Đặc trưng của đường cong nằm trên mawth giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian lorentz - minkowski 3 chiều

Nó giúp ta xác định hình dạng và kích thước của một đường congcho trước.Đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian Euclide là một vấn đềquan trọng và thường được dùng làm công cụ nghiê

2 Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu

2.1 Đường cong trên mặt giả cầu 172.2 Đường cong trên mặt giả hyperbolic 302.3 Chỉ đồ giả cầu và chỉ đồ giả hyperbolic của các đường cong 40

Không gian Minkowski có ứng dụng rộng rãi trong vật lý học hiện đại,đặc biệt là lý thuyết tương đối Trong lý thuyết của các đường cong trongkhông gian Euclide và Minkowski, một trong những vấn đề thú vị nhất làvấn đề đặc trưng của một đường cong chính tắc Để giải quyết vấn đề này,các hàm độ cong và độ xoắn của một đường cong là một công cụ rất hiệuquả Nó giúp ta xác định hình dạng và kích thước của một đường congcho trước.

Đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian Euclide là một vấn đềquan trọng và thường được dùng làm công cụ nghiên cứu các đường congkhác Đối với không gian Lorentz Minkowski cũng vậy Tuy nhiên, vấn đềnghiên cứu đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giảhyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski vẫn còn mới mẻ và chưađược nhiều tác giả nghiên cứu

Do đó, chúng tôi chọn đề tài:

"Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giảhyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều".Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận văn gồm haichương:

Chương 1: - Kiến thức chuẩn bị

Để thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau, trong chương này chúngtôi trình bày một số khái niệm và cũng như các tính chất của không gianLorentz - Minkowski mà không trình bày chứng minh chi tiết

Chương 2: - Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặtgiả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều

Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi trìnhbày chi tiết các đặc trưng của đường cong mặt giả cầu, mặt giả hyperbolicđvà nghiên cứu các tính chất của chỉ đồ cầu của một đường cong

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tìnhcủa thầy giáo - tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lờicảm ơn chân thành đến thầy Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơnđến Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa cùng các bạn

bè đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình tác giảthực hiện luận văn này

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Duy Diện

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Lorentz - Minkowski

Cho R3 là không gian vectơ thực với cấu trúc thông thường

Gọi B = {E1, E2, E3} là cơ sở thông thường, với E1 = (1, 0, 0), E2 =(0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1)

1.1.1 Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ sinh bởi tích vô hướng:

hu, vi = u1v1 + u2v2 − u3v3,

với u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) Khi đó E được gọi là không gianLorentz - Minkowski Ký hiệu E13

Tích vô hướng h, i được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski

Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gianMinkowski và tích vô hướng h, icũng được gọi là tích vô hướng Minkowski.1.1.2 Định nghĩa Cho vectơ v ∈ E13

(i) v được gọi là vectơ kiểu không gian nếu hv, vi > 0 hoặc v=0

(ii) v được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu hv, vi < 0

(iii) v được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu hv, vi = 0 và v 6= 0

Nhận xét: vectơ v = 0 có hv, vi = 0 nhưng vẫn được xét là vectơ kiểukhông gian

1.1.3 Ví dụ Vectơ E1 và E2 là các vectơ kiểu không gian

Thật vậy, hE1, E1i = 1 > 0 và hE2, E2i > 0 Vectơ E3 là vectơ kiểu thờigian vì hE3, E3i = 1 > 0

Vectơ E1 + E2 là vectơ kiểu ánh sáng vì hE1 + E2, E1 + E2i = 0

1.1.4 Định nghĩa Cho vectơ u ∈ E13 Khi đó số p|hu, ui| được gọi là

mô đun hay chuẩn của vectơ u Ký hiệu |u| Nếu |u| = 1 thì u được gọi làvectơ đơn vị

4

E1 E2 −E3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

=



u2 u3

v2 v3

u2 u3

v2 v3

,

u3 u1

v3 v1

... kiểu không gian E13< /sup> =< v > ⊕ < v >⊥ Đối vớicác vectơ kiểu khơng gian, ta có: v vectơ kiểu không gian

và < v >⊥ không gian. .. class="page_container" data-page="6">

3 Nếu U khơng gian kiểu ánh sáng, dim(U ∩ U⊥) = 1.1.1.11 Định lí (Xem [1]) Cho U khơng gian hai chiều của< /p>

E13< /sup> Khi đó, mệnh...

(i) U không gian kiểu thời gian

(ii) U chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính

(iii) U chứa vectơ kiểu thời gian

1.1.12 Định lí (Xem [1]) Cho U không gian hai chiều