Về độ cong gauss trên mặt trong không gian e3

Mục lục Trang Lời mở đầu .1 Đ1. ánh xạ Weigarten và độ cong Gauss của mặt trong 3 3 1.1 Định nghĩa .3 1.2 Mệnh đề 3 1.3 Mệnh đề 4 1.4 Hệ quả .4 1.5 Nhận xét 5 1.6 Định nghĩa .6 1.7 Ví dụ 6 1.8 Nhận xét 6 1.9 Mệnh đề 7 1.10 Hệ quả .8 1.11 Ví dụ 9 1.12 Nhận xét 9 1.13 Hệ quả .10 Đ2. Biểu thị độ cong Gauss qua các dạng cơ bản của mặt S .11 2.1 Định nghĩa .11 2.2 Mệnh đề 12 2.3 Mệnh đề 12 2.4 Mệnh đề 13 2.5 Hệ quả .14 2.6 Ví dụ 15 2.7 Mệnh đề 16 1 Đ3. Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong 3 E 17 3.1 Định nghĩa .17 3.2 Bổ đề .18 3.3 Ví dụ 18 3.4 Mệnh đề 19 3.5 Ví dụ 21 Đ4. Độ cong Gauss của mặt khả triển trong 3 E .22 4.1 Nhận xét 23 4.2 Nhận xét 24 4.3 Định nghĩa .25 4.4 Mệnh đề 25 4.5 Ví dụ 25 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo .29 2 Lời mở đầu Hình học vi phân là một trong những môn học quan trọng có ý nghĩa rất lớn về mặt ứng dụng trong thực tiễn, nhất là đối với nghành vật lý và toán học. Lý thuyết về độ cong nói chung và độ cong Gauss nói riêng đã đợc trình bày trong rất nhiều tài liệu hình học vi phân, chẳng hạn [ ] 4 , [ ] 5 , [ ] 6 , [ ] 7 , Trong khóa luận này, chúng tôi tập hợp và chứng minh chi tiết các tính chất quan trọng của độ cong Gauss trên mặt trong 3 E và chỉ ra các ví dụ liên quan. Đồng thời chúng tôi trình bày độ cong Gauss của mặt khả triển. Khóa luận đợc trình bày trong 4 mục: Đ1. ánh xạ Weingarten và độ cong Gauss của mặt S trong 3 E Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, công thức tính độ cong Gauss của mặt định hớng trong 3 E , chứng minh một số tính chất cơ bản của độ cong Gauss (có ví dụ minh họa). Đ2. Biểu thị độ cong Gauss của mặt trong 3 E thông qua các dạng cơ bản của mặt S ở đây chúng tôi đã trình bày định nghĩa về các dạng cơ bản trên mặt S và biểu thị độ cong Gauss thông qua các hệ số cơ bản (có ví dụ minh họa). Đ3. Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong 3 E Trong mục này chúng tôi trình bày công thức tính độ cong Gauss của mặt tròn xoay. Đ4. Độ cong Gauss của mặt khả triển trong 3 E Trong phần này chúng tôi nêu một số tính chất về mặt khả triển và chứng minh độ cong Gauss trên mặt khả triển bằng 0. Khóa luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại khoaToán - trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Cảm ơn các thầy, cô giáo 3 trong tổ Hình học nói riêng và thầy, cô giáo trong khoa Toán nói chung. Cảm ơn gia đình, bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Vinh, ngày tháng năm 2009 Tác giả Đ1. ánh xạ Weigarten và độ cong Gauss của mặt trong 3 4 Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ Weigarten và độ cong Gauss của mặt trong 3 E . Nh chúng ta ã bit (xem [6]), mt mt S định h- ớng trong 3 E nếu và chỉ nếu tn ti trng vect pháp tuyn n v n . Giả sử mặt định hớng S đợc cho bởi tham số hóa ( ) UrUr : . Khi ó: vu vu rr rr rn = Với ST P , vì: nnDnnDnn == 0).(1. . Do đó, STnD P . Trong suốt khóa luận này, chúng tôi luôn giả thiết S liên thông. 1.1. Định nghĩa. ánh x STSTh Pp P : ( ) nDh p = , đợc gọi là ánh xạ Weigarten của S tại điểm p , p S . * Nhận xét. Giả sử cung tham số SJ : ( ) tt , ( J là khoảng mở trong Ă ) Nếu ( ) = 0 t thì ánh xạ Weigarten tại p là: ( ) ( ) ( ) 0 tnh p = 1.2. Mệnh đề. p h là ánh xạ tuyến tính đối xứng. Chứng minh. Với ST p , , R ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pp ppp hnDnDh hhnDnDnDnDnDh === +==+==+ + p h có tính đối xứng tức là ( ) ( ) pp hh = ; vi ST P , . Thật vậy, lấy tham số hoá địa phơng :r U S , 2 U Ă ( ) vu; ( ) vur ; ST P có cơ sở là: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } vurvurvuRvuR vuvu ,;;;;, = Do đó ta chứng minh: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) pRhpRpRpRh vpuvup = tại ( ) vurp , = Khi đó: ( )( ) ( ) ( ) ( ) vu du rnD nDpRh pRup u , == ( )( ) ( ) ( ) ( ) vur du rnD pRpRh vvup , = ( ) 1.1 Mặt khác, ( )( ) ( ) vurvurn v ,, nên ( ) 0. = v rrn . ( ) 1.2 5 Lấy đạo hàm hai vế của ( ) 1.2 theo u ta đợc: ( ) ( ) 0 = + du rD rnr du rnD u v ( ) 3.1 Từ ( ) 1.1 và ( ) 3.1 ta suy ra: ( )( ) ( ) ( ) ( ) vu du rD rnpRpRh v vup ,. = ( ) 4.1 Tơng tự ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) vu dv rD rnpRpRh u uvp ,. = ( ) 5.1 Do r là ánh xạ khả vi nên: uv r vu r = 22 suy ra dv rD du rD uv = ( ) 6.1 Từ ( ) 4.1 , ( ) 5.1 , ( ) 6.1 ta suy ra: ( )( ) ( ) = pRpRh vup ( )( ) ( ) pRpRh uvp Từ đó ta suy ra: ( ) ( ) pp hh . = ; vi ST P , . 1.3. Mệnh đề. Đối với cơ sở trực chuẩn, ma trận của ánh xạ p h là ma trận đối xứng. Chứng minh. Chọn cơ sở trực chuẩn đơn vị { } 21 ;ee trong không gian ST P . Giả sử ( ) ( ) += += 212 211 deceeh beaeeh p p ( ) ( ) = = ceeh beeh p p 12 21 Từ tính đối xứng của p h cb = Do đó ma trận của ánh xạ p h là: = db ba A p Vậy p A là ma trận đối xứng. 1.4. Hệ quả. p h luôn luôn có hai giá trị riêng. Chứng minh Xét định thức 0 = kdb bka Ta có: ( ) 0)( 22 =+ adbkdak (*) )(4)( 22 adbda ++= ( ) 2 2 4 0a d b= + 6 Vy (*) luôn có nghiệm thực hay p h luôn có hai giá trị riêng. - Các giá trị riêng của p h gọi là độ cong chính của S tại p . - Mỗi vectơ riêng của p h gọi là phơng chính của S tại p . 1.5. Nhận xét - Nếu 0 > phơng trình (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, có nghĩa là p h có hai giá trị riêng phân biệt. - Nếu 0 = phơng trình (*) có nghiệm kép tức là p h có hai giá trị riêng trùng nhau. * Chú ý a) Vì p h là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng trong không gian Ơclit hai chiều ST p nên p h có hai giá trị riêng thực phân biệt hoặc có một giá trị riêng (thực) trùng nhau. - Nếu p h có các giá trị riêng thực phân biệt 21 kk thì p h có hai phơng chính (các véctơ riêng của p h ) vuông góc với nhau. - Nếu p h có hai giá trị riêng (thực) trùng nhau kkk == 21 thì mọi véct ca ST p đều là vectơ riêng (phơng chính). - Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn { } 21 ,ee của ST p ta có: ( ) ( ) = = 222 111 ekeh ekeh p p với kkk == 21 ( ) 2 kpK = ; ( ) kpH = trong trng hợp này im p c gi là im rn. Khi 0 21 == kk thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt. Khi 0 21 = kk thì điểm p đợc gọi là điểm cầu. - Nếu ( ) 0 > ph thì điểm p đợc gọi là điểm eliptic. - Nếu ( ) 0 = ph thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic. - Nếu ( ) 0 < ph thì điểm p đợc gọi là điểm Hypebolic. b) Khi đổi hớng của S tách bằng cách xét n thay cho n thì p h đổi thành p h nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (do 7 đã định nghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S khi S cha có hớng hay cả khi S không xác định đợc). 1.6. Định nghĩa. Định thức của tự đồng cấu p h đợc gọi là độ cong Gauss của S tại p và đợc ký hiệu: ( ) K p . 1 2 vết của tự đồng cấu tuyến tính p h gọi là độ cong trung bình của S ti p và đợc ký hiệu: ( ) pH . Ta chú ý rằng: Khi p thay đổi ta ký hiệu chung các độ cong Gauss ( ) K p là K và gọi là độ cong Gauss của mặt S . - Giả sử { } 21 ,ee là cơ sở của ST p , hai vectơ riêng ứng với hai giá trị riêng 21 ; kk . Ta có: ( ) ( ) = = 222 111 ekeh ekeh p p Ma trận của p h đối với cơ sở { } 21 ,ee là 2 1 0 0 k k ( ) ( ) 21 2 1 kkH p += ; ( ) 21 kkpK = . 1.7. Ví dụ. Xét S là mặt phẳng. Khi đó n là trờng vectơ song song. Và ta có 0 = nD , ST p . Do đó ( ) 0 p h = ; ST p Nên = 00 00 p A . Ta suy ra: ( ) SppKpH == ;0)( 1.8. Nhận xét. Độ cong Gauss ( ) pK không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trong TpS . Chứng minh. Thật vậy, giả sử { } 21 , (1) và { } 21 , (2) là hai cơ sở của không gian TpS . p A là ma trận của p h đối với cơ sở (1) trong TpS , p B là ma trận của p h đối với cơ sở (2) trong TpS . Giả sử C là ma trận chuyển tử cơ sở (1) sang cơ sở (2). Khi đó: 1* = ACCB p 8 Ta có, Ppppp A C ACCACCACB ==== 1 1 * 1* Vậy, ( ) pK không đổi khi đổi cơ sở. 1.9. Mệnh đề. Giả sử Z là một trờng vectơ pháp tuyến (khác 0) xác định hớng của mặt S trong 3 E và { } YX , là mt trờng mục tiêu tiếp xúc ca tập mở U trong S . Khi đó ta có công thức tính cong Gauss trong U : ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) x y K D Z D Z X Y X Y Z = ì ì ì Chứng minh. Giả sử { } , là cơ sở của p T S , Up và n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S . ( ) p h a b = + ; ( ) p h c d = + , thì ( ) K p ad bc = Ta có: = )()( pp hh ( ) ( ) ( )( ) ì=+ì+ bcaddcba Do đó: ( ) ( ). p p h k = ì Hay )( YXKnDnD YX ì=ì Do Z là trờng vectơ pháp tuyến trên S . )( YXK Z Z D Z Z D YX ì= ì )( YXKZ Z Z YZD Z Z Z Z Z XZD Z Z yx ì= +ì + Nhân vô hớng hai vế với YX ì ta có : YZ Z Z YZD Z Z Z Z Z YZD Z Z yx +ì + - Y Z Z XZD Z Z Z Z Z YZD Z Z xx +ì + 2 = 2 Y)K(X ì Do .0 == YZXZ Nên ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 22 YXKYXZD Z Z ZDXZD Z Z xyx ì= Suy ra : ( ) ( )( ) ( ) 2 2 YXKYXZDZDZD Z Z yx ì=ììì 9 Vậy: ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) x y K D Z D Z X Y X Y Z = ì ì ì 1.10.Hệ quả. Giả sử trong toạ độ đề các vuông góc mặt S xác định bởi phơng trình ( ) , , 0F x y z = (hạng của F bằng 1) thì độ cong Gauss của S là: ( ) ( ) ( ) [ zzyyzzyyyzzzxxzzxxxz zyxz FFFFFFFFFFFFFF FFFF K + + + + = 2222 22 2 22 1 ( ) ] 2 2 zzyxyzzxxzzyxyz FFFFFFFFFFF + . Chứng minh. Lấy ( ) ( ) , , = = S x y S Z grad F F F (giả sử z S F 0 ). ( ) ,0, = z x S X F F ( ) z y S Y 0,F , F = zzxxxzy x zx FFFFF x F FZD = = z F Thay , , , , x y X Y Z D Z D Z vào biểu thức độ cong Gauss K ở mệnh đề 1.9 ta có: 10 zzyyyz z y x zy FFFF z F F x F FZD = = . Đ3. Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong 3 E Trong mục này chúng tôi trình bày công thức tính độ cong Gauss của mặt tròn xoay. Đ4. Độ cong Gauss của mặt. tính độ cong Gauss của mặt định hớng trong 3 E , chứng minh một số tính chất cơ bản của độ cong Gauss (có ví dụ minh họa). Đ2. Biểu thị độ cong Gauss của mặt