Độ cong Gauss trên siêu mặt trong En

1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ và phương pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học. Lý thuyết về các đường cong trong mặt phẳng và không gian cũng như về mặt cong trong không gian Euclide ba chiều đã trở thành cơ sở và cho sự phát triển ban đầu của hình học vi phân vào thế kỷ thứ 18 và 19. Cuối thế kỷ thứ 19, hình học vi phân, phát triển thành một lĩnh vực nghiên cứu những cấu trúc hình học tổng quát trên các đa tạp khả vi. Hình học vi phân có nhiều ứng dụng rộng rãi trong toán học và khoa học như: Hình học vi phân là công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu thuyết tương đối của Einstein, Hình học vi phân được áp dụng cho cả cơ học Lagrange và cơ học Hamilton, trong cấu tạo địa chất hình học vi phân được sử dụng để phân tích và miêu tả cấu trúc địa tầng,… Lý thuyết về mặt, siêu mặt là một trong những đối tượng quan trọng của hình học vi phân. Nghiên cứu về lý thuyết mặt là tìm hiểu về tính chất, cấu trúc, hình dạng, diện tích,…của mặt đó. Nghiên cứu về hình dạng của siêu mặt trong ta phải xét đến độ cong tại những điểm thuộc mặt đó và một những độ cong mà chúng ta cần xét đó là độ cong Gauss của điểm nằm trên siêu mặt trong . Việc nghiên cứu về hình dạng của mặt trên đã thôi thúc chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Độ cong Gauss trên siêu mặt trong n Ε ”. Luận văn được trình bày trong hai chương: CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SIÊU MẶT TRONG Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ về tích có hướng, siêu mặt trong không gian Euclide n- chiều. Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau. CHƯƠNG 2: ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ ĐỘ CONG GAUSS TRÊN SIÊU MẶT TRONG n Ε 2 Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa và tính chất, ví dụ về độ cong Gauss trong không gian Euclide n-chiều đồng thời tính độ cong Gauss của một số mặt trong 3 E và 4 E . Luận văn được hoàn thành tháng 10 năm 2013 tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy TS. Nguyễn Duy Bình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, thầy cô giáo trong khoa toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý kiến và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, tập thể lớp Hình học-Tôpô khóa 19 Trường Đại học Đồng Tháp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Trong quá trình làm luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Học viên Nguyễn Văn Tèo CHƯƠNG 1 3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SIÊU MẶT TRONG 1.1. Tích có hướng trong không gian vecto n E 1.1.1. Định nghĩa Hệ { } 1 2 , , , n e e e ur ur uur là cơ sở trực chuẩn của n E . { } 1 1 n i i a − = ur là các vectơ trong n E . Biểu diễn các vectơ { } 1 1 n i i a − = ur qua cơ sở { } 1 2 , , , n e e e ur ur uur 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 . . . . . . . . . n n n n n n n n n n a a e a e a e a a e a e a e a a e a e a e − − − − = + + + = + + + = + + + ur ur ur uur uur ur ur uur uuur ur ur uur Tích có hướng của n-1 vectơ { } 1 1 n i i a − = ur trong n Ε ur là một vectơ trong n E . Ký hiệu là 1 2 1 n a a a a − = ∧ ∧ ∧ r ur uur uuur có tọa độ đối với cơ sở { } 1 2 , , , n e e e ur ur uur được xác định như sau: 12 13 1 11 13 1 11 12 1 1 22 23 2 12 23 2 21 22 2 1 1 12 13 1 11 13 1 11 12 1 , , ,( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − + − − − − − − − − −    ÷  ÷ = − −  ÷  ÷  ÷   r 1.1.2. Tính chất • Tích có hướng của n-1 vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng thành phần. • Tích có hướng của n-1 vectơ trong n Ε ur có tính chất phản giao hoán. • Giả sử 1 1 , , n a a − ur uuur là n-1 vectơ trong n Ε ur . Hệ { } 1 1 , , n a a − ur uuur phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 1 2 1 0 n a a a a − = ∧ ∧ ∧ = r ur uur uuur r . 4 • Giả sử 1 1 , , n a a − ur uuur là n-1 vectơ trong n Ε ur và 1 2 1 n a a a a − = ∧ ∧ ∧ r ur uur uuur . Khi đó a r trực giao với các vecto , 1, 1 i a i n= − ur . 1.2. Siêu mặt trong n Ε 1.2.1.Mảnh tham số k – chiều trong n Ε Ánh xạ r đi từ tập mở k U ⊂ ¡ ( 1)k n≤ − vào n Ε 1 2 1 2 : ( , , , ) ( , , , ) n k k r U u u u r u u u →Ε a được gọi là mảnh tham số k-chiều trong n Ε ( ta vẫn đòi hỏi r khả vi đến lớp cần thiết). Điểm 0 0 0 1 2 ( , , , ) k u u u U∈ gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại 0 0 0 1 2 ( , , , ) k u u u , nghĩa là hệ { } ' 0 0 0 1 2 1 ( , , , ) i k u k i r u u u = độc lập tuyến tính. Điểm không chính quy được gọi là điểm kỳ dị. Mảnh tham số r được gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy. 1.2.2.Mảnh hình học k- chiều trong n Ε Tập con S của được n Ε gọi là mảnh hình học k- chiều trong n Ε nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh : n r U → Ε từ một tập mở U trong ( 1) k k n≤ −¡ vào n Ε , r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S. Mảnh hình học còn được gọi là mảnh đơn chính quy. 1.2.3.Siêu mặt trong n Ε Tập con không rỗng S của n Ε được gọi là đa tạp n-1 chiều trong n Ε nếu mỗi điểm p S∈ có một lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình học (n-1 ) -chiều, mỗi tham số hóa này gọi là một tham số hóa địa phương của S . 5 Ta gọi đa tạp n-1 chiều là một siêu mặt trong n Ε hay siêu mặt. 1.2.4.Vectơ tiếp xúc trên siêu mặt Cho S là một siêu mặt trong n Ε , p là một điểm trên S , n E α ∈ uur ur được gọi là vectơ tiếp xúc của S tại p nếu ' 0 ( )t α ρ = uuuuur ur với ρ là cung tham số khả vi : I S ρ → và 0 ( )t p ρ = ( I ⊂ ¡ ) . Không gian các vectơ tiếp xúc của S tại p ký hiệu là p T S . Trường vectơ trên S mà với mọi p S∈ , ( )X p là một vectơ tiếp xúc của S tại p gọi là trường vectơ tiếp xúc trên S . Nếu ( ) ( ) 1 1 1 1 : , , , , , n n r U S u u r u u − − → a là một tham số hóa của S trong n Ε thì * ( ) i i u u r R ∂ = ∂ ( trong đó 1 1 i n u i − =   ∂     ∂     là trường mục tiêu chính tắc trong 1n U − ⊂ ¡ , ' i u u u R r r=o ), { } 1 1 i n u i R − = là trường mục tiêu tiếp xúc trên S . Khi đó 1 2 1 1 2 1 n n u u u u u u R R R n R R R − − ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên S . 1.2.5.Đạo hàm của trường vectơ theo vectơ tiếp xúc Cho X là trường vectơ trên tập mở U trong n Ε và vectơ p T U α ∈ . Giả sử : J U ρ → là cung tham số đi qua điểm p sao cho ' 0 ( )t ρ α = với ( ) 1 2 ( ) ( ), ( ), , ( ) n t x t x t x t ρ = . Đạo hàm của trường vectơ X theo vectơ tiếp xúc p α là một vectơ tiếp xúc tại p U∈ và được xác định bởi 0 ( ) ( ) D X t dt ρ o . 1.2.6.Siêu mặt định hướng trong n Ε 6 Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi điểm có thể xác định một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các mảnh hình học với tham số hóa địa phương : , k n r U R E I α α α ⊂ → ∈ mà ánh xạ tiếp xúc của chúng ánh xạ biến hướng chính tắc trên k R thành hướng đã xác định trên không gian tiếp xúc của mặt. Một mặt định hướng được và khi đã xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúc như ở trên được gọi là mặt định hướng. 7 CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ ĐỘ CONG GAUSS TRÊN SIÊU MẶT TRONG n Ε 2.1. Ánh xạ Weingarten 2.1.1. Định nghĩa ánh xạ Weingarten Giả sử S là một đa tạp n-1 chiều định hướng trong n Ε có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến n đơn vị trên S . Với mọi p T S α ∈ ur , ta có: [ ] [ ] . 1 0n n α α = = ur ur Và [ ] . . . 2 .n n n D n D n n n D n α α α α = + = ur ur ur ur Suy ra 2 . 0 p n D n n D n D n T S α α α = ⇒ ⊥ ⇒ ∈ ur ur ur Ta xét ánh xạ : : p p p h T S T S D n α α → − ur ur a gọi là ánh xạ Weingarten tại p. Khi p tùy ý ta kí hiệu ánh xạ Weingarten là h. 2.1.2. Mệnh đề. Ánh xạ Weingarten là một ánh xạ tuyến tính đối xứng. Chứng minh • p h là ánh xạ tuyến tính: Thật vậy với mọi , , p T S K α β λ ∈ ∈ ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) p p p p p p p p p p h D n D n D n D n D n h h h h h h D n D n h h h α β α β α β λα α α β α β α β α β λα λ λ α λα λ α + + =− =− + =− − = + ⇒ + = + =− =− = ⇒ = ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Vậy p h là ánh xạ tuyến tính. • p h có tính chất đối xứng nghĩa là với mọi , p T S α β ∈ ur ur thì 8 ( ). . ( ) p p h h α β α β = ur ur ur ur . (1) Thật vậy: Giả sử 1 : n n r U E − ⊂ →¡ 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n u u r u u − − a là tham số hóa địa phương của S . Với 0 0 1 1 , ( , , ) n p S p r u u − ∈ = thì 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , , ), , ( , , ) n n n r r u u u u u u − − −   ∂ ∂   ∂ ∂   độc lập tuyến tính trong không gian (n-1) - chiều của p T S . Suy ra 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , , ), , ( , , ) n n n r r u u u u u u − − −   ∂ ∂   ∂ ∂   là cơ sở của p T S . Đặt: 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ( , , )) ( , , ) ( ( , , )) ( , , ) ( ( , , )) ( , , ) n u n n u n n u n n n r R r u u u u u r R r u u u u u r R r u u u u u − − − − − − − − ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ { } 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( , , )), , ( ( , , )) n u n u n R r u u R r u u − − − ⇒ là một cơ sở của không gian p T S . Để chứng minh (1) đúng ta chỉ cần chứng minh đúng trên cơ sở nghĩa là : ( ). . ( ) i j i j p u u u p u h R R R h R= , ( ) , 0. 1i j n= − (2) Ta có: 9 ( ) 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 ( ( )) ( ) ( , , ) ( ) ( ( )). ( ) ( , , ). ( , , ) ( ) . ( , , ) (3) i u i i j p u R p n i p u u n n i j n i j h R p D n n r u u u n r r h R p R p u u u u u u n r r u u u u − − − − = − ∂ = − ∂ ∂ ∂ ⇒ = − − ∂ ∂   ∂ ∂ = −   ∂ ∂     o o o Mặt khác : 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( , , )) ( , , ) n n j r n r u u u u u − − ∂ ⊥ ∂ 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( , , )). ( , , ) 0 n n j r n r u u u u u − − ∂ ⇒ = ∂ (4) Lấy đạo hàm hai vế của (4) theo biến i u 2 0 0 0 0 ( ) ( ). ( ) ( )( ). ( ) 0 i i i i i j j i n r r r u u n r u u u u u u ∂ ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ ∂ ∂ o o 2 0 0 0 0 ( ) ( ). ( ) ( )( ). ( ) i i i i i j j i n r r r u u n r u u u u u u ∂ ∂ ∂ ⇒ − = ∂ ∂ ∂ ∂ o o 2 0 0 0 ( ) . ( ) ( )( ). ( ) i i i i j j i n r r r u n r u u u u u u   ∂ ∂ ∂ ⇒ − =   ∂ ∂ ∂ ∂     o o (5) Từ (3) và (5) ta suy ra 2 0 0 ( ( )). ( ) ( )( ). ( ) i j p u u i i j i r h R p R p n r u u u u ∂ = ∂ ∂ o (6) Tương tự chứng minh trên ta cũng được 2 0 0 ( ( )). ( ) ( )( ). ( ) j i p u u i i i j r h R p R p n r u u u u ∂ = ∂ ∂ o (7) Do r khả vi đến lớp cần thiết nên: 2 2 0 0 ( ) ( ) i i i j j i r r u u u u u u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ (8) Từ (6), (7) và (8) suy ra ( ). . ( ) i j i j p u u u p u h R R R h R= 10 2.2. Độ cong Gauss trên siêu mặt trong n Ε 2.2.1. Định nghĩa Định thức của tự đồng cấu tuyến tính p h được gọi là độ cong Gauss của S tại p , ký hiệu là ( )K p . 1 1n − vết của tự đồng cấu tuyến tính p h được gọi là độ cong trung bình của S tại p , ký hiệu là ( )H p . Nếu tồn tại 0 p T S α ≠ ∈ r ur sao cho ( ) . p h α λ α = ur ur thì: α ur được gọi là phương chính của p h tại p λ được gọi là độ cong chính của p h tại p Nếu p h có n-1 giá trị riêng thực đôi một khác nhau 1 1 , , n k k − thì khi đó n-1 phương chính hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với nhau nên tồn tại { } 1 1 , , n e e − ur uuur là hệ n-1 vectơ riêng trực chuẩn của p T S . 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) p p p n n n h e k e h e k e h e k e − − − = = = ur ur ur ur uuur uuur Khi đó 1 1 ( ) n K p k k − = và 1 1 ( ) 1 n k k H p n − + + = − Nếu p h có một giá trị riêng thực bội n-1 là 1 1 n k k − = = khi đó mọi phương là phương chính. Từ đó với mọi cơ sở trực chuẩn { } 1 1 , , n e e − ur uuur của p T S có 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) p p p n n n h e k e h e k e h e k e − − − = = = ur ur ur ur uuur uuur [...]... n−1 H n−1 n −1  1 2 n−1 ( *) Độ cong thứ nhất chính là độ cong trung bình, độ cong thứ ( n − 1) là độ cong Gauss của siêu mặt S 2.4.2 Mệnh đề Cho siêu mặt S trong Ε n Điều kiện cần và đủ để một điểm trên S là điểm rốn là: H i = ( H1 ) i ( i = 1, n − 1) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử điểm p trên S là điểm rốn ta suy ra H i = ( H1 ) i ( i = 1, n − 1) Thật vậy, một điểm p trên S là điểm rốn suy ra k1... 0 −1 0     0 0 0   Độ cong Gauss của siêu trụ là: −1 0 0 K ( p ) = A = 0 −1 0 = 0 0 0 0 Vậy độ cong Gauss K ( p ) = 0 15 2.3 Các dạng cơ bản trên siêu mặt 2.3.1 Định nghĩa Cho S là siêu mặt trong E n Với mỗi p ∈ S , I p :Tp S × Tp S → ¡ ( α,β ) a I p ( α , β ) = α β II p :Tp S × Tp S → ¡ ( α,β ) a II p ( α , β ) = hp (α ).β là những dạng song tuyến tính đối xứng trên Tp S Chúng được gọi là... ( g 22 ) u 1 ÷ + ÷  g11.g 22  u2    ÷ ÷ ÷ ÷ u1  Nhận xét Từ đẳng thức trên ta thấy độ cong Gauss trong E 3 không phụ thuộc vào hệ số của dạng cơ bản thứ hai 2.4.4.3 Định lý Gauss Độ cong Gauss của mặt trong E 3 bất biến qua ánh xạ đẳng cự địa phương Chứng minh ° Cho S và S là siêu mặt chính qui và định hướng được trong E 3 r : U ⊂ ¡ 2 → E 3 là một tham số hóa tại điểm p ∈ S  ÷ ÷  32 ° ϕ :V... dụng công thức tính độ cong Gauss theo hệ số các dạng cơ bản ta được: h11 h12 h13 −1 0 0 h21 h22 h23 0 −1 0 h h h33 0 0 0 K ( p ) = 31 32 = =0 g11 g12 g13 1 0 0 0 1 0 g 21 g 22 g 23 g31 g32 g33 0 0 1 2.4 Một số tính chất về độ cong Gauss 22 2.4.1 Định nghĩa Cho siêu mặt S trong Ε n , k1 , k2 , , kn−1 là các giá trị riêng ( ) của ánh xạ tuyến tính hp Độ cong thứ i i = 1, n − 1 của siêu mặt S ký hiệu là... chuẩn ' ' Mặt kẻ là mặt khả triển nếu β , β ,α = 0 35 2.5.1.2.2 Ví dụ   Mặt phẳng, mặt tiếp tuyến của một đường chính qui là những mặt kẻ uuu u ur Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi α ( u ) , β ( u ) với α ( u ) được chứa trong một { } mặt phẳng và các đường thẳng γ u cùng đi qua một điểm cố định uuu u ur α ( u ) , β ( u ) với α ( u ) được chứa trong một  Mặt trụ là mặt kẻ sinh bởi { } uuu u ur mặt phẳng... −rt ' Do đó đối với không gian có chiều lớn hơn 3 độ cong Gauss không chỉ phụ thuộc vào dạng cơ bản I 2.5 Độ cong gauss của một số mặt trong E 3 và E 4 2.5.1 Độ cong Gauss của một số mặt trong E 3 2.5.1.1 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay catanoid Cho U ⊂ ¡ 2 , a ≠ 0 và mặt Catanoid xác định bởi tham số hóa kiều đồ thị: r : U ⊂ ¡ 2 → E3 (u , v) a r (u , v) = ( a cosh u.cos v,a cosh u.sin v, au ) ru'... Do đó độ % cong Gauss tương ứng đối với tham số hóa r và r cũng trái dấu nhau Hay khi ta đổi hướng trường pháp vectơ đơn vị thì độ cong Gauss sẽ đổi dấu % Tuy nhiên hệ số dạng cơ bản thứ nhất đối với tham số hóa r và r là giống nhau ' ' ' % % % % % vì r u = −ru' , r v = −rv' , r t%= −rt ' Do đó đối với không gian có chiều lớn hơn 3 độ cong Gauss không chỉ phụ thuộc vào dạng cơ bản I 2.5 Độ cong gauss. .. ', β , β ) ÷.β ' ÷ =  ÷ ÷  X ∧X + X ∧X v u v    u 2  ÷ =0 ÷  Ngược lại nếu mặt kẻ có độ cong Gauss bằng 0 thì nó là mặt khả triển Thật vậy, từ K ( p ) = 0 ta suy ra được ( β , β ', λ ') =0 theo định nghĩa thì X (u, v) là mặt khả triển 2.5.1.3 Độ cong Gauss mặt giả cầu 2 Cho U = [ 0; 2π ] × [ 0; 2π ] ⊂ ¡ , a > 0 và mặt giả cầu S xác định bởi tham số hóa kiều đồ thị: r : U ⊂ ¡ 2 → E3 u   (u ,...11 Khi đó K ( p ) = k12 và H ( p ) = k1 2.2.2 Định nghĩa Điểm p của siêu mặt S gọi là : 1 Điểm rốn nếu k1 = = kn−1 2 Điểm cầu nếu k1 = = kn−1 ≠ 0 3 Điểm dẹt nếu k1 = = kn−1 = 0 2.2.3 Mệnh đề Đa tạp n-1 chiều liên thông cung trong Ε n mà mọi điểm là điểm rốn thì có độ cong Gauss hằng Giả sử S là một siêu mặt định hướng trong Ε n và r : U ⊂ R n−1 → S là một tham  ∂r  số hóa địa phương của S...  1 Vậy ∀t ∈ [ 0,1] , ρ1 (t ) thuộc siêu cầu  0, ÷  k ÷    1 ⇒ q thuộc siêu cầu  0, ÷  k ÷    2.2.4 Nhận xét Nếu tất cả các điểm của một liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong một siêu cầu hoặc một siêu phẳng 2.2.5 Ví dụ Giả sử trong E 4 cho siêu trụ S có phương trình là x 2 + y 2 + z 2 = 1 Hãy tính độ cong Gauss của S 14 Giải Xét ánh xạ: r: ¡ 3 → E4 (u, v, t ) a (cos u sin v,sin u . cần xét đó là độ cong Gauss của điểm nằm trên siêu mặt trong . Việc nghiên cứu về hình dạng của mặt trên đã thôi thúc chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Độ cong Gauss trên siêu mặt trong n Ε ”. Luận.    Độ cong Gauss của siêu trụ là: 1 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 K p A − = = − = Vậy độ cong Gauss ( ) 0K p = . 15 2.3. Các dạng cơ bản trên siêu mặt 2.3.1. Định nghĩa Cho S là siêu mặt trong n E 5 Ta gọi đa tạp n-1 chiều là một siêu mặt trong n Ε hay siêu mặt. 1.2.4.Vectơ tiếp xúc trên siêu mặt Cho S là một siêu mặt trong n Ε , p là một điểm trên S , n E α ∈ uur ur được gọi