Đặc trưng Chern không giao hoán của C - Đại số đối với mặt cầu Sn

C ∗ − ∗ − n K− ∗ − n ∗ − n X H ∗ (X) K ∗ (X) K− X. X ch : K ∗ (X) −→ H ∗ (X). G H ∗ D R (G; Q) Z/(2)− K ∗ (G) K− G. G ch : K ∗ (G) ⊗ Q −→ H ∗ D R (G; Q). C ∗ − C ∗ − C ∗ − S n . C ∗ − K− C ∗ − S n K− S n . S n . C ∗ − K− K− C ∗ − S n . C ∗ − G G dg. L 1 (G) L 1 (G) =  f : G −→ C |  G |f(x)|dx < ∞  , (f ∗ g)(x) :=  G f(y)g(y −1 x)dy, f ∗ (x) := f(x −1 ) L 1 − ∥f∥ :=  G |f(x)|dx. L 1 (G) ∥f ∗ g∥ ̸= ∥f∥.∥g∥. L 1 (G). ∥f∥ C ∗ := sup π∈  G ∥π(f)∥, (1)  G G. L 1 (G) (1) C C ∗ − G  G G.  G G G π G ∗− C ∗ (G)  f(π) = π(f) :=  G π(x)f(x)dx. 1 − 1 π G ∗− C ∗ (G). π n ∈  G n ∈ N. ∀f ∈ C ∗ (G) c = c f ∥  f(π n ) − c f .Id∥ −→ 0 n −→ ∞, Id ′ ∞  i=1 Mat n i (C) =   f | ∥  f(π n ) − c f .Id∥ −→ 0 khi n −→ ∞  . ′ ∞  i=1 Mat n i (C) Mat n i (C) n i . C ∗ (G) ∼ = ′ ∞  i=1 Mat n i (C). G C ∗ (G) C ∗ − G. I N := N  i=1 Mat n i (C). I N C ∗ (G) C ∗ − G I N , C ∗ (G) = lim −→ I N . C ∗ − A (π 1 , π 2 , F ), π 1 , π 2 : A −→ £(H B ) ∗− F ∈ F(H B ) F C ∗ − H B = l 2 B C ∗ − B, π 1 (a)F − Fπ 2 (a) ∈ K(B), K(B) H B ). K− KK ∗ (A, B)). G A = C ∗ (G) B = C K ∗ (C ∗ (G)) ∼ = KK ∗ (C ∗ (G), C). KK 0 (C ∗ (G), C) ∼ = K 0 (C ∗ (G)) KK 1 (C ∗ (G), C) ∼ = K 1 (C ∗ (G)), K ∗ (C ∗ (G)) K− C ∗ (G). A HE ∗ (A) K ∗ (A)×HE ∗ (A) −→ C. HE ∗ (A). HE ∗ (A) A {I α } α∈Γ A τ α : I α −→ C ad A − A {I α } α∈Γ A τ α : I α −→ C, τ α ∥τ α ∥ = 1, τ α (aa ∗ ) ≥ 0 ∀a ∈ I α , τ α (aa ∗ ) = 0 a = 0 α ∈ Γ, τ α ad A − τ α (xa) = τ α (ax) ∀x ∈ A, a ∈ I α . α ∈ Γ, τ α I α ⟨a, b⟩ τ α := τ α (ab ∗ ) ∀a, b ∈ I α . I α I α Γ α  β  γ ⇐⇒ I α ⊆ I β ⊆ I γ , ∀α, β, γ ∈ Γ. {I β , j β α } Γ : ∀α, β, γ ∈ Γ, α  β  γ j β α : I α −→ I β j γ β j β α = j γ α : I α −→ I γ j α α = id. I α ⊗(n+1) (n + 1)− I α . I α I α ⊗(n+1)  I α = I α ⊕ C, ∀α ∈ Γ I α C n (  I α ) =  φ : (  I α ) ⊗(n+1) −→ C | φ (n + 1) −  (n + 1)−  I α C n (  I α ) α, β, γ ∈ Γ α  β  γ, D β α : C n (  I α ) −→ C n (  I β ), D β α j β α C n (  I α ) D γ β D β α = D γ α , D α α = id. {C n (  I α ), D β α } α∈Γ Q = lim −→ C n (  I α ). Q = lim −→ C n (  I α ) α ∈ Γ b ′ : C n (  I α ) −→ C n+1 (  I α ) (b ′ φ)(a 0 , a 1 , , a n+1 ) = n  j=0 (−1) j φ(a 0 , , a j a j+1 , , a n+1 ), b : C n (  I α ) −→ C n+1 (  I α ) (bφ)(a 0 , a 1 , , a n+1 ) = n  j=0 (−1) j φ(a 0 , , a j a j+1 , , a n+1 ) +(−1) n+1 φ(a n+1 a 0 , , a n−1 , a n+1 ), (a 0 , , a j a j+1 , , a n+1 ) ∈  I α ⊗(n+1) ; λ : C n (  I α ) −→ C n (  I α ) (λφ)(a 0 , a 1 , , a n ) = (−1) n φ(a n , a 0 , , a n−1 ), S : C n+1 (  I α ) −→ C n (  I α ), (Sφ)(a 0 α , a 1 α , , a n α ) = φ(1, a 0 , , a n ),  I α = I α ⊕ C I α b, b ′ b 2 = (b ′ ) 2 = 0. b, b ′ b, b ′ , λ S b, b ′ : lim −→ C n (  I α ) −→ lim −→ C n+1 (  I α ), λ : lim −→ C n (  I α ) −→ lim −→ C n (  I α ), S : lim −→ C n+1 (  I α ) −→ lim −→ C n (  I α ). N = 1 + λ + λ + + λ n , N λ k . N N : lim −→ C n (  I α ) −→ lim −→ C n (  I α ). A {I α } α∈Γ A, τ α : A α −→ C ad A − C n (A) := Hom(lim −→ C n (  I α ), C) lim −→ C n (  I α ) b, b ′ , λ, S b ∗ , (b ′ ) ∗ , λ ∗ , S ∗ b, b ′ , λ, S. b, b ′ , λ, S b ∗ , (b ′ ) ∗ , λ ∗ , S ∗ b 2 = b ′ 2 = 0 N(1 − λ) = (1 − λ)N = 0 (b ∗ ) 2 = (b ′ ∗ ) 2 = 0 N ∗ (1 − λ ∗ ) = (1 − λ ∗ )N ∗ = 0. b ∗ , (b ′ ) ∗ , λ ∗ , N ∗ A C(A)) (−b ′ ) ∗    b ∗    (−b ′ ) ∗    ←−− 1−λ ∗ C 1 (A) ←−− N ∗ C 1 (A) ←−− 1−λ ∗ C 1 (A) ←−− N ∗ · · · C(A) (−b ′ ) ∗    b ∗    (−b ′ ) ∗    ←−− 1−λ ∗ C 0 (A) ←−− N ∗ C 0 (A) ←−− 1−λ ∗ C 0 (A) ←−− N ∗ · · · b ∗ , (−b ′ ) ∗ ∗ C(A) C(A) T ot(C(A)) even = T ot(C(A)) odd :=  n≥0 C n (A). C(A) 2. ∂ :  n≥0 C n (A)   n≥0 C n (A), ∂ = d v + d h d v d h A C(A) A, HP ∗ (A). (f n ) n≥0 ∈ C(A)  n≥0 n!  n 2  ! ∥f n ∥z n z ∈ C. C(A) [...]... số c a c c nhóm Lie compact về tính đ c trưng Chern c a c c nhóm Lie compact và kết quả thu đư c sai kh c một đẳng c u ' Chương 2 Đ c trưng Chern không giao hoán c a C đại số đối với mặt c u Sn Nội dung chính c a chương này là chúng tôi sử dụng những kết quả đã trình bày ở trong Chương 1 để tính đ c trưng Chern không giao hoán c a c u C đại số c a mặt S n C thể mô tả đẳng c u chC : K (C (S n... 1.3.3 Chương 1, chúng tôi đã chứng minh đư c đ c trưng Chern không giao hoán c a C đại số c a nhóm Lie compact G là đẳng c u chC : K (C (G)) HE (C (G)) Bây giờ, chúng tôi sử dụng kết quả đã thu đư c trong Chương 1 để tính đ c trưng Chern không giao hoán c a C (S n ) là C đại số c a mặt c u S n Để làm đư c điều đó chúng tôi dựa vào hai sự kiện sau 1 Vì O(n) là nhóm con đóng trong O(n+1) nên mặt c u... trưng Chern không giao hoán c a C (G) " đại số c a nhóm Lie T và c a nhóm Lie compact G, Định lý 1.3.3 Giả sử W = NT /T trong đó NT tương ứng là xuyến c c đại và nhóm Weyl là chuẩn hóa c a T trong G Khi đó đ c trưng Chern không giao hoán chC : K (C (G)) HE (C (G)) c a C (G) là một đẳng c u và c thể đồng nhất đẳng c u chC với đẳng c u Chern W W ch : K (C( T )) HE (C( T )), trong đó C( T ) là đại số. .. c thể, đ c trưng Chern đã đư c tính một c ch tường minh Theo Định lý 1.3.3, với G là nhóm Lie compact và C đại số c a G, ta c K (G) K (C (G)) HE (C (G)) HE (G) = = = & C (G) là Khi đó ta c sơ đồ giao hoán: K (G) K (C (G)) ch chC H(G) HE (C (G)) Vậy chC = ch 1 : K (C (G)) HE (C (G)) Từ kết quả trên ta chuyển bài toán tính đ c trưng Chern c a c c C đại số c a c c. .. n )) HE (C (S n )) 2.1 Đồng điều nguyên và K nhóm c a C đại n số c a mặt c u S Như ta đã biết đối với mặt c u S n = O(n + 1)/O(n) đ c trưng Chern c a nó là đẳng c u ch : K (S n ) Q HDR (S n , Q) đã đư c T Watanabe ([7]) mô tả chi tiết và cho c ng th c tường minh M c đích trong tiết này trình bày c ch tính đ c trưng Chern không giao hoán c a chC : K (C (S n )) HE (C (S n ))  C (S n ),... O(n+1)/O(n) C đại số c a mặt c u S n là không gian thuần nhất Do đó, chính là C đại số c a nhóm biến đổi Vậy theo [5] thì C (S n ) C (O(n)) K(L2 (S n )) = 2 Định lý về tính ổn định c a K đ c trưng Chern không giao hoán c a và HE cho phép ta chuyển bài toán tính C (S n ) về tính đ c trưng c a C đại số c a nhóm con đóng O(n) trong O(n + 1) Mệnh đề 2.1.1 Giả sử trong Tn là xuyến c c đại c a O(n)... Lie compact 3 Mô tả đ c trưng Chern không giao hoán c a ! C đại số c a mặt c u S n Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: Lý thuyết biểu diễn, [1] Đ N Diệp (2010), Giáo trình Sau Đại hoc, Viện Toán h c, Hà Nội [2] N Q Thơ (2012), Đ c trưng Chern không giao hoán c a nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng, C đại số c a Luận án tiến sĩ Toán h c, Trường Đại h c Vinh Tiếng Anh: [3] Connes A (1988) characters... phần c a những ph c nguyên A, do vậy, từ sự tương ứng trên Cn c m sinh ánh xạ Chern chC : K (A) HE (A) Vậy định lý đư c chứng minh Từ Định lý 1.3.2, nếu không giao hoán c a A là đại số Banach đối hợp c đơn vị thì đ c trưng Chern A đư c x c định bởi đồng c u chC : K (A) HE (A) Bây giờ chúng ta xét trường hợp compact A = C (G) là C G C thể, chúng tôi sẽ tính chC : K (C (G)) HE (C (G)) đ c trưng. .. điển, đ c trưng Chern không giao hoán c a C đại số c a nhóm Lie compact là đồng c u ch : K (C (G)) HP (C (G)) giữa K nhóm và đồng điều cyclic tuần hoàn Chúng tôi ứng dụng c ch xây dựng đồng điều thuyết KK (với đề 1.3.1 k N) và HE trong 1.2 và lý nhóm c a G G Kasparov đã trình bày trong [5] để tính đ c trưng Chern không giao hoán c a Mệnh HP và ([8]) = C đại số c a nhóm Lie compact G Giả sử... là c c dạng vi phân với độ sai kh c tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theo c c chu trình tương ứng thì ta nhận đư c c c giá trị bằng số Mặt kh c, K (G) là K nhóm c a G c phần tử sinh với c c đại diện là c c phân thớ véctơ Khi đó đ c G đư c định nghĩa là đồng c u trưng Chern c a ch : K (G) Q HDR (G; Q) giữa K nhóm và đồng điều de Rham tương ứng c a G C ng như trong trường hợp c điển, đặc . HE ∗ (C ∗ (G)) C ∗ (G). T W = N T /T G, N T T G. ch C ∗ : K ∗ (C ∗ (G)) −→ HE ∗ (C ∗ (G)) C ∗ (G) ch C ∗ ch : K W ∗ (C( T )) −→ HE W ∗ (C( T )), C( T ) T C, K W ∗ (C( T )) HE W ∗ (C( T )) K− HE ∗ C( T. 0. A ch C ∗ : K ∗ (A) −→ HE ∗ (A). K n (A) × C n (A) −→ C. C n (A), Hom (C n (A), C) C n (A). K n (A) × C n (A) −→ C K n (A) C n −→ Hom (C n (A), C) . A {I α } α∈Γ A α ∈ Γ K n (A) C α n −→ Hom (C n (  I α ),. B)). G A = C ∗ (G) B = C K ∗ (C ∗ (G)) ∼ = KK ∗ (C ∗ (G), C) . KK 0 (C ∗ (G), C) ∼ = K 0 (C ∗ (G)) KK 1 (C ∗ (G), C) ∼ = K 1 (C ∗ (G)), K ∗ (C ∗ (G)) K− C ∗ (G). A HE ∗ (A) K ∗ (A)×HE ∗ (A) −→ C. HE ∗ (A). HE ∗ (A)