (u o ,v o ) z u (u o ,v o ) x u (u o ,v o ) x u (u o ,v o ) y u (u o ,v o ) y v (u o ,v o ) z v (u o ,v o ) z v (u o ,v o ) x v (u o ,v o ) x v (u o ,v 0 ) y v (u o ,v o ) 1.1. Định nghĩa : + Hai tham số hoá của một mảnh r và r * gọi là tơng đơng nếu có vi phôi : U U * để r = r * 0 , trong đó : (u,v) (u,v ) = ( u * , v * ). - r, r * tơng đơng đợc ký hiệu là: r ~ r * u * u * - J = u v v * v * u v r u/p ^ r v/p Kí hiệu : n P = r u/P ^ r v/p + Nếu là một vi phôi bảo toàn hớng thì r gọi là mảnh định hớng . + Một mảnh định hớng khi pháp tuyến khác 0 tại mọi điểm. Do đó: Một mảnh song chính quy luôn định hớng đợc. Ví dụ 1: Cho r : R 2 R 3 (u,v) r(u,v) = ( 2u+v, u- v, uv ) là một mảnh tham số . Thật vậy : Mỗi hàm toạ độ x = 2u+v , y = u v, z = uv từ R 2 R có các đạo hàm riêng theo u và v , tồn tại và liên tục nên x, y, z khả vi . Do đó r khả vi . Nên r là một mảnh tham số trong R 3 . Ví dụ 2 : Cho 2 vectơ ; thuộc R 3 , điểm 0 thuộc R 3 và mảnh tham số r : U R 3 , U R 2 (u,v) r(u,v ) = 0 + u + v Suy ra : r0 (u,v ) = r (u,v ) = u + v 5 Ta có : ' u r (u,v) = ' v r (u,v) = + Trờng hợp 1 : Nếu , độc lập tuyến tính : thì { ( ) ( ) v,ur,v,ur ' v ' u } độc lập tuyến tính nên ta có r là mảnh chính quy . - ảnh của mảnh tham số r gồm các điểm r(u,v) xác định bởi : r(u,v) = 0 + u + v là một mặt phẳng qua gốc toạ độ và nhận , làm vectơ chỉ phơng . - Đờng toạ độ v = v O ( gồm các điểm r(u,v 0 ) = 0 + v 0 + u ) là đờng thẳng qua A = 0 + v 0 và nhận làm vectơ chỉ phơng . - Đờng toạ độ qua u = u 0 ( gồm các điểm r(u, v ) = 0 + u 0 + v ) là đờng thẳng qua B = 0 + u 0 và nhận làm vectơ chỉ phơng . + Trờng hợp 2 : Nếu = = 0 thì , phụ thuộc tuyến tính nên { ( ) ( ) v,ur,v,ur ' v ' u }phụ thuộc tuyến tính . Do đó mọi điểm r( u, v) là điểm kì dị. - ảnh của mảnh tham số r gồm các điểm r( u, v) = 0 + u. 0 +v. 0 = 0 tức có ảnh là r ( R 2 ) = { 0 }. - Đờng toạ độ v = v 0 gồm các điểm r(u, v 0 ) = 0 + u. 0 +v o . 0 = 0 tức chỉ là điểm 0. Tơng tự : Đờng toạ độ u = u o chỉ gồm điểm 0. + Trờng hợp 3 : , phụ thuộc tuyến tính và có một vectơ hoặc khác 0 . Chẳng hạn ta lấy 0 (còn 0 ta xét tơng tự ). - Vectơ , phụ thuộc tuyến tính nên mọi điểm r(u, v) là điểm kì dị. - ảnh r( R 2 ) gồm mọi điểm r( u,v) = 0 + u +v = 0 + uk + v = 0 + ( uk + v ) tức ảnh là đờng thẳng qua 0 và nhận làm vectơ chỉ phơng . - Đờng toạ độ v = v o gồm các điểm r( u, v 0 ) = 0 + uk + v 0 hay r( u, v o ) = 0 + v 0 + uk tức đờng toạ độ v = v 0 là đờng thẳng qua điểm I = 0 + v 0 và nhận làm vectơ chỉ phơng nếu k 0 ( tức 0 ) . 6 - Đờng toạ độ u = u 0 là đờng thẳng qua điểm J = 0 + u o k và nhận làm vectơ chỉ phơng . 1.2. Định nghĩa : Tập con S của R 3 gọi là một mảnh hình học trong R 3 nếu nó là ảnh của một dìm và đồng phôi lên ảnh r : U R 3 từ tập mở U trong R 2 vào R 3 , thì r gọi là một tham số hoá của một mảnh hình học S. Ví dụ : ánh xạ sau là tham số hoá của mảnh hình học trong R 3 với toạ độ Đề các vuông góc Oxyz : r : U = {( u,v ) R 2 u > 0, v > 0 } R 3 ( u, v ) r( u, v ) = ( u 2 , uv , v 2 ). Thật vậy : ánh xạ r đã cho ở trên có thể biểu thị dới dạng : ( u , v ) x = u 2 y = uv ; u > 0 , v > 0 z = v 2 x : U R x u ( u,v) = 2u ( u,v) u 2 x v ( u,v ) = 0 Trong đó x u : U R , x v : U R ( u,v ) 2u ( u,v) 0 Do đó x khả vi . Tơng tự ta có : các hàm số y , z khả vi . Vậy r là ánh xạ khả vi. Ta lại có : r u = ( 2u, v , 0 ) r v = ( 0 , u , 2v) Suy ra { r u , r v } độc lập tuyến tính với mọi ( u,v ), nên r là một dìm . Với ( u,v ) ( u 1 , v 1 ) của U thì ta luôn có ( u 2 , uv , v 2 ) ( u 1 2 , u 1 v 1 , v 1 2 ) nên r là đơn ánh . 7 ánh xạ r : ( u,v ) ( u 2 , uv ,v 2 ) liên tục vì có các hàm toạ độ liên tục . ánh xạ r -1 : r( U) R 3 U xác định bởi u = x v = z ; x > 0, z > 0 , liên tục . Kết luận : r là một dìm , đồng phôi lên ảnh tức r là mảnh tham số hoá của mảnh hình học r( U) trong IR 3 . Ngoài ra, ta còn có mảnh hình học này là một bộ phận của mặt nón bậc hai xác định bởi điều kiện: y 2 = xz với x, y và z > 0. Chú ý : Nếu S là mảnh hình học với tham số hoá r : U R 3 thì mọi tập mở U * U , r ( U * ) là mảnh hình học với tham số hoá r U * . 1.3. Mệnh đề : Hai tham số hoá của mảnh hình học luôn tơng đơng . Chứng minh : Ta giả sử r : U R 3 ,r * : U * R 3 là hai tham số hoá của mảnh hình học S, trong đó r( U) = r * ( U * ) = S , thì = r *-1 . r : U U * là một vi phôi . *Bây giờ ta chứng minh và -1 khả vi : Ta xét cho còn ( -1 ta chứng minh tơng tự ) : Vì tính khả vi là một tính chất địa phơng ( tại từng điểm ) có thể coi r * là tham số hoá kiểu đồ thị . Lấy toạ độ afin ( x 1 , x 2 , x 3 ) của R 3 mà r * : U * R 3 ( x 1 , x 2 ) ( x 1 , x 2 , ( x 1 , x 2 ) ) của R 3 còn r : U R 3 ( u,v ) ( x 1 ( u,v) , x 2 ( u,v ), x 3 ( u, v ) ). và r: U U * ( u,v ) ( 1 ( u,v) , 2 ( u, v ) ). Từ r = r * o kéo theo 1 ( u, v) = x 1 ( u,v ) 2 ( u,v) = x 2 ( u,v ). Do đó khả vi . 8 1.4. Định nghĩa : Tập con khác rỗng S của R 3 gọi là một mặt trong R 3 nếu với mỗi điểm p thuộc S có lân cận của p là một mảnh hình học . Chú ý : Nếu r : U R 3 , r * : U * R 3 là hai tham số hoá địa phơng của mặt S ; r(U) và r * ( U * ) nằm trong S , r ( U) r * ( U * ) = S * khác rỗng thì thu hẹp của r *-1 or lên r -1 ( S) là một vi phôi từ r -1 ( S * ) lên r* -1 ( S * ). r *-1 o r U U * - Cho toạ độ afin ( x 1 , x 2 , x 3 ) trong R 3 thì tập con khác rỗng S của R 3 là một mặt trong IR 3 khi và chỉ khi mỗi điểm p thuộc S có lân cận mở là một mảnh hình học với tham số hoá kiểu đồ thị . Ví dụ : { S = p R 3 : Op = R} là mặt cầu trong R 2 có tâm là 0 và bán kính R > 0 . Thật vậy : Vì S đợc phủ bởi 6 mảnh hình học là đồ thị của các hàm số ( x,y ) R 2 x 2 y 2 ( x,z ) R 2 - x 2 z 2 ( y,z ) R 2 y 2 z 2 Từ đó ta có một mệnh đề sau : 1.5. Mệnh đề : S R 3 , S , là mặt trong R 3 khi và chỉ khi với mỗi đỉêm p thuộc S có tập mở W chứa p trong R 3 và có hàm số : W R khả vi , có hạng bằng 1 mà W S = -1 (( p ) ). Chứng minh : 9 S* S r r* + Điều kiện cần : Nếu S là mặt trong R 3 thì với mỗi p của S có lân cận mở W nằm trong R 3 là đồ thị của hàm số: ( x 1 , x 2 ) ( x 1 , x 2 ) = x 3 . Khi đó : ta lấy hàm số : W R ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 3 - ( x 1 , x 2 ) ta có là hàm số khả vi vì ( x 1 , x 2 ) và x 3 khả vi nên x 3 - ( x 1 , x 2 ) khả vi. Và có hạng bằng 1. + Điều kiện đủ : Giả sử với mỗi điểm p thuộc S có tập mở W và hàm : W S , ta coi (p ) = 0 và : ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) . Khi đó có hạng bằng 1 , ta có thể coi 0 nên phơng trình: x 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 . Suy ra : x 3 = ( x 1 ,x 2 ) và ta đợc một lân cận của điểm p trong S là đồ thị của hàm số đó . Vậy S là một mặt trong R 3 . Nh ta đã biết ( xem [6] ) :Với hàm số khả vi F : U R, U mở trong R 3 ,thì ( x, y,z ) F( x, y,z) tập hợp S gồm các điểm( x, y, z) thuộc U sao cho F( x, y, z) = 0 gọi là mặt xác định bởi phơng trình dạng ẩn . Và điểm F( x 0 ,y 0 , z 0 ) gọi là điểm kì dị của S nếu: F( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F Y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 . Điểm thuộc S mà không phải là điểm kì dị của S đợc gọi là điểm chính quy. Mặt mà mọi điểm của nó là điểm chính quy gọi là mặt chính quy. Với hai mảnh hình học r :U R 3 , r : U R 3 và ánh xạ : f = r .r -1 : U U * là vi phôi . 10 . thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của nó và sẽ tính đợc độ cong chính của mặt tròn xoay trong R 3 . + Đ4. Biểu thị độ cong trung bình, độ cong Gauss,. và cách xác định các độ cong chính dựa vào độ cong Gauss và độ cong trung bình. Đồng thời, chúng tôi cũng đã đa ra các ví dụ về việc tính độ cong của mặt